Rappresentazione dei numeri
PH. 3.1, 3.2, 3.3
1
Tipi di numeri
Numeri interi, senza segno
calcolo degli indirizzi
numeri che possono essere solo non negativi
Numeri con segno
positivi
negativi
Numeri in virgola mobile
calcoli numerici
differenti gradi di precisione
precisione singola (IEEE)
doppia precisione (IEEE)
precisione quadrupla
2
1
Rappresentazione dei numeri
Notazione posizionale
Rappresentazione in base 2 degli interi
Conversione binario-decimale degli interi
Rappresentazione in base 2 dei numeri frazionari
Conversione binario-decimale dei numeri frazionari
Rappresentazione in base 16
3
Sistemi di numerazione posizionali
La base rappresenta il numero di cifre diverse utilizzate per
rappresentare i numeri (cardinalità dell'alfabeto)
Il sistema di numerazione in base 10 usa 10 cifre:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Il sistema di numerazione in base 8 (ottale) usa 8 cifre:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Il sistema di numerazione in base 2 (binario) usa 2 cifre:
{ 0, 1 }
Il sistema di numerazione in base 16 (esadecimale) usa 16 cifre:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
4
2
Notazione posizionale
(1)
Nei sistemi di numerazione il peso di ogni cifra dipende dalla
posizione:
L’intero 853 (in base 10) vale:
8 centinaia (8 · 102 = 8 · 100 ) +
5 decine (5 · 101 = 5 · 10) +
3 unità (3 · 100 = 3 · 1)
L’intero 675 (in base 10) vale:
6 centinaia (6 · 102 = 6 · 100 ) +
7 decine (7 · 101 = 7 · 10) +
5 unità (5 · 100 = 5 · 1)
5
Notazione posizionale
(2)
In generale, un numero formato da una sequenza di cifre
in una base b :
c( n −1) c( n − 2) ...c2 c3c0
ha un valore determinato dalla somma dei pesi (potenze
della base) per il valore della cifra:
n −1
∑ (c ⋅ b )
i
i =0
i
ad esempio, per la rappresentazione di 745 si ha che:
n −1
∑ (c ⋅ b ) = c
i
i =0
i
2
⋅102 + c1 ⋅101 + c0 ⋅100 = 7 ⋅100 + 4 ⋅10 + 5 ⋅1
6
3
IL sistema binario
(1)
Si usa la base 2 (numeri binari):
Quindi si usano solamente due cifre, indichiamole con 0 e 1
Per esplicitare la base utilizzata, usiamo un pedice
I numeri in base 10 saranno scritti come 85310 e 67510
I numeri in base 2 saranno scritti come 1002 e 112
7
IL sistema binario
(2)
Si consideri un numero binario:
c( n −1) c( n − 2) ... c2 c3c0
il valore del numero è la somma dei pesi di ogni cifra:
n −1
∑ (c ⋅ 2 )
i
i =0
i
bit meno significativo - il bit di posizione 0 (peso minore)
bit più significativo – il bit di posizione 31 (peso maggiore)
8
4
IL sistema binario
(3)
Ad esempio, il valore in base 10 del numero binario 10112 è:
n −1
∑ (c ⋅ b )
i
i =0
i
= c3 ⋅ 23 + c2 ⋅ 22 + c1 ⋅ 21 + c0 ⋅ 20
= 1 ⋅ 8 + 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅1
= 11
9
Conversione decimale Æ binario
Procedimento mediante divisioni ripetute;
ad esempio per ottenere il numero binario equivalente al
numero decimale 11, si procede:
11/2
=
5
resto
1
5/2
=
2
resto
1
2/2
=
1
resto
0
1/2
=
0
resto
1
1
0
1
1
10
5
Sistema esadecimale
Il sistema di numerazione in base 16 (esadecimale) usa 16
cifre:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, E, F }
A vale 10, . . . ., F vale 15
n −1
Il valore è dato da:
∑ (c ⋅ (16) )
i
i =0
i
Esempio, il valore di (1A5)16 è :
n −1
∑ (c ⋅ b )
i
i =0
i
= c2 ⋅162 + c1 ⋅161 + c0 ⋅160
= 1 ⋅ 256 + 10 ⋅16 + 5 ⋅1 = 421
11
Da base 16 a base 2 (e viceversa)
Per convertire da base 16 a base 2 basta:
convertire una cifra esadecimale alla volta nella corrispondente
rappresentazione in base 2
Esempio: per convertire 1AC516 in base 2:
1
A
C
5
0001 1010 1100 0101
Per convertire da base 2 a base 16 basta:
convertire a gruppi di 4 bit per volta partendo dai quattro bit
meno significativi
Esempio: per convertire 100 1010 0100 1110 in base 16:
0100 1010 0100 1110
4
A
4
E
12
6
Notazione posizionale per i frazionari
(1)
Per i numeri con una parte frazionaria il meccanismo è lo stesso
vengono usate posizioni e potenze negative della base
c( n −1) c( n − 2) ... c2 c3c0 . c−1c−2 ... c− m
n −1
−m
i =0
i =−1
∑ (ci ⋅ bi ) + ∑ (ci ⋅ bi )
Esempio, per rappresentare il numero 853.43 risulta:
8 ⋅102 + 5 ⋅101 + 3 ⋅100 + 4 ⋅10−1 + 3 ⋅10−2
13
Conversione numeri frazionari
Procedimento che a partire da una frazione F < 1 ottiene la
rappresentazione di F in binario (o una approssimazione)
Sequenza ripetuta di moltiplicazioni:
Moltiplichiamo F per 2
Si ottiene una parte intera (che può essere 0 oppure 1) ed una
parte decimale F1
La parte intera rappresenta il primo bit più significativo
mentre F1 viene moltiplicato per 2
Si ottiene una parte intera (che può essere 0 oppure 1) ed una
parte decimale F2
La parte intera rappresenta il secondo bit più significativo
mentre F2 viene moltiplicato per 2
… fino a quando Fi vale 0 oppure decidiamo di fermarci…
14
7
Conversione numeri frazionari
Esempio, convertire 0.81 :
0 . 1
0.81 ⋅ 2
=
1.62
parte int
1
0.62 ⋅ 2
=
1.24
parte int
1
0.24 ⋅ 2
=
0.48
parte int
0
0.48 ⋅ 2
=
0.96
parte int
0
0.96 ⋅ 2
=
1.92
parte int
1
0.92 ⋅ 2
=
1.84
parte int
1
1
0
0
1
1
Sequenza ripetuta di moltiplicazioni, . . .
si prende la parte intera
15
Conversione numeri frazionari
Il processo di conversione di una frazione non
necessariamente termina
Una frazione decimale con un numero finito di cifre può
avere un numero infinito di cifre nella rappresentazione
binaria
possiamo terminare il procedimento quando riteniamo di
aver raggiunto una precisione sufficiente
16
8
Interi con segno
Interi con segno
17
Interi con segno
Finora abbiamo solamente considerato la rappresentazione di
interi positivi, per rappresentare interi con segno:
tre possibili rappresentazioni sono:
la rappresentazione con modulo e segno
la rappresentazione in complemento a uno
la rappresentazione in complemento a due
18
9
Rappresentazione con modulo e segno
La rappresentazione in modulo e segno usa il bit più
significativo per indicare il segno:
(+
+) se bit31 = 0,
(--) se bit31 = 1
Il valore del numero risulta essere:
N=
n−2
∑ (c ⋅ 2 )
i
i =0
i
se cn −1 = 0
n−2
N = −∑ (ci ⋅ 2i ) se cn −1 = 1
i =0
19
Alcuni problemi del “modulo e segno”
Addizione e sottrazione complicata da
segni dei numeri
modulo dei numeri
Doppia rappresentazione dello zero:
zero
infatti lo zero può essere rappresentato (es.: su 8 bit)
sia da 0 000 0000
che da 1 000 0000
Non va bene ! Vorremmo…
una rappresentazione che faciliti la progettazione della
ALU
che non deve essere complicata da problemi dovuti alla
rappresentazione
20
10
Rappresentazione in complemento 2
Rappresentazione in complemento 2
21
Rappresentazione in complemento 2
Dato un numero in base 2 :
c( n −1) c( n − 2) ... c3 c2 c0
Il valore del numero espresso in complemento a due è :
V = − cn −1 ⋅ 2
n −1
n−2
+ ∑ (ci ⋅ bi )
i =0
Il bit più significativo assume peso negativo !
22
11
Rappresentazione in complemento 2
Poiche’ è :
− cn −1 ⋅ 2
n −1
>
n−2
∑ (c ⋅ b )
i
i
i =0
Il numero è positivo se il bit più significativo vale 0
Il numero è negativo se il bit più significativo vale 1
23
Rappresentazione in complemento 2
Esempio, il numero 1 1 0 1 su 4 bit vale :
− 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 = −8 + 4 + 1 = − 3
Esempio, i numeri in complemento 2 su 4 bit :
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
24
12
Conversione da decimale a binario
Supposto X numero decimale da convertire
a) Fissare il numero n di cifre binarie da usare per la
rappresentazione del numero convertito in binario
b) se X è positivo :
si converte X in binario su gli n-1 bit meno significativi
si pone il bit più significativo a 0
c) se X è negativo :
si converte in binario 2n-1 + X su gli n-1 bit meno
significativi
si pone il bit più significativo a 1
25
Conversione da decimale a binario
Esempio: convertire il numero X = -4 su n = 5 bit
convertiamo 2n-1 + X = 24 – 4 = 16 – 4 = 12 su n-1 = 4 bit
otteniamo il risultato parziale 1 1 0 0
mettiamo il bit più significativo (il quinto) a 1
otteniamo il risultato finale
1 1 1 0 0
26
13
Lavorare con il complemento a due
Espansione:
ad es. passare da numeri a 16 bit a numeri a 32 bit
richiesto per operazioni con registri (32 bit) e operazioni
immediate (16 bit)
Estensione del segno
i 16 bit nemo significativi restano invariati
copia il segno (bit più significativo) nei rimanenti 16 bit
0000 0000 0000 0010
Æ2
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010
1111 1111 1111 1110
Æ -2
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
27
Addizione binaria
PH 3.3
28
14
Esempio di addizione
Supponiamo di addizionare i due numeri binari 01100
(1110) e 10010 (1810) :
riporti
0 0 1 0
0 1 0 1
1
+
1 0 0 1 0 =
1
1
1 0 1
29
Aritmetica complemento a due
Operazione di negazione
Negazione nell'aritmetica complemento a 2 :
dato un numero A in rappresentazione binaria complemento
a due
vogliamo ottenere –A (sempre in rapp.zione binaria)
Per ottenere la rappresentazione in complemento due di -A
(1) si complementa ogni cifra binaria di A
(2) si aggiunge 1 alla sequenza di bit cosi ottenuta
30
15
Operazione di negazione
Esempio, si vuole ottenere la negazione del numero
A = -62
(nella rappresentazione binaria complemento 2 su 8 bit)
la rappresentazione su 8 bit di –62 è :
1
1 0 0 0 0 1 0
il suo complemento bit a bit è :
0 0 1
1
1
1 0 1
1
1
1
sommando 1 si ottiene il risultato :
0 0 1
1 0
31
Operazione di negazione, giustificazione
Supponiamo che A (in complemento a 2) sia il numero da
negare, il suo valore è:
A = −cn −1 ⋅ 2
n −1
n−2
+ ∑ (ci ⋅ 2i )
i =0
Costruiamo B (negazione di A) complementando i bit di A ed
aggiungendo 1, otteniamo:
B = −c n −1 ⋅ 2
n −1
n−2
+ 1 + ∑ ( c i ⋅ 2i )
i =0
Calcoliamo A + B; se vale A + B = 0 allora B = -A
A + B = −(cn −1 + c n −1 ) ⋅ 2
n −1
n−2
+ 1 + ∑ (ci + ci ) ⋅ 2i
i =0
32
16
Operazione di negazione, giustificazione
Osservando che :
(c + c ) = 1
Dall'espressione:
A + B = −(cn −1 + c n −1 ) ⋅ 2
n −1
n−2
+ 1 + ∑ (ci + ci ) ⋅ 2i
i =0
Ricaviamo :
A + B = −2
n −1
n−2
+ 1 + ∑ 2i = −2n −1 + 1 + (2n −1 − 1) = 0
i =0
33
Operazione di negazione, osservazioni
Supponiamo di negare il numero A = 0
(rappresentazione in complemento a 2 su 5 bit)
la rappresentazione:
0 0 0 0 0
il complemento bit a bit:
1
1
1
1
1
sommando 1 :
1
1
1
1
1
il bit di riporto
viene ignorato !
10 10 10 10 11
+
1 0 0 0 0 0
34
17
Operazione di negazione, osservazioni
−2n−1
Se si prova a negare
ne risulta:
1 0 0 0 0
la rappresentazione:
il complemento bit a bit:
0 1
1
1
1
sommando 1 :
0 1
1
1
1
10 10 10 10 11
la negazione del numero
non può essere
rappresentata in
complemento a 2 !
+
1 0 0 0 0
35
Operazione di negazione, osservazioni
− 2 n −1 − 1
Il massimo positivo è :
0 1
corrispondente a :
Il massimo negativo è :
corrispondente a :
1
.
.
.
1
1
1
1
−2n−1
1 0 0
.
.
.
0 0 0 0
Un numero negativo in più rispetto ai numeri positivi
Assimetria inevitabile, dovendo rappresentare: i positivi, lo
zero, e i negativi con un numero 2n di configurazioni possibili
36
18
La regola di overflow
Nella somma di interi con segno rappresentati in complemento
due si verifica un OVERFLOW se e solo se:
la somma di due interi positivi da come risultato
un intero negativo
la somma di due interi negativi da come
risultato un intero positivo
La somma di due operandi con segno opposto non può dare
overflow; infatti: la somma è minore o uguale, in valore
assoluto, di uno degli addendi degli addendi; es. -10 + 4 = -6
37
Somma e overflow (1)
Somma dei numeri 5 e 4 su n=4 bit ( max rappr. 23-1=7 )
0 1 0 1
overflow, la somma di due
numeri positivi non può
dare un negativo !
+
0 1 0 0 =
1 0 0 1
38
19
Somma e overflow (2)
Somma dei numeri -6 e -7 su n=4 bit ( min rappr. -23 = -8 )
1 0 1 0 +
1 0 0 1
l’ultimo bit di riporto
viene ignorato
1
0 0 1
=
1
overflow, la somma di due
numeri negativi non può
dare un positivo !
39
Sottrazione
Per calcolare A – B si osserva che
A – B = A + (-B)
procedimento:
negazione di B
somma A + negazione di B
nella rappresentazione complemento 2 non è necessario un
circuito apposito diverso da quello della somma per
implementare in hardware la sottrazione !
40
20
Overflow sottrazione
Sottrazione implementata con negazione e somma
Vale regola overflow somma
somma di due interi positivi con risultato un intero negativo
somma di due interi negativi con risultato un intero positivo
Sottrazione
operandi con lo stesso segno Æ NO overflow
operandi segno diverso:
se risultato segno diverso dal minuendo Æ SI overflow
Riassunto condizioni overflow
operazione
A
B
risultato
A+B
≥0
≥0
<0
A+B
<0
<0
≥0
A-B
≥0
<0
<0
A-B
<0
≥0
≥0
41
Esempio overflow in sottrazione
A – B = 5 – (-3) = A + (-B) = + 8
A = 5 Æ rappr. su 4 bits
B = -3 Æ rappr. complemento 2
A positivo, B negativo
risultato negativo
Î overflow
A = 0101
B = 1101
- B = 0011
0 1 0 1
+
0 0 1
=
1
1 0 0 0
42
21
43
22
