programma di algebra lineare

PROGRAMMA DI ALGEBRA LINEARE
Modulo 1 del corso di Matematica Generale
CdL in Management e Marketing
A.A. 2013/2014
Prof. Luca Ferrari
[email protected]
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Lo spazio vettoriale Rn. Operazioni con i vettori: somma, differenza, prodotto per uno
scalare. Gli spazi R2 e R3 e loro rappresentazione cartesiana. Punti, rette, piani in R2 e in R3:
equazioni cartesiane e parametriche.
Combinazione lineare di vettori e lineare indipendenza fra vettori. Spazio vettoriale
generato da un insieme finito di vettori. Base di uno spazio vettoriale. Esempi di sottospazi
vettoriali e affini. Base e dimensione di un sottospazio.
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite e loro interpretazione geometrica. Sistemi
possibili e impossibili. Numero delle soluzioni di un sistema lineare e dimensione dello
spazio delle soluzioni di un sistema lineare.
Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Operazioni elementari
per righe, matrici a scala per righe e matrici equivalenti per righe. Algoritmo di Gauss e suo
utilizzo per la risoluzione dei sistemi lineari.
Operazioni elementari per righe e lineare indipendenza fra vettori. Estrazione di un
sottoinsieme di generatori linearmente indipendenti da un insieme di generatori e suo
completamento ad una base.
Rango di una matrice e sue proprietà. Relazioni fra il rango della matrice dei coefficienti e il
rango della matrice completa di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Relazioni
fra il rango delle matrici associate ad un sistema lineare e la dimensione dello spazio delle
sue soluzioni. Utilizzo del metodo di Gauss e del teorema di Rouché-Capelli per la
risoluzione di sistemi lineari e di problemi geometrici ad essi riconducibili.
Sistemi lineari omogenei e loro proprietà. Relazioni fra lo spazio delle soluzioni di un
sistema lineare e lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo ad esso associato.
Algebra delle matrici: operazioni di addizione, sottrazione, prodotto per uno scalare e
prodotto fra matrici. Proprietà delle operazioni fra matrici. Elementi neutri: matrice nulla e
matrice identità. Operazioni elementari e matrici elementari.
Matrice inversa di una matrice quadrata e sue proprietà. Condizioni necessarie e sufficienti
per l’invertibilità di una matrice quadrata. Metodo di Gauss-Jordan e suo utilizzo per la
determinazione dell’inversa di una matrice. Matrice trasposta e sue proprietà.
Definizione di determinante di una matrice quadrata e sua interpretazione geometrica.
Definizione ricorsiva di determinante. Proprietà del determinante. Relazioni fra il
determinante di una matrice quadrata ed il suo rango. Rango di una matrice come
massimo ordine dei minori con determinante non nullo.
Autovalori e autovettori di una matrice quadrata: definizione ed interpretazione
geometrica. Proprietà di autovalori e autovettori. Autospazio relativo ad un autovalore.
Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore.
Metodi per la determinazione degli autovalori di una matrice e degli autospazi associati.