Corso di Laurea in Chimica

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Chimica - Esame di FISICA I
Prova scritta - 16 aprile 2012
1. Un corpo rigido, formato da un disco omogeneo di massa M e raggio R e da un anello omogeneo di
raggio 23 R e massa M , coassiali, è vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso orizzontale coincidente
con il suo asse di simmetria cilindrica. Sul bordo del disco è avvolta una funicella ideale connessa ad
un estremo di una molla di costante elastica κ avente l’altro estremo ancorato ad un punto fisso posto
al dis opra del corpo rigido in maniera tale che la molla ed il tratto libero della funicella si dispongano
verticalmente; sull’anello è invece avvolta una seconda funicella che reca un punto materiale di massa
m alla propria estremità. Detto ϕ l’angolo di rotazioen del disco rispetto alla configurazione in cui
la molla è a riposo, e supponendo che le funicelle non scorrano sui bordi del disco e dell’anello, n di
sopra del corpo rigid6 in manierkappae che la molla ed il tratto libero della funicella si dispongano
verticalmente; sull’anello è invece avvolta una seconda funicella che reca un punto materiale P di massa
m alla propria estremità. Indicando con δ l’allungamento della molla rispetto alla sua lunghezza a
riposo e supponendo che le funicelle non scorrano sui bordi del disco e dell’anello, noti m = 3 kg,
M = 2m, R = 60 cm e κ = 196 N/m, determinare:
a) L’allungamento δ0 della molla corrispondente alla configurazione di equilibrio del sistema;
Posto quindi δ = δ0 + x e supponendo di abbandonare il sistema in quiete nella configurazione in cui
l’allungamento della molla è pari a δ0 + x0 , con x0 = 5 cm, determinare nel corso del moto successivo:
b) Le relazioni che legano fra loro x, l’angolo di rotazione ϕ del
corpo rigido, e la quota z di P , avendo definito z e ϕ in modo
tale che siano entrambi nulli nella configurazione di equilibrio;
c) L’accelerazione di P nell’istante iniziale del moto;
d) La velocità massima raggiunta da P durante il moto;
e) La tensione della funicella che regge P nell’istante in cui la
velocità di P è massima;
C
f) Il minimo intervallo di tempo fra due istanti in cui la quota di P
è massima e minima, rispettivamente;
~ necessaria a mantenere fisso l’asse di rotag) La forza vincolare S
zione del corpo rigido in funzione del tempo, ed i valori massimo
e minimo del suo modulo.
P
2. Sul pavimento di una giostra che ruota a velocità angolare costante ω0 intorno ad un asse verticale è
praticata una scanalatura, diretta radialmente, lungo la quale è vincolato a muoversi senza attrito un
punto materiale P di massa m. Un’opportuna forza radiale F~ = F n, dove n è il versore centripeto
parallelo alla scanalatura e F è una funzione reale del tempo, fa muovere P in maniera tale che la sua
distanza dall’asse di rotazione della giostra vari secondo l’equazione r(t) = r0 [1 + sin(Ωt)]. Assegnati
ω0 = 1 rad/s, Ω = 5 rad/s, r0 = 1 m ed m = 500 g, e supponendo di poter considerare il sistema
di riferimento del suolo un sistema inerziale, determinare (si consiglia di utilizzare la base ortogonale
destrorsa t, n e k per rappresentare i vettori, essendo t il versore orizzontale perpendicolare alla
scanalatura e k il versore verticale ascendente):
a) La velocità di P rispetto alla giostra e rispetto al suolo in funzione del tempo;
b) L’accelerazione di P rispetto alla giostra e rispetto al suolo in funzione del tempo;
c) La funzione F (t) che descrive la dipendenza dal tempo della forza F~ , ed i suoi valori minimo e
massimo;
~
d) La forza vincolare R(t)
applicata a P dalle pareti della scanalatura, ed i valori minimo e massimo
del suo modulo;
e) Se il motore della giostra deve applicare un momento di forza assiale per mantenere costante la
velocità angolare ω0 e, in caso di risposta affermativa, come tale momento varia nel tempo.