Statistica - Esercitazione 10
annuncio pubblicitario
Statistica A. Iodice V.C. uniforme Statistica V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Esercitazione 10 V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa Alfonso Iodice D’Enza [email protected] V.C. di Poisson Università degli studi di Cassino A. Iodice () Statistica Statistica 1 / 55 Outline Statistica A. Iodice V.C. uniforme 1 V.C. uniforme 2 V.C. Bernoulli 3 V.C. Binomiale 4 V.C. Ipergeometrica 5 V.C. binomiale negativa 6 V.C. di Poisson V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 2 / 55 Variabile casuale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Una variabile casuale (v.c.) una funzione misurabile e a valori reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una v.c. una regola che associa ad ogni evento un numero reale. V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 3 / 55 Esempi di variabile casuale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario Ω = (E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 ), possibile definire diverse variabili casuali: V.C. Binomiale X :numero della faccia uscita V.C. Ipergeometrica X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10 Y = {−7, −4, −1, 2, 5, 8} A. Iodice () Statistica Statistica 4 / 55 probabilità e variabili casuali Statistica A. Iodice V.C. uniforme Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile casuale X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova sono V.C. Bernoulli V.C. Binomiale X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T, T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT, V.C. Ipergeometrica CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC} V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson I valori della variabile casuale X corrispondenti agli eventi sono X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0} i valori che la v.c. X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}. A. Iodice () Statistica Statistica 5 / 55 probabilità e variabili casuali Statistica Le probabilità associate ai valori della variabile casuale sono A. Iodice P (X = 0) = P (CCCC) = V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale P (X = 1) = P (T CCC ∪ CT CC ∪ CCT C ∪ CCCT ) = V.C. Ipergeometrica = P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+ 4 + P (CCCT ) = 16 V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson 1 16 P (X = 2) = P (T T CC ∪ T CCT ∪ CT T C ∪ CCT T ∪ ∪ T CT C ∪ CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+ P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+ 6 + P (CT CT ) = 16 A. Iodice () Statistica Statistica 6 / 55 probabilità e variabili casuali Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale P (X = 3) = P (CT T T ∪ T CT T ∪ T T CT ∪ T T T C) = P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+ 4 + P (T T CT ) = 16 V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson P (X = 4) = P (T T T T ) = A. Iodice () Statistica 1 16 Statistica 7 / 55 Distribuzione di probabilità di una v.c. Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle v.c. possibile riassumere i risultati nel seguente modo V.C. Binomiale xi 0 1 2 3 4 V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica pi 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 Statistica 8 / 55 Distribuzione di probabilità di una v.c. Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile casuale X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio l’evento A: escono almeno 3 teste 4 1 5 + = 16 16 16 Analogamente l’evento B: escono fino a 2 teste P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) = P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = A. Iodice () Statistica 1 4 6 11 + + = 16 16 16 16 Statistica 9 / 55 Distribuzione di probabilità di una v.c. Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli una variabile casuale si definisce discreta se mette in corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme finito o numerabile di numeri reali V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa una variabile casuale si definisce continua se essa può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 10 / 55 Distribuzione di probabilità di una v.c. Statistica A. Iodice La distribuzione di probabilità di una v.c. discreta data da V.C. uniforme xi x1 x2 ... xi ... V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson pi p1 p2 ... pi ... Perchè sia ben specificata la v.c. discreta deve soddisfare i postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che pi ≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . e che +∞ X pi = 1 i=1 A. Iodice () Statistica Statistica 11 / 55 Funzione di ripartizione per v.c. discrete Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. discreta calcolata nel punto x0 data da X pi F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) = x≤x0 V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson Caratteristiche di F (x) La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 ≤ F (x) ≤ 1 A. Iodice () Statistica Statistica 12 / 55 Distribuzione di probabilità di una v.c. Statistica A. Iodice V.C. uniforme La funzione di ripartizione associata alla variabile casuale numero di teste nella prova lancio di quattro monete V.C. Bernoulli xi 0 1 2 3 4 V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa pi 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 F (xi ) 1/16 5/16 11/16 15/16 16/16 V.C. di Poisson Nota Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della v.c. X. A. Iodice () Statistica Statistica 13 / 55 Rappresentazioni di v.c. discrete Statistica A. Iodice Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una v.c. discreta si ricorre al diagramma ad aste V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 14 / 55 Rappresentazioni di v.c. discrete Statistica A. Iodice La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 15 / 55 Variabile casuale uniforme Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Una variabile casuale X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n se assume valori su un insieme finito x1 , x2 , . . . , xn e la sua funzione di probabilità la seguente V.C. Ipergeometrica P (X = xi ) = 1 ∀i = 1, . . . , n n V.C. binomiale negativa la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = V.C. di Poisson la varianza della distribuzione uniforme var(X) = A. Iodice () Statistica n+1 2 n2 −1 12 Statistica 16 / 55 Variabile casuale uniforme Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Svolgimento V.C. Ipergeometrica la media o valore atteso della distribuzione uniforme = 6+1 = 3.5 E(X) = n+1 2 2 V.C. binomiale negativa la varianza della distribuzione uniforme 2 2 −1 −1 var(X) = n 12 = 6 12 = 35 = 2.92 12 V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 17 / 55 Variabile casuale uniforme Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale All’esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Svolgimento V.C. Ipergeometrica la media o valore atteso della distribuzione uniforme = 6+1 = 3.5 E(X) = n+1 2 2 V.C. binomiale negativa la varianza della distribuzione uniforme 2 2 −1 −1 var(X) = n 12 = 6 12 = 35 = 2.92 12 V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 18 / 55 Variabile casuale di Bernoulli Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale E’ una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se l’evento E si sia verificato o meno. E’ legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo (1) e insucesso (0) V.C. Ipergeometrica P (X = x) = px (1 − p)1−x ∀i = 1, . . . , n V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p la varianza della distribuzione di Bernoulli var(X) = p ∗ (1 − p) A. Iodice () Statistica Statistica 19 / 55 Variabile casuale Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque V.C. Bernoulli P (X = x) = V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson n x px (1 − p)n−x ∀i = 1, . . . , n ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed n − x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p × p × . . . × p = px probabilità di ottenere x successi e la probabilità (1 − p) × (1 − p) × . . . × (1 − p) = (1 − p)n−x di ottenere (n − x) insuccessi. nota Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di prove) palline da un’urna che ne contiene H: si considera che nell’urna ci siano b palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde all’esreazione di una b pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H . A. Iodice () Statistica Statistica 20 / 55 Variabile casuale Binomiale Statistica il valore atteso della distribuzione Binomiale è A. Iodice V.C. uniforme E(X) = np V.C. Bernoulli la varianza della distribuzione Binomiale V.C. Binomiale var(X) = np ∗ (1 − p) V.C. Ipergeometrica la asimmetria della distribuzione Binomiale V.C. binomiale negativa 1 − 2p asymm(X) = p np(1 − p) V.C. di Poisson la curtorsi della distribuzione Binomiale kurt(X) = 3 + A. Iodice () Statistica 1 − 6p + 6p2 np(1 − p) Statistica 21 / 55 Variabile casuale Binomiale: esercizio 2 Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo una v.c. Binomiale. Determinare i parametri della v.c. , indicare inoltre la media e la varianza. Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari. V.C. Ipergeometrica I parametri della distribuzione sono n = 10 e p = P (E2 ∪ E4 ∪ E6 ) = 16 + 16 + 16 = 12 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 10 × 12 = 5 e var(X) = 10 × 12 × V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica 1 2 = 2.5 Statistica 22 / 55 Variabile casuale Binomiale: esercizio 3 Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l’80% è rappresentato da cittadini italiani. Il successo consiste nell’estrarre dal campione un cittadino straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato più volte). Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo? V.C. Binomiale Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità? V.C. Ipergeometrica Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson Qual’è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri? Svolgimento I parametri della distribuzione sono n = 25; l’80% dei 200 individui considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi p = 0.2 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = 25 × 0.2 = 5 e var(X) = 25 × 0.2 × 0.8 = 4 A. Iodice () Statistica Statistica 23 / 55 Variabile casuale Binomiale: esercizio 3 Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 24 / 55 Variabile casuale Binomiale: esercizio 3 Statistica Qual’è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri? A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson Dunque P (4 ≤ X ≤ 7) = F (7) − F (3) = 0.6568 A. Iodice () Statistica Statistica 25 / 55 Andamento V.C. Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 26 / 55 Andamento V.C. Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 27 / 55 Andamento V.C. Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 28 / 55 Andamento V.C. Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 29 / 55 Andamento V.C. Binomiale Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 30 / 55 Variabile casuale Ipergeometrica Statistica A. Iodice La V.C. ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza che l’estrazione avviene senza ripetizione. Anche in questo caso si estraggono n (numero di prove) palline da un’urna che ne contiene H: si considera che nell’urna ci siano b palline bianche e H − b palline nere, il successo corrisponde b . all’estrazione di una pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = H La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è V.C. uniforme V.C. Bernoulli P (X = x) = V.C. Binomiale b H−b x n−x H n il valore atteso e la varianza della distribuzione Ipergeometrica sono rispettivamente, V.C. Ipergeometrica E(X) = np , var(X) = np(1 − p) V.C. binomiale negativa H−n H−1 asimmetria della distribuzione Ipergeometrica V.C. di Poisson asym(X) = q 1 − 2p H − 2n H−2 np(1 − p) H−n H−1 curtosi della distribuzione Ipergeometrica (H − 1)(H + 6) H(H − 1)(H + 1) + × (H − 2)(H − 3) (H − n)(H − 2)(H − 3) 1 6H n(H − n) × 1− p(1 − p) + np(1 − p) H+1 H2 kurt(X) = 3 A. Iodice () Statistica Statistica 31 / 55 Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4 Statistica A. Iodice Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al massimo una difettosa. V.C. uniforme Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) Svolgimento V.C. di Poisson I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono: n = 100 × 15 = 20 corrispondente al numero di schede ispezionate b = 5 numero di schede difettose nel lotto H = 100 numero di schede nel lotto A. Iodice () Statistica Statistica 32 / 55 Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4 Statistica Qual’è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20 schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque V.C. Binomiale P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa P (X = 0) = b H−b x n−x H n P (X = 1) = b H−b x n−x H n V.C. di Poisson = 5 100−5 0 20−0 100 20 = 0.3193 = 5 100−5 1 20−1 100 20 = 0.4201 da cui P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.3193 + 0.4201 = 0.7394 A. Iodice () Statistica Statistica 33 / 55 Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4 Statistica A. Iodice Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? V.C. uniforme V.C. Bernoulli Sia p = V.C. Binomiale b H = 5 100 = 0.05 il valore atteso è , E(X) = np = 20 × 0.05 = 1 V.C. Ipergeometrica la varianza è V.C. binomiale negativa var(X) = np(1 − p) V.C. di Poisson 80 H −n = 20 × 0.05 × 0.95 × = 0.7676 H −1 99 la deviazione standard è p √ var(X) = 0.7676 = 0.8761 A. Iodice () Statistica Statistica 34 / 55 Variabile casuale Ipergeometrica: esercizio 4 Statistica Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 35 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 36 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 37 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 38 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 39 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 40 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 41 / 55 Andamento V.C. Ipergeometrica Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 42 / 55 Variabile casuale Binomiale Negativa Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa La variabile casuale che modellizza il numero di prove , secondo lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque x − 1 P (X = x) = pk (1 − p)x−k ∀x = k, k + 1 . . . k−1 La funzione di probabilità della binomiale negativa è data dal prodotto tra la probabilità p associata al k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k − 1 successi nelle x − 1 prove precedenti. La probabilità di ottenere k − 1 successi in x − 1 prove si calcola con una v.c. binomiale di parametri ((x − 1), p). Formalmente P (X = x) = p × V.C. di Poisson x − 1 pk−1 (1 − p)(x−1)−(k−1) = k−1 {z } | Bin(x−1,p) x − 1 = p × pk−1 (1 − p)(x−1−k+1) = k−1 x − 1 = pk (1 − p)x−k k−1 | {z } negBin(k,p) A. Iodice () Statistica Statistica 43 / 55 Variabile casuale Binomiale Negativa Statistica il valore atteso della distribuzione Binomiale Negativa è A. Iodice E(X) = k V.C. uniforme 1 p V.C. Bernoulli la varianza della distribuzione Binomiale Negativa è V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica var(X) = k V.C. binomiale negativa 1−p p2 la asimmetria della distribuzione Binomiale Negativa è V.C. di Poisson asymm(X) = p 2−p k(1 − p) la curtorsi della distribuzione Binomiale Negativa è kurt(X) = 3 + A. Iodice () Statistica 6 p2 + k k(1 − p) Statistica 44 / 55 Variabile casuale Binomiale Negativa Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 45 / 55 Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Una v.c. X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di Poisson se la corrispondente funzione di massa di probabilità è V.C. Ipergeometrica P (X = x) = e−λ λx x! V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell’unità di tempo considerata A. Iodice () Statistica Statistica 46 / 55 Variabile Casuale di Poisson: esempi Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale V.C. Ipergeometrica n. di globuli rossi per mm3 di sangue di un certo paziente n. di bombe cadute per km2 a Londra durante la seconda guerra mondiale V.C. binomiale negativa n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 47 / 55 Variabile Casuale di Poisson Statistica il valore atteso della distribuzione Poisson è A. Iodice V.C. uniforme E(X) = λ V.C. Bernoulli la varianza della distribuzione Poisson è V.C. Binomiale var(X) = λ V.C. Ipergeometrica la asimmetria della distribuzione Poisson è V.C. binomiale negativa 1 asymm(X) = √ λ V.C. di Poisson la curtorsi della distribuzione Poisson è kurt(X) = 3 + A. Iodice () Statistica 1 λ Statistica 48 / 55 Andamento Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 49 / 55 Andamento Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 50 / 55 Andamento Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 51 / 55 Andamento Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 52 / 55 Andamento Variabile Casuale di Poisson Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale V.C. Ipergeometrica V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson A. Iodice () Statistica Statistica 53 / 55 Variabile Casuale di Poisson: esercizio 1 Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana sull’autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual’è la probabilità che la prossima settimana ci sia almeno un incidente? V.C. Binomiale Svolgimento V.C. Ipergeometrica La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 1.2, formalmente X ∼ P oi(λ = 1.2). V.C. binomiale negativa V.C. di Poisson P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−λ = 1 − e−1.2 A. Iodice () λx 1.20 = e−1.2 x! 0! 1 = 1 − 0.3012 = 0.6988 1 Statistica Statistica 54 / 55 Variabile Casuale di Poisson: esercizio 2 Statistica A. Iodice V.C. uniforme V.C. Bernoulli V.C. Binomiale Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al mese. Qual’è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi? Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi? Qual’è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi? Svolgimento La variabile casuale in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 4, formalmente X ∼ P oi(λ = 4). V.C. Ipergeometrica P (X = 0) = 1 − e −λ λx x! =e −4 40 0! = 0.018 V.C. binomiale negativa P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = V.C. di Poisson =e −4 40 0! +e −4 41 1! −4 +e 42 2! = 0.018 + 0.073 + 0.146 = 0.273 P (X > 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = " # 0 1 2 3 −4 4 −4 4 −4 4 −4 4 =1− e +e +e +e = 0! 1! 2! 3! = 1 − [0.018 + 0.073 + 0.146 + 0.195] = 0.568 A. Iodice () Statistica Statistica 55 / 55
