Statistica - Esercitazione 10

Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
Statistica
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Esercitazione 10
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
V.C. di
Poisson
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Statistica
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1 / 55
Outline
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
1
V.C. uniforme
2
V.C. Bernoulli
3
V.C. Binomiale
4
V.C. Ipergeometrica
5
V.C. binomiale negativa
6
V.C. di Poisson
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
2 / 55
Variabile casuale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Una variabile casuale (v.c.) una funzione misurabile e a valori
reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una v.c. una
regola che associa ad ogni evento un numero reale.
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
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Esempi di variabile casuale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario
Ω = (E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 ), possibile definire diverse variabili
casuali:
V.C.
Binomiale
X :numero della faccia uscita
V.C.
Ipergeometrica
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10
Y = {−7, −4, −1, 2, 5, 8}
A. Iodice ()
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probabilità e variabili casuali
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile
casuale X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova
sono
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T,
T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT,
V.C.
Ipergeometrica
CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC}
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
I valori della variabile casuale X corrispondenti agli eventi
sono
X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 1, 1, 1, 1, 0}
i valori che la v.c. X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}.
A. Iodice ()
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probabilità e variabili casuali
Statistica
Le probabilità associate ai valori della variabile casuale sono
A. Iodice
P (X = 0) = P (CCCC) =
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
P (X = 1) = P (T CCC ∪ CT CC ∪ CCT C ∪ CCCT ) =
V.C.
Ipergeometrica
= P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+
4
+ P (CCCT ) =
16
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
1
16
P (X = 2) = P (T T CC ∪ T CCT ∪ CT T C ∪ CCT T ∪
∪ T CT C ∪ CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+
P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+
6
+ P (CT CT ) =
16
A. Iodice ()
Statistica
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probabilità e variabili casuali
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
P (X = 3) = P (CT T T ∪ T CT T ∪ T T CT ∪ T T T C) =
P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+
4
+ P (T T CT ) =
16
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
P (X = 4) = P (T T T T ) =
A. Iodice ()
Statistica
1
16
Statistica
7 / 55
Distribuzione di probabilità di una v.c.
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle
v.c. possibile riassumere i risultati nel seguente modo
V.C.
Binomiale
xi
0
1
2
3
4
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
pi
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
Statistica
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Distribuzione di probabilità di una v.c.
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile casuale
X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento
ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio
l’evento A: escono almeno 3 teste
4
1
5
+
=
16 16
16
Analogamente l’evento B: escono fino a 2 teste
P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) =
P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) =
A. Iodice ()
Statistica
1 4 6
11
+ + =
16 16 16
16
Statistica
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Distribuzione di probabilità di una v.c.
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
una variabile casuale si definisce discreta se mette in
corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme
finito o numerabile di numeri reali
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
una variabile casuale si definisce continua se essa può
assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Distribuzione di probabilità di una v.c.
Statistica
A. Iodice
La distribuzione di probabilità di una v.c. discreta data da
V.C. uniforme
xi
x1
x2
...
xi
...
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
pi
p1
p2
...
pi
...
Perchè sia ben specificata la v.c. discreta deve soddisfare i postulati di
Kolmogorov, ovvero deve risultare che
pi ≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . e che
+∞
X
pi = 1
i=1
A. Iodice ()
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Funzione di ripartizione per v.c. discrete
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. discreta calcolata nel punto x0 data
da
X
pi
F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) =
x≤x0
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
Caratteristiche di F (x)
La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 ≤ F (x) ≤ 1
A. Iodice ()
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Distribuzione di probabilità di una v.c.
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
La funzione di ripartizione associata alla variabile casuale numero di teste nella
prova lancio di quattro monete
V.C. Bernoulli
xi
0
1
2
3
4
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
pi
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
F (xi )
1/16
5/16
11/16
15/16
16/16
V.C. di
Poisson
Nota
Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della
v.c. X.
A. Iodice ()
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Rappresentazioni di v.c. discrete
Statistica
A. Iodice
Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una v.c. discreta si ricorre al
diagramma ad aste
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Rappresentazioni di v.c. discrete
Statistica
A. Iodice
La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Variabile casuale uniforme
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Una variabile casuale X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n
se assume valori su un insieme finito x1 , x2 , . . . , xn e la sua funzione di
probabilità la seguente
V.C.
Ipergeometrica
P (X = xi ) =
1
∀i = 1, . . . , n
n
V.C. binomiale
negativa
la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) =
V.C. di
Poisson
la varianza della distribuzione uniforme var(X) =
A. Iodice ()
Statistica
n+1
2
n2 −1
12
Statistica
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Variabile casuale uniforme
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una
variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6.
Svolgimento
V.C.
Ipergeometrica
la media o valore atteso della distribuzione uniforme
= 6+1
= 3.5
E(X) = n+1
2
2
V.C. binomiale
negativa
la varianza della
distribuzione
uniforme
2
2
−1
−1
var(X) = n 12
= 6 12
= 35
= 2.92
12
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Variabile casuale uniforme
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una
variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6.
Svolgimento
V.C.
Ipergeometrica
la media o valore atteso della distribuzione uniforme
= 6+1
= 3.5
E(X) = n+1
2
2
V.C. binomiale
negativa
la varianza della
distribuzione
uniforme
2
2
−1
−1
var(X) = n 12
= 6 12
= 35
= 2.92
12
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Variabile casuale di Bernoulli
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
E’ una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se
l’evento E si sia verificato o meno. E’ legata a prove di tipo dicotomico (o
dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo
(1) e insucesso (0)
V.C.
Ipergeometrica
P (X = x) = px (1 − p)1−x ∀i = 1, . . . , n
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p
la varianza della distribuzione di Bernoulli var(X) = p ∗ (1 − p)
A. Iodice ()
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Variabile casuale Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema
successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero
si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque
V.C. Bernoulli
P (X = x) =
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
n
x
px (1 − p)n−x ∀i = 1, . . . , n
ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed
n − x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p × p × . . . × p = px
probabilità di ottenere x successi e la probabilità
(1 − p) × (1 − p) × . . . × (1 − p) = (1 − p)n−x di ottenere (n − x) insuccessi.
nota
Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di
prove) palline da un’urna che ne contiene H: si considera che nell’urna ci siano b
palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde all’esreazione di una
b
pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H
.
A. Iodice ()
Statistica
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Variabile casuale Binomiale
Statistica
il valore atteso della distribuzione Binomiale è
A. Iodice
V.C. uniforme
E(X) = np
V.C. Bernoulli
la varianza della distribuzione Binomiale
V.C.
Binomiale
var(X) = np ∗ (1 − p)
V.C.
Ipergeometrica
la asimmetria della distribuzione Binomiale
V.C. binomiale
negativa
1 − 2p
asymm(X) = p
np(1 − p)
V.C. di
Poisson
la curtorsi della distribuzione Binomiale
kurt(X) = 3 +
A. Iodice ()
Statistica
1 − 6p + 6p2
np(1 − p)
Statistica
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Variabile casuale Binomiale: esercizio 2
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo
una v.c. Binomiale. Determinare i parametri della v.c. , indicare inoltre la media
e la varianza.
Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari.
V.C.
Ipergeometrica
I parametri della distribuzione sono n = 10 e
p = P (E2 ∪ E4 ∪ E6 ) = 16 + 16 + 16 = 12
Media e varianza sono rispettivamente
E(X) = np = 10 × 12 = 5 e var(X) = 10 × 12 ×
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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1
2
= 2.5
Statistica
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Variabile casuale Binomiale: esercizio 3
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l’80% è rappresentato da
cittadini italiani. Il successo consiste nell’estrarre dal campione un cittadino
straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato più
volte).
Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo?
V.C.
Binomiale
Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità?
V.C.
Ipergeometrica
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
Qual’è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri?
Svolgimento
I parametri della distribuzione sono n = 25; l’80% dei 200 individui
considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi
p = 0.2
Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 25 × 0.2 = 5 e
var(X) = 25 × 0.2 × 0.8 = 4
A. Iodice ()
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Variabile casuale Binomiale: esercizio 3
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
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Statistica
24 / 55
Variabile casuale Binomiale: esercizio 3
Statistica
Qual’è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri?
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
Dunque P (4 ≤ X ≤ 7) = F (7) − F (3) = 0.6568
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
25 / 55
Andamento V.C. Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
26 / 55
Andamento V.C. Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
27 / 55
Andamento V.C. Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
28 / 55
Andamento V.C. Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
29 / 55
Andamento V.C. Binomiale
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
30 / 55
Variabile casuale Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
La V.C. ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza che l’estrazione avviene
senza ripetizione. Anche in questo caso si estraggono n (numero di prove) palline da un’urna che ne contiene
H: si considera che nell’urna ci siano b palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde
b .
all’estrazione di una pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H
La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
P (X = x) =
V.C.
Binomiale
b H−b
x n−x
H
n
il valore atteso e la varianza della distribuzione Ipergeometrica sono rispettivamente,
V.C.
Ipergeometrica
E(X) = np , var(X) = np(1 − p)
V.C. binomiale
negativa
H−n
H−1
asimmetria della distribuzione Ipergeometrica
V.C. di
Poisson
asym(X) = q
1 − 2p
H − 2n
H−2
np(1 − p) H−n
H−1
curtosi della distribuzione Ipergeometrica
(H − 1)(H + 6)
H(H − 1)(H + 1)
+
×
(H − 2)(H − 3)
(H − n)(H − 2)(H − 3)
1
6H
n(H − n)
×
1−
p(1 − p) +
np(1 − p)
H+1
H2
kurt(X) = 3
A. Iodice ()
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31 / 55
Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4
Statistica
A. Iodice
Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta
di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al
massimo una difettosa.
V.C. uniforme
Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di
schede madri?
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con
quale variabilità?
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
Svolgimento
V.C. di
Poisson
I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono:
n = 100 × 15 = 20 corrispondente al numero di schede
ispezionate
b = 5 numero di schede difettose nel lotto
H = 100 numero di schede nel lotto
A. Iodice ()
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Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4
Statistica
Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di
schede madri?
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20
schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque
V.C.
Binomiale
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
P (X = 0) =
b H−b
x n−x
H
n
P (X = 1) =
b H−b
x n−x
H
n
V.C. di
Poisson
=
5 100−5
0
20−0
100
20
= 0.3193
=
5 100−5
1
20−1
100
20
= 0.4201
da cui
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.3193 + 0.4201 = 0.7394
A. Iodice ()
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33 / 55
Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4
Statistica
A. Iodice
Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con
quale variabilità?
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Sia p =
V.C.
Binomiale
b
H
=
5
100
= 0.05
il valore atteso è ,
E(X) = np = 20 × 0.05 = 1
V.C.
Ipergeometrica
la varianza è
V.C. binomiale
negativa
var(X) = np(1 − p)
V.C. di
Poisson
80
H −n
= 20 × 0.05 × 0.95 ×
= 0.7676
H −1
99
la deviazione standard è
p
√
var(X) = 0.7676 = 0.8761
A. Iodice ()
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Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4
Statistica
Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di
ripartizione)
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
35 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
36 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
37 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
38 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
39 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
40 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
41 / 55
Andamento V.C. Ipergeometrica
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
42 / 55
Variabile casuale Binomiale Negativa
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
La variabile casuale che modellizza il numero di prove , secondo lo schema
successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero
si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella
singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque
x − 1
P (X = x) =
pk (1 − p)x−k ∀x = k, k + 1 . . .
k−1
La funzione di probabilità della binomiale negativa è data dal prodotto tra la probabilità p associata al
k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k − 1 successi nelle x − 1 prove
precedenti. La probabilità di ottenere k − 1 successi in x − 1 prove si calcola con una v.c. binomiale di
parametri ((x − 1), p). Formalmente
P (X = x) = p ×
V.C. di
Poisson
x − 1
pk−1 (1 − p)(x−1)−(k−1) =
k−1
{z
}
|
Bin(x−1,p)
x − 1
=
p × pk−1 (1 − p)(x−1−k+1) =
k−1
x − 1
=
pk (1 − p)x−k
k−1
|
{z
}
negBin(k,p)
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Variabile casuale Binomiale Negativa
Statistica
il valore atteso della distribuzione Binomiale Negativa è
A. Iodice
E(X) = k
V.C. uniforme
1
p
V.C. Bernoulli
la varianza della distribuzione Binomiale Negativa è
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
var(X) = k
V.C. binomiale
negativa
1−p
p2
la asimmetria della distribuzione Binomiale Negativa è
V.C. di
Poisson
asymm(X) = p
2−p
k(1 − p)
la curtorsi della distribuzione Binomiale Negativa è
kurt(X) = 3 +
A. Iodice ()
Statistica
6
p2
+
k
k(1 − p)
Statistica
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Variabile casuale Binomiale Negativa
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
45 / 55
Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Una v.c. X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato
evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di Poisson se la
corrispondente funzione di massa di probabilità è
V.C.
Ipergeometrica
P (X = x) = e−λ
λx
x!
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della
distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell’unità di tempo
considerata
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson: esempi
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana
n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale
V.C.
Ipergeometrica
n. di globuli rossi per mm3 di sangue di un certo paziente
n. di bombe cadute per km2 a Londra durante la seconda guerra mondiale
V.C. binomiale
negativa
n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson
Statistica
il valore atteso della distribuzione Poisson è
A. Iodice
V.C. uniforme
E(X) = λ
V.C. Bernoulli
la varianza della distribuzione Poisson è
V.C.
Binomiale
var(X) = λ
V.C.
Ipergeometrica
la asimmetria della distribuzione Poisson è
V.C. binomiale
negativa
1
asymm(X) = √
λ
V.C. di
Poisson
la curtorsi della distribuzione Poisson è
kurt(X) = 3 +
A. Iodice ()
Statistica
1
λ
Statistica
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Andamento Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Andamento Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Andamento Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Andamento Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Andamento Variabile Casuale di Poisson
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
V.C.
Ipergeometrica
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson: esercizio 1
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana
sull’autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual’è la probabilità che la prossima
settimana ci sia almeno un incidente?
V.C.
Binomiale
Svolgimento
V.C.
Ipergeometrica
La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro
λ = 1.2, formalmente X ∼ P oi(λ = 1.2).
V.C. binomiale
negativa
V.C. di
Poisson
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−λ
= 1 − e−1.2
A. Iodice ()
λx
1.20
= e−1.2
x!
0!
1
= 1 − 0.3012 = 0.6988
1
Statistica
Statistica
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Variabile Casuale di Poisson: esercizio 2
Statistica
A. Iodice
V.C. uniforme
V.C. Bernoulli
V.C.
Binomiale
Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al
mese.
Qual’è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi?
Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi?
Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi?
Svolgimento
La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 4, formalmente
X ∼ P oi(λ = 4).
V.C.
Ipergeometrica
P (X = 0) = 1 − e
−λ
λx
x!
=e
−4
40
0!
= 0.018
V.C. binomiale
negativa
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
V.C. di
Poisson
=e
−4
40
0!
+e
−4
41
1!
−4
+e
42
2!
= 0.018 + 0.073 + 0.146 = 0.273
P (X > 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] =
"
#
0
1
2
3
−4 4
−4 4
−4 4
−4 4
=1− e
+e
+e
+e
=
0!
1!
2!
3!
= 1 − [0.018 + 0.073 + 0.146 + 0.195] = 0.568
A. Iodice ()
Statistica
Statistica
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