UNIVERSITÀ DI NAPOLI FEDERICO II
SCUOLA POLITECNICA E DELLE SCIENZE DI BASE
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Programma del corso di Analisi Reale (6 CFU)
a.a. 2015/2016
Prof. Vincenzo Ferone
a) Richiami di teoria della misura e misura di Hausdorff. Misure di Borel. Misure di Radon. Teorema
di ricoprimento di Vitali e conseguenze. Teorema di rappresentazione di Riesz (s.d.). Misura di Hausdorff:
definizione e proprietà. Dimensione di Hausdorff di un insieme. Insieme di Cantor. Dimensione di Hausdorff
per immagini di funzioni Hölderiane. Curve rettificabili e dimensione di Hausdorff. Insiemi autosimilari e
calcolo della dimensione di Hausdorff (s.d.). Triangolo di Sierpinski, curva di von Koch, polvere di Cantor.
Simmetrizzazione di Steiner. Alcune proprietà della simmetrizzazione di Steiner. Diseguaglianza isodiametrica.
H n = Ln su Rn (*). Proprietà di densità rispetto alla misura di Hausdorff (s.d.). Misura del grafico di
una funzione lipschitziana. Formula di area per funzioni lipschitziane (s.d.). Formula di coarea per funzioni
lipschitziane (s.d.).
[2] § 1.1–1.8; Cap. 2; § 3.3–3.4. [8] Cap. 6 § 3.3, Cap. 7 § 1–2.
b) Derivabilità di funzioni di una variabile reale. Proprietà delle funzioni monotone: decomposizione
in somma di una funzione continua e di una funzione di salto. Punti invisibili a destra (o a sinistra) per una
funzione continua e lemma di Riesz. Numeri derivati di Dini e derivabilità delle funzioni monotone: teorema
di Lebesgue (*). Piccolo teorema di Fubini (s.d.). Integrale della derivata di una funzione monotona. Funzione
di Cantor. Funzioni a variazione limitata: definizione e principali proprietà. Variazione totale di una funzione.
Decomposizione di Jordan di una funzione a variazione limitata. Funzione di Van der Waerden. Spazio BV
delle funzioni a variazione limitata. Curve rettificabili e funzioni a variazione limitata. Derivata dell’integrale
di Lebesgue. Funzioni assolutamente continue: definizione e proprietà. Teorema di Lebesgue sull’integrale della
derivata di una funzione assolutamente continua e conseguenze. Decomposizione di una funzione a variazione
limitata: parte assolutamente continua, di salto, singolare. Cenni sulla derivata distribuzionale. Misure di
Lebesgue-Stieltjes e relativo integrale. Misure di Lebesgue-Stieltjes e misure di Radon. Integrali di funzioni
continue. Funzionali lineari su C([a, b]) e misure di Radon. Teorema di Riesz (*). Variazione essenziale di
una funzione. Equivalenza tra variazione essenziale e variazione definita come norma di un funzionale. Buon
rappresentante di una funzione a variazione limitata (s.d.).
[5] Cap. VI. [7] § 6.1–6.5. [1] § 3.2. [8] Cap. 3.
c) Funzioni a variazione limitata (funzioni di più variabili). Funzioni di n variabili a variazione limitata.
Teorema di struttura per le funzioni BV . Misura variazione. Semicontinuità della misura variazione. Spazio
BV delle funzioni a variazione limitata. Cenni sui mollificatori e relative proprietà. Approssimazione con
funzioni regolari (*). Approssimazione debole delle derivate (s.d.). Risultati di compattezza in BV (s.d.).
Formula di coarea in BV (*). Diseguaglianza di Sobolev in BV . Diseguaglianza isoperimetrica e diseguaglianza
isoperimetrica relativa (s.d.). Frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito. Proprietà di densità per i
punti della frontiera ridotta (s.d.). Teorema di struttura per insiemi di perimetro finito (*). Frontiera essenziale
di un insieme e relazione con la frontiera ridotta. Teorema di Gauss-Green in BV (s.d.). Limite approssimato
di una funzione BV : definizioni e proprietà. Insieme di salto. Decomposizione della misura variazione di una
funzione BV . Applicazione della proprietà di semicontinuità in BV allo studio dell’esistenza di superfici minime.
Simmetrizzazione di Steiner e perimetro di un insieme. Diseguaglianza isoperimetrica in forma ottimale (*).
[2] § 5.1–5.2, 5.5–5.9. [4] Cap. 1. [9] § 3.
Tra gli argomenti contrassegnati con (*) il candidato è tenuto a conoscere i dettagli dimostrativi di almeno tre.
s.d.= senza dimostrazione
TESTI DI RIFERIMENTO
[1] L. Ambrosio - N. Fusco - D. Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems,
Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
[2] L.C. Evans - R.F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, 1992.
[3] N. Fusco, The classical isoperimetric theorem. Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli (4) 71 (2004), 63–107.
[4] E. Giusti, Minimal surfaces and functions of bounded variation, Monographs in Mathematics, 80. Birkhuser
Verlag, Basel, 1984.
[5] A.N. Kolmogorov - S. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Editori Riuniti.
[6] H.L. Royden, Real Analysis, Macmillan Publishing Company, 1963.
[7] H.L. Royden - P.M. Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010.
[8] E.M. Stein - R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005.
[9] G. Talenti, The standard isoperimetric theorem, Handbook of convex geometry, Vol. A, B, 73–123, NorthHolland, Amsterdam, 1993.
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