A partire per un Trinomio composto di Rc legate e numero

Rafael Bombelli
L’algebra, 1572
Nei passi che presentiamo di seguito, Bombelli introduce un nuovo tipo di radice
cubica e la legge dei segni per poter operare aritmeticamente con le radici dei
numeri negativi, seguita da un esempio di applicazione. Gli ultimi due passi
riguardano la risoluzione di una cubica irriducibile.
A partire per un Trinomio composto di R.c. legate e numero
[…] Ho trovato un’altra sorte di R.c. legate molto differenti dalle altre, la qual
nasce dal Capitolo di cubo eguale a tanti e numero, quando il cubato del terzo
delli tanti è maggiore del quadrato della metà del numero […] La qual sorte di R.q.
ha nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre e diverso nome; perché quando
il cubato del terzo delli tanto è maggiore del quadrato della metà del numero, lo
eccesso loro non si può chiamare né più né meno, però lo chiamerò più di meno
quando egli si doverà aggiongere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men di
meno e questa operatione è necessarijssima più che l'altre Radici cubiche legate
per rispetto delli capitoli di potenze di potenze, accompagnati con li cubi, o tanti,
o con tutti due insieme, ché molto più sono li casi dell'agguagliare dove ne nasce
questa sorte di Radici che quelli dove nasce l'altra, la quale parerà a molto più
tosto sofistica che reale, e tale opinione ho tenuto anch'io, sin che ho trovato la
sua dimostratione in linee [...] e prima trattarò del moltiplicare, ponendo la regola
del più e del meno
Più via più di meno, fa più di meno;
Meno via più di meno, fa meno di meno;
Più via meno di meno, fa meno di meno;
Meno via meno di meno, fa più di meno;
Più di meno via più di meno, fa meno;
Più di meno via men di meno, fa più;
Meno di meno via più di meno, fa più;
Meno di meno via men di meno, fa meno
Partire di p. di m. overo di m. di m.
Partasi R.q. 72 p. di m. 4 per R.q. 5 p. 1; moltiplichisi il partitore per il suo
residuo, cioè per R.q. 5 m. 1 fa 4, e questo è il partitore e per più facilità partasi
R.q. 72 p. di m. 4 per 4 ne viene R.q. 4 ½ p. di m. 1 e questo si deve moltiplicare
via R.q.5 m.1 residuo di R.q. 5 p. 1 partitore, che facendo (come si è insegnato nel
moltiplicare) fa R.q.22 ½ m. R.q.4 ½ p. di m. R.q.5 m. 1 e questo è l’avenimento.
Capitolo di Cubo uguale a Tanti e Numero
[…] Ancora si può procedere nella agguagliatione di tal Capitolo in questa guisa.
Agguaglisi 1 ⏟
3 a 15 ⏟
1 +4, piglisi il terzo delli Tanti, ch'è 5, cubisi fa 125 e questo si
cavi del quadrato della metà del numero, ch'è 4, resta m. 121. Il qual si chiamerà
più di meno che di questo pigliata la Radice quadrata sarà p. di m. 11, che
pigliatone il lato cubico ed aggionto col suo residuo fa 2 p. di m. 1 et 2 m. di m.1,
che gionti insieme fanno 4 e 4 è la valuta del Tanto. Et benché a molti parerà
questa cosa stravagante, perché di questa opinione fui ancho già un tempo,
parendomi più tosto fosse sofistica che vera, nondimeno tanto cercai che trovai la
dimostratione, la quale sarà qui sotto notata, sì che questa ancora si può
mostrare in linea, che pur nelle operationi serve senza difficultade alcuna, et
assai volte si trova la valuta del Tanto per numero (come si è trovato in questo
esempio)
Modo di trovare il lato Cubico di simil qualità di radici
Volendo trovare il lato Cubico di simil specie di Radici per prattica si terrà questo
modo. Giongasi il quadrato del numero col quadrato della R. e della somma si
pigli il lato Cubico, poi si cerchia tentone di trovare un numero & una R.q. che li
loro quadrati gionti insieme faccino tanto quanto fu il lato cubico detto di sopra, e
che del cubato del numero cavatone il triplo della moltiplicatione del numero via
il quadrato della R ad quello che resta, sia il numero del lato che si cerca (come
sarebbe) se si volesse il lato di R.c. (2 p. di m. Rq 121) che gionto il quadrato della
R.q. ch’è 121 con 4 quadrato del 2 fa 125 che pigliatone il lato cubico, farà 5. Hor
bisogna trovare un num. che il suo quadr. sia minore di 5 & il suo cubato sia
maggior di 2 che si ponesse di necessità sarà R.q. 4, che i quadrati gionti insieme
fanno 5, & il cubato del numero è 1 e la moltiplicatione del numero via il
quadrato della R.q. fa 4, che triplicato fa 12, il quale non si può cavare del cubato
del numero, ch’è solo 1, però 1 non è buono, ne meno 3 puo esser buono, perche
il suo quadrato solo supera il 5 però di necessità (se il 2 non servirà) tal
compositione non haverà lato di numero sano, onde piglisi il 2, la R.q. sarà R.q.1
che si vede, che gionto il quadrato del numero col quadrato della R.q. fanno 5 e il
Cubato del numero è 8, che cavatone il triplo della moltiplicatione del numero via
il quadrato della R.q. ch’è 6, resta 2, ch’è il numero, ch’era accompagnato con p.
di m. R.q. 121, però il suo lato è 2 p. di m. R.q.1, e avertiscasi, che R.c. (2 p. di m.
R.q. 121) per essere il 121 numero quadrato, e il suo lato 11 si potrà dire 2 p. di
m. 11 e si vede che il suo lato è 2 p. di m. 1, che non ci viene Rad. q. ma il lato è
dui numeri (come era 2 p. di m. 11).