M - Dipartimento di Fisica

Fisica Generale III con Laboratorio
Campi elettrici e magnetici nella materia
Lezione 4
Magnetismo nella materia
Proprieta’ magnetiche della materia
Qualche analogia con i dielettrici:
Momenti di dipolo magnetico atomici/molecolari
Campo esterno→ Magnetizzazione (talvolta spontanea)
Riarrangiamento correnti microscopiche (elettroni legati)
Classificazione:
Materiali paramagnetici: Atomi/Molecole dotati di mom. proprio
Materiali ferromagnetici: Magnetizzazione spontanea
Materiali diamagnetici: Tutti
(Inoltre: Magnetismo nucleare, …)
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E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione
Effetto di campi applicati: magnetizzazione del mezzo
M = µ n vettore magnetizzazione
µ
momento di dipolo magnetico medio di ogni molecola
n
molecole/volume
Modello molecolare semplificato: mezzo lineare
µ = cB, c 'polarizzabilita' magnetica'
B = campo totale agente su ogni molecola
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E.Menichetti - 2010
Suscettivita’, permeabilita’
Mezzo lineare:
a
c
i
t
e
n
g
a
m
'
a
t
i
v
i
t
t
e
c
s
u
s
χm
M=
B
(1 + χ m ) µ0
Permeabilita’ magnetica relativa:
a
t
u
l
o
s
s
a
a
c
i
t
e
n
g
a
m
'
a
t
i
l
i
b
a
e
m
r
e
P
µr = 1 + χ m
µ = µ0 µr
c,χm,µ quasi sempre: quantita’ scalari →M║B
In strutture cristalline a bassa simmetria: matrici → M non ║B
χm,µ: grandezze macroscopiche, accessibili alla misura diretta
c: grandezza microscopica, inaccessibile alla misura diretta
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E.Menichetti - 2010
Campo magnetizzante - I
:
e
n
o
i
z
i
n
i
f
e
D
H=
B
µ0
−M =
B
µ0 µ r
Vettore legato alle sole correnti “vere”, o “libere”
Lo stato magnetico di un materiale e’ definito da due vettori indipendenti,
p es B e M oppure B e H
H risulta utile per la risoluzione dei problemi, e anche per riscrivere le
eq. di Maxwell nei mezzi materiali in modo simile a quelle nel vuoto
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E.Menichetti - 2010
Campo magnetizzante - II

− M → M = ncB 
µ0
χm

→
=
c

χm
(1 + χ m ) µ0

M=n
B

(1 + χ m ) µ0
:
i
t
o
n
i
S
χm ≪ 1 → c =
a
c
i
t
e
n
g
a
m
'
a
t
i
l
i
b
a
z
z
i
r
a
l
o
P
H=
B
χm
χ
≃ m
(1 + χ m ) µ0 µ0
M = c ( µ0 H + M ) → M (1 − c ) = cµ0 H
e
6
a
r
f
a
l
l
e
u
q
:
e
c
i
l
p
m
e
s
'
u
i
p
e
n
o
i
z
a
l
e
R
χm
1 + χm )
(
c
H = χmH
→M =
µ0 H =
χ
(1 − c )
m
1−
(1 + χ m )
M
H
E.Menichetti - 2010
I tre vettori magnetici - I
B vettore campo magnetico; quello che compare nell’espressione della
forza su una carica in movimento
Legato a tutte le correnti, libere e di magnetizzazione
M: vettore magnetizzazione
Legato alle correnti di magnetizzazione
H vettore campo magnetizzante
Legato alle correnti libere
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E.Menichetti - 2010
I tre vettori magnetici - II

 ∇⋅ B = 0
Vuoto: 



∇× B = µ0 jlib

∇⋅ B = 0


Materia:


∇× B = µ0 ( jlib + jm )
Definizione:
H=
B
−M
µ0
M=
1 χm
1 µr −1
B=
B
µ0 1 + χm
µ0 µr
→ B = µ0 µr H
sempre
materiali omogenei, lineari, isotropi
relazione costitutiva materiali omogenei, lineari, isotropi

∇⋅ B = 0


→
equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali

∇×
H
=
j
lib


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E.Menichetti - 2010
B e H all’interfaccia fra due mezzi
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - I
Effetti sul campo magnetico di materiali diamagnetici o paramagnetici:
Sempre molto piccoli, di solito trascurabili (e trascurati)
→Campo B = quello nel vuoto
Possibile eccezione: materiale paramagnetico a bassa T e alto B
→Magnetizzazione elevata
→Campo B simile a quello di un ferromagnete
Effetti di materiali ferromagnetici:
(molto) Grandi
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - II
Campo B nella materia:

∇⋅ B = 0





∇× B = µ0 ( jlib + jm )
→ Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali

 ∇⋅ B = 0
→



∇× H = jlib
Osservazione interessante: in assenza di correnti libere
jlib = 0 → ∇× H = 0 H irrotazionale
→ H = −∇Φ (r ) , Φ (r ) potenziale magnetostatico
Problemi di magnetostatica: in assenza di correnti vere, si puo’ calcolare H
per mezzo di un potenziale scalare (come E in elettrostatica), come se
esistessero cariche magnetiche (anzi : poli), analoghe a quelle elettriche.
Ma: con il vincolo assoluto di rimanere sempre legate a coppie di segno
opposto nei dipoli magnetici
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - III
Sfera uniformemente magnetizzata (es. magnete permanente)
a)Campo interno: determinato dalla densita’ di corrente di magnetizzazione
efficace sulla superficie della sfera, equivalente a una distribuzione
superficiale di poli magnetici
σm = M ⋅ nˆ = M cos θ , nˆ versore normale alla superficie
Contributo elementare al campo al centro della sfera:
1 σm dA
1 M cos θ R 2 d Ω
1
ˆ
ˆ
dH = −
n
=
−
n
=
−
M cos θd Ωnˆ
2
2
4π R
4π
R
4π
Dopo somma vettoriale di tutti i contributi: solo componente lungo M z
H =∫
M
M
dH = − ∫ cos 2 θ d Ω = −
4π
2
+1
∫
cos 2 θd (cos θ ) = −
−1
+1
M
M
cos3 θ = −
−1
2⋅3
3
1
→ H = − M , e si puo' dimostrare che e' uniforme entro la sfera
3
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - IV
1
H =− M
3
 1

2
B = µ0 ( H + M ) = µ0 − M + M  = µ0 M Uniforme anche B
 3

3
Notare: B e H all'interno hanno verso opposto
b) Campo esterno: puro dipolo magnetico
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µ = π R 3 M Mom. di dipolo equivalente
3
Situazione simile (ma non identica!) a quella di una sfera dielettrica
polarizzata
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - V
Per dissipare un equivoco potenziale:
Nell’esempio non ci sono correnti vere, tuttavia H e’ diverso da 0!
Come mai?
Nulla di strano: l’assenza di correnti vere determina solo
∇×H = 0
Ma un campo vettoriale non e’ determinato dal solo rotore, occorre anche
la divergenza (vedi eq. di Maxwell)
Quindi non c’e’ contraddizione fra assenza di correnti vere e campo H
non nullo
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VI
Sfera paramagnetica in campo esterno uniforme B0
La sfera si magnetizza in conseguenza della presenza del campo esterno
Si puo’ mostrare che la magnetizzazione e’ uniforme
Sommiamo formalmente il campo esterno con il campo di una sfera
uniformemente magnetizzata:
2µ0 

Bin = B0 +
M


3

 all'interno della sfera
B0 M 

−
H in =


µ0
3


Inoltre deve valere, all'interno della sfera:
Bin = µ0 µr H in
per un materiale magnetico lineare e isotropo ( ← non ferromagnetico!)
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VII
Quindi:
 B0 M 
2µ0
B0 +
M = µ0 µr  − 
3
3 
 µ0
3  µr −1 
 B0
→ M = 
µ0  µr + 2 
Risultato analogo alla polarizzazione di una sfera dielettrica
in un campo elettrico esterno uniforme
Nota: anche per la magnetizzazione vale il risultato che un campione
di forma ellissoidale puo' essere magnetizzato uniformemente
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VIII
Campo totale in ogni punto:
Btot = B0 + Bsfera , dove Bsfera e' quello trovato prima
Risultato non valido per ferromagneti (←non lineari)
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E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - IX
Materiali magnetici vs dielettrici
Strette analogie con risultati su dipendenza dei campi dalla forma delle
cavita’, campo efficace sul singolo dipolo etc
Non estese al caso dei materiali ferromagnetici, che sono viceversa
analoghi a quelli ferroelettrici:
Isteresi
Magnetizzazione spontanea
Domini
anche se l’origine delle loro proprieta’ e’ diversa
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