Esperimentazioni di Fisica 2 Risposta di un passa

Esperimentazioni di Fisica 2
Risposta di un passa-alto ad un impulso esponenziale
14 maggio 2013
1
Impulso esponenziale
Lo studio dei circuiti passa alto del primo ordine (RC e RL) porta a concludere che l’ampiezza di un’eventuale discontinuità del segnale di tensione in ingresso, ad esempio come
nella funzione a gradino v = V θ(t), appaia in uscita esattamente con la stessa ampiezza. I
segnali reali non possono presentare discontinuità e la tensione di plateau V , nel gradino di
tensione, verrà raggiunta in un tempo finito. Se questo tempo, che è detto tempo di salita
dell’impulso1 è molto minore di quello caratteristico del circuito cui è applicato (RC o L/R
secondo il tipo di circuito), l’uso della funzione θ è giustificato, in tutti gli altri casi si deve
trovare un modello matematico che descriva come il segnale di ingresso raggiunga il valore
di plateau e analizzare come il circuito risponda a questo segnale.
Un modello matematico relativamente semplice che descrive un segnale a gradino realistico (con un tempo di salita finito) è rappresentato da
v(t) = V (1 − e−t/τ )
(1)
Il lettore può facilmente verificare che per questo modello di segnale il tempo di salita,
definito nella nota a piè di pagina, vale 2.2 τ .
In quello che segue si analizzerà la risposta di un circuito passa-alto del primo ordine a
un ingresso come quello definito dalla (1) e per fissare le idee studieremo un RC passa-alto,
anche se gli stessi risultati si sarebbero potuti ottenere analizzando un RL passa-alto.
2
Risposta di un RC passa alto a un segnale esponenziale
Indicando con i la corrente della maglia di ingresso, si ha:
R
v i = vC + vR =
i
+ Ri
C
(2)
1 In elettronica il tempo di salita di un impulso è definito in modo quantitativo come il tempo necessario
affinchè la tensione d’ingresso passi dal 10% al 90% del valore di tensione massima del segnale
1
Figura 1: .
da cui,
dvi
i
di
=
+R
dt
C
dt
(3)
Assumendo che a t = 0 la capacità C sia scarica ed essendo vi (0) = 0, sarà anche vu (0) = 0
e quindi i(0) = 0. Segue dalla (3)
dvi
dt
=
t=0
dvu
dt
(4)
t=0
Questa relazione, che uguaglia le velocità con cui variano ingresso e uscita, ci dice che,
inizialmente la tensione di uscita sarà uguale a quella d’ingresso e a meno che RC non
sia molto maggiore di τ l’uscita arriverà circa a V per poi decadere esponenzialmente con
tempo caratteristico RC. Dopo queste osservazioni qualitative sull’andamento della tensione
di uscita passiamo a ottenerne la descrizione quantitativa. Sostituendo la (1) nella (3) ed
esprimendo i tramite vu , si ha:
V −t/τ
vu
dvu
e
=
+
τ
RC
dt
definendo:
x≡
t
τ
n≡
e
2
RC
τ
(5)
la soluzione della (5), ottenuta come somma della soluzione dell’equazione omogenea associata più una soluzione particolare, come il lettore può facilmente verificare, è:
vu (t) = V
n
(e−x/n − e−x )
n−1
vu (t) = V xe−x
se n 6= 1
(6)
se n = 1
nella figura 1 sono mostrati gli andamenti della vu per diversi calori di n.
Limite per τ → 0.
Se il tempo di salita dell’impulso τ è molto minore del tempo ca-
ratteristico del circuito RC allora il segnale di ingresso è approssimabile a una funzione a
gradino, infatti la (6) ha come limite per τ → 0:
vu (t) = V e−t/RC
questo andamento coincide, infatti, con la risposta del passa-alto ad un impulso a gradino.
3
Effetto di un’induttanza parassita in un passa-basso
Consideriamo un circuito come quello mostrato in figura 2 in cui l’induttanza sia “piccola”,
ad esempio come quella che potrebbe essere dovuta al solo filo di connessione tra la resistenza
R e il condensatore C. Se il segnale di ingresso ha un tempo di salita sufficientemente rapido
il condensatore C si comporta come un corto e quindi il circuito si comporta come un RL
passa-alto con tempo caratteristico L/R spesso confrontabile o minore di quello dell’impulso
di ingresso a causa del piccolo valore di L (con la notazione del paragrafo precedente, avremo
n = L/Rτ ).
Dopo queste osservazioni qualitative affrontiamo la soluzione delle equazioni che descrivono il circuito assumendo che il segnale di ingresso sia un impulso di forma esponenziale,
come quella studiata nel paragrafo precedente (vedi la (1)). L’equazione del circuito è
vi (t) = Ri + L
R
i
di
+
dt
C
Differenziando l’equazione precedente per rimuovere l’integrale e sostituendo l’espressione
esplicita di vi (t), otteniamo
di
V e−t/τ
d2 i
i
=L 2 +R +
τ
dt
dt C
(7)
La (7) è un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti la cui soluzione
generale è data dalla somma della omogenea associata e una soluzione particolare. Come si
3
R
+
L
vi (t)
vu(t)
_
C
Figura 2:
può facilmente verificare, una soluzione particolare della (7) è:
V
·
R
τ
e−t/τ
L
τ2
τ− +
R RC
Operando le sostituzioni2
τC = RC,
τL =
(8)
L
R
la (8) si scrive
V
τ τC
·
e−t/τ
R τC τL − τ τC + τ 2
(9)
La soluzione dell’equazione omogenea associata alla (8) è:
Aes1 t + Bes2 t
(10)
dove s1 e s2 sono le soluzioni dell’equazione algebrica associata all’equazione differenziale e
A e B sono due costanti di integrazione. E’ facile mostrare che s1,2 valgono:
s1,2 = −
1
2τL
r
τL
1± 1−4
τC
L’espressione della corrente che circola nel circuito è:
i(t) =
V
τ τC
·
e−t/τ + Aes1 t + Bes2 t
R τC τL − τ τC + τ 2
La soluzione generale deve rispettare le seguenti condizioni al contorno: vu (0) = 0 e
dvu (0)/dt = dvi (0)/dt, ovvero di(0)/dt = 0. Entrambe queste condizioni derivano da elementari considerazioni sulle proprietà fisiche di capacità e induttanze. Da queste considerazioni
otteniamo le relazioni per determinare A e B:
V
τ τC
·
+ A + B = 0;
R τC τL − τ τC + τ 2
2 Le sostituzioni proposte utilizzano esplicitamente i tempi caratteristici del segnale d’ingresso (τ ) e del
circuito (τC e τL ). L’uso di tali parametri permette di comprendere più chiaramente come corrente e tensioni
del circuito evolvono nel tempo in modo migliore di quanto possa essere dedotto dall’uso dei parametri delle
impedenze (R, C e L).
4
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
Figura 3: Andamento temporale della tensione sulla serie L e C. I valori dei componenti
sono :L = 50nH, C = 1 nF , R = 50Ω. L’impulso di ingresso è vi (t) = [1 − exp(t/1 ns)] V .
La scala delle tensioni è in Volt e quella dei tempi in ns.
−
r
r
τC
1
V
τL
1
τL
·
+
−
1
−
1
−
4
A
+
−
1
+
1
−
4
B=0
R τC τL − τ τC + τ 2
2τL
τC
2τL
τC
quest’ultima equazione può essere scritta in forma più compatta:
V
τC
·
+
R τC τL − τ τC + τ 2
1
2τL
r
1−4
τL
τC
(A − B) −
1
(A + B) = 0
2τL
Risolvendo per A e B, e passando al limite per τC τ e τC τL si ha:
A=−
r
1V
τC
τC
V
τ
−
(2τ
−
τ
)
→
L
2 R τC τL − τ τC + τ 2
τC − 4τL
R
r
1V
τC
τC
V τL
B=−
τ + (2τL − τ )
→
2
2 R τC τL − τ τ C + τ
τC − 4τL
R τL − τ
La tensione ai capi della serie formata da capacità e induttanza si può ottenere sottraendo
alla tensione d’ingresso la caduta su R. In formule:
vu (t) = vi (t) − Ri(t) = V (1 − e−t/τ ) − V ·
e−t/τ −
τ τC
×
τC τL − τ τC + τ 2
(11)
r
r
τC
1
τC
1
τ − (2τL − τ )
es1 t −
τ + (2τL − τ )
es2 t
2τ
τC − 4τL
2τ
τC − 4τL
L’andamento di questa tensione è mostrato nella figura 3. Il picco di tensione è dovuto
all’effetto dell’induttanza che si oppone alla variazione di corrente dovuta all’impulso di
ingresso.
5