Corso di Laurea in Chimica

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Chimica - Esame di FISICA I
Prova scritta - 16 aprile 2012
1. Un corpo rigido, formato da un disco omogeneo di massa M e raggio R e da un anello omogeneo di
raggio 23 R e massa M , coassiali, è vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso orizzontale coincidente
con il suo asse di simmetria cilindrica. Sul bordo del disco è avvolta una funicella ideale connessa ad
un estremo di una molla di costante elastica κ avente l’altro estremo ancorato ad un punto fisso posto
al dis opra del corpo rigido in maniera tale che la molla ed il tratto libero della funicella si dispongano
verticalmente; sull’anello è invece avvolta una seconda funicella che reca un punto materiale di massa
m alla propria estremità. Detto ϕ l’angolo di rotazioen del disco rispetto alla configurazione in cui
la molla è a riposo, e supponendo che le funicelle non scorrano sui bordi del disco e dell’anello, n di
sopra del corpo rigid6 in manierkappae che la molla ed il tratto libero della funicella si dispongano
verticalmente; sull’anello è invece avvolta una seconda funicella che reca un punto materiale P di massa
m alla propria estremità. Indicando con δ l’allungamento della molla rispetto alla sua lunghezza a
riposo e supponendo che le funicelle non scorrano sui bordi del disco e dell’anello, noti m = 3 kg,
M = 2m, R = 60 cm e κ = 196 N/m, determinare:
a) L’allungamento δ0 della molla corrispondente alla configurazione di equilibrio del sistema;
Posto quindi δ = δ0 + x e supponendo di abbandonare il sistema in quiete nella configurazione in cui
l’allungamento della molla è pari a δ0 + x0 , con x0 = 5 cm, determinare nel corso del moto successivo:
b) Le relazioni che legano fra loro x, l’angolo di rotazione ϕ del
corpo rigido, e la quota z di P , avendo definito z e ϕ in modo
tale che siano entrambi nulli nella configurazione di equilibrio;
c) L’accelerazione di P nell’istante iniziale del moto;
d) La velocità massima raggiunta da P durante il moto;
e) La tensione della funicella che regge P nell’istante in cui la
velocità di P è massima;
C
f) Il minimo intervallo di tempo fra due istanti in cui la quota di P
è massima e minima, rispettivamente;
~ necessaria a mantenere fisso l’asse di rotag) La forza vincolare S
zione del corpo rigido in funzione del tempo, ed i valori massimo
e minimo del suo modulo.
P
2. Sul pavimento di una giostra che ruota a velocità angolare costante ω0 intorno ad un asse verticale è
praticata una scanalatura, diretta radialmente, lungo la quale è vincolato a muoversi senza attrito un
punto materiale P di massa m. Un’opportuna forza radiale F~ = F n, dove n è il versore centripeto
parallelo alla scanalatura e F è una funzione reale del tempo, fa muovere P in maniera tale che la sua
distanza dall’asse di rotazione della giostra vari secondo l’equazione r(t) = r0 [1 + sin(Ωt)]. Assegnati
ω0 = 1 rad/s, Ω = 5 rad/s, r0 = 1 m ed m = 500 g, e supponendo di poter considerare il sistema
di riferimento del suolo un sistema inerziale, determinare (si consiglia di utilizzare la base ortogonale
destrorsa t, n e k per rappresentare i vettori, essendo t il versore orizzontale perpendicolare alla
scanalatura e k il versore verticale ascendente):
a) La velocità di P rispetto alla giostra e rispetto al suolo in funzione del tempo;
b) L’accelerazione di P rispetto alla giostra e rispetto al suolo in funzione del tempo;
c) La funzione F (t) che descrive la dipendenza dal tempo della forza F~ , ed i suoi valori minimo e
massimo;
~
d) La forza vincolare R(t)
applicata a P dalle pareti della scanalatura, ed i valori minimo e massimo
del suo modulo;
e) Se il motore della giostra deve applicare un momento di forza assiale per mantenere costante la
velocità angolare ω0 e, in caso di risposta affermativa, come tale momento varia nel tempo.