Momento Magnetico dei Nucleoni nei Modelli a Quarks

Università degli Studi di Pisa
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Momento Magnetico dei Nucleoni nei
Modelli a Quarks
Relatore:
Chiar.mo Prof.
Michele Viviani
Candidato:
Domenico Tallarico
Anno Accademico 2010-11
Indice
1 Introduzione
1.1 Il modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Caratteristiche di base . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Evidenze sperimentali . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Il problema del colore e la funzione d’onda dei barioni
1.3 Ulteriori note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Carica di colore nell’interazione forte . . . . . .
1.3.2 Confinamento dei quarks negli adroni . . . . .
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3
3
3
4
4
5
5
5
2 Funzione d’onda Spin×Flavour dei barioni
2.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Flavour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funzioni d’onda Spin×Flavour . . . . . . .
2.3.1 Stati S . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Stati A . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Stati ρ e λ . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
8
10
10
10
11
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di quark
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12
12
16
18
19
19
21
4 M.I.T. bag model
4.1 L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Giustificazione euristica dell’equazione di Dirac
4.1.2 Equazione di Dirac in potenziale generico . . .
4.1.3 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . .
4.2 Equazione di Dirac in potenziale centrale . . . . . . .
4.3 Momento magnetico di un quark in potenziale centrale
4.4 Momento magnetico dei nucleoni . . . . . . . . . . . .
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23
23
23
25
25
26
30
32
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3 Modello a quarks costituenti
3.1 L’oscillatore armonico a tre corpi . . . . . . .
3.2 Stati N = 0, 1, 2 e loro simmetrie per scambio
3.3 La funzione d’onda totale dei nucleoni . . . .
3.4 Il momento magnetico dei nucleoni . . . . . .
3.4.1 Il neutrone . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Il protone . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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Capitolo 1
Introduzione
1.1
1.1.1
Il modello a quark
Caratteristiche di base
Gli adroni sono modellizzabili come stati legati di particelle si spin S = 12 chiamate quarks e antiquarks. Esistono in natura sei tipi di quarks (q) classificabili
con un numero quantico detto ”flavour” i cui possibili valori sono up (u), down
(d), strange (s), charm (c), top (t) e bottom (b). Associati ai quarks, gli antiquarks (q̄) hanno le medesime caratteristiche dei primi eccetto carica, stranezza
e numero barionico uguali ed opposti.
Gli adroni possono essere suddivisi in due tipi di particelle: i mesoni sistemi q q̄
di spin S = 12 ⊗ 12 = 1 ⊗ 0 e i barioni sistemi qqq di spin S = 21 ⊗ 12 ⊗ 12 = 32 ⊗ 12 .
In questo elaborato ci occuperemo di barioni e in particolare di quelli ottenuti
dalla composizione dei quarks di flavour u, d ed s. Le caratteristiche di questi
ultimi sono riassunte nella tabella (1.1).
Tali barioni possono essere raggruppati in un decupletto e in un ottetto (figure
F lavour
u
d
s
T3
+ 12
− 12
0
Carica
+ 23
− 13
− 13
Stranezza
0
0
−1
Tabella 1.1: Caratteristiche salienti dei quarks u, d e s
1.1), diagrammi in funzione della carica Q (o equivalentemente della proiezione
dell’operatore di isopin T3 ) e della stranezza. Da queste figure sono immediatamente deducibili alcune caratteristiche dei barioni. Per esempio dalla figura
(1.1) si evince che il barione ∆++ deve essere non strano quindi combinazione
esclusivamente di u e d, ma la carica deve essere +2e quindi d è escluso. Lo
stato in termini di quarks deve essere dunque uuu consistente peraltro con la
richiesta di T3 = +3/2 .
3
4
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Figura 1.1: Nella figura a sinistra è rappresentato il decupletto barionico costituito
dai barioni di spin S = 32 ; a destra l’ottetto barionico costituito da barioni di spin
S = 12
1.1.2
Evidenze sperimentali
La prima questione che emerge è se i quarks siano realmente i costituenti fondamentali degli adroni oppure siano soltanto un conveniente espediente matematico per descriverne la struttura interna. Da esperimenti di scattering inelastico
di elettroni e neutrini ad alta energia (tra 1GeV a 100GeV ) su nucleoni emerge
come i quarks siano realmente esistenti.
Si usano elettroni e neutrini perchè sono leptoni e quindi l’interazione con i
quarks è ben spiegata dal Modello Standard. Da qui la possibilità di estrarre
informazioni sulla struttura dei nucleoni. In particolare dagli urti elastici e− −N
si ricavano i fattori di forma, legati in maniera diretta alle distribuizioni di carica
elettrica e di momento magnetico del nucleone.
Le alte energie degli esperimenti sono necessarie per garantire una lunghezza d’onda di de Broglie piccola rispetto alle dimensioni tipiche del nucleone
(circa 1f m). Per esempio ponendo per un elettrone con energia E =
p
(pc)2 + (me c2 )2 ' 10GeV si ha per la lunghezza d’onda di de Broglie
λ= √
E2
hc
' 4π10−2 f m
− me c2
che è piccola rispetto al raggio del nucleone.
L’obiettivo di questi esperimenti di diffusione è stato quello di misurare l’energia e la distribuzione angolare delle particelle diffuse dai nucleoni, da cui si
sono potute dedurre le caratteristiche degli oggetti colpiti. È emerso che
• un nucleone contiene 3 oggetti puntiformi;
• gli oggetti puntiformi hanno spin 1/2;
• gli oggetti hanno carica elettrica frazionaria di +2/3 e -1/3 (in unità di
e).
1.2
Il problema del colore e la funzione d’onda
dei barioni
In prima battuta la funzione d’onda di un barione sarà
ψ = ψspin ψspace ψf lavour
1.3. ULTERIORI NOTE
5
dove ogni fattore descrive un particolare attributo della funzione d’onda.
Nel caso di ∆++ (1232) = uuu la funzione d’onda di flavour è, come già abbiamo
osservato, uuu simmetrica per ogni scambio di coppie di quarks. Essendo la
particella ∆ uno dei barioni più leggeri, supponiamo che i tre quarks siano nello
stato spaziale di minore energia, che ragionevolmente possiamo pensare come
uno stato totalmente simmetrico con L = 0. I tre quarks quindi saranno in
uno stato di spin S = 23 per esempio | 23 , + 32 i =↑↑↑ . Quanto detto sembra
violare la richiesta di antisimmetria della funzione d’onda dei fermioni, essendo
ψspin =↑↑↑ e ψspace entrambe simmetriche.
Potremmo anche porre, nell’ambito di un modello a shell, due quarks nel
livello fondamentale L = 0 con spin antiparalleli ( principio di Pauli) e un quark
nel livello di valenza a L = 1, ottenendo cosı̀ J∆++ = jval = L+S = 1⊕ 21 = 32 ⊕ 12 :
J = 32 è riproducibile ma non la parità essendo Π = Π3u (−1)1 = −1.
La difficoltà rappresentata dalla simmetria della funzione d’onda della ∆++
può essere superata assegnando una nuova proprietà ai quarks che per convenzione è chiamata colore. Se questo nuovo numero quantico assumesse uno tra
tre possibili valori (per esempio R red, G green, B blue), risulterebbe possibile
ripristinare la validità del Principio di Pauli. Infatti se si scrive la funzione
d’onda di un qualunque barione nella forma
ψ = ψspace ψspin ψf lavour ψcolour
(1.1)
si può imporre che ψcolor sia antisimmetrica per scambio di una qualunque
coppia di quarks, costruendola mediante il determinante di Slater. Si ottiene
1
ψcolor = √ [RGB + BRG + GBR − RBG − BGR − GRB]
6
(1.2)
che è antisimmetrica ovviando in tal modo alla questione precedentemente posta.
1.3
1.3.1
Ulteriori note
Carica di colore nell’interazione forte
Le forze tra i quarks possono essere modellizzate come forze di scambio, mediate
da particelle di massa nulla e spin 1 chiamate gluoni. Il campo che lega i quarks
è un campo di colore. Il colore non è soltanto un numero quantico correttivo
per la statistica dei quarks negli adroni ma ricopre lo stesso ruolo che la carica
elettrica ha nell’interazione elettromagnetica.
1.3.2
Confinamento dei quarks negli adroni
Ulteriore fatto degno di nota che verrà preso successivamente come ipotesi di
lavoro è il forte confinamento dei quarks negli adroni. L’interazione tra quarks
infatti è schematicamente approssimabile come crescente con la distanza, proprio come per due masse collegate da una molla. Per deconfinare i quarks
bisogna fornire energia crescente con la distanza. Se si vogliono separare due
quarks q1 e q2 , l’energia per farlo raggiunge livelli cosı̀ elevati da permettere la
creazione di mesoni q1 q¯1 e q2 q¯2 . Con un tale meccanismo è impossibile ottenere
quarks q1 e q2 liberi.
Capitolo 2
Funzione d’onda
Spin×Flavour dei barioni
Nei barioni la funzione d’onda ha la forma in (1.1) e deve essere totalmente
antisimmetrica per scambio di una coppia di quarks. Per garantire ciò abbiamo
sottolineato nel capitolo precendente che la parte di colore deve essere totalmente antisimmetrica. Questo implica che il resto della funzione d’onda contenente
i fattori di spin, flavour e spaziale, deve essere simmetrico. Classificheremo
dunque le simmetrie di permutazione degli stati tenendo in mente la precedente
restrizione, partendo con i gradi di libertà di spin, passando a quelli di flavour
e considerando infine la composizione dei due. La parte spaziale sarà oggetto di
studio del capitolo 3.
2.1
Spin
Tre quarks di spin S = 12 possono essere composti in modo da formare stati di
spin totale Stot = 32 o Stot = 21 .
Gli stati Stot = 32 sono quattro ed ovviamente corrispondono ai quattro valori
di Sz possibili. La funzione d’onda di spin di questi stati è simmetrica (indice
S). Scriveremo gli stati Stot = 23 esplicitandoli in termini degli spinori di Pauli
| 12 , + 12 i =↑ e | 12 , − 12 i =↓. Lo stato | Stot , Sz i =| 23 , 32 i è
χS3 , 3 =↑↑↑ ,
2 2
mentre lo stato | Stot ,Sz i =|
3
3
2 ,− 2 i
è
χS3 ,− 3 =↓↓↓ .
2
3
1
2, −2i
2
3 1
2, 2i
Gli stati |
e|
si ottengono dalla composizione degli stati S = 1
ed S = 12 . Dai coefficienti di Clebsch-Gordan 1 ⊗ 12 (figura (2.1)) si vede che
r
1
2
S
χ 3 , 1 = √ χ1,1 χ 12 ,− 12 +
χ1,0 χ 12 , 12 =
2 2
3
3
r
1
2 ↑↓↑ + ↓↑↑
√
(
= √ (↑↑↓) +
)=
3
3
2
6
2.1. SPIN
7
1
= √ (↑↑↓ + ↑↓↑ + ↓↑↑)
3
mentre
r
1
2
χ 3 ,− 1 = √ χ1,−1 χ 21 , 12 +
χ1,0 χ 12 ,− 21 =
2
2
3
3
r
2 ↑↓↓ + ↓↑↓
1
√
√
=
(↓↓↑) +
(
)=
3
3
2
S
1
= √ (↓↓↑ + ↑↓↓ + ↓↑↓).
3
Ci sono inoltre due tipi di stati con Stot =
1
2
caretterizzati da simmetrie che
Figura 2.1: A sinistra i coefficienti di Clebsh-Gordan 1 × 12 ; a destra quelli 1 × 1.
identificheremo con gli indici ρ e λ.
χρ è ottenuto dalla composizione degli spin di due quarks S12 = 0, accoppiata
con lo stato S = 21 del terzo quark per dare Stot = 21 . Per i due valori di Sz
possibili si ottiene
χρ1 ,+ 1
2
=
χ0,0 χ 12 ,+ 12 =
=
1
√ (↑↓ − ↓↑) ↑
2
2
(2.1)
mentre
χρ1 ,− 1
2
2
= χ0,0 χ 12 ,− 12 =
=
1
√ (↑↓ − ↓↑) ↓
2
(2.2)
che sono antisimmetrici per scambio delle particelle 1 e 2, mentre gli altri
possibili scambi non presentano alcuna simmetria evidente.
Gli stati a simmetria mista di tipo λ si ottengono per composizione di S12 = 1
ed S3 = 21 a formare uno stato Stot = 12 . Gli stati con Sz = ± 21 sono
r
χλ1 ,+ 1
2
=
2
=
=
r
2
1
1 1
1
| 1, 1i | − i −
| 1, 0i | i =
3
2 2
3
2
r
r
2
1 ↑↓ + ↓↑
(↑↑↓) −
( √
) ↑=
2
3
2
r
1
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)
6
(2.3)
(2.4)
8
CAPITOLO 2. FUNZIONE D’ONDA SPIN×FLAVOUR DEI BARIONI
e
r
r
1
2
1 1
1 1
χ 1 ,− 1 =
| 1, 0i | , − i −
| 1, −1i | , + i =
2
2
3
2 2
3
2 2
r
r
1 ↑↓ + ↓↑
2
( √
)↓−
↓↓↑=
= =
3
3
2
r
1
= −
(2 ↓↓↑ − ↓↑↓ − ↑↓↓).
6
λ
(2.5)
(2.6)
Le (2.3) e (2.5) sono state ottenute dai coefficienti di Clebsch-Gordan 1 ⊗ 21 in
figura (2.1).
Le (2.4) e (2.6) sono invarianti per scambio dei quarks 1 e 2 mentre non hanno
simmetrie evidenti per altri scambi.
Riportiamo di seguito come le funzioni d’onda di spin a simmetria ρ e λ appena
ricavate, si trasformano per scambio dei quarks 1 e 3 (simbolicamente S13 ) e
dei quarks 2 e 3 (simbolicamente S23 ). Verrà osservato che tali relazioni sono
generalizzabili a opportuni stati di flavour e funzioni d’onda spaziali tanto da
poter essere prese come definizione delle simmetrie di tipo ρ e λ; si ottiene
√
1 λ
3 ρ
λ
(χ 1 ,m ) ,
(2.7)
S13 (χ 1 ,m ) = − (χ 1 ,m ) −
2
2
2
2√
2
1
3 λ
(χ 1 ,m ) + (χρ1 ,m ) ,
S13 (χρ1 ,m ) = −
(2.8)
2
2
2
2
2
√
1
3 ρ
(χ 1 ,m ) ,
S23 (χλ1 ,m ) = − (χλ1 ,m ) +
(2.9)
2
2
2
2
√2
3 λ
1
S23 (χρ1 ,m ) =
(χ 1 ,m ) − (χρ1 ,m ) .
(2.10)
2
2
2
2 2
Siccome ogni quark può essere ↑ oppure ↓ ci sono 23 stati in un sistema a
tre quarks come i barioni. Gli stati da noi trovati sono effettivamente 8; 4
corrispondenti alla simmetria di tipo S e 2 per ogni simmetria mista ρ e λ. Essi
sono inoltre ortonormali per costruzione quindi rappresentano un set completo
per generare le funzioni d’onda di spin dei barioni.
2.2
Flavour
Si considerino i consueti 3 quarks ognuno dei quali può assumere uno dei tre
flavours, u, d o s. In questo caso le funzioni d’onda possibili saranno 33 = 27.
Ci proponiamo però di costruire una base per la funzione d’onda di flavour che
oltre a essere ortonormale rispecchi anche le simmetrie già caratterizzate per le
funzioni d’onda di spin nel precedente paragrafo.
Siccome stiamo considerando tre quarks e tre flavours, esiste uno stato stato
antisimmetrico ottenibile similmente a quanto fatto per la funzione d’onda di
colore in equazione (1.2); quindi
r
1
A
(uds + sud + dsu − usd − sdu − dus).
φ =
6
È evidente che i tre stati con tutti i tre quarks con lo stesso flavour uuu, ddd ed
sss sono invarianti per scambio di ogni coppia appartenendo pertanto alla classe
2.2. FLAVOUR
9
di simmetria di tipo S. Osserviamo inoltre che 6 stati a simmetria S possono
essere costruiti a partire da udd, uss, duu, dss suu e sdd simmetrizzando ognuno
di essi. Ne riportiamo uno a titolo di esempio:
φS =
udd + dud + udd
√
.
3
Infine simmetrizzando lo stato con tutti i tre flavour distinti uds si ottiene
uds + usd + dus + dsu + sud + sdu
√
φS =
.
6
Ci sono in tutto 10 stati totalmente simmetrici. Essi corrispondono necessariamente agli stati di flavour del decupletto barionico rappresentati in figura (1.1).
A basse energie vale infatti Jtot = Stot = 32 . Le funzioni d’onda di spin e spaziale sono dunque totalmente simmetriche. Per ottenere l’antisimmetria totale
è necessario pertanto che la parte di flavour sia simmetrica.
Restano 16 stati che è possibile costruire con simmetrie di tipo ρ e λ.
Per farlo mutueremo quanto visto per gli stati di spin, osservando che alle coppie (u, d), (d, s), (s, u) è possibile associare una rappresentazione irriducibile di
SU (2). Ognuno di questi doppietti quindi trasformerà come il doppietto di spin
↑ e ↓. Ciò è chiaro nel caso di protone (p) e neutrone (n), ottenibili dalla composizione di (u, d) .
Gli stati di isospin 12 = 21 ⊗ 0 a simmetria ρ sono
r
1
ρ
(ud − du)u ,
(2.11)
φp =
2
r
1
φρn =
(ud − du)d
(2.12)
2
e gli stati
1
2
=
1
2
⊗ 1 a simmetria λ sono
r
1
λ
φp =
(2uud − udu − duu) ,
6
r
1
φλn = −
(2ddu − dud − udd) .
6
(2.13)
(2.14)
Gli stati (2.11) e (2.13) trasformano per scambio 1-2 e 1-3 come visto nel caso
delle funzioni d’onda di spin con le relazioni (2.7), (2.8) e (2.9), (2.10). Similmente ciò avviene per le (2.12) e le (2.14). Quindi altri 8 stati a simmetria mista
(4 ρ e 4 λ) possono essere costruiti effettuando le sostituzioni (u, d) ↔ (d, s) e
(u, d) ↔ (s, u) nelle funzioni d’onda di flavour per i nucleoni appena ricavate. Si
ottengono cosı̀ 4 coppie ognuna delle quali è corrispondente a una determinata
configurazione strana (u, u, s) o (d, d, s) e ciascuna delle quali ha uno stato a
simmetria ρ e uno simmetria λ. È possibile associare ciascuna delle quattro
coppie ai quattro vertici ”strani” dell’ottetto in figura (1.1).
Restano quattro stati di flavour e cioè due coppie del tipo (u, d, s), corrispondenti ai due barioni al centro dell’ottetto in figura (1.1). La coppia di stati
corrispondente al barione Σ0 è
φρΣ0
=
φλΣ0
=
1
√ [2(ud − du)s + (us − su)d − (ds − sd)u]
12
1
[sud − sdu − dsu + usd]
2
(2.15)
(2.16)
10
CAPITOLO 2. FUNZIONE D’ONDA SPIN×FLAVOUR DEI BARIONI
mentre quella corrispondente al barione Λ è
φρΛ
=
φλΛ
=
1
[usd − sud + dsu − sdu]
2
1
√ [2(usd + dus) − (dsu + usd + sdu + sud)].
12
(2.17)
(2.18)
La ragione per la quale gli stati di flavour a simmetria mista sono attribuibili ai
barioni dell’ottetto risiede nel fatto che queste particelle sono caratterizzate da
Jtot = 21 . Supponendo di nuovo che la parte spaziale sia simmetrica con L = 0,
nella funzione d’onda entreranno gli stati di spin con S = 21 che hanno simmetria
mista, come abbiamo già visto. L’unico modo per ottenere funzioni d’onda
totalmente antisimmetriche è quello di considerare opportune combinazioni di
stati di spin e flavour a simmetria mista. Tali combinazioni verranno prese in
considerazione nel paragrafo che segue.
2.3
Funzioni d’onda Spin×Flavour
Assunta la classificazione già effettuata per le funzioni d’onda di spin e flavour separatamente, riportiamo le forme della base per le funzioni d’onda di
spin×flavour (si veda anche [1] a pag. 37). Conteremo quanti stati corrispondono a queste forme. Per verificare a quale simmetria corrisponde ognuna delle
forme è utile conoscere le trasformazioni degli stati a simmetria ρ e λ per scambio di quarks riportate in (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10).
2.3.1
Stati S
Possiamo combinare i quattro stati simmetrici di spin (Stot = 32 ) con i dieci
stati di flavour per ottenere quaranta stati simmetrici nello spazio degli spin e
dei flavour. Inoltre, combinando gli stati di spin con simmetrie di tipo ρ e λ,
possono essere ottenuti altri stati simmetrici con Stot = 12 della forma
χρ φρ + χλ φλ .
(2.19)
Tenendo conto delle trasformazioni da (2.7) a (2.10) non è difficile provare esplicitamente che la combinazione (2.19) è totalmente simmetrica rispetto a tutti
i possibili scambi delle tre particelle. Questi gli stati della forma (2.19) sono
2 × 8 = 16, e quindi gli stati simmetrici sono in tutto
40 + 16 = 56.
2.3.2
Stati A
Gli stati a simmetria mista possono essere composti a formare combinazioni
antisimmetriche della forma
χρ φλ − χλ φρ
che sono in tutto 2 × 8 = 16.
A questi si aggiungono gli stati ottenuti combinando l’unico stato antisimmetrico
di flavour con i quattro stati simmetrici di spin. In totale gli stati antisimmetrici
sono
4 + 16 = 20.
2.3. FUNZIONI D’ONDA SPIN×FLAVOUR
2.3.3
11
Stati ρ e λ
Sottraendo dalle 33 × 23 = 216 possibili funzioni d’onda di Spin×Flavour le
56 funzioni d’onda simmetriche e le 20 funzioni d’onda antisimmetriche restano
140 stati necessariamante a simmetria mista. Vediamo di seguito come essi si
equipartiscono in 70 stati per ciascuna delle due simmetrie ρ e λ.
Per la simmetria di tipo ρ, 2 × 10 = 20 funzioni d’onda sono della forma χρ φS ,
4 × 8 = 32 della forma χS φρ al quale corrispondono gli stati λ come è facile
intuire dalla simmetria dei singoli fattori.
Esistono altri due stati a simmetria ρ della forma −χρ φA .
Infine ricordiamo le combinazioni della forma
r
1 ρ λ
(χ φ + χλ φρ )
(2.20)
2
che sono 16. In tutto quindi abbiamo
20 + 32 + 16 + 2 = 70
stati.
Similmente si ottengono i 70 stati a simmetria λ i quali hanno le forme χλ φS ,
χS φλ , −χλ φA e
r
1 ρ ρ
(χ φ − χλ φλ ).
(2.21)
2
Si considerino gli stati della forma (2.20) e (2.21). Le simmetrie di permutazione
per i primi due quarks sono immediatamente verificabili. Scrivendo esplicitamente come si trasformano gli stati di spin e di flavour di entrambe le forme sotto
i rimanenti scambi di quarks, non è difficile dimostrare che le funzioni d’onda in
(2.20) e (2.21) si trasfomano tra di loro come effettivamente prescritto per gli
stati a simmetria ρ e λ.
Capitolo 3
Modello a quarks
costituenti
Nel capitolo precedente abbiamo classificato le possibili funzioni d’onda di
spin×flavour dei barioni in base a considerazioni di simmetria. In questo capitolo ci proponiamo di completare la descrizione della funzione d’onda ricavandone
la parte spaziale. In particolare useremo un modello basato su una semplice
idea: penseremo l’interazione tra i tre quarks fortemente confinati nei barioni
come del tipo oscillatore armonico (si veda anche [1], paragrafo (1.5)).
Questo modello è non relativistico: le masse dei quarks sono parametri fissati
a circa un terzo della massa del barione che ”costituiscono”. Ma una particella di massa mq , localizzata in una sfera di raggio R, per l’indeterminazione
quantistica ha momento p ' R1 ; il limite non relativistico di energia cinetica
hT i << mq equivalente pertanto a mq R >> 1, nel caso per esempio dei nucleoni (mq ' 300M eV e R ' 1f m) non è pienamente verificato (mq R ' 1.5).
Malgrado ciò tramite questo modello molto semplice possono essere calcolate
con un accettabile grado di precisione talune caratteristiche estremamente interessani di alcuni barioni (si veda [1] a pag. 38).
In questo elaborato ci serviremo del modello a quarks costituenti per stimare il
rapporto tra i momenti magnetici dei nucleoni è molto vicino a quello predetto
dai dati sperimentali.
3.1
L’oscillatore armonico a tre corpi
La base con la quale costruiremo la parte spaziale della funzione d’onda dei
barioni è lo spettro dall’hamiltoniano
3
H0 =
1
1 2 1 X
(p21 + p22 ) +
p + K
(ri − rj )2 .
2m
2m0 3 2 i<j
(3.1)
È stato assunto che i quarks 1 e 2 abbiano la stessa massa m e il quark 3
la massa m0 . La differenza di massa tra i quark u e d è stata ignorata. Per i
nucleoni e gli stati ∆ (settore non strano), m0 = mu ; per Λ e Σ, m0 = ms ; per
particelle di stranezza −2 m = ms , m0 = mu ; infine per particelle composte da
12
3.1. L’OSCILLATORE ARMONICO A TRE CORPI
13
3 quarks s come l’Ω− , m = m0 = ms . Il potenziale armonico che rende conto
del confinamento dei quarks nei barioni è inoltre indipendente dallo stato di
flavour.
Introduciamo il cambio di coordinate dette di Jacobi :
ρ
=
λ
=
Rcm
=
1
√ (r1 − r2 ),
2
1
√ (r1 + r2 − 2r3 ),
6
1
[m(r1 + r2 ) + m0 r3 ].
2m + m0
Si considerino i vettori appena definiti. La coordinata ρ è antisimmetrica per
scambio delle coordinate dei primi due quarks mentre trasforma similmente alle
(2.10) e (2.8) per gli altri scambi. La λ è simmetrica per scambio delle coordinate dei primi due quarks e trasforma similmente alle (2.7) e (2.9) per gli altri
scambi. Da quanto appena detto segue che il vettore ρ è a simmetria di tipo ρ
e il vettore λ trasforma come gli oggetti di tipo λ.
Siano λi e ρj con i, j = 1, 2, 3, le coordinate cartesiane dei vettori rispettivamente λ e ρ. Le quantità λi ρj e 12 (ρi ρj − λi λj ) sono la prima antisimmetrica
e la seconda simmetrica per scambio dei primi due quarks. Per altri scambi si trasformano le une nelle altre: in particolare λi ρj trasforma come ”ρ” e
1
2 (ρi ρj − λi λj ) trasforma come ”λ”, come può essere verificato semplicemente
scrivendo come diventano le singole coordinate per scambio di quarks 1-3 e 2-3.
3mm0
Definiamo M = 2m + m0 , mρ = m ed mλ = 2m+m
0 e i momenti coniugati alle
coordinate di Jacobi:
pρ
= mρ ρ̇,
pλ
= mλ λ̇
Pcm
= M Ṙcm .
Scrivendo r1 , r2 ed r3 in funzione delle coordinate di Jacobi, si ottiene (si veda
[1] a pag.39)
H0 = (
pλ 2
Pcm 2
pρ 2
3
3
.
+ Kρ2 ) + (
+ Kλ2 ) +
2mρ
2
2mλ
2
2M
(3.2)
dove pρ ≡| pρ |, pλ ≡| pλ |, ρ ≡| ρ | e λ ≡| λ |. La potenza di questo metodo
sta proprio nel fatto che introducendo le coordinate di Jacobi nell’Hamiltoniana
(3.1) questa diventa somma di due oscillatori armonici indipendenti più il termine di energia cinetica relativo al centro di massa. Quest’ultimo termine non
gioca alcun ruolo nella caratterizzazione dinamica dello spettro dei barioni dal
momento che rappresenta lo spostamento del centro di massa. Infatti siccome
le forze sono tutte interne al sistema dei tre quarks, l’impulso relativo al centro
di massa si conserva e può essere preso per comodità nullo.
Se l’operatore hamiltoniano di un sistema è somma di hamiltoniani indipendenti, la base che diagonalizza l’hamiltoniano totale può essere costruita a partire
dal prodotto delle basi in cui gli hamiltoniani che la compogno sono diagonali.
Sia infatti
Htot (ρ, λ) = H1 (ρ) + H2 (λ)
14
CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI
e poniamo H1 ψn (ρ) = En ψn e H2 φm = Em φm con ψn e φm autofunzioni
rispettivamente di H1 e H2 ; quindi
(H1 + H2 )ψn φm
= φm (H1 ψn ) + ψn (H2 φm )
=
(En + Em )ψn φm .
(3.3)
Scegliendo come hamiltoniani H1 e H2 gli oscillatori armonici tridimensionali
indipendenti in parentesi tonda nell’hamiltoniana totale (3.2) e definendo le
frequenze
3K 1
3K 1
ωρ = (
) 2 e ωλ = (
)2
mρ
mλ
si ottiene
H1 =
p2
1
pλ 2
1
+ mρ (ωρ )2 ρ2 e H2 =
+ mλ (ωλ )2 λ2 .
2mρ
2
2mλ
2
(3.4)
Osserviamo che per i barioni non strani, siccome il quark u ha la stessa massa
1
2
del quark d, si ha ω = ωρ = ωλ = ( 3K
m ) .
In virtù di quanto appena visto la funzione d’onda spaziale è il prodotto dell’oscillatore nella variabile ρ e dell’oscillatore nella variabile λ.
I risultati riguardo lo spettro dell’oscillatore armonico tridimensionale che riporteremo in questo paragrafo, sono ampiamente e rigorosamente dimostrati
in vari testi di Meccanica Quantistica. Nel seguito useremo [2] come testo di
riferimento.
In Meccanica Quantistica l’equazione che descrive lo spettro dell’oscillatore
armonico tridimensionale di massa m è
Hψ = [−
h̄ 2 1
∇ + mωr2 ]ψ(r) = Eψ(r).
2m
2
(3.5)
Dal momento che il potenziale V (r) = 21 mω 2 r2 è a simmetria centrale, gli
operatori di momento angolare L2 ed Lz , mutuamente commutanti, commutano anche con l’Hamiltoniana H. Esiste pertanto una base che diagonalizza
simultaneamente i tre operatori. La scelta
ψklm = Rkl (r)Ylm (b
r)
(3.6)
Ylm
con
funzioni armoniche sferiche, diagonalizza simultaneamente gli operatori
L2 ed Lz . Sostituendo la funzione d’onda nella forma (3.6) in (3.5) si ottiene
l’equazione differenzile nel modulo della coordinata radiale per Rkl (r)
[−
h̄ 1 d2
1
l(l + 1)h̄2
2
r
+
mωr
+
]Rkl = Ekl Rkl (r)
2m r dr2
2
2mr2
risolvendo la quale è possibile determina gli autovalori
3
Ekl = h̄ω(k + l + )
2
(3.7)
con k interi pari e positivi ed l valori di momento angolare orbitale associato
alla variabile r. Per le equazioni agli autovalori (3.4) si ottiene che
Ekρ ,lρ
=
Ekλ ,lλ
=
3
h̄ω(kρ + lρ + ),
2
h
3
(kλ + lλ + )
2π
2
3.1. L’OSCILLATORE ARMONICO A TRE CORPI
15
Siccome Ekl dipende soltanto dalla somma N = k + l possiamo porre
3
= h̄ω(Nρ + ),
2
3
= h̄ω(Nλ + ).
2
ENρ
ENλ
In virtù della relazione (3.4) si ha
EN = h̄ω(N + 3)
(3.8)
con
N
= Nρ + Nλ
=
(2nρ + lρ ) + (2nλ + lλ )
(3.9)
avendo posto ki = 2ni con i = ρ, λ.
La strategia più semplice per ricavare le autofunzioni ψklm è a partire dalle
soluzioni dell’equazione di Schödinger unidimensionale per l’oscillatore armonico
H1D (ξ) = [
1
h̄2 d2
+ mω 2 ξ 2 ]φn (ξ) = En φn (ξ).
2
2m dξ
2
(3.10)
Questa ha autovalori Enξ = h̄ω(nξ + 21 ) e con autofunzioni
φn (ξ)
=
=
1 mω 2
1
h̄ n 1 mω 1 mω
d
(
) ]2 (
)4 [
ξ − ]n e− 2 h̄ ξ
2n n! mω
πh̄
h̄
dξ
α2 ξ 2
α2 1 1
e− 2 Hn (αξ)
( )4 √
π
2n n!
[
dove
Hn (ξ) = (−1)n eξ
2
dn −ξ2
e
dξ n
(3.11)
(3.12)
(3.13)
sono i polinomi di Hermite.
Osservando che l’hamiltoniano in (3.5) può essere scritto come H = H1D (x) +
H1D (y) + H1D (z), le autofunzioni ψ conseguentemente saranno scrivibili come
2
ψ = Ce−αr Hnx (x)Hny (y)Hnz (z) con autovalori En = h̄ω[(nx + ny + nz ) + 32 ].
La consistenza di quest’ultima con (3.7) impone
k + l = nx + ny + nz .
(3.14)
Da questa relazione e dalla richiesta di autostati della forma (3.6), per dati
k e l, è possibile determinare i polinomi di Hermite con i quali costruire le
autofunzioni dell’oscillatore armonico 3D. Riportiamo per comodità le funzioni
armoniche sferiche relative ad l = 1 (si veda [3] a pag. 221):
r
Y1,0
Y1,±1
3
cos θ
4π
r
3
= ∓
sin θe±iφ .
8π
=
(3.15)
(3.16)
16
3.2
CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI
Stati N = 0, 1, 2 e loro simmetrie per scambio
di quark
In questa sezione daremo qualche esempio di come si possano riprodurre le
simmetrie A, S, ρ e λ anche con la funzione d’onda spaziale del sistema a tre
quark. Denotando la funzione d’onda spaziale totale tramite ΨN L (ρ, λ), per lo
stato fondamentale ovviamente si ha N = 0 ed Lπ = 0+ :
Ψ00 S (ρ, λ) = ψ00 (ρ)ψ00 (λ)
Questa funzione d’onda è per lo stato fondamentale
3
S
Ψ00 = (
α2
π
3
4
)2 exp(−α2
ρ2 + λ2
)
2
(3.17)
1
dove α = (3km) 2 . Lo stato è simmetrico per scambio di qualunque
coppia
P
di particelle perchè dipende dalla combinazine ρ2 + λ2 = 13 i<j (ri − rj )2 .
Ponendo in (3.9) N = 1, gli stati possibili devono avere nρ = nλ = 0 e quindi
necessariamente Lπ = 1− :
Ψ11 ρ = ψ01 (ρ)ψ00 (λ),
Ψ11 λ = ψ00 (ρ))ψ01 (λ).
Questi stati sono a simmetria mista. Infatti, a parte fattori a simmetria sferica
ψ01 (ρ) è proporzionale a Y1 m (b
ρ) che trasforma come le componenti cartesiane
ρ. Nel primo paragrafo è stato osservato che tali componenti sono a simmetria
ρ. Similmente ciò avviene per ψ01 (λ) che trasforma come λ e quindi la simmetria è di tipo λ.
Per quanto riguarda N = 2 gli stati possibili hanno Lπ = 0+ , 1+ , 2+ .
Considerando sempre la (3.9), è facile osservare che due stati possibili compatibili con L = 0 sono ottenibili con le seguenti combinazioni di stati con lρ = lλ = 0
con nρ = 1 ed nλ = 0 oppure nρ = 0 ed nλ = 1:
1
Ψ20 S = − √ [ψ00 (ρ)ψ10 (λ) + ψ10 (ρ)ψ00 (λ)]
2
(3.18)
e
1
Ψ20 λ = √ [ψ00 (ρ)ψ10 (λ) − ψ10 (ρ)ψ00 (λ)].
(3.19)
2
Il primo stato eccitato dell’oscillatore armonico tridimensionale nella coordinata
spaziale r ha
r
3
2 2 2
r2
3 α2
α r ) exp(−α2 )
ψ200 (r) =
1 (1 −
2 π4
3
2
(vedi [2] a pag. 821). Quindi la (3.18) dipende dalla coordinata λ2 + ρ2 evidentemente simmetrica per scambio di quarks mentre la (3.19) è direttamente
proporzionale alla combinazione 12 (ρ2 − λ2 ) che è a simmetria λ per quanto osservato all’inizio del primo paragrafo.
Un’altro stato con L = 0 si può ottenere componendo gli stati lρ = lλ = 1 a
formare L = 0. Lo indicheremo simbolicamente tramite
Ψ20 ρ = −[ψ01 (ρ)ψ01 (λ)]L=0 .
3.2. STATI N = 0, 1, 2 E LORO SIMMETRIE PER SCAMBIO DI QUARK17
Per ψ01m , la relazione di consistenza (3.14) impone 1 = nx + ny + nz . Ciò
implica che la funzione d’onda ψ01 sarà dipendente dal prodotto di un polinomio
di Hermite di primo grado (vedi (3.13) con n=1) e da due polinomi di grado
zero. La Ψρ20 sarà dunque combinazione lineare di oggetti della forma ρi λj che
sono a simmetria ρ, per quanto detto nella precedente sezione.
Dalla 3.9 discende ancora che l’unico stato compatibile con la richiesta N = 2
ed L = 1 è ottenibile ponendo nρ = nλ = 0 ed lρ = lλ = 1. Lo indicheremo
simbolicamente tramite
Ψ21 A = [ψ01 (ρ)ψ01 (λ)]L=1 .
Utilizzando i coefficienti di Clebsh-Gordon 1 ⊗ 1 (riportati in figura (2.1))
ricaviamo la funzione d’onda per lo stato L = 1 ed m = 0 :
Ψ21 A
1
∝ ρλ √ [Y11 (ρ)Y1−1 (λ) − Y1−1 (ρ)Y11 (λ)] =
2
3
= −ρλ √ sin θλ sin θρ sin(φρ − φλ ) =
8π 2
3
√ (ρ × λ)z
=
8π 2
(3.20)
(3.21)
(3.22)
dove da (3.20) segue (3.21) tramite la sostituizione delle relazioni (3.15) e (3.16).
Dalla (3.22) discende che la simmetria dello stato è antisimmetrica : infatti
ρ×λ
=
=
1
1
√ (r1 − r2 ) × √ (r1 + r2 − 2r3 ) =
2
6
1
√ (r3 × r1 + r1 × r2 + r2 × r3 )
3
che è evidentemente antisimmetrica per scambio di ogni coppia di quarks dall’anticommutatività del prodotto vettore.
I soli stati compatibili con N = 2 ed L = 2, come la (3.9) ci suggerisce, sono nρ = nλ = 0 e tre accoppiamenti di lρ ed lλ . Uno di essi è caratterizzato
lρ = 2 ed lλ = 0, e un altro da lρ = 0 ed lλ = 2. È conveniente considerare le
combinazioni simmetriche ed antisimmetriche:
1
Ψ22 S = − √ [ψ02 (ρ)ψ00 (λ) + ψ00 (ρ)ψ02 (λ)]
2
e
1
Ψ22 λ = √ [ψ02 (ρ)ψ00 (λ) − ψ00 (ρ)ψ02 (λ)].
2
Per ψ02 , dalla relazione di consistenza (3.14) segue 2 = nx + ny + nz . Questo
implica che per costruire ψ02m possiamo usare o il prodotto di un polinomio di
Hermite di secondo grado con due polinomi di grado zero oppure il prodotto di
due polinomi di primo grado con uno di grado nullo. Da ciò discende che ΨS22
in (3.2) è combinazione lineare di oggetti della forma ρi ρj + λi λj antisimmetrici
per scambio di qualunque coppia di quarks, mentre Ψλ22 in (3.2) è a simmetria
λ perchè è somma di oggetti della forma 12 (ρi ρj − λi λj ).
Esiste inoltre lo stato
Ψ22 ρ = −[ψ01 (ρ)ψ01 (λ)]L=2
che è evidentemente dipendente dalla combinazione lineare di oggetti a simmetria ρ, perchè della forma ρi λj .
18
CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI
3.3
La funzione d’onda totale dei nucleoni
Abbiamo sottolineato all’inizio di questa tesi la necessità che la funzione d’onda
dei barioni (esclusa la parte di colore) sia totalmente simmetrica per scambio
di ogni coppia di quarks. Avendo fatto vedere nella sezione precendente che è
possibile scrivere la funzione d’onda spaziale in una forma che abbia le stesse
simmetrie di scambio degli stati di spin×flavour, ci proponiamo adesso di determinare la forma delle funzioni d’onda totali di alcuni barioni prendendo le
combinazioni simmetrizzate di parte spaziale e di spin×flavour.
I nucleoni sono barioni non strani di spin S = 21 e isospin T = 12 . Le corrispondenti funzioni d’onda sono a simmetria mista, ρ o λ perchè appartengono
all’ottetto barionico.Nel precedente capitolo abbiamo sottolineato che la funzione d’onda di spin×flavour può assumere ogni tipo di simmetria a partire da
stati di spin e flavour a simmetria mista. Infatti riassumendo si hanno:
• 16 stati totalmente simmetrici della forma χρ φρ + χλ φλ ;
• 16 stati totalmente antisimmetrici della forma χρ φλ − χλ φρ ;
• 16 stati a simmetria ρ della forma χρ φλ + χλ φρ ;
• 16 stati a simmetria λ della forma χρ φρ − χλ φλ .
Dovendo la funzione d’onda essere simmetrica per scambio di ogni coppia di
quarks solo alcuni accoppiamenti tra le parti di spin×flavour elencate sopra e
la parte parte spaziale sono possibili. In particolare sono lecite le forme:
q
S
1
ρ ρ
λ λ
•
2 (χ φ + χ φ )ΨN L ;
•
1
ρ λ
2 [(χ φ
+ χλ φρ )ΨN L ρ + (χρ φρ − χλ φλ )ΨN L λ ];
•
q
ρ
1
ρ
2 (χ ΨN L
•
q
1
ρ λ
2 (χ φ
+ φλ ΨN L λ )χS ;
− χλ φρ )ΨN L A .
La prima forma è simmetrica perchè prodotto di funzioni d’onda simmetriche; la
seconda lo è perchè le combinazioni in parentesi tonda sono la prima a simmetria
ρ e la seconda a simmetria λ; la terza forma è simmetrica perchè la combinazione
in parentesi tonda è simmetrica; e infine la quarta forma lo è perchè prodotto
di combinazioni entrambe antisimmetriche.
Riportiamo le funzioni d’onda totali per i nucleoni utilizzando la prima forma
tra quelle appena elencate ed in particolare lo stato Ψ00S in (3.17) e gli stati
spin e flavour ormai consueti. Si ottiene per il protone
r
1 1
p
[ (2uud − udu − duu)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +
Ψtot
=
2 6
3
1
α2
ρ2 + λ2
+
(udu − duu)(↑↓↑ − ↓↑↑)]( 3 )2 exp(−α2
) (3.23)
2
2
π4
mentre per il neutrone
r
1 1
n
Ψtot
=
[− (2ddu − dud − udd)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +
2 6
3
1
α2
ρ2 + λ2
+
(udd − dud)(↑↓↓ − ↓↑↑ −)]( 3 )2 exp(−α2
). (3.24)
2
2
π4
3.4. IL MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI
19
In (3.23) ed (3.24) abbiamo considerato gli stati di proiezione massima dello
spin cioè Sz = + 12 .
3.4
Il momento magnetico dei nucleoni
L’operatore di momento magnetico per stati a momento angolare L = 0 come
nel caso di 3.23 ed 3.24 e nel limite non relativistico, è
µ=
X3 e i e
1
σ i , si = σi
2mi
2
i=1
con si operatore di spin per il quark i-esimo e σi il vettore che ha come componenti le 3 matrici di Pauli; ei = + 32 se il quark i-esimo è u , mentre ei = − 13 nel
caso che i quarks i-esimi siano d ed s.
In Meccanica Quantistica si usa identificare il momento magnetico di una particella con il valor medio sullo stato della componente-z dell’operatore appena
definito.
3.4.1
Il neutrone
Calcoliamo il momento magnetico del neutrone utilizzando la funzione d’onda
(3.24) e prendendone il valor medio di µz su di essa. Scriveremo in generale
hΨtot n | µz | Ψtot n i.
Osserviamo a questo punto che nella funzione d’onda è inclusa anche la parte
spaziale (vedi 3.17) sulla quale l’operatore µz non agisce. Il contibuto al valor
medio della parte spaziale sarà dunque:
Z
S
S
hΨ00 | Ψ00 i =
| Ψ00 S |2 d3 r1 d3 r2 d3 r3 = 1
(3.25)
per normalizzazione.
Ricordando che i quarks u e d hanno la stessa massa m, l’operatore di momento
magnetico µz è per il neutrone :
X3 ei e
σ iz
(3.26)
µnz =
2mi
i=1
dove l’indice z ci suggerisce che stiamo considerando la matrice di Pauli σ z .
Calcoliamo prima come lo stato di spin×flavour del neutrone si trasforma sotto
µnz (vedi (3.26)). Per semplicità è opportuno scrivere la funzione d’onda di
spin×flavour
r
1 1
n
Ψspin×f lavour =
[− (2ddu − dud − udd)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +
2 6
1
+
(udd − dud)(↑↓↑ − ↓↑↑)]
2
nella forma
r
Ψnspin×f lavour
=
1
1
{− [2ddu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) −
2
6
20
CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI
− dud(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) −
− udd(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)] +
1
+
[udd(↑↓↑ − ↓↑↑) −
2
− dud(↑↓↑ − ↓↑↑)]}.
(3.27)
In questa forma è facile intuire su quali spinori va applicata ognuna delle matrici
di Pauli in (3.26).
Facendo agire l’operatore (3.26) sulla (3.27) e ricordando che per definizione gli
spinori di Pauli diagonalizzano σ z con autovalori 1 per ↑ e −1 per ↓ si ottiene:
1
e
√ {− [2ddu(−8 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) −
6
6 2m
− udd(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↑↑↓)] +
1
+
[udd(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) −
2
− ddu(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑)]}.
(3.28)
µz | Ψnspin×f lavour i =
Per ottenere il momento magnetico del neutrone basta dunque proiettare la
funzione d’onda trasformata (3.28) sulla funzione d’onda fondamentale (3.27).
La proiezione di addendi contenenti parti di flavour distinte è ovviamente nulla,
per via dell’ortogonalità degli stati u e d; se invece le parti di flavour sono uguali
si ottiene per esempio:
huud | uudi = 1
per normalizzazione.
Per non appesantire troppo la notazione non distingueremo con alcuna parentesi lo stato bra (per esempio h↑↑↓|) dallo stato ket (per esempio |↑↑↓i) ma
per convenzione assumeremo che in ogni addendo la parentesi tonda a sinistra
rappresenti i bra cioè gli stati di spin provenienti dalla (3.27) quella a destra
rappresenti i ket cioè gli stati di spin provenienti da (3.28).
Tenendo in mente le regole esposte sopra si ottiene:
hµnz i =
+
−
+
+
+
+
−
+
e 1
[ (2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(−8 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +
12m 9
1
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ +4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +
36
1
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +
12
1
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +
36
1
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +
12
1
(↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +
12
1
(↑↓↑ − ↓↑↑)(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) −
4
1
(↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ +4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +
12
1
(↑↓↑ − ↓↑↑)(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑)].
(3.29)
4
3.4. IL MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI
21
Le stesse regole di proiezione valgono per gli stati di spin (danno contributo
soltanto le triplette di spinori identiche). Si ottiene pertanto
µnz
1
1
1
e 1
[ (−16 + 2 + 2) + (8 − 4 + 2) − (4 + 2) + (8 + 2 − 4) +
12m 9
36
12
36
1
1
1
1
1
+
(−2 − 4) + (−2 − 4) + (2 − 4) − (4 + 2) + (−4 + 2)] =
12
12
4
12
4
2 e
= − (
).
(3.30)
3 2m
=
3.4.2
Il protone
Tenendo in mente che il protone ha due quarks u e un d, l’operatore di momento
magnetico è
X3 ei e
µpz =
σ iz
(3.31)
2mi
i=1
Ci proponiamo di calcolarne il valor medio sullo stato (3.23). Anche per il
protone vale quanto visto per la parte spaziale del neutrone (vedi (3.25)). La
funzione d’onda di spin×flavour per il protone è
r
1 1
p
[ (2uud − udu − duu)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +
Ψspin×f lavour =
2 6
1
+
(udu − duu)(↑↓↑ − ↓↑↑)],
(3.32)
2
o equivalentemente nella forma
r
Ψpspin×f lavour
1 1
[ [2uud(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) −
2 6
− udu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) −
=
− duu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)] +
1
[udu(↑↓↑ − ↓↑↑) − duu(↑↓↑ − ↓↑↑)].
+
2
(3.33)
Applicando l’operatore (4.49) alla funzione d’onda (3.33) si ottiene
e
1
√ { [2uud(10 ↑↑↓ + ↑↓↑ + ↓↑↑) +
6m 2 6
+ udu(2 ↑↑↓ −5 ↑↓↑ − ↓↑↑) +
µpz | Ψpspin×f lavour i =
+ duu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ +5 ↓↑↑)] +
1
+
[udu(5 ↑↓↑ + ↓↑↑) +
2
+ duu(↑↓↑ +5 ↓↑↑))}.
(3.34)
Proiettiamo adesso la funzione d’onda trasformata 3.34 sulla funzione d’onda
dello stato di protone 3.33, come fatto per 3.29. Si ottiene
hµz p i =
e 1
{ (2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(10 ↑↑↓ +5 ↑↓↑ + ↓↑↑) −
12m 9
22
CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI
−
+
+
−
=
1
1
5
1
5
(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)( ↑↑↓ + ↑↓↑ − ↓↑↑ + ↑↓↑ +
6
3
6
6
2
1
1
1
1
5
1
↓↑↑) − (2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)( ↑↑↓ − ↑↓↑ + ↓↑↑ + ↑↓↑ +
2
6
3
6
6
2
1
2
5
5
1
5
↓↑↑) + (↑↓↑ − ↓↑↑)( ↑↑↓ + ↑↓↑ − ↓↑↑ + ↑↓↑ + ↓↑↑) −
2
2
6
6
2
2
1
1
5
1
5
1
(↑↓↑ − ↓↑↑)( ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑ + ↑↓↑ + ↓↑↑)} =
2
3
6
6
2
2
e
e
{2 + 3 + 1} =
.
(3.35)
12m
2m
Il rapporto tra 3.29 e 3.35 è
hµz n i
2
=−
p
hµz i
3
indipendente dal valore della massa m.
Il rapporto sperimentale è di
hµz n i
≈ −0.68
hµz p i
molto vicino al valore teorico di − 23 .
(3.36)
Capitolo 4
M.I.T. bag model
Nella breve introduzione al precedente capitolo abbiamo mostrato che non è
pienamente legittimo considerare i quarks nei barioni come non relativistici.
L’equazione di Dirac garantisce invece la consistenza del quadrimpulso k µ dei
fermioni relativistici con la relazione di dispersione k µ kµ = m2 valida per qualunque particella. L’equazione di Dirac è inoltre covariante, cioè non cambia in
forma per cambiamenti di sistema di riferimento inerziale (si veda a tal proposito [4], capitolo 2).
In questo capitolo si intruduce in maniera euristica l’equazione di Dirac, tramite
la quale è possibile descrivere un modello a quarks relativistico per i barioni: il
modello a ”borsa”. L’idea che sta alla base di tale modello è molto semplice:
per render conto del confinamento dei quarks nei barioni i fisici dell’M.I.T. introdussero nell’equazione di Dirac una buca di potenziale a simmetria sferica.
Applicheremo tale modello ai nucleoni stimandone, come fatto nel capitolo precedente, il rapporto tra i momenti magnetici di neutrone e protone e pervenendo
agli stessi risultati.
4.1
4.1.1
L’equazione di Dirac
Giustificazione euristica dell’equazione di Dirac
In questo paragrafo ci proponiamo di fornire qualche argomento euristico a
favore della validità dell’equazione di Dirac.
Partiamo dall’equazione di Shrödinger
−
h̄2 2
∇ ψ + V (r)ψ = i∂t ψ
2m
(4.1)
la quale può essere ottenuta dall’Hamiltoniana classica
p2
+ V (r) = E
2m
tramite le seguenti tipiche prescrizioni della Meccanica Quantistica:
E
→ i∂t
(4.2)
p
→
(4.3)
23
−i∇.
24
CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL
Similmente, data la relazione energia impulso
E 2 − p2 c2 = m2 c4
(4.4)
nota dalla relatività ristretta, effettuando le sostituizioni (4.2) e (4.3) otteniamo
l’equazione di Klein-Gordon
∇2 ψ −
1 2
mc 2
∂ ψ=(
) ψ
c2 t
h̄
che può essere scritta nella notazione più compatta
∂ µ ∂µ ψ = −(
mc 2
) ψ
h̄
(4.5)
dove abbiamo posto ∂ µ ≡ (∂t , −∇) e ∂µ ≡ (∂t , ∇).
Consistentemente con le (4.2) e (4.3) e ponendo da ora in avanti h̄ = c = 1, il
quadrimpulso pµ ≡ (E, p) è
pµ = i∂ µ
(4.6)
e quindi la (4.5) può essere riscritta come
pµ pµ ψ − m2 ψ = 0.
(4.7)
Considerando la precedente equazione, supponiamo adesso di volerla fattorizzare
(si veda [5] a pag. 215) e precisamente di voler trovare otto coefficienti in tutto,
β k e γ λ , tali che
pµ pµ ψ − m2 ψ
=
(β k pk + m)(γ λ pλ − m)ψ
=
β k pk γ λ pλ + m(−β k pk + γ λ pλ ) − m2 .
(4.8)
Dal confronto dei termini in m si evince che β k − λk = 0 ovvero β k = γ k .
Per concludere imponiamo adesso la consistenza del primo addendo della (4.8)
con il modulo del quadrimpulso. Esplicitando pµ pµ = γ k γ λ pk pλ si ha:
p20 − p21 − p22 − p23
= γ02 p20 + γ12 p21 + γ22 p22 + γ32 p23
− p0 p1 (γ0 γ1 + γ1 γ0 ) − p0 p2 (γ0 γ2 + γ2 γ0 ) −
− p0 p3 (γ0 γ3 + γ3 γ0 ) + p1 p2 (γ1 γ2 + γ2 γ1 ) +
+ p1 p3 (γ1 γ3 + γ3 γ1 ) + p2 p3 (γ2 γ3 + γ3 γ2 ).
(4.9)
Ora è facile rendersi conto che i γ µ non possono essere numeri (matrici 1 × 1):
ponendo infatti γ0 = 1 e γ j = i ∀j = 1, 2, 3 i termini misti della (4.9) non
scompaiono. Ipotizziamo dunque che i coefficienti γ µ siano in realtà matrici
n × n. Se prese con le seguenti proprietà
γ02 = 1 e γi2 = −1 ∀i = 1, 2, 3
(4.10)
{γµ , γν } = 0 ∀ µ 6= ν, ν, µ = 0, 1, 2, 3
(4.11)
le matrici γ µ soddisfano l’uguaglianza (4.9).
∀µ 6= ν , dalle regole di anticommutazione (4.11), si ottiene che det(γ ν γ µ ) =
det(−γ µ γ ν ) = (−1)d det(γ µ γ ν ); con d dimensione dello spazio sul quale le matrici agiscono. Siccome deve valere det(γ ν γ µ ) = det(γ µ γ ν ), d deve essere pari.
Per d = 2 esistono soltanto soltanto tre matrici indipendenti che soddisfano le
4.1. L’EQUAZIONE DI DIRAC
25
(4.10) e (4.11) e cioè le matrici di Pauli. Pertanto bisogna che sia d ≥ 4. Una
possibile scelta di matrici 4 × 4 soddisfacenti le (4.10) e (4.11), può essere quella
adottata in [4] a pag. 17 che prescive:
I 0
0
σ
γ0 =
,γ=
(4.12)
0 −I
−σ 0
con γ ≡ (γ1 , γ2 , γ3 ) e σ ≡ (σ1 , σ2 , σ3 ) le tre matrici di Pauli.
Vale ovviamente
γ0† = γ0
(4.13)
e fatto che le matrici di Pauli siano autoaggiunte discende che
γi† = −γi .
(4.14)
Considerando il secondo fattore della (4.8), (γµ pµ − m)ψ = iγµ ∂ µ = i(γ0 ∂t +
γ·) e notando che deve essere uguale a zero, otteniamo l’equazione di Dirac in
unità h̄ = c = 1 :
(iγµ ∂ µ − m)ψ = 0.
(4.15)
con ψ ≡ (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ) funzione d’onda di Dirac.
4.1.2
Equazione di Dirac in potenziale generico
Se si vuole introdurre nell’equazione di Dirac la dipendenza da un quadripotenziale Aµ ≡ (A0 , A) e da un potenziale scalare U questo è il modo per farlo (vedi
[Bhaduri]):
(iγµ ∂ µ − γ µ Aµ )ψ = (m + U )ψ.
(4.16)
Cercando soluzioni stazionarie della forma ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt , la 4.16 con
potenziale vettore A = 0 diventa
iγ · ∇ψ(x) + γ 0 (E − V0 )ψ(x) = (m + U )ψ(x).
Ponendo ora ψ(x) = (φ, χ) e ricordando la 4.3, si ottengono dall’equazione
precedente le due equazioni differenziali accoppiate:
σ · pχ + (m + U + V0 )φ
=
σ · pφ − (m + U − V0 )χ =
4.1.3
Eφ ,
(4.17)
Eχ.
(4.18)
Equazione di continuità
Prendendo l’hermitiano coniugato l’equazione (4.16) si ottiene esplicitamente
−i(∂t ψ † γ0† + ∂i ψ † γi† ) − ψ † (A0 γ0† − Ai γi† ) = (m + U )ψ †
dove è sottointesa la somma su indici ripetuti. Ricordando le propietà (4.13) e
(4.14) e moltiplicando a destra ambo i membri della precedente equazione per
γ0 si ottiene
−i(∂t ψ † γ0† − ∂i ψ † γi )γ0 − ψ † (A0 γ0 + Ai γi )γ0 = (m + U )ψ † γ0 .
26
CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL
Ricordando le relazioni di anticommutazione (4.11) e portando γ0 sotto il segno
di derivata si ha l’equazione aggiunta di Dirac
i(∂t ψ † γ0 − ∂i ψ † γi )γ0 + ψ † (A0 γ0 + Ai γi )γ0
= i∂µ (ψ † γ0 )γ µ + ψ † γ0 Aµ γ µ
= −(m + U )ψ † γ0
(4.19)
dove ψ̃ ≡ ψ † γ0 è la funzione d’onda aggiunta.
Definiamo adesso il quadrivettore corrente
j µ = ψ̃γ µ ψ.
(4.20)
Si ha che
i∂µ j µ = i∂µ (ψ̃γ µ ψ)
=
i(∂µ ψ̃)γ µ ψ + iψ̃γ µ (∂µ ψ)
=
−mψ̃ψ + mψ̃ψ + ψ̃γ µ Aµ ψ − ψ̃γ µ Aµ ψ = 0 ,
dove abbiamo usato l’equazione di Dirac (4.16) e la sua forma aggiunta (4.19).
∂µ j µ = 0
(4.21)
è la stessa di
∂µ j µ = ∂0 j 0 + ∂i j i = ∂t j 0 + ∇ · j = 0 ,
l’equazione di continuità.
4.2
Equazione di Dirac in potenziale centrale
Se i potenziali U e V0 nelle (4.17) ed (4.18) dipendono solo dal modulo della coordinata radiale, possiamo effettuare un’espansione in onde parziali della
funzione d’onda. Al contrario del caso non relativistico, il momento angolare
orbitale l non è un buon numero quantico anche nel caso di potenziale centrale.
Le quantità conservate sono J 2 , J3 ,l’energia E e K, con J è J = (l + 12 Σ) mentre
K è definito come K ≡ γ0 (Σ · l + 1). Σ indica le tre matrici 4 × 4 a blocchi
ognuna delle quali ha sui due blocchi diagonali una delle tre matrici di Pauli e
sulle antidiagonali zero.Separiamo adesso la parte radiale dalla parte angolare
nella funzione d’onda ψ ponendo:
!
j3
gk (r)Yjl
(b
r)
φ
ψjj3 (r) =
=
(4.22)
j3
χ
ifk (r)Yjl
r)
0 (b
dove per esempio
j3
Yjl
=
X
sz
1
r)χsz
(l, , j3 − sz , sz |j, j3 )Ylj3 −sz (b
2
(4.23)
j3
con sz = ± 21 . In modo del tutto analogo si ottiene Yjl
r).
0 (b
Studiamo l’operatore K. Vedremo che vale Kψ = −kψ, dalla quale discendono
le due equazioni bidimesionali
(σ · l + 1)φ =
−kφ
(σ · l + 1)χ =
kχ
4.2. EQUAZIONE DI DIRAC IN POTENZIALE CENTRALE
27
per come è definita Σ. Sia φ che χ sono autostati di l2 ma con autovalori distinti,
rispettivamente l(l + 1) e l0 (l0 + 1).Si ha che K 2 = j 2 + 21 con j = l + σ
2 . Infatti
K 2 = (σ · l + 1)2 = (σ · l)2 + 2σ · l + 1
ma
(σ · l)2
=
σi σj li lj = (δij + iijk σk )li lj =
i
= l2 + (ijk li lj + ijk li lj )σk =
2
i
1
= l2 + ijk iijm lm σk = l2 − 2δkm lm σk
2
2
che se sostituita nell’espressione per K 2 da
K 2 = l2 − σ · l + 2σ · l + 1 = l2 + σ · l +
1 3
1
+ = j2 + .
4 4
4
(4.24)
In termini di autovalori k quanto detto prima si traduce in
k 2 = j(j + 1) +
1
1
1
= (j + )2 ⇒ k = ±(j + ).
4
2
2
Ora invece
j 2 = l2 + σ · l +
3
3
1
⇒ l2 = j 2 − σ · l − = j 2 − K + ,
4
4
4
quindi
• se k = j + 12 allora applicando l2 a φ si ottiene l(l + 1) = j(j + 1) −
(j + 21 ) + 41 ⇒ l = k = j + 21 mentre applicandolo a χ si ha l0 (l0 + 1) =
j(j + 1) + (j + 12 ) + 41 ⇒ l0 = k − 1 = j − 12
• se k = −(j + 12 ) allora applicando l2 a φ si ottiene l(l + 1) = j(j + 1) +
(j + 21 ) + 14 ⇒ l = −(k + 1) = j − 12 mentre applicandolo a χ si ha
l0 (l0 + 1) = j(j + 1) + (j + 12 ) + 14 ⇒ l0 = −k = j + 21 .
Osservando le precedenti relazioni per gli autovalori del momento angolare orbitale si verifica immediatamente che l + l0 = 2j.
L’autovalore k dello stato fondamentale lo si ottiene imponendo j = 21 e quindi
k = ±1.
Consideriamo il termine σ · pφ nella (4.17). Osserviamo innanzi tutto che
(σ ·r)2
= r12 (r2 + iijk σk ri rj ) = 1. Si può scrivere pertanto
r2
j3
σ · pgk (r)Yjl
=
(σ · r)2
j3
σ · pgk (r)Yjl
;
r2
ma siccome (σ · r)(σ · p) = σi ri σj pj = r · p + iijk ri pj σk = r · p + iσ · l, vale
quindi
(σ · r)2
σ·r
j3
j3
σ · pgk (r)Yjl
= 2 [r · p + iσ · l]gk (r)Yjl
.
2
r
r
Siccome σ ·lφ = −(K + 1)φ e r·pφ = −ir·∇ = −ir∂r possiamo dunque scrivere
σ·r
gk
j3
j3
[r · p + iσ · l]gk (r)Yjl
= −i[∂r gk + (k + 1) ]σ · b
rYjl
.
r2
r
28
CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL
Non ci resta che capire come agisce σ · r sulla parte angolare della funzione
d’onda. Per farlo notiamo in primo luogo che
σ·r
r
=
=
=
1
2
(σx x + σy y + σz z) = [(S+ + S− )x + (S− − S+ )y + (Sz )z]
r
r
2
[(x − iy)S+ + (x + iy)S− + (z)Sz ]
rr
r
r
2π −1
2π 1
4π 0
2
Y1 S+ − 2
Y1 S− + 2
Y Sz
(4.25)
3
3
3 1
dove abbiamo usato S− ≡ (σx − iσy ) , S+ ≡ (σx + σy ) operatori rispettivamente
di discesa e di salita per gli autostati Sz ≡ σ2z , componente zeta dello spin; e
q
q
−1
1
x
b − ib
y = 2π
ed x
b + ib
y = 2π
3 Y1
3 Y1 (si veda [3]).
Dalla (4.23) discende
r
r
1
1
1 0
2 1
1
0
1
0
2
2
y 1 0 = Y0
Y1 (b
r)
+
Y1 (b
r)
.
, y11 = −
0
1
0
2
2
3
3
Utilizzando l’espressione per σ · b
r in (4.25) si ottiene dunque
1
1
σ ·b
rY 12 0 = −Y 12 1
2
2
che può essere generalizzata (si veda [1] a pag. 62 ) ottenendo
j3
j3
σ ·b
rYjl
= −Yjl
0
(4.26)
Considerando infine (4.18)
−i[∂r gk + (k + 1)
gk
j3
j3
j3
]σ · b
rYjl
− (m + U − V0 )fk (r)Yjl
0 = iEfk (r)Yjl0
r
e applicando la (4.26) si ottiene un’equazione per la parte radiale
∂r gk + (k + 1)
gk
− (m + U − V0 )fk = Efk .
r
(4.27)
Considerando la (4.17), si ottiene similmente a quanto fatto per (4.27), un’altra
equazione per la parte radiale:
∂r fk + (1 − k)
fk
− (m + U + V0 )gk = −Egk
r
(4.28)
Nell”’M.I.T. Bag Model”, si descrive il confinamento dei quarks nei barioni
introducendo nelle precedenti equazioni una buca di potenziale U (r) = U0 θ(r −
R), e considerando i quarks come aventi massa nulla. Per r ≤ R, dalla (4.27) si
ricavano le due relazioni
fk
=
fk0
=
1 0
gk
[g + (k + 1) ]
E k
r
1 00
gk
g0
[gk − (k + 1) 2 + (k + 1) k ].
E
r
r
(4.29)
Sostituendole nella (4.28) si ottiene l’ equazione differenziale
gk00 + 2
gk0
k(k + 1)
+ (E 2 −
)gk = 0
r
r2
(4.30)
4.2. EQUAZIONE DI DIRAC IN POTENZIALE CENTRALE
29
che come è noto ha come soluzioni di interesse fisico le funzioni di Bessel sferiche
jk (Er) = (−x)k (
1 dk k sin(Er)
) (
).
x dxk
Er
Per un dato k, se sostituiamo in (4.30) i corrispondenti valori del momento
angolare orbitale dello spinore superiore l ricavati precedentemente (l = k per
k > 0, l = −(k + 1) per k < 0), otteniamo un’equazione differenziale del tutto
uguale in forma; pertanto si ottiene
gk (Er) = N jl (Er)
(4.31)
con N opportuna normalizzazione.
Sostituendo (4.31) in (4.29) si ricavano le fk corrispondenti. Osserviamo se si
pone in (4.29) k = l per k > 0 e k = −(l+1) per k < 0 si ottengono delle identità
note da relazioni per ricorrenza valide per le funzioni di Bessel. In particolare
d
l
per k < 0, fk (Er) = N
E ( dr − r )jl = −jl+1 (Er); mentre per k > 0 si ottiene
N d
l+1
fk = E ( dr + r )jl = jl−1 (Er). Quindi, siccome l0 = l − con = 1 se k > 0,
ed = −1 per k < 0, si deduce che
fk (Er) =
k
N jl0 (Er).
|k|
(4.32)
Per r > R dove U (r) = U0 , l’equazione (4.27) diventa della forma
gk00 + 2
α2
gk0
− (γ 2 + 2 )gk = 0
r
r
(4.33)
p
con γ 2 = U02 − E 2 e α = k(k + 1) . Quest’equazione differenziale ha soluzioni di interesse fisico le funzioni di Bessel modificate Kα (γr)q. Per i nostri
π −γr
e
, ∀α.
fini è utile osservare che asintoticamente, per γr >> 1, Kα ' 2γr
Questa relazione è ampiamente soddisfatta per ogni r > R nel limite U0 >> E,
ragionevole nel nostro caso in quanto garantisce il confinamento dei quarks nei
nucleoni. Pertanto assumeremo per le parti radiali degli spinori di Dirac per
r > R e ogni k, siano
r
π −γr
gk ' AN
e
2γr
e
r
AN
π −γr
fk '
e
E + U0 2γr
dove A si determina dalla condizione di continuità a r = R. Per U0 >> E e
quindi γ ' U0 , i limiti scaturenti dalla continuità della soluzione ad r = R+ ed
r = R− sono
r
1 −U0 R
jl (ER) → AN
e
U0 R
r
k
1 −U0 R
jl0 (ER) → AN
e
.
(4.34)
|k|
U0 R
Uguagliando i termini a sinistra si ottiene l’equazione per la quantizzazione
dell’energia
k
jl0 (ER)
(4.35)
jl (ER) =
|k|
30
CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL
che può essere risolta numericamente a k fissato, ottenendo opportuni Enk =
ωkn
R . In particolare, per lo stato fondamentale k = −1, ω1,−1 = 2.04 (vedi [1]
pag. 61).
Poichè i due limiti in (4.34) non possono dare valore nullo simultaneamente, A
deve crescere opportunamente al crescere di U0 .
4.3
Momento magnetico di un quark in potenziale centrale
È noto che in elettrodinamica il momento magnetico µ associato a una densità
di corrente elettrica je è dato da
Z
1
(r × je )d3 r
µ=
2
Se si vuole calcolare il momento magnetico di un quark all’interno di una particella abbiamo bisogno di identificare la corrente elettrica associata ad esso. In
(4.20) abbiamo definito il quadrivettore jµ soddisfacente l’equazione di continuità (4.21). La parte spazio di questo quadrivettore moltiplicata per la carica
del quark (eq ) è la corrente trasportata dal quark nello stato ψjj3 , ovvero tenendo
presente la (4.20)
0 σ
†
†
ψjj3 .
(4.36)
jeq (r) = eq ψjj3 γ0 γψjj3 = eq ψjj3
σ 0
Tenendo presente la forma per ψjj3 data in (4.22) e utilizzando la relazione
(4.26), si ha per la componente i-esima della corrente
!
j3
gk (r)Yjl
(b
r)
0 σi
j3 †
j3 †
ji = (gk (r)Yjl , −ifk (r)Yjl0 )
j3
σi 0
ifk (r)Yjl
r)
0 (b
=
j3 †
j3
j3 †
j3
j3 †
j3
j3 †
j3
igk Yk (Yjl
σi Yjl
0 − Yjl0 σi Yjl ) = igk fk (−Yjl σi (σ · r)Yjl + Yjl (σ · r)σi Yjl )
Dal fatto che σi σj rj −σj σi rj = [(δij +iijk σk )−(δji +ijik σk )]rj = 2iijk σk rj =
2i(r × σ)i , segue che
2gk fk j3 †
j3
yjl r × σyjl
(4.37)
j=
r
Per convenzione , il momento magnetico è la componente-z di µ calcolata per
j3 = j. L’obiettivo adesso è dunque calcolare
Z
1
µ = µz =
(r × je )z d3 r
(4.38)
2
Da (4.37) e considerando come funzione d’onda quella dell stato fondamentale
l = 0 ripotata in (4.23) , si ottiene l’espressione per la componente i-esima della
corrente
fg
1
ji =
(1, 0)ijk rj σk
0
2π
dove è sottoitesa la somma su indici ripetuti. Si ha quindi che
4.3. MOMENTO MAGNETICO DI UN QUARK IN POTENZIALE CENTRALE31
1
fg
(1, 0)(r2 σ3 −r3 σ2 )
= 2πr
=
0
1
1
fg
⊥
;
2πr r2 dal momento che σ2
0
0
1
1
fg
fg
= 2πr (1, 0)(−r1 σ3 +r3 σ1 )
=
• j2 = 2πr (1, 0)(213 r1 σ3 +231 r3 σ1 )
0
0
1
1
fg
r1 dal momento che σ1
⊥
;
− 2πr
0
0
1
1
fg
fg
• j3 = 2πr
(1, 0)(312 r1 σ2 +321 r2 σ1 )
(1, 0)(r1 σ2 −r2 σ1 )
= 2πr
=
0
0
0 per quanto osservato nelle precedenti due componenti
• j1 =
fg
2πr (1, 0)(123 r2 σ3 +132 r3 σ2 )
1
0
Si ha dunque


r
fg  2 
−r1
j=
.
2πr
0
(4.39)
Calcoliamo adesso il momento magnetico (4.38), usando l’espressione per j nello
stato fondamentale appena ricavata. Si ha

 

Z
Z
r1
r2
fg 
fg 2
eq
eq
[ r2  ×  −r1 ]z d3 r = −
(r + r22 )d3 r
µ =
4π
r
4π
r 1
r3
0
Z +∞
Z
Z π
eq
2eq +∞ 3
= −
f gr3 dr
r f gdr
(4.40)
sin3 θdθ = −
2 0
3 0
0
Consideriamo adesso le due equazioni differenziali accoppiate in (4.27) e (4.28)
per lo stato fondamentale, cioè ponendo in esse k = −1. Moltiplichiamo (4.27)
per la funzione radiale g e (4.28) per la f . Sottraendo la seconda membro a
membro dalla prima si ottiene la seguente espressione per gf
gf =
f2
1 1
[ ∂r (g 2 − f 2 ) −
]
E 4
r
che se sostuita nella (4.40) ci permette di calcolare agevolmente l’integrale.
Infatti
Z
Z
2eq +∞ 3
f2
2eq +∞ 3 1
µ = −
]dr
r f gdr = −
r [ ∂r (g 2 − f 2 ) −
3 0
3E 0
4
r
Z
Z +∞
2eq 1 +∞ 3
[
r ∂r (g 2 − f 2 )dr −
r2 f 2 dr]
(4.41)
= −
3E 4 0
0
Z
Z +∞
2eq 3 +∞ 2 2
= −
[−
r (g − f 2 )dr −
r2 f 2 dr]
3E 4 0
0
Z
Z +∞
2eq 3 +∞ 2 2
2
2
=
[
r (g + f − 2f )dr +
r2 f 2 dr]
3E 4 0
0
Z
Z
2eq 3 +∞ 2 2
1 +∞ 2 2
2
=
[
r (g + f )dr −
r f dr]
(4.42)
3E 4 0
2 0
Z +∞
eq
2
=
[1 −
r2 f 2 dr]
(4.43)
2E
3 0
32
CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL
dove in (4.41) abbiamo integrato per parti il primo integrale e in (4.42) abbiamo
R +∞
usato la normalizazione 0 r2 (g 2 + f 2 )dr = 1.
Nell’ ”M.I.T. Bag Model”, come calcolato nella precedente sezione, si ha per lo
stato fondamentale k = −1 e per r ≤ R,
f−1
= −N j1 (Er)
(4.44)
3
x
con la normalizzazione N = 2R3 (x−1)
(fissata in [1] a pag. 65), dove si
sin2 (x)
è posto x = ω1,−1 = 2.04. In questo modello è possibile calcolare il momento
magnetico di un quark q di carica eq la cui espressione è data data in (4.43), utilizzando la parte radiale f data in (4.44); indicando formalmente la componente
c3 (ri , σ i ), il risultato
zeta l’operatore di momento magnetico per il quark con O
è (vedi [3] a pag. 67)
b3 |ψ 1 1 i = −eq hψ 1 − 1 |O
b3 |ψ 1 − 1 i = 1.93( eq )R(m.n.)
µq = eq hψ 12 12 |O
2 2
2
2
2
2
e
dove (m.n.) =
h̄ = c = 1.
4.4
e
2Mp ,
(4.45)
indica le unità di magnetone nucleare con la convenzione
Momento magnetico dei nucleoni
Il raggio della buca di potenziale usata nell”’M.I.T. Bag Model” è fissata ad
valore R = 1.18f m, dimensioni tipiche dei nucleoni.
Ora ci proponiamo di stimare usando il risultato in (4.45), il rapporto tra momenti magnetici di neutrone e protone.
Considerando la funzione d’onda dei nucleoni, osserviamo che nel formalismo
di Dirac non è possibile separare la parte di spin da quella spaziale, come fatto
nei capitoli precedenti. Possiamo però costruire la funzioni d’onda a simmetria
ρ e λ, in termini del momento angolare j dei tre quarks che costituiscono il
nucleone. La parte di funzione d’onda spin-spaziale dei nucleoni a simmetria ρ
è la seguente
1
Ψρ1 ,+ 1 = √ (ψ 12 , 12 (1)ψ 21 ,− 21 (2) − ψ 12 ,− 12 (1)ψ 21 , 12 (2))ψ 12 , 12 (3)
2
2
2
(4.46)
mentre quella di tipo λ
Ψρ1 ,+ 1
2
2
1
√ [2ψ 1 , 1 (1)ψ 1 , 1 (2)ψ 1 ,− 1 (3) −
2 2
2 2
2
2
6
− ψ 12 , 21 (1)ψ 12 ,− 12 (2)ψ 12 , 12 (3) −
=
−
ψ 12 ,− 12 (1)ψ 21 , 12 (2)ψ 12 , 12 (3)].
(4.47)
Queste funzioni d’onda possono essere combinate con le parti di sapore φρ e le
φλ per i nucleoni date in (2.11),(2.13), (2.12) ed (2.14), per formare uno stato
simmetrico come Ψρ φρ + Ψλ φλ .
In generale l’operatore diPmomento magnetico µz per i nucleoni lo possiamo
3
b3 (ri , σ i )b
scivere nella forma µN = i=1 O
ei dove ebi = e( 61 + 12 τi ) è l’operatore di
carica per il quark i-esimo. Osserviamo che il valor medio sulla funzione d’onda
di nucleone di questo operatore è identico a tre volte il valor medio su un quark
4.4. MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI
33
(il terzo per esempio). Questo è vero perchè la funzione d’onda è simmetrica
per scambi. Scriveremo dunque
µN
b3 eb3 |N i = hΨρ φρ + Ψλ χλ |O
b3 ebi |Ψρ φρ + Ψλ χλ i =
3hN |O
3 ρ
b3 |Ψρ i + hφρ |b
b3 |Ψλ i +
=
[hφ |b
e3 |φρ ihΨρ |O
e3 |φλ ihΨρ |O
2
b3 |Ψρ i + hφλ |b
b3 |Ψλ i]
+ hφλ |b
e3 |φρ ihΨλ |O
e3 |φλ ihΨλ |O
=
(4.48)
Considerando la (4.48) e le opportune funzioni d’onda di sapore già elencate
nel precedente capitolo, si ottiene per il protone
b3 |ψ 1 1 i
µp = ehψ 21 21 |O
2 2
(4.49)
e
b3 |ψ 1 1 i − hψ 1 − 1 |O
b3 |ψ 1 − 1 i).
µn = − (hψ 12 12 |O
2 2
2
2
2
2
3
(4.50)
mentre per il neutrone
Gli elementi di matrice che compaiono nelle due espressioni (4.49) e (4.50),
dati in (4.45), se sostituiti nelle (4.49) e (4.50) forniscono per il il rapporto tra
momento magnetico del neutrone e del protone
hµn i
2
=− ,
hµp i
3
identico alla stima del terzo capitolo.
Osserviamo che dalla (4.49), possiamo stimare il momento magnetico del protone. Infatti, ricordando che R = 1, 18f m, si ottiene µp = 2, 27(m.n.) da
paragonare al valore sperimentale di 2, 79(m.n.) (vedi [1] pag. 68).
Bibliografia
[1] R.K. Bhaduri: Models of the nucleon: from Quarks to Soliton, AddisonWesley Pub., 1988, Reading, MA.
[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë:
Hermann Pub., 1977, Paris, France.
Quantum Mechanics Vol. I,
[3] K. Konishi, G. Paffuti: Meccanica Quantistica:
Edizioni Plus - Pisa University Press, 2005, Pisa.
nuova introduzione,
[4] J.D. Bjorken, S.D. Drell: Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill
Inc., 1964, USA.
[5] D. Griffiths: Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons Inc.,
1987, USA.
34