Algebra 1 - Giulia`s math class

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A Ripasso
1
Scheda
PROPRIETÀ
ESEMPI
Addizione
– Interna a N (ovvero la somma di due numeri naturali è
sempre un numero naturale)
– Commutativa
2þ3¼3þ2
aþb¼bþa
– Associativa
ða þ bÞ þ c ¼ a þ ðb þ cÞ
ð2 þ 3Þ þ 5 ¼ 2 þ ð3 þ 5Þ
– Esiste l’elemento neutro
aþ0¼0þa ¼a
Sottrazione
–
–
–
–
3þ0¼0þ3¼3
Non interna a N
Non commutativa
Non associativa
Invariantiva: la differenza tra due numeri naturali
non cambia se a entrambi si aggiunge o si toglie
(purché sia possibile effettuare la sottrazione in N)
uno stesso numero
a b ¼ ða þ cÞ ðb þ cÞ
a b ¼ ða cÞ ðb cÞ
Moltiplicazione
5 7 non è eseguibile in N
3 2 6¼ 2 3
ð5 3Þ 2 6¼ 5 ð3 2Þ
Numeri naturali e numeri interi
OPERAZIONE
Unità 1
Le operazioni in N e le loro proprietà
7 4 ¼ ð7 þ 3Þ ð4 þ 3Þ
7 4 ¼ ð7 3Þ ð4 3Þ
Aggiungendo e sottraendo 3
ai due numeri
– Interna a N (ovvero il prodotto di due numeri naturali è
sempre un numero naturale)
– Commutativa
23¼32
ab¼ba
– Associativa
ð2 3Þ 5 ¼ 2 ð3 5Þ
ða bÞ c ¼ a ðb cÞ
– Esiste l’elemento neutro
21¼12¼2
a1¼1a ¼a
– Distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione
a sinistra
a ðb cÞ ¼ a b a c
2 ð10 þ 15Þ ¼ 2 10 þ 2 15
a destra
ða bÞ c ¼ a c b c
ð6 þ 7Þ 8 ¼ 6 8 þ 7 8
– Legge di annullamento del prodotto
a b ¼ 0 se e solo se
Divisione
–
–
–
–
a¼0ob¼0
Non interna a N
Non commutativa
Non associativa
Distributiva a destra (ma non a sinistra!) rispetto
all’addizione
ða þ bÞ : c ¼ a : c þ b : c
(purché tutte le divisioni siano possibili in N)
– Invariantiva: il quoziente di due numeri non cambia
se il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi
(purché la divisione sia possibile in N) per uno stesso
numero diverso da 0
5 : 7 non è eseguibile in N
4 : 2 6¼ 2 : 4
ð12 : 6Þ : 2 6¼ 12 : ð6 : 2Þ
ð99 þ 9Þ : 9 ¼ 99 : 9 þ 9 : 9
ð99 : 9Þ ¼ ð99 3Þ : ð9 3Þ
ð99 : 9Þ ¼ ð99 : 3Þ : ð9 : 3Þ
Moltiplicando e dividendo per 3 il dividendo e il divisore
Attenzione!
Una divisione in cui il divisore è 0 non è definita: perciò non si attribuisce alcun significato a scritture quali:
6:0
11 : 0
1000
0
Senza significato!
Invece una divisione in cui il dividendo è 0 (e il divisore è diverso da 0) dà come quoziente 0.
1
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
1
A Ripasso
Le operazioni in Z
COME
CALCOLARE...
SEGNO
VALORE ASSOLUTO
ESEMPI
... la somma
di due interi
concordi
è uguale a quello
dei due addendi
è uguale alla somma dei
valori assoluti dei due
addendi
ð4Þ þ ð5Þ ¼ ð4 þ 5Þ ¼ 9
... la somma
di due interi
discordi
è uguale a quello
dell’addendo che
ha valore assoluto
maggiore
è uguale alla differenza
fra il valore assoluto
maggiore e quello
minore dei due
addendi
... il prodotto
di due interi
è þ se i due numeri
sono concordi, è se sono discordi
è uguale al prodotto dei
valori assoluti dei due
numeri
è þ se i due numeri
sono concordi, è se sono discordi
è uguale al quoziente
dei valori assoluti dei
due numeri
... il quoziente
di due interi
(divisibili in Z)
segno uguale
a quello
dei due addendi
valore assoluto uguale
alla somma dei valori
assoluti dei due addendi
ðþ2Þ þ ð4Þ ¼ ð4 2Þ ¼ 2
segno uguale a quello
di 4 che, fra i due
addendi, è quello di
valore assoluto maggiore
valore assoluto uguale
alla differenza dei valori
assoluti dei due
addendi
ð3Þ ð7Þ ¼ þð3 7Þ ¼ þ21
segno þ perché
i due fattori sono concordi
prodotto dei valori
assoluti dei due
fattori
ð16Þ : ðþ4Þ ¼ ð16 : 4Þ ¼ 4
segno perché i
due numeri sono discordi
quoziente dei valori
assoluti dei due numeri
Le potenze e le loro proprietà
TIPO DI POTENZA
DEFINIZIONE
ESEMPI
ð2Þ2 ¼ ð2Þ ð2Þ ¼ þ4
n
a ¼ a a ::: a
Potenza a esponente intero
positivo maggiore di 1
n volte
2 volte
3
ð3Þ ¼ ð3Þ ð3Þ ð3Þ ¼ 27
3 volte
Potenza a esponente 1
a ¼a
3 ¼3
ð2Þ1 ¼ 2
Potenza a esponente 0
a0 ¼ 1, con a 6¼ 0
30 ¼ 1
ð2Þ0 ¼ 1
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
IN SIMBOLI
ESEMPI
Prodotto di potenze
aventi la stessa base
am an ¼ amþn
212 28 ¼ 212þ8 ¼ 220
Quoziente di potenze
aventi la stessa base
am : an ¼ amn
212 : 28 ¼ 2128 ¼ 24
Potenza di potenza
ðam Þn ¼ amn
ð23 Þ2 ¼ 232 ¼ 26
Potenza di un prodotto
ða bÞn ¼ an bn
ð5 7Þ2 ¼ 52 72
Potenza di un quoziente
ða : bÞn ¼ an : bn
ð8 : 2Þ2 ¼ 82 : 22
1
1
Attenzione!
1. Nota che an 6¼ðaÞn . Per esempio:
24 ¼ 2 2 2 2 ¼ 16
mentre
ð2Þ4 ¼ ð2Þ ð2Þ ð2Þ ð2Þ ¼ þ16
la base è 2
la base è 2
0
2. Il simbolo 0 è indefinito.
3. Nota che ða þ bÞn 6¼ an þ bn e ða bÞn 6¼ an bn . Per esempio:
ð1 þ 1Þ3 ¼ 23 ¼ 8
2
mentre
13 þ 13 ¼ 1 þ 1 ¼ 2
A Ripasso
1
Scheda
Unità 1
Il linguaggio fondamentale in N e in Z
RISPOSTE
ESEMPI
Dati due numeri naturali
a e b, quando a
si dice multiplo di b?
Quando esiste un numero naturale q tale
che:
20 ¼ 5 4 quindi 20 è multiplo di 4
In quali modi equivalenti
si può esprimere la frase
«a è multiplo di b»?
«b è un divisore di a»
«b divide a»
«a è divisibile per b»
«20 è multiplo di 4» equivale a «4 è un
divisore di 20», oppure a «4 divide 20»
oppure a «20 è divisibile per 4»
Quando un numero naturale
si dice primo?
Quando è maggiore di 1 ed è divisibile
soltanto per se stesso e per il numero 1.
5 è primo
6 non è primo (è divisibile, oltre che per
se stesso e per 1, per 2 e per 3)
Quali sono i principali
criteri di divisibilità?
Un numero è divisibile per:
2 se termina con una cifra pari
3 o 9 se lo è la somma delle sue cifre
5 se termina per 0 o per 5
4 o 25 se lo è il numero formato dalle
ultime sue due cifre o se termina con due
zeri
11 se lo è la differenza tra la somma delle
cifre di posto dispari e la somma delle
cifre di posto pari, contate a partire da
destra
134 è divisibile per 2
213 è divisibile per 3 (perché
2 þ 1 þ 3 ¼ 6 è divisibile per 3)
125 e 120 sono divisibili per 5
1316 è divisibile per 4 (perché lo è 16);
375 è divisibile per 25 (perché lo è 75)
495 è divisibile per 11 perché lo è
5 þ 4 9 ¼ 0 (0 è divisibile per qualsiasi
numero naturale diverso da zero, in
particolare è divisibile per 11)
Che cos’è il massimo comune
divisore tra due o più numeri
naturali diversi da zero,
e come si calcola?
È il più grande fra i loro divisori comuni.
Si può calcolare scomponendo i numeri dati
in fattori primi e considerando il prodotto
dei fattori primi comuni a tutti i numeri
assegnati, presi una sola volta, ciascuno con
il minimo esponente con cui figura nelle
scomposizioni.
12 ¼ 22 3, 30 ¼ 2 5 3, 80 ¼ 24 5
Quando due numeri si dicono
primi fra loro o coprimi?
Quando il loro massimo comune divisore
è 1.
12 e 35 sono primi tra loro
12 e 15 non sono primi tra loro (perché il
loro massimo comune divisore è 3)
Che cos’è il minimo comune
multiplo tra due o più numeri
naturali diversi da zero, e
come si calcola?
È il più piccolo fra i multipli comuni, diversi
da 0.
Si può calcolare scomponendo i numeri dati
in fattori primi e considerando il prodotto
dei fattori primi comuni e non comuni a tutti i
numeri assegnati, presi una sola volta,
ciascuno con il massimo esponente con cui
figura nelle scomposizioni.
12 ¼ 22 3, 90 ¼ 2 5 32 , 40 ¼ 23 5
I fattori comuni e non comuni sono 2, 3 e 5,
e i massimi esponenti con cui questi tre
numeri compaiono nelle scomposizioni
sono rispettivamente 3, 2 e 1; quindi:
Quali numeri si dicono interi?
I numeri ottenuti attribuendo a ciascun
numero naturale un segno þ o un segno .
L’insieme dei numeri interi si indica con la
lettera Z.
Sono numeri interi:
7, þ1, 0, 10, þ100
Quando due numeri si dicono
concordi o discordi?
Sono concordi se sono preceduti dallo
stesso segno; sono discordi in caso
contrario.
4 e 3 sono concordi
þ2 e þ5 sono concordi
2 e þ3 sono discordi
Che cos’è il valore assoluto
di un numero intero?
È il numero stesso, se esso è maggiore o
uguale a 0, è il suo opposto in caso
contrario.
j3j ¼ ð3Þ ¼ þ3
Quando due numeri si dicono
opposti?
Quando hanno lo stesso valore assoluto e
segno contrario
2 e þ2 sono opposti
þ5 e 5 sono opposti
a
q
b
a ¼qb
Numeri naturali e numeri interi
DOMANDE
Osserviamo che 2 è l’unico fattore primo
comune a tutti e tre i numeri dati e che
l’esponente minimo con cui compare nelle
scomposizioni è 1; quindi:
M.C.D.ð12, 30, 80Þ ¼ 2
m.c.m.ð12, 90, 40Þ ¼ 23 32 5 ¼ 360
j þ 4j ¼ þ4
3
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
1
B Verifica delle conoscenze
Completa.
Fra le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, le uniche due che sono interne a N
sono la ::::::::::::::: e la :::::::::::::::
1
Þ
2
Þ
3
Þ
4
Þ
5
Þ
103 þ 0 ¼ ::::: e 20 1 ¼ :::::
Per la proprietà commutativa dell’addizione 10 þ 99 ¼ ::::: þ :::::
Per la proprietà associativa dell’addizione ð1 þ 10Þ þ 100 ¼ 1 þ ð::::: þ :::::Þ
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione possiamo scrivere:
:::::
6
Þ
7
Þ
8
Þ
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
14
Þ
15
Þ
16
Þ
17
Þ
ð10 þ :::::Þ ¼ 6 10 þ 6 7
In base alla proprietà ::::::::::::::: della ::::::::::::::: possiamo scrivere: ð77 þ 7Þ : 7 ¼ 77 : 7 þ 7 : 7
In base alla proprietà ::::::::::::::: della :::::::::::::::possiamo scrivere: ð5 þ 100Þ ð3 þ 100Þ ¼ 5 3
35 ¼ 7 5; quindi 7 e 5 sono :::::::::: di 35.
12 ¼ 22 3; quindi 12 è divisibile, oltre che per 1 e per se stesso, per 2, :::::, 3, :::::
10 è multiplo di ::::: e di :::::
45 ¼ 9 5, quindi 45 è ::::::::::::::: di 9 e di 5.
Il valore assoluto di 7 è :::::
I due numeri 10 e ::::: sono opposti.
I due numeri 4 e ::::: sono concordi.
I due numeri þ3 e ::::: sono discordi.
I due numeri 3 e ::::: sono diversi ma hanno lo stesso valore assoluto.
Fra le quattro operazioni elementari, l’unica rispetto cui l’insieme Z non è chiuso è la :::::::::::::::
Test
18
Þ
A
19
Þ
A
20
Þ
A
21
Þ
A
22
Þ
A
23
Þ
A
24
Þ
A
25
Þ
A
26
Þ
A
4
Qual è il risultato dell’espressione: ð5 2Þ : 10?
0
B
1
D
non è definito
D
non è definito
D
non è definito
D
9
D
9
453
D
454
C
963
D
881
C
59
D
69
D
51 e 61
C
2
Qual è il risultato dell’espressione: 10 : ð5 0Þ?
0
B
1
C
2
Qual è il risultato dell’espressione: ð5 0Þ : 10?
0
B
1
C
2
Quale tra i seguenti numeri è un divisore di 1216?
3
B
4
C
5
Quale tra i seguenti numeri è un divisore di 2121?
3
B
4
C
5
Quale tra i seguenti numeri è multiplo di 11?
451
B
452
C
Quale tra i seguenti numeri è multiplo di 9?
951
B
457
Quale tra i seguenti numeri è primo?
39
B
49
Quale delle seguenti è una coppia di numeri primi fra loro?
21 e 51
B
12 e 22
C
49 e 35
1
B Verifica delle conoscenze
A
A
29
Þ
A
30
Þ
A
31
Þ
A
32
Þ
A
Quale dei seguenti numeri è divisibile per 6?
182
B
482
C
384
D
533
D
9
D
1080
Qual è il massimo comune divisore tra 18, 63, 99?
1
B
3
C
6
Numeri naturali e numeri interi
28
Þ
Unità 1
27
Þ
Scheda
Qual è il minimo comune multiplo tra 18, 80, 180?
180
B
360
C
720
Per determinare il prodotto di due potenze aventi la stessa base gli esponenti vanno:
sommati
B
sottratti
C
moltiplicati
D
divisi
Per determinare il quoziente di due potenze aventi la stessa base gli esponenti vanno:
sommati
B
sottratti
C
moltiplicati
D
divisi
D
nessuna delle precedenti
Per elevare una potenza al quadrato, l’esponente della potenza va:
elevato al quadrato
B
moltiplicato per 2
C
diviso per 2
Vero o falso?
33
Þ
34
Þ
35
Þ
36
Þ
37
Þ
38
Þ
39
Þ
40
Þ
41
Þ
ð10 þ 2Þ ð8 þ 2Þ ¼ 10 8
V
F
99 : 9 ¼ ð99 : 3Þ : ð9 : 3Þ
V
F
99 : ð9 þ 3Þ ¼ 99 : 9 þ 99 : 3
V
F
ð99 þ 9Þ : 9 ¼ 99 : 9 þ 9 : 9
V
F
11 ð99 99Þ ¼ 11
V
F
0 : ð9 þ 1Þ è una scrittura priva di significato
V
F
9 : 0 è una scrittura priva di significato
V
F
ð10 þ 15Þ 5 ¼ 5 15 þ 10 5
V
F
ogni numero naturale diverso da zero
è divisibile per se stesso
42
Þ
ogni numero naturale è divisibile per 1
V
F
V
F
ogni numero naturale è divisibile per 0
V
F
0 è divisibile per ogni numero naturale
diverso da zero
V
F
j3j ¼ þ3
V
F
jþ5j ¼ 5
V
F
V
F
V
F
108 : 102 ¼ 106
V
F
1010 : 102 ¼ 105
V
F
43
Þ
44
Þ
45
Þ
46
Þ
47
Þ
se a < 0, la potenza an è negativa
per ogni n 2 N
3 2
48
9 ¼ 99
Þ
49
Þ
50
Þ
C Esercizi guidati
1
Scheda
Completa le seguenti scomposizioni in fattori primi.
1
Þ
2
Þ
3
Þ
126 ¼ 2 3:::: :::::
128 ¼ 2::::
129 ¼ 3 :::::
120 ¼ 2::::: 3 :::::
130 ¼ 2 ::::: :::::
140 ¼ 2:::: ::::: 7
108 ¼ 22 3::::
192 ¼ 2:::: 3
102 ¼ ::::: ::::: 17
Completa i seguenti esercizi in cui ti guidiamo a calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune
multiplo.
I divisori di 8 sono 1, 2, :::::, 8; i divisori di 20 sono 1, 2, :::::, :::::, 10, 20. Quindi i divisori comuni di 8 e 20 sono :::::::::::::::
e il loro massimo comune divisore è :::::
4
Þ
I multipli (diversi da zero) di 6 sono 6, 12, :::::, 24, :::::, 36, :::::; i multipli di 4 sono 4, 8, :::::, 16, 20, :::::, 28, ::::: Quindi i
multipli comuni di 6 e 4 sono ::::::::::::::: e il loro minimo comune multiplo è :::::
5
Þ
5
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
6
Þ
7
Þ
1
C Esercizi guidati
Si ha 45 ¼ 3:::: 5 e 150 ¼ 2 3 5:::: , quindi M.C.D.ð45, 150Þ ¼ 3 ::::: ¼ :::::::::: e m.c.m.ð45, 150Þ ¼ 2 3::: 5:::: ¼ :::::
Si ha 250 ¼ 2 5:::: e 200 ¼ 2:::: 52 , quindi M.C.D.ð250, 200Þ ¼ 2 5:::: ¼ ::::: e m.c.m.ð250, 200Þ ¼ 2::: 5:::: ¼ :::::
Completa le seguenti uguaglianze in cui ti guidiamo a svolgere calcoli tra numeri relativi.
8
Þ
9
Þ
10
Þ
2 þ ð3Þ ð3Þ ¼ 2 ::::: þ ::::: ¼ :::::
5 ðþ7Þ ð6Þ ¼ 5:::::7:::::6 ¼ :::::
ð2Þ ð3Þ ðþ3Þ ¼ ðþ:::::Þ ðþ3Þ ¼ :::::
ð2Þ ðþ3Þ ð4Þ ¼ ð:::::Þ ð4Þ ¼ þ:::::
ð30Þ : ð15Þ : ð2Þ ¼ ðþ:::::Þ : ð2Þ ¼ :::1
ð100Þ : ð20Þ : ð5Þ ¼ ð:::::5Þ : ð5Þ ¼ :::::
Completa le seguenti uguaglianze in cui ti guidiamo a calcolare alcune potenze e ad applicare le proprietà
delle potenze.
11
Þ
12
Þ
13
Þ
14
Þ
ð5Þ3 ¼ :::::
ð6Þ2 ¼ þ:::::
ð2Þ4 ¼ :::16
ð:::::Þ3 ¼ 125
ð:::::Þ5 ¼ 32
73 72 ¼ 7::::þ:::: ¼ 7::::
713 : 711 ¼ 713:::: ¼ 7:::: ¼ :::::
ð23 Þ2 ¼ 23:::: ¼ 2:::: ¼ :::::
24 22 ¼ 2::::þ:::: ¼ 2:::: ¼ :::::
713 : 713 ¼ 7:::::::: ¼ 7:::: ¼ :::::
ð33 Þ4 ¼ 33:::: ¼ 3:::::
ð4Þ3 ðþ4Þ2 ¼ ð4Þ3 ð4Þ2 ¼ ð4Þ:::::
ðþ4Þ3 ð4Þ5 ¼ 43 45 ¼ 4::::
Stabilisci se ciascuna delle seguenti uguaglianze è corretta; in caso contrario, correggi gli errori.
15
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
22
Þ
ð7Þ2 ¼ 49
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
ð5Þ3 ¼ 125
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
........................
53 54 ¼ 534 ¼ 512
3
3
ð4Þ ð3Þ ¼ ðþ12Þ
3
ð4Þ6 ðþ4Þ8 ¼ ð4Þ14
ð4Þ7 ðþ4Þ5 ¼ ð4Þ12
ð10
2
103 10
Þ
¼ 10
103 102
¼ 10
106
ð102 Þ10 ¼ ð1010 Þ2
Completa le seguenti tabelle in cui ti guidiamo a semplificare alcune espressioni numeriche.
23
Þ
Passi del procedimento
Semplificare l’espressione:
2 ð3Þ2 : 6 ð2Þ2 ð3Þ þ 10 9 þ ð88Þ : ð11Þ : ð4Þ ¼
Esegui le potenze:
¼ 2 ðþ9Þ : 6 ð:::::Þ ð3Þ þ 10 9 þ ð88Þ : ð11Þ : ð4Þ ¼
Esegui moltiplicazioni e divisioni,
nell’ordine in cui compaiono:
¼ 18 : 6 ð:::::Þ þ 10 9 þ ðþ:::::Þ : ð4Þ ¼
Esegui le divisioni rimaste:
¼ 3 ð:::::Þ þ 10 9 þ ð:::::Þ ¼
Esegui la somma algebrica rimasta:
¼ 3 þ ::::: þ 10 9 ::::: ¼ :::::
24
Þ
Passi del procedimento
Semplificare l’espressione:
20 ½36 : 18 þ 24 : ð23 2Þ ð2 4 5Þ þ 35 : 7 ¼
6
Esegui prima le potenze, le moltiplicazioni
e le divisioni dentro le parentesi tonde:
¼ 20 ½36 : 18 þ 24 : ð8 2Þ ð::::: 5Þ þ 35 : 7 ¼
Esegui le addizioni e le sottrazioni dentro le tonde:
¼ 20 ½36 : 18 þ 24 : 6 ::::: þ 35 : 7 ¼
Esegui ora tutte le divisioni:
¼ 20 ½2 þ ::::: ::::: þ 5 ¼
Esegui il calcolo dentro la quadra:
¼ 20 ::::: ::::: þ 5 ¼ :::::
1
C Esercizi guidati
Scheda
Unità 1
25
Þ
Passi del procedimento
Semplificare l’espressione:
½ð2Þ4 3 : ½ð2Þ3 ð2Þ7 þ ½ð2Þ5 2 : ½ð2Þ8 ð2Þ2 ¼
¼ ð2Þ12 : ½ð2Þ3 ð2Þ7 þ ð2Þ:::: : ½ð2Þ8 ð2Þ2 ¼
Applica la proprietà del prodotto di potenze con la
stessa base:
¼ ð2Þ12 : ð2Þ10 þ ð2Þ:::: : ð2Þ:::: ¼
Applica la proprietà del quoziente di potenze con la
stessa base:
¼ ð2Þ:::: þ ð2Þ0 ¼
Calcola le potenze:
¼ ::::: þ ::::: ¼ :::::
Numeri naturali e numeri interi
Applica la proprietà della potenza di potenza:
26
Þ
Passi del procedimento
Semplificare l’espressione:
½ð3Þ5 3 : ½ð3Þ3 ðþ3Þ8 ¼
Osserva che è possibile riscrivere l’espressione in forma equivalente
in modo che tutte le potenze abbiano la stessa base, cosı̀ da poter
utilizzare le proprietà delle potenze:
¼ ½ð3Þ5 3 : ½ð3Þ3 ð3Þ8 ¼
Applica la proprietà della potenza di potenza e del prodotto di
potenze con la stessa base:
¼ ð3Þ:::: : ð3Þ:::: ¼
Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base:
¼ ð3Þ:::: ¼
Calcola la potenza:
¼ :::::
1
D Esercizi da svolgere
1
Þ
Scheda
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri naturali: 135; 108; 132; 180; 1100, 1111.
Determina massimo comune divisore e minimo comune multiplo dei seguenti gruppi di numeri.
2
Þ
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
15, 16, 28
[M.C.D. ¼ 1, m.c.m. ¼ 1680]
125, 20, 30
[M.C.D. ¼ 5, m.c.m. ¼ 1500]
81, 51, 21
[M.C.D. ¼ 3, m.c.m. ¼ 9639]
35, 49, 70
[M.C.D. ¼ 7, m.c.m. ¼ 490]
[M.C.D. ¼ 10, m.c.m. ¼ 1100]
10, 110, 1100
Calcola il valore delle seguenti espressioni in N applicando, ove possibile, le proprietà delle potenze.
7
Þ
8
Þ
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
4 32 3 22 þ 23 6
[26]
ð4 22 Þ : 8 þ 36 : 32 20 : 4
2
[1]
2
3
2
½20 ð36 : 9 þ 10 : 2 2 Þ ð5 2 2 Þ : 6 1
[5]
f½3 þ 6 ð2 þ 22 Þ : 3 þ 30 : 5 6 : 2g : 4
[4]
½ð26 22 Þ2 : ð25 Þ3 3 1
[7]
8
6 4
2 3 2
½ð3 : 3 Þ : ð3 Þ 3
4
[0]
7
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
13
Þ
14
Þ
15
Þ
16
Þ
17
Þ
1
D Esercizi da svolgere
½ð212 : 210 Þ4 : ð23 Þ2 2 20
[15]
27 ð25 Þ2 : ð24 Þ4 þ 39 ð32 Þ3 : ð34 Þ3
h
i 2
ð16 : 8 : 2Þ3 ð24 : 6 : 2Þ4 27 : 23
[29]
ð164 : 83 Þ : 24 þ 272 : 81
n
o
½36 : ð6 : 2Þ3 124 : ð123 Þ2 ½ð36 : 6 : 2Þ3 34 : ð32 Þ3
[17]
[9]
Calcola il valore delle seguenti espressioni in Z applicando, ove possibile, le proprietà delle potenze.
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
26
Þ
27
Þ
6 ð3 þ 1 4Þ þ ð2 þ 10 5Þ
[9]
5 ð2 1 4Þ ð3 þ 7 2Þ
[6]
2 ½3 ð2 þ 4 5Þ
[2]
1 ½2 ð2 þ 3 5Þ ð1 þ 4Þ
½4 þ ð3Þð7Þ : ð5Þ ð10Þ
29
Þ
30
Þ
31
Þ
[4]
[5]
½3 ð2Þðþ3Þ þ ð10Þ : ð2Þ ð4 8Þ : ½8 þ ð2 þ 4Þ
[3]
f5 ½3 ð2Þðþ3Þ þ ð2Þð2Þg : ð3Þ ð6Þ
[12]
½ð10Þ17 : ð10Þ14 2 : ð102 Þ2 ð10Þ0
[99]
j 6j3 : ð2Þ3 j 8j2 : ð2Þ2
ð2Þ
12
: ð2Þ
7
þ
ð2Þ
10
: ð2Þ
[43]
3
ð2Þ4
n
o2
28
½ð3Þ3 þ ð10Þð2Þ4 : ½ð7Þ4 ð7Þ2 Þ
8
[32]
ð2Þ3
½ð8Þ3 : ð64Þ ð2Þ2 5 : ð4Þ4
ð5Þ7 ð5Þ8 : ½ðþ5Þ2 7 ð4Þ6 ð4Þ3 : ðþ4Þ8
n
o
½ð8Þ2 2 : ½ð4Þ2 ðj 4jÞ3 : ½ðþ2Þ5 2 : ½ð2Þ3 3
[4]
[49]
[4]
[1]
[2]
2
A Ripasso
Scheda
Unità 2
Definizioni principali
RISPOSTE
ESEMPI
Che cos’è una frazione? Quando una frazione si dice ridotta ai
minimi termini?
Una frazione è il rapporto tra due numeri naturali. Si dice ridotta ai minimi termini quando il
massimo comune divisore fra numeratore e denominatore è 1.
5
è una frazione ridotta ai minimi termini,
4
12
mentre
non lo è
15
Come si possono confrontare due frazioni?
a
c
<
b
d
5
8
> perché 5 7 > 8 4
4
7
a
c
¼
b
d
a
c
>
b
d
rispettivamente a seconda che:
ad < bc
ad ¼ bc
ad > bc
Come si può esprimere
una frazione in forma
decimale?
Eseguendo la divisione tra numeratore
e denominatore.
Come si può trasformare un numero decimale
finito in una frazione?
Si scrive una frazione che ha:
al numeratore il numero scritto senza la virgola;
al denominatore un 1 seguito da tanti zeri
quante sono le cifre dopo la virgola.
Come si può trasformare un numero decimale
periodico in una frazione?
Si scrive una frazione che ha:
per numeratore la differenza fra il numero
scritto senza la virgola e la parte che viene
prima del periodo;
per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (se c’è).
Che cos’è un numero
razionale assoluto?
Si chiama numero razionale assoluto l’insieme
di tutte le frazioni equivalenti a una frazione data.
Che cos’è un numero
razionale?
Si chiama numero razionale ogni numero che si
ottiene facendo precedere il segno þ o il segno
a un numero razionale assoluto.
Quando due numeri razionali si dicono concordi? E discordi?
Si dicono concordi quando hanno lo stesso segno, discordi in caso contrario.
Che cos’è il reciproco o
inverso di un numero
razionale?
È il numero che, moltiplicato per il numero originario, dà come risultato 1.
Se il numero razionale è espresso nella forma
b
a
, il suo reciproco è .
a
b
Non esiste il reciproco di 0.
Che cosa rappresenta
la proporzione
a : b ¼ c : d?
È una scrittura equivalente a:
a
c
¼
b
d
Che cosa rappresenta il
simbolo di percentuale
x%?
3
4
< perché 3 5 < 4 4
4
5
7
¼ ð7 : 4Þ ¼ 1,75
4
1,25 ¼
7
4
30 1,75
20
0
125
5
¼
100
4
5,4 ¼
54
27
¼
10
5
1,3 ¼
13 1
12 4
4
¼
¼
3
9
93
0,105 ¼
Numeri razionali e introduzione ai numeri reali
DOMANDE
105 10
95 19
19
¼
¼
180
900
900180
5 10 15
,
,
sono rappresentazioni diverse dello
4 8 12
stesso numero razionale, definito dall’insieme
5 10 15
,
,
, ::: .
4 8 12
þ
5
2
; 0,25; þ5,4; 4
3
þ
5
3
e
4
4
sono discordi
0,25 e 1,2 sono concordi
È una scrittura equivalente a
þ2
reciproco
1
2
2
3
3 reciproco
2
2:3¼4:6
x
.
100
þ
15% ¼
equivale a
2
4
¼
3
6
15
3
¼
100
20
9
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
2
A Ripasso
Attenzione!
Non confondere l’opposto di un numero con il suo reciproco. Per esempio, l’opposto di 3 è 3 mentre il reciproco di 3 è
1
. Il
3
reciproco di un numero, al contrario dell’opposto, ha lo stesso segno del numero originario.
Operazioni nell’insieme dei numeri razionali
Le operazioni fra numeri razionali assoluti, espressi da frazioni, sono definite come riassunto nella seguente tabella.
OPERAZIONE
COME È DEFINITA
ESEMPI
Addizione
e sottrazione
a
c
ðm.c.m.ðb, dÞ : bÞ a ðm.c.m.ðb, dÞ : dÞ c
¼
b
d
m.c.m.ðb, dÞ
3
1
33þ41
13
þ ¼
¼
4
3
12
12
Moltiplicazione
a c
ac
¼
b d
bd
5 7
35
¼
6 3
18
Divisione
a c
a d
:
¼ b d
b c
1 3
1 2
2
:
¼ ¼
5 2
5 3
15
Le operazioni tra numeri razionali relativi si eseguono con regole del tutto analoghe a quelle viste in Z, tenendo conto della regola dei segni.
Potenze nell’insieme dei numeri razionali
Le potenze nell’insieme dei numeri razionali sono definite in modo analogo a quanto visto in N e in Z. In Q però si definiscono
anche le potenze con esponente negativo.
POTENZA A ESPONENTE INTERO NEGATIVO
an
n
1
¼
a
con a 6¼ 0, n 2 N
ESEMPI
Esponente opposto
1 3
¼ ð3Þþ3 ¼ 27
3
Base reciproca
2 2
3
2
4
¼
¼
2
3
9
4 2
3 2
9
¼ ¼
3
4
16
Attenzione!
1. Una potenza con esponente intero negativo non è sempre negativa! Lo è solo se la base è negativa e l’esponente ha come
valore assoluto un numero dispari.
2. Restano non definiti i simboli 01 , 02 ,..., 0n , con n 2 N.
10
2
B Verifica delle conoscenze
Unità 2
1
Þ
Scheda
Completa la seguente tabella.
Opposto
Reciproco
þ2
2
þ
Opposto del reciproco
1
2
1
2
þ
5
4
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
2
3
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
2
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
2
:::::::::::::::
Numeri razionali e introduzione ai numeri reali
Numero
Test
2
Þ
A
3
Þ
A
4
Þ
A
5
Þ
A
6
Þ
A
Una sola delle seguenti frazioni è ridotta ai minimi termini; quale?
111
111111
B
11
111
C
11
1111
D
11
111111
Quale delle seguenti è una coppia di frazioni equivalenti?
5 25
e
4 16
B
2 14
e
3 21
C
5 100
e
4
40
D
1
11
e
11 111
C
0,16
D
nessuno dei precedenti
1
1
è uguale a:
2
3
1
6
B
1
6
1
3
ð:::::Þ ¼ þ ; al posto dei puntini scriviamo:
3
2
þ
9
2
B
9
2
C
þ
2
3
D
2
3
B
9
4
C
þ
4
9
D
4
9
2
2
è uguale a:
3
þ
9
4
Vero o falso?
7
Þ
8
Þ
9
Þ
10
Þ
la somma di due numeri razionali può non essere numero razionale
V
F
l’insieme Q è chiuso rispetto alla sottrazione
V
F
nell’insieme Q la divisione è associativa
V
F
nell’insieme Q la moltiplicazione è associativa
V
F
11
Þ
la frazione
V
F
12
Þ
13
Þ
14
Þ
15
Þ
il 15% di 15 è 2,25
V
F
se il prodotto di due numeri razionali è 0, allora uno è il reciproco dell’altro
V
F
se il prodotto di due numeri razionali è 1, allora uno è l’opposto dell’altro
V
F
la potenza an , con n numero naturale non nullo, è negativa per ogni a > 0
V
F
12
è rappresentata da un numero decimale periodico
5
11
2
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
1
Þ
a.
2
Þ
C Esercizi guidati
Completa le seguenti uguaglianze, in cui ti guidiamo a ridurre le frazioni date ai minimi termini.
36
36 : 12
¼
¼
48
48 : 12
:::::
b.
:::::
30
30 : 6
¼
¼
54
54 : 6
:::::
c.
:::::
99
99 : :::::
¼
¼
81
81 : :::::
:::::
:::::
d.
45
45 : :::::
¼
¼
120
120 : :::::
:::::
:::::
Completa inserendo il simbolo opportuno ð< , ¼ , >Þ:
a.
5
4
:::::
6
7
perché
5 7 ::::: 4 6
b.
4
5
:::::
6
7
perché
47
c.
2
22
3
33
perché
2 33
:::::
:::::
56
:::::
22 3
3 Completa le seguenti uguaglianze, in cui ti guidiamo a determinare le frazioni generatrici dei numeri decimali peÞ
riodici indicati.
32 :::::
:::::
a. 3,2 ¼
¼
9
:::::
b. 1,02 ¼
c. 4,27 ¼
:::::
10
¼
90
427 4
:::::
:::::
:::::
¼
:::::
:::::
¼
¼
:::::
:::::
:::::
:::::
4 Esegui le addizioni e le sottrazioni indicate sulla prima riga, seguendo i passi descritti nella prima colonna e l’esemÞ
pio svolto nella seconda colonna.
5
4
12
15
Passi del procedimento
2
7
þ
15
35
7
2
6
3
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
Calcola il minimo comune multiplo
dei denominatori delle frazioni:
m.c.m.ð12, 15Þ ¼ 60
Applica la regola relativa alla
sottrazione (questo passaggio
di solito si fa mentalmente):
5
4
ð60 : 12Þ 5 ð60 : 15Þ 4
¼
¼
12
15
60
Esegui i calcoli al numeratore
della frazione scritta
al passo precedente:
¼
25 16
9
¼
¼
60
60
:::::::::::::::
:::::::::::::::
Se è possibile, riduci la frazione
ottenuta ai minimi termini:
¼
3
20
:::::::::::::::
:::::::::::::::
5 Esegui le moltiplicazioni indicate sulla prima riga, seguendo i passi descritti nella prima colonna e l’esempio svolto
Þ
nella seconda colonna.
Passi del procedimento
Come in Z, il prodotto di due
numeri razionali ha segno
uguale a quello che si ottiene
applicando la regola dei segni
e valore assoluto uguale al
prodotto dei valori assoluti:
12
36
15
¼þ
35
16
36 35
15 16
Se possibile, semplifica
«in croce»:
36 9 35 7
¼þ
255 164
Moltiplica i numeratori
e i denominatori:
¼þ
¼
97
63
¼þ
54
20
¼
þ
9
25
35
þ
12
þ
24
25
35
42
16
36
15
þ
56
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
2
C Esercizi guidati
Esegui le divisioni indicate, seguendo i passi descritti nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda colonna.
Passi del procedimento
Come in Z, il quoziente di due
numeri razionali ha segno
uguale a quello che si ottiene
applicando la regola dei segni e
valore assoluto uguale al
quoziente dei valori assoluti:
¼
Trasforma la divisione in
moltiplicazione per il
reciproco:
¼
Se possibile, semplifica
«in croce» ed esegui
la moltiplicazione:
¼
¼
16
: þ
35
6 16
:
25 35
6 35
25 16
8
20
6
: 25
9
21
12
: 35
þ
22
25
33
: þ
10
¼
...........................................
...........................................
...........................................
¼
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
63
35 7
255 168
¼
21
40
Completa le seguenti uguaglianze, in cui ti guidiamo a calcolare alcune potenze.
7
Þ
3 2
¼ þ:::::
2
8
Þ
3 2 ¼ 2
9
Þ
1 4
1
¼þ
2
:::::
ð2Þ
:::::
:::::
2
¼ :::::
3
1 3
¼ ¼ :::::
2
Numeri razionali e introduzione ai numeri reali
6
25
Unità 2
6
Þ
Scheda
1 2
¼ :::::
2
1 3
¼ ð:::::Þ3 ¼ :::::
2
1 3
¼ :::::
3
3 3
¼ :::::
2
:::::
2
3
3
¼
8
:::::
Stabilisci se ciascuna delle seguenti uguaglianze è corretta; in caso contrario, correggi gli errori.
10
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
210 22 ¼ 212
14
Þ
Completa la seguente tabella, sulla base dell’esempio svolto nella seconda riga.
a
È esatta?
SI
NO
Eventuale correzione
..............................................
È esatta?
SI
NO
Eventuale correzione
..............................................
ð23 Þ2 ¼ 26
È esatta?
SI
NO
Eventuale correzione
..............................................
ð28 þ 26 Þ : 24 ¼ 212 þ 22
È esatta?
SI
NO
Eventuale correzione
..............................................
2
10
¼ ð10Þ
ða þ bÞ2
b
1
2
1
3
¼
1
2
2
3
2
1 1
þ
2 3
ða bÞ3
2 3þ2 2
¼
¼
6
2
5
25
¼
6
36
¼
1 1
2 3
a 2 þ b2
3 32 3
¼
¼
6
3
1
1
¼
6
216
a 3 þ b3
2 2
3 3
1
1
1 1
1
1
þ
¼ þ ¼
þ
¼
2
2
3
4 9
3
¼
9þ4
13
¼
36
36
¼ 23 þ 33 ¼
¼ 8 þ 27 ¼ 35
1
4
.........................................................
.........................................................
.........................................................
..................................................
1
6
.........................................................
.........................................................
.........................................................
..................................................
13
2
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
D Esercizi da svolgere
99
,
12
25
,
200
1
Þ
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
2
Þ
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri razionali:
3
Þ
5
2
þ
3
4
2
2
3
þ
1
2
4
5
þ
1
4
þ1
þ
Trasforma in numeri decimali le seguenti frazioni:
4
3
þ
5
,
4
35
,
20
66
102
8
7
2
,
3
7
,
20
2
5
Esprimi i seguenti numeri decimali tramite una frazione ridotta ai minimi termini.
4
Þ
5
Þ
6
Þ
0,2
1,05
3,4
1,3
0,0015
0,15
0,20
1,020
2,6
0,63
Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni:
1
4
5
3
7
Þ
8
Þ
5
7
4
6
1
3
þ
2
10
Esegui le seguenti moltiplicazioni:
5
3
6
15
þ
9
4
5
4
1
3
15
20
Esegui le seguenti divisioni:
5
25
100
15
: þ
: 9
12
3
6
12
11
121
3
7
10
5
ð1,2Þ 3
14
: 15
ð1,25Þ :
9
Þ
Completa in modo da ottenere uguaglianze corrette:
5
2
15
2
1
ð:::::Þ ¼ ¼
ð:::::Þ ¼ 100
ð:::::Þ : 9
3
4
15
10
10
Þ
Completa la seguente tabella.
a
b
5
3
þ
0
c
6
5
2
1
2
3
1
3
3
4
2
3
1
2
2
1
6
þ4
þ
3
2
1
2
aþb
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
ða þ bÞ c
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
ða þ bÞ : c
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
..........................................
a
b
cb
b
a c
b
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1
1
7
2
1
5
3
þ þ
2
3
6
3
2
3
2
3
1
1
3
1
5
1
12
þ
Þ
5
2
10
2
2
2
5
1
3
1
2
7
þ
13
Þ
2
2
2
3
6
6
25
1
9
1
1
3
14
þ
þ
Þ
5
9
2
46
2
2
2
11
Þ
14
70
,
21
2
3
3
10
[1]
[2]
D Esercizi da svolgere
Scheda
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando, ovunque possibile, le proprietà delle potenze.
19
Þ
½ð105 104 Þ : ð104 Þ2 2
20
Þ
f½ð103 104 Þ2 ð102 Þ10 : 105 g1
21
Þ
21 þ 31
21 31
[4]
[1]
1
100
1
10
[5]
2 3
2
1
5
2
"
2 3 #2 " 2 #4
1
1
1
23
:
Þ
2
2
2
22
Þ
1
2
1
3
ð21 51 Þ 7 #2 "
#
1 4
1
1 3
24
: :
Þ
3
3
3
8"
9
"
#
"
#
# "
2 #2 1
< 1 6 1 5
2 3
2 11
2 5
1 4 =
25
:
: þ
:
Þ
:
;
3
3
3
2
2
2
[15]
1
4
"
1
9
1
3
"
7 #2 "
#6 " 4 10 # 12
1 2
1
1
1
26
:
þ
þ 21
Þ
2
4
4
4
8"
9 "
#3 #2
< 8 4
5 2 =
20 4 1 3
2 3
27
3
2 þ
: 1
:
7
Þ
:
;
3
3
3
3
3
1
2
" 3 # "
# "
1 #1
1 2 3
21
1
1 1
1 2
6
1 2
2
28
þ
þ :
: 1þ
Þ
2
2
2
2
2
5
3
Numeri razionali e introduzione ai numeri reali
2
8
2
1
3
7
: þ þ
3
15
3
6
14
8
4
2
4
1 0,25 : 1,8
16
0,6 2 Þ
5
5
7
5
30
1
1
1
1
3
1
:
þ
:
þ
2
17
Þ
7
21
2
3
3
2
2
6
5
1
19
5
1
3
16
3
7
18
:
:
þ
1
þ
:
Þ 6 5
15
8
4
2
5
10
4
15
Þ
Unità 2
2
[7]
13
16
1
9
11
2
15
3
A Ripasso
Insiemi e sottoinsiemi
DOMANDE
RISPOSTE
ESEMPI
Che cos’è un insieme?
Un raggruppamento di oggetti
per cui sia possibile stabilire,
senza ambiguità, se un oggetto
appartiene o meno al
raggruppamento.
I numeri naturali maggiori di 1000 formano un
insieme.
I numeri naturali molto grandi non formano un
insieme perché non è precisato il criterio in base
al quale un numero è da considerarsi «grande».
Come si può
rappresentare un
insieme?
Si può rappresentare in tre modi
diversi:
Chiamiamo A l’insieme dei numeri naturali compresi
tra 1 e 5, incluso 1 ed escluso 5.
per elencazione
A ¼ f1, 2, 3, 4g
mediante proprietà caratteristica
A ¼ fx 2 N j 1 x < 5g
mediante diagrammi di Venn
Figura qui sotto
A
2
1
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
3
4
Che cos’è un
sottoinsieme?
Dati due insiemi A e B, si dice che B
è un sottoinsieme di A, se ogni
elemento di B appartiene ad A.
L’insieme dei numeri pari è un sottoinsieme di N.
L’insieme f3, 0g non è un sottoinsieme di N
(perché 3 non appartiene a N).
Quando un sottoinsieme
si dice proprio e quando
improprio?
Dato un insieme qualsiasi, l’insieme
stesso e l’insieme vuoto (cioè l’insieme
privo di elementi) vengono detti
sottoinsiemi impropri dell’insieme;
ogni altro sottoinsieme viene detto
proprio.
L’insieme dei numeri pari è un sottoinsieme proprio
di N.
L’insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di N.
SIMBOLI
SIGNIFICATO
NEGAZIONI
x2A
L’elemento x appartiene ad A
x2
= A
AB
A è contenuto in B (ovvero A è un sottoinsieme di B)
A 6 B
AB
A contiene B (ovvero B è un sottoinsieme di A)
A 6 B
AB
A è strettamente contenuto in B (ovvero A è un sottoinsieme di B e A 6¼ B)
A 6 B
AB
A contiene strettamente B (ovvero B è un sottoinsieme di A e A 6¼ B)
A 6 B
Attenzione!
È un errore utilizzare la scrittura fxg per indicare l’insieme vuoto: la scrittura fxg indica infatti l’insieme che ha come unico
elemento l’insieme vuoto. Il simbolo corretto per indicare l’insieme vuoto è: x.
Il simbolo «2» è riservato a indicare l’appartenenza di un elemento a un insieme; il simbolo «» indica, invece, un sottoinsieme di un insieme. Sono perciò corrette le scritture:
12N
f1g N
Esatte!
Bisogna invece prestare attenzione a non utilizzare scritture come quelle seguenti:
1N
16
o
f1g 2 N
Errate!
3
A Ripasso
Scheda
SIMBOLO
ESEMPIO
Dati due insiemi A e B,
si chiama intersezione
di A e B l’insieme
degli elementi che
appartengono ad A
e a B.
Intersezione
di A e B:
Se A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f3, 4, 5g,
gli elementi in comune sono quelli
sottolineati, quindi:
Dati due insiemi A e B,
si chiama unione di A e B
l’insieme degli elementi
che appartengono ad A
o a B.
Unione
di A e B:
A\B
A∩B
B
A
1
A \ B ¼ f3, 4g
3
A[B
Se A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f3, 4, 5g,
l’insieme unione di A e B è:
L’insieme dei due
elementi a e b, presi
in quest’ordine,
si chiama coppia ordinata.
Coppia
ordinata:
AB
2
A [ B ¼ f1, 2, 3, 4, 5g
Attenzione. Gli elementi 3
e 4, che appartengono sia
ad A sia a B, vanno scritti
una sola volta!
Differenza
di A e B:
A
Se A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f3, 4, 5g,
gli elementi di A che appartengono
anche a B sono quelli sottolineati;
eliminando da A questi elementi
otteniamo che:
B
A∪B
1
4
3
1
2
5
3
5
4
2
Dati due insiemi A e B,
si chiama differenza di A
e B l’insieme degli
elementi che
appartengono ad A
ma non a B.
Dati due insiemi A e B,
si chiama prodotto
cartesiano di A e B
l’insieme di tutte
le possibili coppie
ordinate (a, b)
con a 2 A e b 2 B.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
3
4
5
4
Insiemi e linguaggio della matematica
OPERAZIONE
Unità 3
Operazioni tra insiemi
A–B
B
A
1
3
5
4
2
A B ¼ f1, 2g
Tabella a doppia entrata
B
(a, b)
Prodotto
cartesiano
di A e B:
AB
Se A ¼ fa, bg e B ¼ fd, eg, allora:
A B ¼ fða, d Þ, ða, eÞ,
ðb, d Þ, ðb, eÞg
A
d
e
a
ða, dÞ
ða, eÞ
b
ðb, dÞ
ðb, eÞ
Diagramma cartesiano
B
e
(a, e)
d
(a, d) (b, d)
O
a
(b, e)
b
A
17
3
18
A Ripasso
Connettivi e quantificatori
DOMANDE
RISPOSTE
ESEMPI
Che cosa si intende per
proposizione?
In matematica, si chiama proposizione
una frase cui si può attribuire un valore
di verità secondo un criterio oggettivo.
«5 è un numero pari» è una proposizione (falsa)
«Marina è più bella di Barbara» non è una
proposizione (perché?)
Che cosa sono i connettivi
e con quali simboli li si
indica?
Sono le particelle che si utilizzano, nel
linguaggio matematico, per legare fra
loro le proposizioni. I connettivi sono
cinque:
– «non», indicato con un trattino
sopra il simbolo che indica la
proposizione
– «e», indicato con il simbolo ^
– «o», indicato con il simbolo _
– «se allora», indicato con il simbolo
)
– «se e solo se», indicato con il
simbolo ,
Sia p la proposizione «Il ladro aveva un complice» e q
la proposizione «Il ladro è entrato dalla finestra».
p significa «Il ladro non aveva un complice»
p ^ q significa «Il ladro aveva un complice ed è
entrato dalla finestra»
p _ q significa «Il ladro aveva un complice o è
entrato dalla finestra»
p ) q significa «Se il ladro aveva un complice,
allora è entrato dalla finestra»
p , q significa «Il ladro aveva un complice se e
solo se è entrato dalla finestra»
Quali sono i modi
di leggere l’implicazione,
cioè
la proposizione p ) q?
La proposizione p ) q si legge in vari
modi diversi:
– «Se p allora q»
– «p implica q»
– «p è condizione sufficiente per q»
– «q è condizione necessaria per p»
La proposizione «Se un triangolo è equilatero allora è
isoscele » può esprimersi nei seguenti modi:
«Per un triangolo, essere equilatero implica essere
isoscele»
«Condizione sufficiente perché un triangolo sia
isoscele è che sia equilatero»
«Condizione necessaria perché un triangolo sia
equilatero è che sia isoscele»
Qual è il significato della
doppia implicazione,
cioè della proposizione
p , q, e quali sono i
modi di leggerla?
La proposizione p , q equivale ad
affermare che è vera sia la proposizione
p ) q, sia la sua proposizione inversa,
q)p
La proposizione p , q si legge in vari
modi diversi :
– «p se e solo q»
– «p è condizione necessaria e
sufficiente
per q»
– «p equivale a q»
– «p implica q e viceversa»
La proposizione: «Un numero è divisibile per 5 se e
solo se la sua ultima cifra è 0 o 5» può esprimersi nei
seguenti modi:
«Condizione necessaria e sufficiente perché un
numero sia divisibile per 5 è avere l’ultima cifra
uguale a 0 o 5»
«Per un numero, essere divisibile per 5 equivale ad
avere l’ultima cifra uguale a 0 o 5»
«Se un numero è divisibile per 5, allora la sua
ultima cifra è 0 o 5 e viceversa»
Che cos’è un enunciato
aperto?
È una frase dipendente da almeno una
variabile, che si trasforma in una
proposizione ogni qualvolta si
sostituisce a ciascuna variabile un
valore appartenente al suo insieme
ambiente.
«x è maggiore o uguale a y» con x, y 2 N è un
enunciato aperto che dipende dalle due variabili
x e y.
Che cosa sono i
quantificatori e con quali
simboli li si indica?
Sono le espressioni:
– «per ogni», indicata con il simbolo 8
– «esiste», indicata con il simbolo 9
Esse consentono di trasformare un
enunciato aperto in una proposizione.
«8 x 2 Z, x 2 0» significa:
«Per ogni numero intero, il suo quadrato è
maggiore o uguale a 0»
«9 x 2 N j x > 100» significa:
«Esiste un numero naturale x tale che x è
maggiore di 100»
Come si può negare una
proposizione contenente
quantificatori?
La negazione della proposizione:
– «Per ogni x, vale la proprietà p» è
«Esiste un x per cui non vale p»
– «Esiste un x per cui vale la proprietà
p» è «Per ogni x, non vale p»
«Ogni giorno piove»
! «Esiste un giorno in
negazione
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
cui non piove»
«Esiste almeno uno studente che è stato bocciato»

! «Ogni studente non è stato bocciato»
negazione
3
B Verifica delle conoscenze
In matematica i seguenti raggruppamenti possono considerarsi insiemi?
a. le vocali della parola «matematica»
c. le parole con tante vocali
2
Þ
NO
d. i numeri molto grandi
SÌ
NO
SÌ
NO
e. i numeri pari
SÌ
NO
SÌ
NO
f. i numeri naturali divisibili per 3 o per 4
SÌ
NO
SÌ
Completa la seguente tabella:
A parole
In simboli
8 appartiene all’insieme dei numeri naturali.
:::::::::::::::
:::::::::::::::
x2
=Y
L’insieme B è vuoto
:::::::::::::::
:::::::::::::::
AB
X è un sottoinsieme proprio di Y
:::::::::::::::
:::::::::::::::
X ¼ fx 2 Zj 1 x < 5g
A è l’insieme costituito dai numeri naturali minori o uguali a 10
:::::::::::::::
Insiemi e linguaggio della matematica
b. le parole con più vocali che consonanti
Unità 3
1
Þ
Scheda
Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino corrette.
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
7
Þ
8
Þ
Un insieme B si dice incluso strettamente nell’insieme A se B è un ::::::::::::::::::::::::::::::::::: di A e inoltre ::::::::::::::::::::
Un sottoinsieme di un insieme si dice proprio se è diverso da :::::::::::::::::::: e ::::::::::::::::::::
Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione coincide con l’insieme ::::::::::::::::::::
L’unione di due insiemi A e B è costituita dagli elementi che appartengono ad A ::::::::::::::: a B.
La differenza tra l’insieme A e l’insieme B è costituita dagli elementi di :::::::::: che :::::::::: appartengono all’insieme ::::::::::
Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è costituito da tutte le possibili :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (a, bÞ, ottenute scegliendo :::::::::: e ::::::::::
Vero o falso?
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
14
Þ
se A B, allora A \ B ¼ A
V
F
comunque scelti due insiemi non vuoti A e B, risulta A B 6¼ B A
V
F
se A B, allora A [ B ¼ B
V
F
se A ¼ fa, b, c, m, ng e B ¼ fb, c, m, qg, allora l’insieme A \ B ha esattamente tre elementi
V
F
se l’insieme A ha n elementi e l’insieme B ha m elementi, allora A [ B ha esattamente n þ m elementi
V
F
7 2 Z N
V
F
15
Þ
la scrittura
V
F
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
la scrittura f2g Z non è formalmente corretta
V
F
per ogni coppia di insiemi A e B, risulta A B ¼ B A
V
F
se A B e B \ C ¼ x allora A \ C ¼ x
V
F
7
Q non è formalmente corretta
4
Completa la seguente tabella.
È una proposizione secondo la logica matematica?
Marco pesa 75 kg ed è alto 185 cm
SÌ
NO
Marco pesa più di Paolo
SÌ
NO
Laura è più simpatica di Chiara
SÌ
NO
Barbara canta meglio di Luisa
SÌ
NO
Laura abita più vicino a Chiara che a Barbara
SÌ
NO
19
B Verifica delle conoscenze
I numeri e il linguaggio della matematica
3
Vero o falso?
20
Þ
se p è vera e q è falsa, allora p _ q è vera
V
F
21
Þ
se p _ q è vera allora o p è vera o q è vera, ma non possono essere vere contemporaneamente sia p sia q
V
F
22
Þ
se p è vera e q è falsa, allora p ^ q è falsa
V
F
23
Þ
la proposizione p ) q si può leggere «q è condizione necessaria per p»
V
F
24
Þ
la proposizione p , q si può leggere «p implica q e viceversa»
V
F
25
Þ
una proposizione e la sua inversa sono logicamente equivalenti
V
F
26
Þ
l’inversa della proposizione «Se c’è vento, porto il giubbotto» è «Se c’è vento, non porto il giubbotto»
V
F
27
Þ
condizione necessaria ma non sufficiente perché un numero sia divisibile per 7 è che non sia primo
V
F
28
Þ
condizione necessaria e sufficiente perché un numero sia divisibile per 4 è che lo sia la sua ultima cifra
V
F
Tema A
Scheda
29
Þ
condizione sufficiente ma non necessaria perché un numero sia divisibile per 7 è che sia divisibile per 35
V
F
30
Þ
il valore di verità di un enunciato aperto non dipende dalle variabili che in esso compaiono
V
F
31
Þ
la negazione della frase «questo foglio è bianco» è «questo foglio è nero»
V
F
32
Þ
la negazione di p _ q equivale a p _ q
V
F
33
Þ
per ogni numero naturale, il suo quadrato è maggiore di 1
V
F
34
Þ
la frase «le lettere m ed n sono consonanti» è un enunciato aperto
V
F
35
Þ
il numero 3 appartiene all’insieme di verità dell’enunciato aperto «816 è divisibile per x», con x 2 N
V
F
36
Þ
9n 2 N jn2 < 1
V
F
37
Þ
ogni numero naturale, addizionato a 0, dà come risultato il numero naturale stesso
V
F
38
Þ
esiste un numero naturale che, addizionato a 1, dà come risultato 0
V
F
39
Þ
9x 2 N j 8y 2 N; x y
V
F
40
Þ
8x 2 N; 9y 2 N j x y ¼ 1
V
F
41
Þ
la negazione della frase «ogni uomo è mortale» è «tutti gli uomini non sono mortali»
V
F
Scheda
3
C Esercizi guidati
Considera l’insieme X ¼ fx 2 Nj 1 < x 5g ¼ f2, 3, 4, 5g e completa la seguente tabella (nella terza colonna, se la
risposta è negativa, scrivi un controesempio al posto dei puntini).
1
Þ
20
Insieme
Rappresentazione
per elencazione
È un sottoinsieme di X?
Se sı̀, proprio (P)
o improprio (I)?
A ¼ fx 2 Nj 1 x 5g
A ¼ f:::::::::::::::g
SÌ
NO ::::::::::::::::::::
P
I
B ¼ fx 2 Nj 1 < x < 5g
B ¼ f:::::::::::::::g
SÌ
NO ::::::::::::::::::::
P
I
C ¼ fx 2 Nj 2 x < 6g
C ¼ f:::::::::::::::g
SÌ
NO ::::::::::::::::::::
P
I
3
C Esercizi guidati
Unità 3
2
Þ
Scheda
Scrivi, al posto dei puntini, la rappresentazione per elencazione dei seguenti insiemi:
A ¼ fxj x è una lettera della parola «cielo» ¼ f...................................g
B ¼ fxj x è una lettera della parola «cicala» ¼ f...................................g
a.
b.
c.
d.
e.
e2
=BA
fo, eg B
e2A\B
A B ¼ fe, og
A \ B fc, ig
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
A
B
[3 affermazioni vere e 2 false]
3 a. Completa rappresentando i seguenti insiemi per elencazione, se è data la proprietà caratteristica, o viceversa per
Þ
caratteristica, se sono descritti per elencazione.
A ¼ fx 2 N j 1 x 5g ¼ f:::::::::::::::::::::::::g
A
B
B ¼ f4, 5, 6, 7g ¼ f:::::::::::::::::::::::::::::::::::g
Insiemi e linguaggio della matematica
Dopo avere collocato gli elementi di A e di B nel diagramma di Venn qui a fianco,
stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
C ¼ fx 2 N j x è dispari e 3 x 9g ¼ f:::::::::::::::::::::::::g
b. Colloca gli elementi degli insiemi nel diagramma di Venn qui a fianco.
c. In ciascun disegno qui di seguito, tratteggia la parte che rappresenta l’insieme indicato dall’espressione riportata sotto e scrivi, al posto dei puntini, la rappresentazione
per elencazione di tale insieme.
A
B
C
B
C
A \ B ¼ ::::::::::
4
Þ
A
B
C
B [ C ¼ ::::::::::
A \ B \ C ¼ ::::::::::
e
C
ðA [ BÞ C ¼ ::::::::::
Date le proposizioni p: «Mario va in vacanza al mare» e q: «Mario va in vacanza al lago», completa la seguente tabella.
A parole
:::::::::::::::
Mario non va in vacanza al mare.
p^q
Mario non va ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: non va :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) :::::
p,q
6
Þ
B
B A ¼ fðr, aÞ; ðr,::::Þ; ð::::,::::Þ; ð::::,::::Þg
In simboli
:::::
A
Dati gli insiemi A ¼ fa, bg e B ¼ fr, sg, scrivi le rappresentazioni, per elencazione, degli insiemi A B e B A:
A B ¼ fða, rÞ; ða,::::Þ; ðb,::::Þ; ðb,::::Þg
5
Þ
A
C
Se Mario va in vacanza al mare, allora non va in vacanza al lago.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
se e solo se ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Data la proposizione «Se Lucia viene alla festa, allora viene anche Marco», la sua inversa è:
«Se Marco viene alla festa, allora :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::»
Completa scrivendo al posto dei puntini: «necessaria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma non necessaria) o « necessaria e sufficiente».
7
Þ
8
Þ
9
Þ
Condizione :::::::::::::::::::::::::::::: affinché il prodotto di due numeri interi sia positivo è che i due numeri siano positivi.
Condizione :::::::::::::::::::::::::::::: perché un numero naturale sia multiplo di 15 è che sia multiplo di 5.
Condizione :::::::::::::::::::::::::::::: perché un numero naturale sia pari è che sia divisibile per 2.
21
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
3
C Esercizi guidati
Completa le seguenti tabelle.
10
Þ
In simboli
A parole
9 x 2 frettangoligj x è un quadrato
Esiste un :::::::::::::::::::::::::::::: che è un ::::::::::::::::::::::::::::::
:::::
x, y 2 :::::, x þ y :::::
Comunque scelti due numeri naturali x e y, la loro somma è ancora un
numero naturale.
8x 2 Q f0g, 9y 2 Q j xy ¼ 1
:::::::::::::::
numero razionale non nullo x, esiste un :::::::::::::::::::::::::::::: tale che :::::::::::::::
11
Þ
Proposizione
Suggerimenti per scriverne la negazione
Proposizione negata
Vado al mare o in
montagna.
La proposizione «Vado al mare o in montagna» è del tipo
p _ q; per la legge di De Morgan la sua negazione è p ^ q.
Non ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: e
non :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Vado al mare e in
montagna.
La proposizione «Vado al mare e in montagna» è del tipo
p ^ q; per la legge di De Morgan la sua negazione è p _ q.
Non vado al mare ::::: non
vado :::::::::::::::
In ogni classe, c’è almeno
uno studente promosso.
Ricorda che la negazione «scavalca» il quantificatore
mutandolo da esistenziale a universale e viceversa.
...............................................................
Scheda
3
C’è una classe in cui :::::::::::::::
D Esercizi da svolgere
1
Þ
Rappresenta, per elencazione, l’insieme A ¼ fx 2 N j x è multiplo di 4 e 20 < x < 40g.
2
Þ
Rappresenta, mediante una proprietà caratteristica, l’insieme A ¼ f2, 4, 6, 8, 10, 12g.
Dati gli insiemi A e B, stabilisci se A è un sottoinsieme di B e, in caso affermativo, specifica se si tratta di un
sottoinsieme proprio o improprio.
3
Þ
A ¼ fx 2 N j 1 < x < 5g
B ¼ fx 2 N j 2 x 4g
4
Þ
A ¼ fx 2 N j 1 < x < 3g
B ¼ fx 2 N j 1 < x 3g
5
Þ
A ¼ fx 2 N j 1 x 3g
B ¼ fx 2 N j 1 < x 3g
6
Þ
A è l’insieme dei divisori di 15
B è l’insieme dei divisori di 30
7
Þ
A è l’insieme dei divisori di 15
B è l’insieme dei divisori di 20
Inserisci il simbolo opportuno, scelto fra 2, 2
= , , , 6, 6, in modo da ottenere una scrittura corretta.
22
8
Þ
3::::: N
11 :::::fnumeri parig
f2g:::::f1, 2, 3g
9
Þ
N :::::f2g
Z ::::: N
fmultipli di 6g:::::fmultipli di 12g
10
Þ
f1, 2, 4g ::::: f1, 2, 5g
11::::: fnumeri interig
x
:::::
N
D Esercizi da svolgere
3
Scheda
Dati gli insiemi
A ¼ fx j x è una vocale della parola «unione»g
B ¼ fx j x è una vocale della parola «ragione»g
rappresenta, per elencazione, gli insiemi A \ B, A [ B, A B.
13
Þ
Dati gli insiemi
A ¼ fx 2 N j 1 x 5g
B ¼ fx 2 N j 2 < x < 7g
rappresenta, per elencazione, gli insiemi A \ B, A [ B, A B.
14 Sia A l’insieme dei multipli di 2 e B l’insieme dei multipli di 3; rappresenta, mediante proprietà caratteristica, l’insieÞ
me A \ B.
Sia A l’insieme dei multipli di 2, B l’insieme dei multipli di 4 e C l’insieme dei multipli di 8. Determina A \ B \ C,
ðA [ BÞ \ C, A [ ðB \ CÞ.
15
Þ
16
Þ
Insiemi e linguaggio della matematica
12
Þ
Unità 3
11 Dati gli insiemi A ¼ fa, b, c, d g e B ¼ fa, m, c, d, ng, rappresenta per elencazione e mediante diagrammi di Venn gli
Þ
insiemi A \ B e A [ B.
Dati gli insiemi A ¼ fa, b, c, dg, B ¼ fc, dg, C ¼ fa, b, dg, determina, per elencazione:
AB
BA
ðA [ BÞ \ C
A [ ðB \ CÞ
È vero che A B ¼ B A? E che ðA [ BÞ \ C ¼ A [ ðB \ CÞ?
17 Sia A l’insieme dei multipli di 2, B l’insieme dei multipli di 4 e C l’insieme dei multipli di 10. Costruisci un diagramÞ
ma di Venn che metta in evidenza le reciproche relazioni di inclusione e intersezione tra gli insiemi A, B e C.
18 Sia A l’insieme dei multipli di 2, B l’insieme dei multipli di 5 e C l’insieme dei multipli di 15. Costruisci un diagramÞ
ma di Venn che metta in evidenza le reciproche relazioni di inclusione e intersezione tra gli insiemi A, B e C.
19
Þ
Dati gli insiemi
A ¼ fa, b, cg
B ¼ fx, y, zg
rappresenta, per elencazione, gli insiemi A B e B A.
20 Date le proposizioni p: «Barbara ha preso 6 in matematica», q: «Barbara ha preso 5 in italiano», r: «Barbara è stata
Þ
promossa»:
a. traduci in simboli le proposizioni «Barbara ha preso 6 in matematica o 5 in italiano» e «Se Barbara ha preso 6 in matematica, allora è stata promossa »;
b. traduci a parole le proposizioni p ^ q e ðp ^ qÞ ) r.
21
Þ
Scrivi l’inversa di ciascuna delle seguenti proposizioni:
a. Se c’è bel tempo, vado al mare.
b. Se non vengo a cena da te, ti telefono.
22 Riscrivi le seguenti proposizioni in forma equivalente, utilizzando le espressioni «condizione necessaria» (ma non
Þ
sufficiente), « condizione sufficiente» (ma non necessaria) o « condizione necessaria e sufficiente»:
a. Se un numero naturale è divisibile per 10, allora è divisibile per 5.
b. Per un numero naturale essere divisibile per 2 equivale a essere pari.
c. Affinché un numero naturale sia divisibile per 4, deve essere divisibile per 2.
d. Un triangolo equilatero ha tutti gli angoli congruenti e, viceversa, un triangolo con tutti gli angoli congruenti è
equilatero.
23
Tema A
I numeri e il linguaggio della matematica
Scheda
24
23
Þ
3
D Esercizi da svolgere
Completa la seguente tabella.
A parole
In simboli
Valore di verità
2
::::::::::::::::::::
9x 2 N j x ¼ 2
V
F
Ogni numero intero, elevato alla quarta, dà luogo a un
numero non negativo.
::::::::::::::::::::
V
F
::::::::::::::::::::
8x 2 N, 9y 2 N j xy ¼ x
V
F
Per ogni coppia di numeri razionali a, b, con a < b, esiste
un numero razionale c compreso fra a e b.
::::::::::::::::::::
V
F
Scrivi le negazioni delle seguenti proposizioni.
24
Þ
25
Þ
26
Þ
27
Þ
28
Þ
29
Þ
30
Þ
31
Þ
Non ho comprato nessun televisore nuovo.
Il cane è il migliore amico dell’uomo.
Lucia va in vacanza al mare o in montagna.
13 è un numero pari e divisibile per 3.
Qualche politico è corrotto.
Tutti i numeri dispari sono primi.
Esiste un numero intero x tale che, per ogni numero intero y, il prodotto di x e y è positivo.
Per ogni coppia di numeri naturali a, b, con a < b, esiste un numero naturale c, compreso fra a e b.
4
A Ripasso
Scheda
Unità 4
Terminologia sui monomi
RISPOSTE
ESEMPI
Che cos’è un monomio?
Un’espressione algebrica
che si può scrivere come prodotto
di numeri e lettere, queste ultime
elevate a esponenti non negativi.
Sono monomi:
Quando un monomio si dice in forma
normale?
Quando compare un solo fattore
numerico e ogni lettera compare
una sola volta.
Il monomio 2a3 b è in forma normale.
Il monomio 6aab non è in forma
normale perché la lettera a compare
due volte.
Che cosa sono il coefficiente e la parte
letterale di un monomio?
Dato un monomio in forma normale,
il fattore numerico è il coefficiente
del monomio;
il complesso dei fattori letterali
è la parte letterale.
2a3 b
4abc
3 2
x yz
2
3 2
a b
2
coefficiente
parte letterale
Che cos’è il grado di un monomio?
È la somma degli esponenti delle lettere
che compaiono nel monomio.
Il monomio 4xy 2 z 3 , equivalente a
4x 1 y 2 z 3 , ha grado 1 þ 2 þ 3 ¼ 6
Quando due monomi (non nulli) si
dicono simili?
Quando, ridotti in forma normale,
hanno la stessa parte letterale.
Sono simili:
3x 3 y 2
Monomi
DOMANDE
2x 3 y 2
Operazioni tra monomi
OPERAZIONE
TRA MONOMI
PROCEDIMENTO PER ESEGUIRLA
ESEMPI
Addizione
e sottrazione
Si possono semplificare solo somme
algebriche in cui gli addendi sono
monomi simili.
3a þ 2b non si può ulteriormente semplificare
perché 3a e 2b non sono simili
La somma (differenza) di due monomi
simili è un monomio simile, avente come
coefficiente la somma (differenza) dei
coefficienti.
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
3x þ 2x ¼ ð3 þ 2Þx ¼ 5x
3a 5a ¼ ð3 5Þa ¼ 2a
Si moltiplicano i coefficienti e si sommano
gli esponenti delle lettere uguali.
ð2a2 b3 Þð3a2 b2 Þ ¼ ð2Þð3Þa2 þ 2 b3 þ 2 ¼
Si dividono i coefficienti e si sottraggono
gli esponenti delle lettere uguali.
La divisione dà luogo a un monomio solo
se tutte le lettere che compaiono nel divisore
compaiono anche nel dividendo,
con esponente maggiore o uguale.
ð6a2 b5 Þ : ð3a2 b2 Þ ¼ ½ð6Þ : ð3Þa22 b52 ¼
Per elevare un monomio a n si eleva
il coefficiente a n e si moltiplicano
gli esponenti delle lettere per n.
ð3a2 bc 3 Þ3 ¼ ð3Þ3 a2 3 b1 3 c 3 3 ¼
¼ þ 6a4 b5
¼ þ2a0 b3 ¼ þ2b3
¼ 27a6 b3 c 9
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
Le regole per il calcolo del M.C.D. e del m.c.m. fra monomi sono del tutto analoghe a quelle utilizzate fra numeri. Conveniamo
di scegliere come coefficiente del massimo comune divisore (minimo comune multiplo) il massimo comune divisore (minimo
comune multiplo) fra i valori assoluti dei coefficienti se questi ultimi sono numeri interi e di scegliere come coefficiente 1 in caso
contrario.
25
Tema B
Monomi e polinomi
Scheda
4
B Verifica delle conoscenze
Completa.
1
Þ
2
Þ
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
L’espressione 3a þ 2b non è un monomio perché :::::::::::::::::::::::::
L’espressione a2 b1 non è un monomio perché :::::::::::::::::::::::::
Il monomio xy2 ha coefficiente uguale a :::::::::::::::::::::::::
Il monomio xyz ha coefficiente uguale a :::::::::::::::::::::::::
Il grado del monomio xyz2 rispetto alla lettera x è :::::, rispetto alla lettera y è :::::, rispetto alla lettera z è :::::
Il monomio xyz2 ha grado uguale a :::::
Test
7
Þ
A
8
Þ
A
9
Þ
A
10
Þ
A
Una sola delle seguenti espressioni rappresenta un monomio di terzo grado, quale?
a3 þ b3
B
100x3
C
7xyz
D
8x2 yz
C
9a9 b4
D
9a6 b4
D
divisi
D
3r 3 s2
Il quadrato del monomio ð3a3 b2 Þ2 è:
9a6 b4
B
9a3 b2
Per determinare il prodotto di due monomi gli esponenti delle lettere uguali vanno:
addizionati
B
sottratti
C
moltiplicati
Il monomio 6r 2 s4 è divisibile per uno solo dei seguenti monomi, quale?
2r 2 s6
B
3rs5
C
9rs2
11 Per determinare il quoziente di due monomi, di cui il primo divisibile per il secondo, i coefficienti dei due monomi
Þ
vanno:
A
addizionati
C
moltiplicati
B
sottratti
D
divisi
12
Þ
Per determinare il cubo di un monomio, gli esponenti delle lettere vanno:
A
aumentati di 3
C
moltiplicati per 3
B
diminuiti di 3
D
divisi per 3
Vero o falso?
13
Þ
14
Þ
15
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
22
Þ
23
Þ
24
Þ
26
il coefficiente del monomio x2 y è nullo
V
F
il monomio 3x4 y2 ha grado 4
V
F
l’espressione algebrica ab þ cd non è un monomio
V
F
l’espressione a3 b2 è un monomio
V
F
i due monomi 4a2 bc e 3bca2 sono simili
V
F
l’espressione 21 x2 y2 non è un monomio
V
F
il prodotto di due monomi è sempre un monomio
V
F
il quoziente di due monomi è sempre un monomio
V
F
il quadrato di un monomio di quarto grado è un monomio di grado 16
V
F
il massimo comune divisore tra due monomi simili è simile a essi
V
F
se un monomio A è divisibile per un monomio B, il coefficiente di A è divisibile per B
V
F
il prodotto di due monomi simili è un monomio simile ai due monomi dati
V
F
4
C Esercizi guidati
Scheda
Unità 4
Completa le seguenti uguaglianze.
2ax2 5ax2 ¼ ð2 5Þax2 ¼ :::::
2
Þ
ð2ax2 Þ ð7a2 x3 Þ ¼ ð2Þð:::::Þa1þ:::: x2þ:::: ¼ :::::
3
Þ
ð12x9 y 4 Þ : ðþ4x6 y4 Þ ¼ ½ð12Þ : ðþ4Þx9:::: y 4:::: ¼ :::::
4
Þ
ð3t 5 Þ3 ¼ ð3Þ3 t 5:::: ¼ :::::
5
Þ
7
xy 2xy ¼
2
6
Þ
5
21 2 3 4
5
21
a b c ¼
a2 b7þ:::: c1þ:::: ¼ :::::
b7 c 7
10
7
10
7
Þ
2 1
1 2 6:::: 9::::
x6 y9 ¼ x y ¼ :::::
5
5
8
Þ
2 5 7
3 2 3
2
3
8
a b ¼
:
a5:::: b7:::: ¼ a b :
3
4
3
4
::::
Monomi
1
Þ
7
2 xy ¼ :::::
2
:::::
Completa le seguenti tabelle seguendo i passi e l’esempio indicati nelle prime due colonne.
9
Þ
Passi
Calcolo del massimo comune divisore fra:
6x 4 y 3 w 2 , 15x 2 y 4 zw 3 , 9x 3 yz 2 w 5
Individua il coefficiente
del M.C.D. secondo
le convenzioni stabilite.
2x 2 y 3 , 6xy 4 ,
9x 3 y 2
In questo caso tutti i coefficienti
dei monomi sono numeri naturali,
quindi prendiamo come coefficiente
del M.C.D. fra i monomi:
M.C.D. (6, 15, 9) ¼ 3
Individua la parte letterale
del M.C.D., che
è il prodotto dei fattori
comuni a tutti i monomi,
ciascuno preso
con l’esponente minimo
con cui compare in essi.
Calcolo del massimo comune divisore fra:
M.C.D. (2, 6, 9) ¼ ..........
I fattori comuni sono:
x che compare con esponente minimo
uguale a 2
y che compare con esponente minimo
uguale a 1
w che compare con esponente minimo
uguale a 2
La parte letterale del M.C.D. è perciò:
I fattori comuni sono:
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
La parte letterale del M.C.D. è perciò:
...............................................................................................
x2 y 1 w2
Il M.C.D. è il prodotto
del coefficiente e della
parte letterale individuati.
M.C.D. ¼ 3 x2 y1 w2 ¼ 3x2 yw2
M.C.D. ¼
.......................................................................
10
Þ
Passi
Calcolo del minimo comune multiplo fra:
4 3
2
2 4
3
3
2
6x y w , 15x y zw , 9x yz w
Individua il coefficiente
del m.c.m. secondo le
convenzioni stabilite.
5
In questo caso tutti i coefficienti dei
monomi sono numeri naturali, quindi
prendiamo come coefficiente
del m.c.m. fra i monomi:
Calcolo del minimo comune multiplo fra:
2x 2 y 3 , 6xy 4 ,
9x 3 y 2
m.c.m. (2, 6, 9) ¼ ..........
m.c.m. (6, 15, 9) ¼ 90
,
27
Tema B
Monomi e polinomi
Scheda
4
C Esercizi guidati
,
Passi
Calcolo del minimo comune multiplo fra:
4 3
2
2 4
3
3
2
6x y w , 15x y zw , 9x yz w
Calcolo del minimo comune multiplo fra:
5
2x 2 y 3 , 6xy 4 ,
I fattori comuni e non comuni sono:
x che compare con esponente massimo
uguale a 4
y che compare con esponente massimo
uguale a 4
z che compare con esponente massimo
uguale a 2
w che compare con esponente massimo
uguale a 5
Individua la parte
letterale del m.c.m. che
è il prodotto dei fattori
comuni e non comuni ai
monomi, ciascuno preso
con l’esponente massimo
con cui compare in essi.
9x 3 y 2
I fattori comuni e non comuni sono:
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
La parte letterale del m.c.m. è perciò:
...............................................................................................
La parte letterale del m.c.m. è perciò:
x4 y 4 z 2 w 5
Il m.c.m. è il prodotto del
coefficiente e della parte
letterale individuati.
11
Þ
m.c.m. ¼ 90 x4 y 4 z 2 w 5
m.c.m. ¼
........................................................................
Considera il seguente problema:
«Le misure dei lati di un rettangolo sono 2a e b. Le misure dei due lati vengono aumentate rispettivamente di a e di 3b.
Di quanto aumenta l’area del rettangolo originario?»
Risolvilo seguendo i passi qui indicati.
a. Esprimi in funzione di a e b le misure di lati del rettangolo di lati aumentati.
b. Esprimi in funzione di a e b le misure delle aree del rettangolo originario e del nuovo rettangolo.
c. Calcola la differenza tra l’area del nuovo rettangolo e l’area di quello originario.
Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, stabilisci se è corretta; in caso contrario, correggi gli errori.
12
Þ
1 4 2
x y
20
1
1
xy ¼ x3 y
:
4
5
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
13
Þ
14
Þ
2 3 2
4 6
ð4a b Þ ¼ 16a b
È esatta?
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
35t 8 r 7 : ð7t 8 r 6 Þ ¼ 5r
SÌ
.......................................................
.........................................................................................................
15
Þ
pq þ 3pq ¼ 4p2 q2
16
Þ
1 3 6
x y
2
È esatta?
1 2 5
x y ¼ 2x5 y 11
4
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
17
Þ
2
2
2
p q 2p q ¼ p q
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
18
Þ
6 5
2 7
12 35
ð11u v Þð2u v Þ ¼ 22u v
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
19
Þ
2
3
M.C.D.ð8a , 4a Þ ¼ 4a
3
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
20
Þ
m.c.m.ð11xy, 3xy, 4xyÞ ¼ xy
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.......................................................
.........................................................................................................
28
D Esercizi da svolgere
Scheda
Unità 4
1
Þ
4
Scrivi:
a. due monomi simili di grado 5 nelle lettere x, y, z e w;
b. un monomio di grado 10 nelle lettere x, y e z, avente coefficiente uguale al grado rispetto alla lettera x.
Monomi
2
Þ
Completa la seguente tabella.
Monomio
Forma normale
1 2
a bab3
2
1
3
2
ð3x yÞ xyz
3
3 2
u vuv 4
2
Grado
Monomio opposto
Monomio simile con coefficiente
reciproco del monomio dato
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
Esegui, se possibile, le seguenti operazioni.
3
Þ
3a 2a
2x þ 3y
8x 6x
4
Þ
3
a 2a
2
1
2
x x
2
3
5
Þ
ðþ2xyÞð3xy2 Þ
ð4abÞðþ3aÞ
6
Þ
ðþ6x4 y 2 Þ : ð2xyÞ
ð10xyz3 Þ : ð2xzÞ
7
Þ
ð2a2 bÞ2
ð3ab3 c4 Þ3
8
Þ
Completa la seguente tabella.
Monomio
1
3
xy þ
xy
5
10
ð3xyz2 Þð3x2 y 5 zÞ
3
9
xy8 z4 : xy 5 z
2
4
3
1
abc2
2
Opposto
del monomio
Doppio
del monomio
Quadrato
del monomio
Triplo
del monomio
Cubo
del monomio
4x2 y 3
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
2ab
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
4 2
:::::::::::::::
:::::::::::::::
4x y
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
r 4 s5
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::
27u6 v9
Semplifica le seguenti espressioni.
2
1
xy2 ½20y ð8yÞ
2
3 3 4 5
9 2 4
1 2
:
u v z :
uv z
u v ð3v 2 z2 Þ2 : ðvzÞ3
2
4
6
1 3
a ð4a4 Þ þ ð2aÞ3 : ðaÞ2
ð6a3 Þ : ð2a2 Þ þ ð2a4 Þ2 :
2
2 3 10 5
2
3
3
1
1 5
x : x3 x : þ x2 :
x 2x
7x2 þ
3
3
2
4
2
32
"
2 # 2 3
1
3
1
1
: þ abc2 þ abc2
ac
abc2 a2 bc3
2
2
2
2
2
2
9 ½ð3y 5yÞ ð2x2 y 3 Þ :
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
14
Þ
½ðx2 Þ3 þ 2ðx3 Þ2 3 ð4x11 Þ2 : ð4x4 Þ
[4y]
[13vz]
[3a]
[5x2 6x]
1 2 3
a bc
4
[5x18 ]
29
4
Tema B
Monomi e polinomi
Scheda
15 ð3xyÞ Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
D Esercizi da svolgere
1
3
3
xy3 þ x5 y 7 : þ x3 y3 ð2xy 2 Þ2
2
2
4
1
½2a ð3aÞ2 ½2a þ ð3aÞ3 þ ð2a2 Þ : ð4Þ þ ðþ6a5 Þ : ð3a3 Þ
2
2 2
2
3
0,4y þ y þ y þ ð26y7 Þ : ð13y 5 Þ
5
5
(
3 2 )
2
1
1
ð4tÞ2 ð2tÞ3
: 6t 2
2
4
1 3
a ð4a4 Þ þ ð2aÞ3 : ðaÞ2
ð6a3 Þ : ð2a2 Þ þ ð2a4 Þ2 :
2
2 3 10 5
2
3
3
1
1 5
x : x3 x : þ x2 :
x 2x
7x2 þ
3
3
2
4
2
32
"
2 # 2 3
1
3
1
1
: þ abc2 þ abc2
ac
abc2 a2 bc3
2
2
2
2
2
15 2 4
x y
2
[125a3 þ 11a2 ]
[y 2 ]
43 2
t
3
[3a]
[5x2 6x]
1 2 3
a bc
4
È dato un numero a. Esprimi tramite un’espressione algebrica la frase «il quadrato della differenza tra il quadrato
del cubo di a e il cubo dell’opposto del doppio del quadrato di a» e semplifica l’espressione algebrica ottenuta.
[81a12 ]
22
Þ
23 È dato un numero a. Esprimi tramite un’espressione algebrica la frase «il cubo della differenza tra il cubo del quaÞ
drato di a e il quadrato dell’opposto del doppio del cubo di a» e semplifica l’espressione algebrica ottenuta.
[27a18 ]
Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi.
24
Þ
25
Þ
26
Þ
27
Þ
28
Þ
29
Þ
10a4 b3
5a6 b2 c3
25b4 c5
12a3 b2
24a5 bc8
48b9 c15
4a2 b3
5b4 c7
15a6 b9 c15
1 5 3
x yz
2
6a4 b3
2ab4 c2
4 5
yz
5
xy2 z3
3a2 b5 c
12abc4
In un trapezio, la base maggiore e la base minore misurano rispettivamente 5a e 4a, mentre l’altezza misura 2b. Aumentando di a la misura di ciascuna delle due basi e di b la misura dell’altezza, di quanto aumenta l’area del trapezio?
15
ab
2
30 Al 15 settembre i funghi porcini hanno un prezzo sul mercato di p euro al kg. Dopo due settimane questo prezzo suÞ
bisce un aumento del 15%; a metà ottobre si registra un altro rincaro del 10%. Poi, grazie a un periodo particolarmente
piovoso, a fine ottobre il prezzo cala del 20%. Scrivi l’espressione algebrica che esprime, in funzione di p, il prezzo a fine
ottobre e semplificala. Qual è la variazione percentuale di prezzo nel periodo che va da metà settembre a fine ottobre?
[þ1,2%]
30
5
A Ripasso
Scheda
RISPOSTE
ESEMPI
Che cos’è un polinomio?
Un’espressione algebrica che
si può scrivere come somma
algebrica di monomi.
3x 2 2x þ 3
Che cos’è il grado di un
polinomio?
Il massimo dei gradi dei suoi
termini.
xy 4
ha grado
1þ4 ¼5
e
x3 y 2 z þ
x3 y 2 z
þ
ha grado
3þ2þ1 ¼6
1
xy 1
2
x 3 y 3 z ) il polinomio
ha grado 7
ha grado
Polinomi
DOMANDE
Unità 5
Polinomi, operazioni con i polinomi e prodotti notevoli
3þ3þ1¼ 7
Quando un polinomio si dice
omogeneo?
Quando tutti i suoi termini
hanno lo stesso grado.
ab2 þ a2 b þ a3 þ b3 è un polinomio omogeneo
perché tutti i termini hanno grado 3
ab2 þ a2 b þ a3 þ b3 þ 1 non è omogeneo (perché il
termine noto ha grado 0, mentre tutti gli altri termini
hanno grado 3)
Quando un polinomio si dice
completo rispetto a una
lettera?
Quando nel polinomio
compaiono tutte le potenze
di quella lettera, da quella di
grado massimo a quella di
grado 0.
x 2 y 2 þ x þ 1 è completo rispetto alla lettera x, ma non
rispetto alla lettera y (perché manca il termine di primo
grado in y).
Come si esegue l’addizione o
la sottrazione di due o più
polinomi?
Si tolgono le parentesi,
applicando le ordinarie regole
sui segni, quindi si riducono
gli eventuali termini simili.
ð2x þ 5y 1Þ ðx þ y 2Þ þ ðx 2yÞ ¼
Come si esegue la
moltiplicazione tra due
polinomi?
Si moltiplica ciascun termine
dell’uno per tutti i termini
dell’altro e si sommano i
prodotti parziali, quindi si
riducono gli eventuali termini
simili.
¼ 2x þ 5y 1 x y þ 2 þ x 2y ¼
¼ 2x þ 2y þ 1
E
E
E
E
ð2x þ 3Þðx 3Þ ¼ 2x x þ 2x ð3Þ þ 3 x þ 3 ð3Þ ¼
¼ 2x 2 6x þ 3x 9 ¼
¼ 2x 2 3x 9
Prodotto
notevole
Formula
Esempi
Somma di due
monomi per la
loro differenza
ðA þ BÞðA BÞ ¼ A2 B2
ðA þ BÞ ðA BÞ ¼ A2 B 2
Quadrato di
un binomio
ðA þ BÞ2 ¼ A2 þ 2AB þ B 2
ðx þ 2yÞðx 2yÞ ¼ ðxÞ2 ð2yÞ2 ¼ x 2 4y 2
ðA þ BÞ2 ¼ A2 þ 2 A B þ B 2
ð2x þ 3Þ2 ¼ ð2xÞ2 þ 2 ð2xÞ 3 þ 32 ¼ 4x 2 þ 12x þ 9
ðx 3yÞ2 ¼ ½x þ ð3yÞ2 ¼
¼ x 2 þ 2 x ð3yÞ þ ð3yÞ2 ¼ x 2 6xy þ 9y 2
Quadrato di
un trinomio
ðA þ B þ CÞ2 ¼
ðA þ B þ CÞ2 ¼ A2 þ B 2 þ C 2 þ 2 A B þ 2 A C þ 2 B C
¼ A2 þ B2 þ C 2 þ 2AB þ 2AC þ 2BC
ðxþ2yþzÞ2 ¼ðxÞ2 þð2yÞ2 þðzÞ2 þ2ðxÞð2yÞþ2ðxÞðzÞþ2ð2yÞðzÞ¼
¼ x 2 þ 4y 2 þ z 2 þ 4xy þ 2xz þ 4yz
Cubo di un
binomio
ðA þ BÞ3 ¼ A3 þ 3A2 B þ 3AB 2 þ B3
ðA þ BÞ3 ¼ A3 þ 3 A2 B þ 3 A B 2 þ B 3
ðx3Þ3 ¼½xþð3Þ3 ¼ðxÞ3 þ3x 2 ð3Þþ3ðxÞð3Þ2 þð3Þ3 ¼
¼ x 3 9x 2 þ 27x 27
31
Tema B
Monomi e polinomi
Scheda
1
Þ
2
Þ
5
B Verifica delle conoscenze
Scrivi un polinomio di 5 grado, omogeneo, avente tre termini, nelle variabili x, y e z.
Scrivi un polinomio di 3 grado, nelle variabili x e y, completo rispetto alla lettera x ma non rispetto alla lettera y, e
avente termine noto uguale a 2.
Vero o falso?
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
il polinomio 4x3 2x2 y þ y 3 1 è omogeneo
V
F
il polinomio ab4 þ a2 b ha grado 4
V
F
il polinomio x3 y þ x2 þ x þ 1 è completo sia rispetto alla lettera x sia rispetto alla lettera y
V
F
V
F
V
F
V
F
un polinomio non nullo di grado zero è un numero reale
V
F
il quadrato di ðx 2Þ è il polinomio opposto al quadrato di ð2 xÞ
V
F
lo sviluppo di ðx 3Þ presenta esattamente un termine con segno negativo
V
F
ðr þ s þ tÞ2 ¼ r 2 þ s2 þ t 2
V
F
il prodotto di due binomi, ridotto in forma normale, è sempre un binomio
V
F
il prodotto di due polinomi è nullo se e solo se entrambi i polinomi sono nulli
V
F
la somma di due polinomi è zero se e solo se entrambi i polinomi sono nulli
V
F
un polinomio di grado diverso da zero nelle due variabili a e b, completo rispetto alla lettera a, non può
essere omogeneo
1
3 4 2
a b 1 ha grado 4
7 il polinomio ab4 þ a3 b2 Þ
2
2
8 un polinomio omogeneo non può avere grado 2
Þ
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
14
Þ
15
Þ
3
Test
16
Þ
A
17
Þ
5
B
6
C
9
hanno lo stesso grado
B
sono entrambi omogenei
C
sono entrambi completi rispetto alla lettera x
D
nessuna delle precedenti risposte è esatta
A
19
Þ
A
20
Þ
A
21
Þ
A
22
Þ
D
10
I due polinomi x2 y þ xy2 e x5 þ y5 :
A
18
Þ
32
Qual è il grado del polinomio x6 y 3 þ x5 y 5 þ x3 y5 þ 1?
Il binomio b2 9c2 è il risultato di quale delle seguenti moltiplicazioni?
ðb 3cÞðb þ 3cÞ
B
ðb 3cÞð3c þ bÞ
C
ðb 3cÞðb þ 3cÞ
D
ðb 3cÞð3c bÞ
C
x2 þ 14x þ 49
D
x2 14x þ 49
Qual è lo sviluppo corretto di ðx 7Þ2 ?
x2 7x þ 49
B
x2 þ 49
Paolo sviluppa ðx y 1Þ2 e scrive come risultato x2 y2 1 2xy 2x 2y; quanti errori di segno ha commesso?
nessuno
B
uno
C
due
D
tre
C
8t 2
D
12t 2
Il monomio di secondo grado dello sviluppo di ðt þ 4Þ3 è:
4t 2
B
6t 2
Quanti termini contiene il polinomio che si ottiene svolgendo la moltiplicazione ða þ b þ cÞðx þ yÞ?
A
4
C
9
B
6
D
Nessuna delle precedenti risposte è esatta.
C Esercizi guidati
5
Scheda
ð3a b cÞ ða þ 2b 5cÞ ¼ 3a b c þ a 2b :::::5c ¼ 4a ::::: þ :::::
2
Þ
ð2x þ yÞ ðx yÞ þ ðx þ y 1Þ ¼ 2x þ y x :::::y x
3
Þ
3a2 ða3 a 1Þ ¼ 3a2 a3 þ 3a2 ðaÞ þ 3a2 ð1Þ ¼ ::::::::::
4
Þ
ðx 2yÞðx þ 3yÞ ¼ x x þ x ð3yÞ þ ð2yÞ ::::: þ ð2yÞ ::::: ¼ ::::::::::
5
Þ
ðx þ 1Þðx 2Þðx þ 3Þ ¼ ðx x 2x þ ::::: 2Þðx þ 3Þ ¼ ðx2 ::::: :::::Þðx þ 3Þ ¼
::::: y
1 ¼ 4x þ ::::: :::::
Polinomi
1
Þ
Unità 5
Completa le seguenti uguaglianze in cui ti guidiamo a svolgere addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni di
polinomi.
¼ x2 x þ x2 3 x x x 3 ::::: x ::::: 3 ¼ ::::::::::
Completa gli sviluppi dei seguenti prodotti notevoli.
6
Þ
ð2x 7Þð2x þ 7Þ ¼ ð:::::Þ2 72 ¼ ::::: :::::
7
Þ
ðu2 v3 Þðu2 þ v 3 Þ ¼ ðu2 Þ2 ð:::::Þ2 ¼ u:::: v ::::
1 2
1 2
1 2 ::::
z w5
z þ w5 ¼
z
ðw5 Þ2 ¼ ::::: :::::
5
5
5
8
Þ
ðh 5kÞ2 ¼ ½h þ ð5kÞ2 ¼ h2 þ 2 h ð5kÞ þ ð5kÞ2 ¼ h2 ::::: þ :::::
2 2
1
1
1
10
¼
¼ ð:::::Þ2 þ2 a ð:::::Þ þ ð:::::Þ2 ¼ ::::: ::::: þ :::::
a
3b
a
þ
ð3bÞ
Þ 2
2
2
3
2
11
x þ 10y 4 ¼ ðx3 Þ:::: þ 2ðx3 Þð10y 4 Þ þ ð10y 4 Þ:::: ¼ x6 þ ::::: þ :::::
Þ
9
Þ
ð3 2xÞ3 ¼ ½3 þ ð2xÞ3 ¼ 33 þ 3 32 ð2xÞ þ 3 3 ð2xÞ2 þ ð2xÞ3 ¼ ::::: ::::: þ ::::: ::::::
3
3
1
1
1
q þ 3 p ð:::::Þ2 þ
q ¼ ::::: þ ::::: þ ::::: þ :::::
13
p þ q ¼ p3 þ 3 ::::::2 Þ
3
3
3
12
Þ
14
Þ
ðc 4dÞ3 ¼ ½c þ ð4dÞ3 ¼ c3 þ 3 c2 ð:::::Þ þ 3 ::::: ð4dÞ2 þ ð:::::Þ3 ¼ ::::: ::::: þ ::::: :::::
15
Þ
ð10a 3b þ 2cÞ2 ¼ ð10aÞ2 þ ð3bÞ2 þ ð2cÞ2 þ 2ð10aÞð3bÞ þ 2ð10aÞð2cÞ þ 2ð3bÞð2cÞ ¼
¼ ::::: þ ::::: þ ::::: ::::: þ ::::: :::::
16
Þ
ð3x 4y þ 5zÞ2 ¼ ð3xÞ2 þ ð4yÞ2 þ ð::::::::::Þ2 þ 2ð3xÞð4yÞ þ 2ð3xÞð::::::Þ þ 2ð4yÞð:::::Þ ¼
¼ ::::: þ ::::: þ ::::: ::::: þ ::::: :::::
Stabilisci se ciascuna delle seguenti uguaglianze è corretta; in caso contrario, correggi gli errori.
x ðy z þ wÞ ¼ x y z þ w
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
x ½y ðz wÞ ¼ x y ðw zÞ
1
x
þ
y
¼ ðx yÞðx þ yÞ
19
ð
3x
yÞ
Þ
3
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
17
Þ
18
Þ
20
Þ
3
xð 4x y zÞ ¼ 3xðx y zÞ
4
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
21
Þ
ð3x þ 6yÞð6y 3xÞ ¼ 9x2 36y2
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
22
Þ
ða3 5Þ2 ¼ a9 10a3 þ 25
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione .....................................................
23
Þ
3
ðt 2Þ ¼ t 3 þ 6t 2 12t 8
33
D Esercizi da svolgere
Monomi e polinomi
5
Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni.
Tema B
Scheda
Esegui le seguenti moltiplicazioni.
1
Þ
2
Þ
3
Þ
ð2x þ yÞ ðx yÞ þ ðx þ y 1Þ
1
3
1
3
x yþz
x þ 2y z 2
2
2
2
x y ½2x þ y z ðx þ wÞ ðy 2wÞ
4
Þ
2x2 yð2xy x2 y 2 3xyÞ
5
Þ
6
Þ
ðx2 1Þð2x2 þ 3Þ
1 2
a bð6a 8ab2 1Þ
2
[4x þ 3y 1]
7
5
x þ y z
2
2
[y þ z w]
ðx 2Þð2x þ 3Þ
ðx2 1Þð2x2 þ 3Þ
ða2 1Þða3 þ 2Þ
ða 1Þða2 3a þ 2Þ
ðb2 7Þð5 b2 Þ
ðx yÞðx2 þ xy þ y 2 Þ
Esegui le seguenti operazioni utilizzando i prodotti notevoli.
7
Þ
8
Þ
9
Þ
ðx þ 3Þðx 3Þ
ðx2 2Þðx2 þ 2Þ
ð2a 3b2 Þð2a þ 3b2 Þ
ðx3 y 4z2 Þðx3 y þ 4z2 Þ
ð2x 1Þ2
ða þ 2bÞ2
ðx y 2Þ2
ð2 x2 Þð2 þ x2 Þ
ða þ 2b 1Þ2
ðx6 y2 þ 4z4 Þðx3 y 2z2 Þðx3 y þ 2z2 Þ
ð2x þ 1Þ3
3
1
n
m
10
Þ 3
Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando, ovunque possibile, i prodotti notevoli.
11
Þ
12
Þ
x2 ð1 xÞ ðx3 þ 1Þðx2 1Þ
ð2k þ hÞðk 2hÞ 3hðk þ 3hÞ 2kðk 3hÞ
1
1
1
xð3x 1Þ x 1 3x 13
Þ
3
3
3
1 3
x
14 ð0,2x3 1Þð5x2 1Þ x2 ðx3 þ x 5Þ þ
Þ
5
2
15 ðx þ 1Þðx 1Þ ðx 2Þ þ ðx þ 2Þðx 3Þ þ 11 4x
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
ða 2bÞ2 ð2a 3bÞð2a þ 3bÞ þ ða þ bÞ2 þ 2bða 7bÞ
ðx2 2Þ2 2ðx2 2Þðx2 þ 2Þ þ ðx 1Þðx þ 1Þðx2 þ 1Þ
2aða bÞ2 að2a þ bÞ2 þ 2a2 ða þ 4bÞ
ðx þ 1Þ3 ðx 2Þ3 9ð1 xÞ
"
2 2 #2
1
1
x1 xþ1
20
ð4 xÞð4 þ xÞ
Þ
2
2
21
Þ
22
Þ
23
Þ
ða 2b 1Þ2 ða þ 2b þ 1Þ2 þ ð4aÞð2bÞ
ð1 aÞ2 ð1 þ aÞ2 ð1 þ a2 Þ2 ð1 þ a4 Þ2
[11h2 ]
25
1
x
9
3
[1 x3 ]
[x2 x]
[2a2 ]
[11 4x2 ]
[ab2 ]
[9x2 ]
[5x2 16]
[4a]
[4a4 ]
Senza svolgere le potenze, calcola 1002 992 þ 572 562 .
(Suggerimento: 1002 992 ¼ ð100 þ 99Þð100 99Þ, quindi :::)
34
[1 x5 ]
[312]
6
A Ripasso
Scheda
Unità 6
Scomposizione mediante il riconoscimento di prodotti notevoli
FORMULA
ESEMPI
Differenza
di due
quadrati
A2 B2 ¼ ðA BÞðA þ BÞ
4a2 9 ¼ ð2aÞ2 32 ¼ ð2a 3Þ ð2a þ 3Þ
A2 B 2
ðA BÞ ðA þ BÞ
x 6 y 2 ¼ ðx 3 Þ2 ð yÞ2 ¼ ðx 3 yÞ ðx 3 þ yÞ
A2 B 2
A2 þ 2AB þ B 2 ¼ ðA þ BÞ2
Sviluppo
del quadrato
di un binomio
ðA BÞ ðA þ BÞ
4x 2 þ 4x þ 1 ¼ ð2xÞ2 þ 2 ð2xÞ 1 þ 12 ¼ ð2x þ 1Þ2
A2 þ 2 A B þ B 2 ¼ ðA þ BÞ2
A2 2AB þ B 2 ¼ ðA BÞ2
a2 6a þ 9 ¼ ðaÞ2 2 ðaÞ 3 þ 32 ¼ ða 3Þ2
A2 2 A B þ B 2 ¼ ðA BÞ2
A3 þ B3 ¼ ðA þ BÞ ðA2 A B þ B 2 Þ
segno uguale
Somma
di due cubi
A3 þ B3 ¼ ðA þ BÞðA2 AB þ B 2 Þ
segno opposto
x 3 þ 27y 3 ¼ ðxÞ3 þ ð3yÞ3 ¼ ðx þ 3yÞ½ðxÞ2 ðxÞ ð3yÞ þ ð3yÞ2 ¼
¼ ðx þ 3yÞðx 2 3xy þ 9y 2 Þ
A3 B 3 ¼ ðA BÞ ðA2 þ A B þ B2 Þ
segno uguale
Differenza
di due cubi
A3 B3 ¼ ðA BÞðA2 þ AB þ B 2 Þ
segno opposto
Introduzione alla scomposizione di polinomi
REGOLA DI
SCOMPOSIZIONE
8a3 1 ¼ ð2aÞ3 13 ¼ ð2a 1Þ½ð2aÞ2 þ ð2aÞ 1 þ 12 ¼
¼ ð2a 1Þð4a2 þ 2a þ 1Þ
Attenzione!
I trinomi A2 AB þ B 2 e A2 þ AB þ B 2 sono chiamati «falsi quadrati» perché ricordano lo sviluppo del quadrato di un
binomio: tuttavia in essi compare il prodotto (preceduto dal segno þ o dal segno ), invece del doppio prodotto, delle basi
dei quadrati. I falsi quadrati sono polinomi irriducibili (nell’insieme dei polinomi a coefficienti in R).
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Per scomporre un trinomio del tipo x 2 þ bx þ c, si cerca, se esistono, due numeri p e q tali che:
pþq ¼b
e
pq ¼c
Se tali numeri esistono, il trinomio si scompone secondo la formula:
x 2 þ bx þ c ¼ ðx þ pÞðx þ qÞ
6
B Verifica delle conoscenze
Scheda
Test
1
Þ
A
Quale dei seguenti polinomi è scomposto in fattori?
x ðx yÞ þ 1
B
x ðx þ 1Þ y
C
x ðx yÞðx þ 1Þ
D
ðx yÞ2 1
35
6
Monomi e polinomi
Scheda
2
Þ
A
3
Þ
A
4
Þ
Tema B
A
5
Þ
B Verifica delle conoscenze
Uno solo dei seguenti polinomi è irriducibile; quale?
x2 þ x
B
2x þ 3
C
x2 x
D
a3 a2
D
2ab 2bc þ c2
D
Quattro
In quale dei seguenti polinomi si può operare un raccoglimento totale?
m3 þ m2 þ 1
B
xy þ yz þ zw
C
a3 2a2 þ ab
Da quanti fattori è composta la scomposizione in fattori irriducibili di a4 b4 ?
Uno
B
Due
C
Tre
Il trinomio x2 þ bx þ c è tale che b ¼ 5 þ 2 e c ¼ 5 2. Che cosa si può dire del trinomio?
A
si scompone in ðx 2Þðx 5Þ
B
si scompone in ðx þ 2Þðx 5Þ
C
si scompone in ðx þ 2Þðx þ 5Þ
D
può essere irriducibile
Associazioni
6
Þ
Associa a ogni polinomio la corrispondente scomposizione in fattori.
a. x2 x 6
A. ðx þ 3Þ2
b. x2 6x þ 9
B. ðx 3Þðx þ 2Þ
c. x þ x 6
C. ðx 3Þ2
d. x2 5x þ 6
D. ðx 2Þðx þ 3Þ
2
2
e. x þ 6x þ 9
7
Þ
E. ðx 2Þðx 3Þ
Associa a ogni polinomio la corrispondente scomposizione in fattori.
a. x2 4x
A. ð2 xÞð2 þ xÞ
b. x2 4
B. ðx þ 2Þ2
c. x3 4x2
C. xðx 4Þ
d. x3 4x
D. xðx 2Þðx þ 2Þ
e. x þ 4
E. ðx 2Þ2
f. x2 4x þ 4
F. ðx 2Þðx þ 2Þ
2
2
g. x 4x 4
G. irriducibile
h. x2 þ 4
H. x2 ðx 4Þ
Scheda
6
C Esercizi guidati
Completa le seguenti scomposizioni eseguendo i raccoglimenti suggeriti.
1
Þ
2
Þ
3
Þ
8x2 y 3 þ 6xy ¼ 2xy ð4xy :::: þ :::::Þ
4x3 2x2 4x ¼ 2x ð::::: x :::::Þ
3a2 b þ 6ab2 9a3 b3 ¼ 3ab ð::::: þ ::::: :::::Þ
a3 x2 þ a5 bx3 þ a4 bx ¼ :::::ðx þ a2 bx2 þ :::::Þ
5y 2 þ 20y ¼ 5y ð::::: 4Þ
4ðx þ 3Þ yðx þ 3Þ ¼ ðx þ 3Þð::::: :::::Þ
Completa le seguenti scomposizioni, ricordando i prodotti notevoli.
36
4
Þ
5
Þ
a2 16 ¼ ða :::::Þða þ :::::Þ
9x2 4y 2 ¼ ð3x 2yÞð::::: þ :::::Þ
a4 9 ¼ ða:::: 3Þða:::: þ :::::Þ
6
Þ
4a2 4a þ 1 ¼ ð::::: 1Þ2
x6 9 ¼ ðx:::: :::::Þðx:::: þ 3Þ
9
3 2
x2 3x þ ¼ ::::: :::::
4
7
Þ
ða þ bÞ2 4c2 ¼ ða þ bÞ2 ð:::::Þ2 ¼ ða þ b :::::Þða þ b þ :::::Þ
C Esercizi guidati
6
Scheda
a3 þ 8 ¼ ða þ :::::Þða2 ::::: þ 4Þ
27x3 1 ¼ ð::::: 1Þð9x2 þ ::::: þ :::::Þ
9
Þ
1 3
x 8y3 ¼ ð::::: 2yÞð::::: þ xy þ :::::Þ
8
10
Þ
ða þ 1Þ3 8 ¼ ½ða þ 1Þ 2½ða þ 1Þ2 þ 2 ð::::::::::Þ þ ::::: ¼ ða :::::Þða2 þ ::::: þ :::::Þ
Completa le seguenti scomposizioni di trinomi di secondo grado.
11
Þ
12
Þ
13
Þ
x2 þ 5x 6 ¼ ðx þ :::::Þðx :::::Þ
x2 þ 7x þ 10 ¼ ðx þ :::::Þðx þ :::::Þ
x2 þ 5x 14 ¼ ðx :::::Þðx þ :::::Þ
x2 7x þ 12 ¼ ðx :::::Þðx :::::Þ
x2 þ 3ax 10a2 ¼ ðx þ :::::Þðx :::::Þ
x2 10ax þ 24a2 ¼ ðx ::::Þðx :::::Þ
Completa le seguenti scomposizioni, seguendo i suggerimenti indicati.
14
Þ
2a3 8a ¼
Raccogli 2a
¼ 2a ð::::::::::Þ ¼
Scomponi il fattore di secondo grado come una differenza di quadrati
¼ 2a ð::::::::::Þð::::::::::Þ
15
Þ
3x4 15x3 þ 12x2 ¼
2
¼ :::::ðx ::::: þ :::::Þ ¼
Introduzione alla scomposizione di polinomi
8
Þ
Unità 6
Completa le seguenti scomposizioni di somme o differenze di cubi.
Raccogli il M.C.D. fra i termini del polinomio
Scomponi il trinomio di 2 grado tra parentesi
¼ :::::ðx 1Þð::::::::::Þ
16
Þ
x2 2x þ 1 4y 2 ¼
Riconosci una differenza di quadrati
¼ ðx :::::Þ2 ð:::::Þ2 ¼
Scomponi la differenza di quadrati
¼ ðx ::::: :::::Þðx ::::: þ :::::Þ
17
Þ
x2 y 2 þ ax þ ay ¼
Scomponi i primi due termini e raccogli a fra gli ultimi due
¼ ðx yÞð::::::::::Þ þ að::::::::::Þ ¼
Raccogli ðx þ yÞ a fattore comune
¼ ðx þ yÞð::::::::::::::::::::Þ
18
Þ
x4 þ x3 x 1 ¼
3
Esegui i raccoglimenti parziali suggeriti
¼ x ð::::::::::Þ 1ð:::::::::::::::Þ ¼
Raccogli ðx þ 1Þ
¼ ðx þ 1Þð:::::::::::::::Þ ¼
Scomponi la differenza di cubi
¼ ðx þ 1Þðx 1Þð:::::::::::::::::::::::::Þ
19
Þ
y6 y2
¼
Raccogli il M.C.D. fra i termini del polinomio
¼ y:::: ðy :::: 1Þ ¼
Riconosci tra parentesi una differenza di quadrati
¼ y:::: ðy :::: 1Þðy :::: þ 1Þ ¼
Osserva che il binomio all’interno delle prime due parentesi è ancora scomponibile
come differenza di quadrati
¼ y:::: ðy 1Þð::::::::::Þðy :::: þ 1Þ
20
Þ
2x2 þ 10x 12 ¼
Raccogli 2
¼ 2ð:::::::::::::::Þ ¼
Scomponi il trinomio di secondo grado tra parentesi cercando due numeri che hanno
somma 5 e prodotto 6
¼ 2ð::::::::::Þð::::::::::Þ
21
Þ
ða 3Þx2 4ða 3Þx þ 4ða 3Þ ¼
Raccogli (a – 3)
¼ ða 3Þð::::::::::::::::::::Þ ¼
Riconosci tra parentesi il quadrato di un binomio
¼ ða 3Þð::::::::::Þ
2
37
Monomi e polinomi
Scheda
6
C Esercizi guidati
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a determinare il massimo comune divisore tra un gruppo di polinomi, seguendo i passi indicati e l’esempio svolto.
22
Þ
Passi
Calcolo del M.C.D. tra
x 4 x 3 , x 4 2x 3 þ x 2 , x 4 x 2
Calcolo del M.C.D. tra
x 4 2x 3 þ x 2 , x 5 þ x 4 2x 3
Scomponi i polinomi in fattori
irriducibili.
x4 x3 ¼ x3 ðx 1Þ
x4 2x3 þ x2 ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::
4
3
2
2
x 2x þ x ¼ x ðx 1Þ
4
2
2
x5 þ x4 2x3 ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::
2
Tema B
x x ¼ x ðx 1Þðx þ 1Þ
Individua i fattori comuni in tutte
le scomposizioni, e l’esponente
minimo con cui compaiono in esse.
Il M.C.D. è il prodotto dei fattori
comuni, presi una sola volta
e con il minimo esponente.
I fattori comuni sono:
I fattori comuni sono:
x che compare con esponente
minimo uguale a 2
ðx 1Þ che compare con
esponente minimo uguale a 1
......................................................................................
M.C.D. ¼ x2 ðx 1Þ1
M.C.D. ¼ ::::::::::::::::::::
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a determinare il minimo comune multiplo tra un gruppo di polinomi, seguendo i passi indicati e l’esempio svolto.
23
Þ
Passi
Calcolo del m.c.m. tra
x 4 x 3 , x 4 2x 3 þ x 2 , x 4 x 2
Calcolo del m.c.m. tra
x 4 2x 3 þ x 2 , x 5 þ x 4 2x 3
Scomponi i polinomi in fattori
irriducibili.
x4 x3 ¼ x3 ðx 1Þ
x4 2x3 þ x2 ¼ :::::::::::::::::::::::::
4
3
2
2
x 2x þ x ¼ x ðx 1Þ
2
x5 þ x4 2x3 ¼ :::::::::::::::::::::::::
x4 x2 ¼ x2 ðx 1Þðx þ 1Þ
I fattori comuni e non comuni sono:
x che compare con esponente
massimo uguale a 3
ðx 1Þ che compare con
esponente massimo uguale a 2
ðx þ 1Þ che compare con
esponente massimo uguale a 1
Individua i fattori comuni e non
comuni che compaiono nelle
scomposizioni, e l’esponente
massimo con cui compaiono
in esse.
Il m.c.m. è il prodotto dei fattori
comuni e non comuni, presi una
sola volta e con il massimo
esponente.
Scheda
6
m.c.m. ¼ x3 ðx 1Þ2 ðx þ 1Þ1
I fattori comuni e non comuni sono:
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
m.c.m. ¼ .........................
D Esercizi da svolgere
Scomponi i seguenti polinomi, eseguendo dei raccoglimenti totali.
1
Þ
2
Þ
10x2 þ 5x
2a10 þ 6a4
xy2 þ x2 y
6xðx þ yÞ 5yðx þ yÞ
27a2 b4 9ab2
6a3 b4 c3 9a5 b6 c2 þ 12a4 b2 c4
Scomponi i seguenti polinomi, eseguendo raccoglimenti parziali e totali.
38
3
Þ
4
Þ
x2 y xy2 x þ y
2a 2b þ 3ax 3bx
ax2 ax þ a bx2 þ bx b
x6 þ x4 5x2 5
x2 y 2 þ x3 y3 2xy 2
a3 2 þ 4a3 b 8b
6
D Esercizi da svolgere
Scheda
4x2 36
a2 25
36x4 1
a6 4
ðx2 þ 1Þ2 4x2
ða þ bÞ2 ðb þ cÞ2
7
Þ
4a6 12a3 þ 9
x4 þ 4x2 þ 4
x2 8
Þ
x2 9
Þ
x3 8y3
a3 þ 27
8a3 þ 27b3
10
Þ
27 ðx 2Þ3
ða þ 1Þ3 þ 1
x3 y 6 4x
4
þ
3
9
9x2 þ 4x þ
4
9
x
1
þ
2
16
x6 þ 2ðx2 þ 1Þx3 þ ðx2 þ 1Þ2
1
8
Scomponi i seguenti trinomi di secondo grado.
11
Þ
12
Þ
x2 þ 9x 10
x2 þ 2x 15
x2 4x þ 3
x2 þ x 6
x2 þ 3x 4
x2 11x þ 10
x2 x 6
x2 þ 10x þ 9
Esegui le seguenti scomposizioni.
13
Þ
14
Þ
15
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
3a5 48a
x2 4xy þ 4y2 4z2
7x3 5x2
25 81a2
x3 þ y 3 þ x2 y 2
a6 1
t 3 þ 3t 2 16t 48
9x2 30x þ 25
4x3 16x2 þ 16x
x3 þ 2x2 x 2
4k3 4
x2 þ 8x þ 16 9y2
a2 8a þ 15
3a2 12b2
2b4 8
4x3 16x2 þ 16x
y 2 6y þ 5
x4 y 4 þ x2 y 2
Introduzione alla scomposizione di polinomi
5
Þ
6
Þ
Unità 6
Scomponi i seguenti polinomi, ricordando i prodotti notevoli.
[3aða 2Þða þ 2Þða2 þ 4Þ; ðx 2y 2zÞðx 2y þ 2zÞ]
[ðx þ yÞðx2 þ x xy y þ y2 Þ; ða 1Þða þ 1Þða2 þ a þ 1Þða2 a þ 1Þ]
[4xðx 2Þ2 ; ðx 1Þðx þ 1Þðx þ 2Þ]
[ða 3Þða 5Þ; 3ða þ 2bÞða 2bÞ]
[ðy 1Þðy 5Þ; ðx yÞðx þ yÞðx2 þ y 2 þ 1Þ]
Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di polinomi.
22
Þ
23
Þ
24
Þ
a3 a2 b
ða3 b ab3 Þ2
a5 a3 b2
x4 2x2 y2 þ y4
x4 y 4
x3 þ x2 y þ xy2 þ y 3
x3 yz xy3 z
x3 z2 þ x2 z3 x2 yz2 xyz3
x2 y 2 y2 z2
39
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
7
A Ripasso
Terminologia sulle equazioni
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è un’equazione?
Un’uguaglianza contenente
almeno una lettera, detta incognita,
di cui si cercano i valori che
rendono l’uguaglianza vera.
ESEMPI
2x 1 ¼ x þ 2
1 membro
2 membro
è un’equazione nell’incognita x.
Quando un’equazione si dice
intera?
Quando l’incognita non compare
in alcun denominatore.
xþ
Quando un’equazione si dice
frazionaria (o fratta)?
Quando l’incognita compare
in almeno un denominatore.
1
¼xþ2
xþ1
Che cos’è una soluzione
di un’equazione
in una incognita?
È un numero che, sostituito
nell’equazione al posto
dell’incognita, la trasforma
in un’uguaglianza vera.
1 è una soluzione dell’equazione x 2 1 ¼ 0
perché, sostituendo nell’equazione 1 al posto
di x, si ottiene l’uguaglianza:
1
¼ 3x
2
è intera
è frazionaria
ð1Þ2 1 ¼ 0
che è vera
ð0 ¼ 0Þ
þ 2 non è una soluzione dell’equazione
x 2 1 ¼ 0 perché, sostituendo nell’equazione
þ2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza:
ðþ2Þ2 1 ¼ 0
che è falsa
ð3 ¼ 0Þ
Quando due equazioni
si dicono equivalenti?
Quando hanno insiemi
delle soluzioni uguali.
x þ 2 ¼ 0 e x ¼ 2 sono equivalenti; entrambe
hanno come insieme delle soluzioni S ¼ f2g.
Quando un’equazione si dice
in forma normale?
Quando è posta nella forma
AðxÞ ¼ 0 e AðxÞ è un polinomio
in forma normale.
x 2 2x ¼ 0
x 2 2x ¼ 3x 2
Che cos’è il grado di
un’equazione?
Il grado del polinomio AðxÞ, una
volta che l’equazione sia stata
scritta nella forma normale
AðxÞ ¼ 0.
ðx 1Þ2 ¼ x 2 2 non è in forma normale.
Riconduciamola a forma normale:
è in forma normale
non è in forma normale
x 2 2x þ 1 x 2 þ 2 ¼ 0
2x þ 3 ¼ 0
Forma normale
L’equazione ha quindi grado 1.
Quando un’equazione
si dice impossibile?
Quando non ammette soluzioni,
ovvero quando il suo insieme
delle soluzioni è vuoto.
Le equazioni del tipo:
ax ¼ b
con
a ¼ 0 e b 6¼ 0
sono impossibili. Per esempio:
0x ¼ 3, 0x ¼ 2,
Quando un’equazione
si dice indeterminata?
Quando ammette infinite soluzioni.
L’equazione 0x ¼ 0 è indeterminata.
Quando un’equazione
si dice un’identità?
Quando è soddisfatta per ogni
valore reale dell’incognita, eccetto
gli eventuali valori che fanno
perdere di significato a uno
dei due membri.
ðx 2Þ2 ¼ x 2 4 x þ 4
è un’identità soddisfatta per ogni x 2 R.
Attenzione!
Le equazioni del tipo ax ¼ 0, con a 6¼ 0, come per esempio:
2x ¼ 0,
3x ¼ 0,
5x ¼ 0
non sono né impossibili né indeterminate: hanno come soluzione x ¼ 0.
40
.....
A Ripasso
7
Scheda
Unità 7
Principi di equivalenza
ESEMPI
REGOLE
EQUAZIONE EQUIVALENTE
Si può trasportare un termine
che compare come addendo
da un membro all’altro di
un’equazione cambiandogli il
segno.
2x þ 3 ¼ 5 4x
Trasportiamo 4x
al primo membro e þ 3
al secondo
2x þ 4x ¼ 5 3
Se in un’equazione compaiono
due termini uguali, uno al primo
membro e uno al secondo,
questi si possono «sopprimere».
x 2 þ x ¼ x 2 þ 2x þ 1
Possiamo sopprimere
i due termini
di secondo grado
x ¼ 2x þ 1
Si possono moltiplicare o
dividere entrambi i membri di
un’equazione per uno stesso
numero, purché questo sia
diverso da zero.
6x 3 ¼ 9
Possiamo dividere
tutti i termini per 3
2x 1 ¼ 3
Possiamo moltiplicare
tutti i termini per 6
3x 2x ¼ 6
1
1
x x¼1
2
3
Equazioni di primo grado
EQUAZIONE ORIGINARIA
Procedimento per risolvere un’equazione di primo grado nell’incognita x
1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei
denominatori, in modo da ricondursi a un’equazione a coefficienti interi;
2. si svolgono gli eventuali calcoli ai due membri dell’equazione, togliendo tutte le parentesi;
3. si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo;
4. si risolve l’equazione del tipo ax ¼ b cui ci si è ricondotti nel passo precedente; i casi che possono presentarsi sono riassunti
nel seguente schema.
 
S =  b  equazione determinata
a 
a≠0
ax = b
b=0
a=0
b≠0
S=R
equazione indeterminata
(identità)
S=∅
equazione impossibile
Procedimento per risolvere problemi il cui modello algebrico è un’equazione
1. Si determinano i dati e l’obiettivo del problema.
2. Si sceglie l’incognita, precisandone il dominio entro cui può variare in relazione al problema, quindi si scrive l’equazione che
formalizza il problema stesso. La scelta dell’incognita non è unica.
3. Si risolve l’equazione ottenuta.
4. Si interpretano le soluzioni in relazione al problema e si risponde.
Attenzione!
L’interpretazione delle soluzioni è una fase molto importante: può succedere infatti che l’equazione che costituisce il modello
algebrico abbia soluzioni, ma il problema risulti impossibile!
Oltre ai problemi impossibili, può capitare anche di imbattersi in problemi indeterminati: problemi, cioè, che hanno infinite
soluzioni.
41
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
7
B Verifica delle conoscenze
Test
1
Þ
A
2
Þ
A
3
Þ
A
4
Þ
A
5
Þ
L’equazione
1
x
þ 2x ¼ þ 1 nell’incognita x è:
2
3
numerica intera
numerica frazionaria
C
letterale intera
D
letterale frazionaria
1
a
¼ þ x nell’incognita x è:
x
2
B numerica frazionaria
numerica intera
C
letterale intera
D
letterale frazionaria
D
x ¼ 18
D
quattro
D
irrazionale
B
L’equazione
Quale delle seguenti è la soluzione dell’equazione
x ¼ 12
B
x ¼ 14
1
x
xþ3¼ ?
3
2
C
x ¼ 16
Qual è il grado dell’equazione xð2x 1Þ2 xð2x 1Þð2x þ 1Þ ¼ 0?
uno
B
due
C
tre
L’equazione 3x ¼ 12 è:
A
equivalente a 2x ¼ 12 x in base al primo principio di equivalenza
B
equivalente a 2x ¼ 12 x in base al secondo principio di equivalenza
C
equivalente a 4x ¼ 12 x in base al primo principio di equivalenza
D
equivalente a 4x ¼ 12 x in base al secondo principio di equivalenza
6
Þ
A
7
Þ
L’equazione 2x þ 12 ¼ 10 ha come soluzione un numero:
intero positivo
B
intero negativo
C
razionale, non intero
L’equazione 5x ¼ 0 è:
A
determinata
C
impossibile
B
indeterminata, ma non un’identità
D
un’identità
8
Þ
L’equazione 0x ¼ 100 è:
A
determinata
C
impossibile
B
indeterminata, ma non un’identità
D
un’identità
9
Þ
L’equazione 10x ¼ ð8 þ 2Þx è:
A
determinata
C
impossibile
B
indeterminata, ma non un’identità
D
un’identità
Completa le seguenti affermazioni, in modo che risultino corrette.
5
in base al ::::::::::::::: principio di equivalenza.
3
10
Þ
L’equazione 3x ¼ 5 equivale a x ¼
11
Þ
L’equazione 3x ¼ 2x þ 5 equivale a x ¼ 5 in base al ::::::::::::::: principio di equivalenza.
L’equazione 2x þ 3 ¼ 6 è equivalente a 12x þ ::::: ¼ ::::: perché è stata ottenuta dalla precedente moltiplicando tutti i
suoi termini per :::::::::::::::
12
Þ
13 L’equazione 6x þ 3 ¼ 7x 8 è equivalente all’equazione 6x þ 3 þ ::::::::::::::: ¼ 0, ottenuta dalla precedente trasportanÞ
do tutti i suoi termini al primo membro.
L’equazione x3 þ 2x2 þ 7x þ 1 ¼ x3 þ 2x2 þ 1 è equivalente all’equazione ::::::::::::::::::::, ottenuta sopprimendo i termini
uguali.
14
Þ
15
Þ
L’equazione
1
1
1
x þ x ¼ x è equivalente all’equazione a coefficienti interi :::::::::::::::::::::::::, ottenuta moltiplicando
2
4
3
i suoi termini per il minimo comune multiplo dei denominatori, che in questo caso è :::::::::::::::
42
7
C Esercizi guidati
Completa la seguente tabella.
Equazione
x2 þ 2x þ 3 ¼ 0
Ottieni
l’uguaglianza ...
L’uguaglianza
ottenuta
è vera o falsa?
Il numero sostituito al posto
di x è una soluzione
dell’equazione?
1
::::::::::::::::::::::::::::::
V
F
SÌ
NO
3x þ x ¼ 4
2
::::::::::::::::::::::::::::::
V
F
SÌ
NO
x3 þ 8 ¼ 0
2
::::::::::::::::::::::::::::::
V
F
SÌ
NO
2x 8 ¼ x þ 4
12
::::::::::::::::::::::::::::::
V
F
SÌ
NO
2
Þ
Equazioni di primo grado
Sostituisci
al posto di x
il numero ...
Unità 7
1
Þ
Scheda
Completa la seguente tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.
Passi del procedimento
Equazione da risolvere:
Equazione da risolvere:
2
x4
ðx þ 2Þ2 x 2
¼
2
3
2
ðx 1Þ x
xþ1
¼
3
2
Liberiamo l’equazione
dai denominatori moltiplicando
i due membri per il m.c.m.
dei denominatori:
6
ðx 1Þ2 x2
xþ1
¼6
3
2
6
x4
ðx þ 2Þ2 x2
¼6
2
3
3ðx 1Þ2 3x2 ¼ 2x þ 2
3ðx 4Þ ¼ 2ð::::::::::Þ2 :::::
Svolgiamo i calcoli:
3x2 6x þ 3 3x2 ¼ 2x þ 2
6x þ 3 ¼ 2x þ 2
3x ::::: ¼ 2x2 þ ::::: þ 8 :::::
3x ::::: ¼ 8x þ :::::
Portiamo i termini con l’incognita
al 1 membro e gli altri al 2 :
6x 2x ¼ þ2 3
3x ::::: ¼ 12 þ :::::
Riduciamo i termini simili:
8x ¼ 1
5x ¼ :::::
Dividiamo i due membri
per il coefficiente dell’incognita:
x¼
1
1
¼
8
8
x ¼ :::::
3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel
Þ
risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.
Risoluzioni
È corretto?
Eventuale correzione
3x ¼ x þ 1 ) 3x x ¼ 1 ) 2x ¼ 1 )
1
)x¼
2
SÌ
NO
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
1
1
ð2x þ 3Þ ¼ 3 )
ð 2x þ 3Þ ¼ 3 ) x þ 3 ¼ 3 )
2
2
)x¼0
SÌ
NO
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
3
1
1
3
13
¼
)x¼ )x¼
)
2
3
3
2
32
) x ¼ 2
SÌ
NO
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
SÌ
NO
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
SÌ
NO
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
xþ
2ðx þ 1Þ ¼ 3 ) 2x þ 1 ¼ 3 ) 2x ¼ 2 )
)x¼1
9x þ 10 ¼ 8x 2 ) 9x 8x ¼ 2 þ 10 )
)x¼8
43
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
7
C Esercizi guidati
Indica con x un numero naturale. Utilizzando tale variabile, completa la seconda colonna della seguente tabella,
traducendo in un’espressione algebrica l’espressione verbale posta nella prima colonna.
4
Þ
Espressione verbale
Espressione algebrica
La metà di un numero
1
x
2
Il doppio di un numero
::::::::::::::::::::
Un numero aumentato di 5
xþ5
Un numero diminuito di 12
::::::::::::::::::::
La differenza fra un numero e 10
::::::::::::::::::::
La differenza fra 10 e un numero
::::::::::::::::::::
Un numero moltiplicato per 3
::::::::::::::::::::
Il doppio di un numero diviso per 13
::::::::::::::::::::
13 diviso per il doppio di un numero
13
2x
Il doppio di un numero, diminuito di 8
2x 8
5 più il triplo di un numero
::::::::::::::::::::
Il 15% di un numero
::::::::::::::::::::
Un numero pari
2x
Un numero dispari
::::::::::::::::::::
Due numeri consecutivi
x e ::::::::::::::::::::
5
Þ
Attenzione! Non bisogna confondere queste
due espressioni: la divisione non è
un’operazione commutativa!
Completa la risoluzione dei seguenti problemi.
Problema 1
Problema 2
Testo del problema:
«In un parcheggio ci sono auto e moto. In
totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno
complessivamente 104 ruote. Quante auto e
quante moto ci sono nel parcheggio?»
«In un parcheggio ci sono auto e moto. In
totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno
complessivamente 99 ruote. Quante auto e
quante moto ci sono nel parcheggio?»
1. Individuare
dati e obiettivo:
Dati:
30 veicoli in un parcheggio
i veicoli sono auto o moto
in tutto ci sono ::::: ruote
Dati:
30 veicoli in un parcheggio
i veicoli sono auto o moto
in tutto ci sono ::::: ruote
Obiettivo:
numero di auto e numero di moto
Obiettivo:
numero di auto e numero di moto
Sia x il numero di auto del parcheggio.
Osserviamo che x dovrà essere un numero
naturale. Il numero di moto, espresso in
funzione di x, sarà :::::
Possiamo scrivere la seguente equazione:
Sia x il numero di moto del parcheggio.
Osserviamo che x dovrà essere un numero
naturale. Il numero di auto, espresso in
funzione di x, sarà ::::::::::
Possiamo scrivere la seguente equazione:
2. Formalizzazione
del problema:
4x
numero di ruote
delle auto
44
Attenzione! Non bisogna confondere queste
due espressioni: la sottrazione non è
un’operazione commutativa!
þ
2 ð::::::::::Þ
¼ 104
numero di ruote
delle moto
4 ð30 xÞ þ
numero di ruote
delle auto
::::::::::
¼ 99
numero di ruote
delle moto
3. Risoluzione
dell’equazione:
Risolvendo l’equazione troviamo:
x ¼ :::::
Risolvendo l’equazione troviamo:
x ¼ :::::
4. Interpretazione
della soluzione e
risposta:
La soluzione trovata (numero di auto) è
accettabile in quanto è un numero naturale.
Concludiamo che, nel parcheggio, ci sono:
::::: auto e 30 ::::: ¼ ::::: moto
La soluzione trovata (numero di moto) non è
accettabile in quanto non è un numero ::::::::::
Concludiamo che la situazione descritta nel
problema è impossibile.
D Esercizi da svolgere
Scheda
Unità 7
1
Þ
7
Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado:
Risolvi le seguenti equazioni.
2
Þ
1011 x ¼ 1012 x
1011 x ¼ 1012
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
2ðx 1Þ þ x2 ¼ ðx þ 1Þ2
2
x¼x1
3
0,1 x ¼ x 0,2
3x þ 2 ¼ 2x þ 4
[2]
2ðx 1Þ ¼ 3ðx þ 4Þ
[2]
4
3
1
ð3x þ 1Þ ¼ 1
3
8
Þ
ðx 2Þ2 ¼ ðx þ 2Þðx 2Þ þ 2ð1 xÞ
9
Þ
ð2x 1Þð2x þ 1Þ ¼ ð2x 1Þ2
10
Þ
x
x3
1
¼
2
4
12
14
Þ
ðx 1Þ2 ðx 2Þðx þ 2Þ ¼ 2ðx þ 3Þ
2
2
[3]
1
2
10
3
2
ð2x þ 1Þ ð2x þ 1Þ ¼ ðx þ 2Þ x2
[Impossibile]
[1]
ðx 1Þðx þ 2Þ ðx 3Þ2 ¼ x þ 1
ð2x 2Þ2
x1
x2 ¼
2
4
ð3x 2Þ2 ð2x þ 1Þ2 ð3 xÞð3 þ xÞ ¼ 2ðx 3Þð3x þ 1Þ
2 2 1
1
1
1
1
x
3
x
þ
2
x
þ
2
x
2
x2
16
¼
Þ 2
2
2
2
4
15
Þ
17
Þ
x1
x
1
x3
¼ 2
3
2
4
18
Þ
1
1
2x
x
xþ x
¼2
2
3
12
4
19
Þ
x1
xþ1
1
1
¼ x
3
6
6
2
20
Þ
xðx 1Þ
1
3
11
þ ðx 1Þ2 ¼ ðx þ 1Þðx 3Þ þ
2
3
2
3
21
Þ
x3
x2
1
¼ x1
2
3
6
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
[0; 10]
3 2
;
5 9
[Impossibile]
7
Þ
11
Þ
12
Þ
13
Þ
Equazioni di primo grado
a. ðx 1Þ2 ¼ ðx þ 1Þ2 þ x2
b. ðx þ 1Þ3 ¼ ðx 1Þ3
c. ðx 1Þðx þ 1Þ ¼ 1 þ ðx 2Þ2
[2]
3
5
[Indeterminata]
9
5
21
5
13
7
[Indeterminata]
[3]
[Impossibile]
Completa l’equazione x þ 2 ¼ 2x þ ::::: in modo che abbia come soluzione 0.
Completa l’equazione 3x 2 ¼ 5x ::::: ::::: in modo che risulti indeterminata.
Completa l’equazione 3x 2 ¼ 5x ::::: þ ::::: in modo che risulti impossibile.
Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario
dei pantaloni?
[40 euro]
26 Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10 %, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda
Þ
il conto versando 36 000 euro. Quanto costa l’appartamento?
[80 000 euro]
45
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
27
Þ
ni?
7
D Esercizi da svolgere
Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 12%, viene venduto a 66 euro. Qual era il prezzo originario dei pantalo[75 euro]
28 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante moÞ
nete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?
[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi]
29
Þ
Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio?
[Fra 8 anni]
30 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della difÞ
ferenza fra il maggiore e il doppio del minore.
[4 e 5]
31
Þ
essi.
Determina due numeri dispari consecutivi tali che la loro somma superi di 30 il numero naturale compreso fra di
[29 e 31]
Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza fra il cubo del maggiore e il cubo del minore sia
uguale al triplo del quadrato del maggiore dei due numeri.
[Impossibile]
32
Þ
La differenza fra il quadrato del consecutivo di un numero intero e il quadrato del precedente dello stesso numero è
uguale al quadruplo del numero stesso. Qual è il numero?
[Indeterminato]
2
dell’altro. Sapendo che il perimetro del rettangolo è 28 cm,
34 In un rettangolo la misura di un lato supera di 4 cm i
Þ
3
determina la sua area.
[48 cm2 ]
33
Þ
In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, mentre i lati obliqui superano di
2
1 cm i della base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le misure dei lati del trapezio.
3
[12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]
35
Þ
36 In un rombo la diagonale maggiore supera di 3 cm la diagonale minore. La somma del doppio della diagonale magÞ
giore e della metà della diagonale minore misura 18,5 cm. Calcola l’area del rombo.
[20 cm2 ]
37
Þ
a.
b.
c.
d.
38
Þ
Stabilisci quali dei seguenti problemi sono impossibili e quali indeterminati:
trovare due numeri dispari la cui somma è 5;
trovare due numeri pari consecutivi la cui somma è 6;
trovare due numeri dispari consecutivi la cui somma è 4;
trovare due numeri pari la cui somma è 8.
Scrivi il testo di un problema che ha i seguenti dati e il seguente obiettivo e risolvilo.
Dati:
numero di mele þ numero di pere ¼ 16
numero di pere ¼ 6 þ numero di mele
Obiettivo:
numero di mele
46
8
A Ripasso
Scheda
Unità 8
Terminologia sulle disequazioni
RISPOSTA
ESEMPI
Che cos’è una
disequazione?
Una disuguaglianza che contiene
almeno una lettera, detta
incognita, di cui si cercano i valori
per cui la disuguaglianza è vera.
Sono disequazioni nell’incognita x:
x2 x þ 1
2x þ 1 > 0
x
> 3x
x1
xþ
1
1
x>
2
3
Che cos’è una
soluzione
di una disequazione
in una incognita?
Un numero che, sostituito
nella disequazione al posto
dell’incognita, la trasforma
in una disuguaglianza vera.
0 è una soluzione della disequazione 2x þ 1 > 0 perché,
sostituendo 0 al posto di x, otteniamo la disuguaglianza
2 0 þ 1 > 0, ossia 1 > 0, che è vera.
1 non è una soluzione della disequazione perché,
sostituendo 1 al posto di x, otteniamo la
disuguaglianza 2 ð1Þ þ 1 > 0, ossia 1 > 0, che è
falsa.
Quando una
disequazione
si dice intera?
Quando l’incognita non compare
in alcun denominatore.
Sono disequazioni intere nell’incognita x:
Quando una
disequazione
si dice frazionaria?
Quando l’incognita compare
in almeno un denominatore.
Sono disequazioni frazionarie nell’incognita x:
x
1
> 3x
0
x1
x
Quando due
disequazioni
si dicono equivalenti?
Quando hanno lo stesso insieme
delle soluzioni.
Sono disequazioni equivalenti:
Che cos’è un sistema
di disequazioni?
Un insieme di due o più
disequazioni nelle stesse incognite
che si vuole siano soddisfatte
contemporaneamente. Si indica
scrivendo le disequazioni una sotto
l’altra, racchiuse da una parentesi
graffa posta alla loro sinistra.
Che cos’è l’insieme
delle soluzioni
di un sistema
di disequazioni?
È l’intersezione degli insiemi
delle soluzioni delle singole
disequazioni del sistema.
2x þ 1 > 0
x < 10
x2 x þ 1
Disequazioni di primo grado
DOMANDA
1
x>3
2
10 > x
8
< 1 x þ 2 > 1
2
:
xþ34
(
x þ 4 2
x þ 6 14
(
x>4
x>5
ha come insieme delle soluzioni x > 5.
Principi di equivalenza per le disequazioni
Nella risoluzione di una disequazione, analogamente a quanto visto per le equazioni, si può spostare un addendo da un
membro all’altro pur di cambiargli il segno.
Occorre prestare particolare attenzione quando si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disequazione per uno
stesso numero diverso da zero: infatti, mentre per le equazioni questa trasformazione produce sempre un’equazione equivalente, per le disequazioni si ottiene una disequazione equivalente solo se il numero per cui si moltiplica o si divide è positivo;
se si moltiplica o si divide per un numero negativo, per ottenere una disequazione equivalente occorre cambiare il verso
della disequazione.
Metodi risolutivi
La più semplice disequazione di primo grado nell’incognita x che si può presentare è quella del tipo:
ax > b, con a 6¼ 0
(o di forma analoga, con <, o al posto di >Þ
Per risolvere tale disequazione basta dividere entrambi i membri per a, ricordando di:
a. lasciare il verso della disequazione invariato, se a è positivo;
b. invertire il verso della disequazione, se a è negativo.
47
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
8
A Ripasso
DISEQUAZIONE
SOLUZIONE
GIUSTIFICAZIONE
4x 12
x3
Basta dividere entrambi i membri per 4: dal momento che 4
è positivo, il verso resta invariato.
3x < 15
x>5
Basta dividere entrambi i membri per 3: dal momento che 3
è negativo, occorre cambiare il verso.
Se a ¼ 0, le disequazioni del tipo ax > b (o di forma analoga con <, o al posto di >Þ sono impossibili o sempre verificate. Osserva gli esempi nella seguente tabella.
DISEQUAZIONE
SOLUZIONE
GIUSTIFICAZIONE
0 x < 2
La disequazione è
impossibile.
Comunque si scelga x 2 R la disequazione si trasforma nella
disuguaglianza falsa 0 < 2.
0 x 1
La disequazione è
sempre verificata.
Comunque si scelga x 2 R la disequazione si trasforma nella
disuguaglianza vera 0 1.
In generale, per risolvere una disequazione lineare numerica intera nell’incognita x si può seguire il seguente procedimento, analogo a quello che si utilizzava per le equazioni:
a. se la disequazione non è a coefficienti interi, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori, in modo da ricondursi a una con coefficienti interi;
b. si svolgono gli eventuali calcoli ai due membri della disequazione, togliendo tutte le parentesi;
c. si trasportano tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo e si riducono i termini simili; ci
si riconduce cosı̀ a una disequazione della forma:
ax > b (o di forma analoga, con <, o al posto di >Þ
d. si risolve la disequazione cui ci si è ricondotti nel passo precedente.
Per risolvere una disequazione numerica frazionaria (riconducibile a disequazioni di primo grado) si procede come segue:
a. si riduce la disequazione (se non lo è già) a forma normale, cioè a una disequazione della forma:
AðxÞ
> 0 (o di forma analoga, con <; o al posto di >Þ
BðxÞ
[*]
portando tutti i suoi termini al primo membro e svolgendo i calcoli;
b. si scompongono AðxÞ e BðxÞ in fattori di primo grado;
c. si studia il segno di ciascun fattore;
d. si costruisce una tabella riassuntiva dove si riporta il segno di ciascun fattore e si deduce, in base alla regola dei segni, il segno della frazione in ciascun intervallo che si è venuto a determinare;
e. si conclude deducendo, dalla tabella, l’insieme delle soluzioni della disequazione.
Scheda
8
B Verifica delle conoscenze
Test
1
Þ
48
Uno solo dei seguenti numeri non è una soluzione della disequazione x2 5x 4: quale?
A
4
B
4
C
2
D
2
8
B Verifica delle conoscenze
A
Quale delle seguenti disequazioni non è frazionaria?
x
<0
xþ2
1
1
þ 1
x
2
C
1
1
þx
2
3
D
1
>1
x
Disequazioni di primo grado
B
3
Þ
Unità 8
2
Þ
Scheda
Quale delle seguenti disequazioni non è equivalente a 2x > 3?
A
2x þ 1 > 4
B
3 < 2x
C
200x > 300
D
2x > 3
Un sistema è formato da due disequazioni. Se la prima disequazione del sistema è impossibile, qual è l’insieme delle
soluzioni del sistema?
4
Þ
A
Coincide con l’insieme delle soluzioni della seconda disequazione
B
È vuoto
C
Le informazioni non sono sufficienti per stabilirlo
D
O è vuoto o è uguale a R
Un sistema è formato da tre disequazioni, di cui la prima è verificata per ogni x 2 R, la seconda è verificata se e solo
se x 1 e la terza è verificata se e solo se x > 1.Qual è l’insieme delle soluzioni del sistema?
5
Þ
A
x>1
B
x1
C
x
D
R
Vero o falso?
6
Þ
7
Þ
8
Þ
la disequazione x2 4x þ 4 > 0 ha tra le sue soluzioni x ¼ 2
2
la disequazione x þ 6x þ 9 0 ha tra le sue soluzioni per x ¼ 3
moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per un numero reale non nullo si ottiene sempre
una disequazione equivalente avente lo stesso verso
9 sottraendo da entrambi i membri di una disequazione un qualsiasi numero reale si ottiene sempre
Þ
una disequazione equivalente avente lo stesso verso
1
1
è equivalente a x 10 la disequazione 100x Þ
10
1000
la disequazione 2x ðx þ 3Þ 1 è equivalente a 1 2x x 3
x>1
12 1 < x < 3 equivale al sistema
Þ
x<3
11
Þ
13
Þ
14
Þ
se almeno una delle disequazioni di un sistema è impossibile, il sistema è impossibile
affinché un sistema sia verificato per ogni x 2 R, tutte le disequazioni del sistema devono essere
verificate per ogni x 2 R
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Per ciascuna delle seguenti implicazioni stabilisci se è corretta; in caso contrario, correggi gli errori.
15
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
2x þ 3 < 1 ) 4x þ 6 < 2
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.................
3x þ 4 > 2x 1 ) 3x 2x > 1 þ 4
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.................
2x þ 3 < 1 ) 6x 9 < 3
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.................
100x 10 > 101 ) 10x 1 > 102
È esatta?
SÌ
NO
Eventuale correzione
.................
49
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
1
Þ
8
C Esercizi guidati
Completa i seguenti passaggi:
a. 4x 6 ) x :::::
2
Þ
b. 2x < 4 ) x ::::: 2
c. 9x < 12 ) x > :::::
3
Completa i seguenti passaggi:
a. 2x 6 ) x
:::::
3
Completa i seguenti passaggi:
x>3
a.
) ::::: < x < :::::
x<4
b. 3x 9 ) x 3
Þ
b.
x>3
x<2
c. 5x 12 ) x :::::
) ::::::::::
c.
x>3
x>4
:::::
:::::
) x > :::::
Completa la terza colonna della tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda colonna.
4
Þ
Passi del procedimento
Moltiplica i due membri per il
minimo comune multiplo dei
denominatori:
Disequazione da risolvere:
Disequazione da risolvere:
x1
1
1
x
10
5
4
x
1
xþ4
12
6
3
20
x1
1
10
5
20 1
x
4
......................................................................................
......................................................................................
2ðx 1Þ 4 5x
Esegui i calcoli ai due membri:
2x 2 4 5x
......................................................................................
Porta i termini con la x al primo
membro e gli altri al secondo:
2x 5x 2 þ 4
......................................................................................
Riduci i termini simili:
3x 6
......................................................................................
Dividi entrambi i membri per il
coefficiente di x, cambiando il
verso se tale coefficiente è negativo:
x 2
Rappresenta l’insieme delle
soluzioni sulla retta reale:
5
Þ
Attenzione!
Bisogna cambiare
il verso!
–2
......................................................................................
0
0
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a risolvere un sistema.
Passi del procedimento
Risolvi le singole disequazioni
del sistema:
8
< 2x þ 6 > 0
Sistema da risolvere: 1 x 0
:
3x 9 < 0
Prima disequazione:
2x þ 6 > 0 ) 2x > 6 ) x > 3
Seconda disequazione:
1 x 0 ) x 1 ) x :::::
Terza disequazione:
3x 9 < 0 ) 3x < 9 ) ::::::::::
Rappresenta gli insiemi delle
soluzioni delle disequazioni risolte
al passo precedente ðS1 , S2 , S3 Þ.
Nello schema che devi completare
abbiamo rappresentato come
esempio gli insiemi S1 ed S2 :
–3
1
….
x
S1
S2
S3
,
50
8
C Esercizi guidati
Scheda
Unità 8
,
Passi del procedimento
Disequazioni di primo grado
8
< 2x þ 6 > 0
Sistema da risolvere: 1 x 0
:
3x 9 < 0
L’intersezione degli insiemi S1 , S2 ed S3 corrisponde all’intervallo colorato, in
cui tutte le linee blu risultano continue:
Determina l’insieme S, intersezione
degli insiemi
S1 , S2 ed S3 , e concludi:
–3
….
1
x
S1
S2
S3
S
Pertanto il sistema è soddisfatto per:
...........................................................................................................
8
D Esercizi da svolgere
1
Þ
Stabilisci se il numero indicato a fianco di ciascuna disequazione è una sua soluzione:
a. 2x þ 3 1
2
x¼2
b. ðx 2Þ > 2
x¼1
x¼0
d. x > 0
Completa la disequazione 2x 3 > ::::: in modo che 1 sia una sua soluzione. Il completamento è unico?
Completa la disequazione x2 þ 2x 3 ::::: in modo che 2 sia una sua soluzione. Il completamento è unico?
A mente. Risolvi le seguenti disequazioni:
5x > 10
5
Þ
c. ðx 1Þ2 0
x¼1
2
2
Þ
3
Þ
4
Þ
Scheda
5x > 10
0x < 7
3x 0
x > 0
A mente. Risolvi le seguenti disequazioni:
10x > 100
10x > 100
10x < 100
100x 10
2x > 0
Risolvi le seguenti disequazioni.
1
5
3
6
Þ
10 x > 10
10 x > 10
7
Þ
1
1
x x
3
2
ðx þ 1Þ2 > x2
0,01 x < 2,3
8
Þ
ðx 1Þ2 < xðx 2Þ
ð0,1Þ3 x 106
9
Þ
2ðx þ 1Þ þ 3ðx þ 1Þ 5 x
1
1
ðx þ 1Þ < 2
3
10
Þ
x1
1
x4
þ x
2
3
3
11
Þ
2x
1
xþ1
x<
3
2
5
1
x > 100; x < 100
1
x 0; x > ; x > 230
2
1
x > ; impossibile; x 1000
3
[x 2]
5
x
3
14
x>
31
51
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
D Esercizi da svolgere
12
Þ
ðx 1Þ2 x2 2x þ 1
13
Þ
ðx 1Þ2 þ ðx þ 1Þðx 1Þ 2ðx þ 1Þðx þ 3Þ
14
Þ
x2 15
Þ
ðx þ 1Þ2 ðx 4Þ2 > 5ð2x 5Þ
16
Þ
17
Þ
Completa la disequazione 2ðx þ 3Þ :::::::::: in modo che risulti impossibile. Il completamento è unico?
[x 0]
3
x
5
x1
7
> ðx þ 1Þ2 x
3
3
[Impossibile]
[8x 2 R]
Completa la disequazione 2ðx 3Þ :::::::::: in modo che risulti sempre verificata. Il completamento è unico?
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
Tema C
8
18
Þ
3x0
19
Þ
x1>0
x1<0
4x<0
8
< x2 1
3
20
Þ: 2
1 0,16x
21
Þ
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
2x > 0
[1 < x 3; x < 0]
3x0
8
< 2 ð3 xÞ 2x ðx 4Þ
1
1
: xx
2
3
8
>
< 3ðx þ 4Þ > x þ 5
ðx þ 1Þ2 x2 > 3x 1
>
:
3ðx þ 1Þ < 4x þ 4
2
Impossibile; x 3
8
x 6 ; 1 < x < 2
3
Scrivi un sistema di disequazioni che abbia come insieme delle soluzioni l’insieme vuoto.
Scrivi un sistema di disequazioni che abbia come insieme delle soluzioni l’intervallo 1 x < 2.
Scrivi un sistema di disequazioni che abbia come insieme delle soluzioni S ¼ f2g.
Quali sono i numeri naturali il cui doppio, diminuito di 10, è minore di 50?
[Quelli minori di 30]
Un numero naturale soddisfa entrambe le seguenti condizioni:
a. il doppio del numero, diminuito di 3, è maggiore o uguale a 11;
b. sottraendo a 100 il numero si ottiene un numero maggiore di 80.
Quali e quanti sono i numeri naturali che soddisfano queste proprietà?
[Un numero naturale n soddisfa le proprietà assegnate se e solo se 7 n 19;
quindi ci sono 13 numeri naturali che soddisfano le condizioni a e b]
26
Þ
A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di contratto:
a. tipo A: 500 euro al mese più un compenso più 100 euro per ogni polizza stipulata;
b. tipo B: 800 euro al mese più un compenso di 50 euro per ogni polizza stipulata.
Sotto quale condizione il primo contratto è più conveniente del secondo?
[Se il promotore stipula più di 6 polizze al mese]
52
9
A Ripasso
Scheda
y
y
ordinata
P(x, y)
II quadrante
y
I quadrante
x
O
O
x
ascissa
x
III quadrante
Funzioni
asse y
Unità 9
Piano cartesiano
IV quadrante
asse x
Funzioni reali di variabile reale
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è una funzione reale di
variabile reale?
Una funzione che ha come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei
numeri reali.
Che cos’è il dominio di una funzione
reale di variabile reale di equazione
y ¼ f ðxÞ?
Se non diversamente specificato, è l’insieme dei valori di x per cui tutte le
operazioni che compaiono nell’espressione analitica della funzione si possono
eseguire.
Che cos’è il grafico di una funzione reale
di variabile reale y ¼ f ðxÞ?
L’insieme:
fðx, f ðxÞÞjx 2 Dg, essendo D il dominio della funzione.
Quasi sempre ci si riferisce al grafico di una funzione intendendo la
rappresentazione di questo insieme nel piano cartesiano.
Che cos’è uno zero della funzione di
equazione y ¼ f ðxÞ, e come lo si può
interpretare algebricamente e
graficamente?
Un numero reale, chiamiamolo a, tale che f ðaÞ ¼ 0. Ciascuno zero rappresenta
l’ascissa di un punto in cui il grafico della funzione interseca l’asse x.
Per determinare gli zeri della funzione, basta risolvere l’equazione f ðxÞ ¼ 0.
Come si può interpretare graficamente
l’equazione f ðxÞ ¼ 0?
Le (eventuali) soluzioni dell’equazione f ðxÞ ¼ 0 si possono interpretare
graficamente come ascisse dei punti d’intersezione con l’asse x del grafico della
funzione y ¼ f ðxÞ.
Come si può interpretare graficamente
l’equazione f ðxÞ ¼ gðxÞ?
Le (eventuali) soluzioni dell’equazione f ðxÞ ¼ gðxÞ si possono interpretare
graficamente come ascisse dei punti d’intersezione tra il grafico della funzione
y ¼ f ðxÞ e il grafico della funzione y ¼ gðxÞ.
Come si può interpretare graficamente
la disequazione f ðxÞ > 0?
Le (eventuali) soluzioni della disequazione f ðxÞ > 0 si possono interpretare
graficamente come ascisse dei punti in cui il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ ha
ordinate positive.
Come si può interpretare graficamente
la disequazione f ðxÞ > gðxÞ?
Le (eventuali) soluzioni della disequazione f ðxÞ > gðxÞ si possono interpretare
graficamente come ascisse dei punti in cui il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ è «al
di sopra» del grafico della funzione y ¼ gðxÞ.
53
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
9
A Ripasso
Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e quadratica
TIPO DI
PROPORZIONALITÀ
CARATTERIZZAZIONE
A PAROLE
FUNZIONE CHE
ESPRIME IL LEGAME
FRA LE DUE VARIABILI
Diretta
Una variabile y si dice
direttamente proporzionale alla
variabile x quando, per ogni x 6¼ 0,
si mantiene costante (diverso da
zero) il rapporto:
y
x
Il valore costante di questo
rapporto è la costante di
proporzionalità.
y ¼ kx
Una variabile y si dice
inversamente proporzionale
alla variabile x quando si mantiene
costante (diverso da zero)
il prodotto:
k
x
dove k è una
costante, con k 6¼ 0
Inversa
GRAFICO
y
dove k è una
costante, con k 6¼ 0
y = kx, k < 0
y = kx, k > 0
x
O
y
y¼
k k>0
y = ,
x
x
O
xy
k k<0
y = ,
x
Il valore costante di questo
prodotto è la costante di
proporzionalità.
Quadratica
Una variabile y si dice
proporzionale al quadrato della
variabile x quando, per ogni x 6¼ 0,
si mantiene costante (diverso da
zero) il rapporto:
y
x2
Il valore costante di questo
rapporto è la costante di
proporzionalità.
y ¼ kx 2
y
dove k è una
costante, con k 6¼ 0
y = kx2
k>0
y = kx2
k<0
Funzioni lineari
FUNZIONE LINEARE DI EQUAZIONE y ¼ mx þ q
Tipo di grafico se m > 0
Tipo di grafico se m < 0
y
y
m<0
m>0
O
x
Le due rette grafico delle funzioni lineari:
y ¼ mx þ q
e
y ¼ m0 x þ q0
sono parallele se e solo se:
m ¼ m0
54
x
O
O
x
9
B Verifica delle conoscenze
Scheda
1 In un piano cartesiano, la retta i cui punti hanno ordinata nulla si chiama
Þ
ascissa nulla si chiama ...............
....................
e la retta i cui punti hanno
Dato un punto Pðx, yÞ nel piano cartesiano, il numero x si chiama .................... di P e il numero y .................... di P.
3
Þ
Il punto Pð4, 3Þ appartiene al ............... quadrante.
4
Þ
In un piano cartesiano, i punti del secondo quadrante sono caratterizzati dall’avere ..............................
5
Þ
La funzione y ¼
6
Þ
Le funzioni definite da equazioni del tipo y ¼ mx þ q sono dette ...............
7
Þ
Il grafico di una funzione di equazione y ¼ mx þ q è una ...............
8
Þ
Il grafico di una funzione di equazione y ¼
9
Þ
Il grafico di una funzione di equazione y ¼ kx2 , con k 6¼ 0, è una ...............
10
Þ
Due variabili x e y che variano in modo che il loro quoziente si mantiene costante si dicono ....................
11
Þ
Due variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se ..............................
12
Þ
Lo zero della funzione y ¼ 2x 6 è la soluzione dell’equazione 2x 6 ¼ :::::::::: Poiché:
Funzioni
2
Þ
Unità 9
Completa
1
è definita per x þ 3 6¼ 0 ) x 6¼ ::::::, quindi il suo dominio è R f:::::g.
xþ3
k
, con k 6¼ 0, è una ...............
x
2x 6 ¼ ::::: ) 2x ¼ ::::: ) x ¼ :::::
lo zero della funzione è ............... Pertanto, il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto di coordinate ð:::, 0Þ.
Vero o falso?
13
Þ
il punto Að3, þ1Þ appartiene al quarto quadrante
V
F
14
Þ
un punto Pðx, yÞ, con xy > 0, non può appartenere né al primo né al terzo quadrante
V
F
15
Þ
ogni punto appartenente all’asse x ha ascissa nulla
V
F
16
Þ
ogni punto appartenente all’asse y ha ascissa nulla
V
F
17
Þ
il triangolo ABC di vertici Að2, 0Þ, Bð0, 2Þ e Cð2, 2Þ è scaleno
V
F
18
Þ
il quadrilatero ABCD di vertici Að1, 0Þ, Bð2, 0Þ, Cð2, 1Þ e Dð1, 1Þ è un rettangolo
V
F
19
Þ
la funzione y ¼ x þ 2 è di proporzionalità diretta
V
F
20
Þ
le due funzioni di equazioni y ¼ 3x 1 e y ¼ 3x þ 4 hanno come grafici due rette parallele
V
F
21
Þ
il grafico della funzione y ¼ 3x2 è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto
V
F
22 la funzione che rappresenta il perimetro di un triangolo equilatero in funzione della misura
Þ
del suo lato è di proporzionalità diretta
V
F
dato un triangolo isoscele in cui ciascun lato obliquo è 1 cm in meno della base, la funzione
che rappresenta il perimetro del triangolo in funzione della misura della base è di proporzionalità diretta
V
F
dato un triangolo di area 10 cm2 , la funzione che rappresenta la misura della base in funzione
di quella dell’altezza a essa relativa è di proporzionalità inversa
V
F
dato un rettangolo in cui un lato è 2 cm in più dell’altro, la funzione che rappresenta la misura
della sua area in funzione della misura del lato minore è di proporzionalità quadratica
V
F
V
F
V
F
23
Þ
24
Þ
25
Þ
26
Þ
la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 5x 14 ha come zero x ¼ 7
27
Þ
la funzione di equazione y ¼ 3x 2 interseca l’asse x nel punto di coordinate
3
,0
2
55
9
C Esercizi guidati
1 Completa il seguente esercizio, in cui ti guidiamo a determinare il dominio e l’insieme immagine della funzione il
Þ
cui grafico è mostrato di seguito.
y
O
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
x
a. Il dominio è l’insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti appartenenti al grafico della funzione. Osservando la
figura, puoi notare che le ascisse dei punti del grafico sono comprese tra 3 e ....., quindi il dominio è l’insieme:
D ¼ fx 2 Rj::::: x :::::g
b. L’insieme immagine è l’insieme dei valori assunti dalle ordinate dei punti appartenenti al grafico della funzione. Osservando la figura, puoi notare che le ordinate dei punti del grafico sono comprese tra 0 e ....., quindi l’immagine è l’insieme:
I ¼ fy 2 Rj::::: y :::::g
2
Þ
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a tracciare il grafico di una funzione
Traccia approssimativamente il grafico della funzione y ¼
1
x þ 1.
2
1o passo: completa la tabella di valori per x e y predisposta qui a fianco.
Osserva che abbiamo scelto di attribuire a x valori pari perché, in questo
modo, evitiamo di ottenere per y valori frazionari.
Per esempio, sostituendo 4 al posto di x nell’equazione della funzione,
1
y ¼ x þ 1, otteniamo:
2
1
y ¼ ð4Þ þ 1 ¼ 2 þ 1 ¼ 1
2
Perciò, nella colonna delle y, in corrispondenza del valore 4 abbiamo
posto il valore 1.
2o passo: deduci dalla tabella le coordinate di alcuni punti appartenenti al
grafico della funzione:
x
y
4
1
2
:::::
0
:::::
2
:::::
4
:::::
y
ð4, 1Þ, ð2, :::Þ, ð0, :::Þ, ð2, :::Þ, ð4, :::Þ
e rappresentali nel piano cartesiano.
O
Rappresenta i punti
56
x
9
C Esercizi guidati
Unità 9
3o passo: congiungi con una linea continua i punti rappresentati; otterrai
cosı̀ approssimativamente il grafico della funzione data, che è una retta.
Scheda
y
Funzioni
x
O
Traccia il grafico
3
Þ
1
6
x e y ¼ , dopo avere completato la tabella di valori proposta. Che tipo di pro2
x
Traccia i grafici delle funzioni y ¼
porzionalità esprimono tali funzioni?
x
y
y
4
.....
2
.....
0
.....
2
.....
4
.....
O
x
y=
1
x
2
x
y
6
.....
3
.....
2
.....
2
.....
3
.....
6
.....
y
O
x
y=
6
x
Completa il seguente esercizio, in cui ti guidiamo a stabilire se le seguenti tabelle sono relative a funzioni di proporzionalità diretta o inversa.
4
Þ
x
y
x
y
2
4
3
2
1
2
1
6
2
4
1
6
3
6
2
3
Considera la prima tabella e calcola i rapporti tra y e x:
4
¼ :::::
2
2
¼ :::::
1
4
¼ :::::
2
6
¼ :::::
3
Dal momento che i rapporti sono tutti uguali, si tratta di una funzione di proporzionalità diretta con costante di proporzionalità k ¼ ::::: Pertanto la funzione ha equazione: y ¼ ::::: x
57
C Esercizi guidati
Equazioni, disequazioni e funzioni
9
Ragionando analogamente sulla seconda tabella, puoi notare che i rapporti tra y e x non sono costanti, quindi non si
tratta di una proporzionalità ......................... Controlla allora se le variabili y e x sono legate da una legge di proporzionalità
inversa, calcolando i prodotti tra x e y:
Tema C
Scheda
alle funzioni y ¼ f ðxÞ ¼ ð3Þð2Þ ¼ ::::::::::
ð1Þð6Þ ¼ ::::::::::
ðþ1Þðþ6Þ ¼ ::::::::::
ðþ2Þðþ3Þ ¼ ::::::::::
quindi si tratta di una legge di proporzionalità inversa, con costante di proporzionalità k ¼ ::::::::::
L’equazione della funzione è dunque:
y¼
5
Þ
:::::
x
Completa la seguente tabella risolvendo graficamente le equazioni e le disequazioni indicate, facendo riferimento
1
2
x þ 1 e y ¼ gðxÞ ¼ x þ 2 di cui sono riportati i grafici.
3
3
Grafici delle funzioni
y
y = g(x)
y = f (x)
x
O
Equazione o
disequazione
Relative soluzioni
f ðxÞ ¼ 0
La soluzione dell’equazione è l’ascissa del punto in cui il
grafico di y ¼ f ðxÞ interseca l’asse x, quindi è x ¼ :::::
gðxÞ ¼ 0
x ¼ :::::
f ðxÞ ¼ gðxÞ
La soluzione dell’equazione è l’ascissa del punto
d’intersezione dei grafici delle due funzioni, quindi è
x ¼ :::::
f ðxÞ < 0
Le soluzioni della disequazione sono i valori di x per cui
il grafico della funzione è «al di sotto» dell’asse x, ovvero:
x > :::::
f ðxÞ > gðxÞ
Le soluzioni della disequazione sono i valori di x per cui
il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ è «al di sopra» di quello
della funzione y ¼ gðxÞ, ovvero: x < :::::
Verifica le conclusioni alle quali sei giunto, risolvendo le equazioni e le disequazioni algebricamente.
Scheda
1
Þ
9
D Esercizi da svolgere
Quali, fra le relazioni che hanno i seguenti diagrammi cartesiani, rappresentano delle funzioni?
y
O
58
y
y
x
O
x
O
x
9
D Esercizi da svolgere
Scheda
Funzioni
y
y
Unità 9
Determina il dominio D e l’insieme immagine I delle funzioni i cui grafici sono disegnati nelle seguenti figure. I
tratteggi agli estremi indicano che il grafico prosegue indefinitamente, inoltre il punto pieno indica che appartiene al
grafico della funzione, il punto vuoto che non vi appartiene.
2
Þ
y
x
O
x
O
x
O
D ¼ :::::::::::::::::::::::::
D ¼ :::::::::::::::::::::::::
D ¼ :::::::::::::::::::::::::
I ¼ :::::::::::::::::::::::::
I ¼ :::::::::::::::::::::::::
I ¼ :::::::::::::::::::::::::
Traccia i grafici delle seguenti funzioni, dopo avere determinato almeno sei punti del loro grafico, precisando se si
tratta di funzioni di proporzionalità diretta, inversa o quadratica.
y¼
3 2
x
2
y ¼ 2x 1
y¼
1
x2
2
y¼
12
x
y ¼ 2x þ 1
y¼
1 2
x
2
y¼
3
Þ
y ¼ 2x
4
Þ
y¼
5
Þ
y¼
6
Þ
Traccia i grafici delle funzioni y ¼ 1 2
x
3
3
x
2
y¼
1
x2
2
y¼
4
x
10
x
1
2
1
1
x þ 2, y ¼ x þ 2 e y ¼ x þ , individuandone i punti d’intersezione
3
5
4
2
con gli assi cartesiani.
Le seguenti tabelle sono relative a funzioni di equazione y ¼ f ðxÞ. Stabilisci se si tratta di funzioni di proporzionalità
diretta, inversa o quadratica; in caso affermativo, scrivi esplicitamente l’equazione della funzione e rappresentala graficamente.
7
Þ
x
y
x
y
3
2
4
1
3/2
2
4
1
8
2
3
2
3
6
1
8
3
9/2
2
8
4
8
2
4
4
6
3
18
5
10
4
2
5
15/2
y
x
y
2
8
1
1
2
1
x
8
Þ
Determina il dominio delle seguenti funzioni:
a. y ¼ x3 þ x2
d. y ¼
1
8x 16
b. y ¼
1
3x þ 4
c. y ¼
e. y ¼
2
x
f. y ¼
1
x1
3
2
1
1
3 x
2
59
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Scheda
9
D Esercizi da svolgere
Determina m in modo che il grafico della funzione y ¼ ð2m 1Þx þ m 1 passi per il punto Pð2, 0Þ. Traccia quindi
il grafico della funzione in corrispondenza di questo valore di m.
3
m¼
5
3
x 2 e y ¼ gðxÞ ¼ 2x þ 5, interpreta graficamente le se10 Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni y ¼ f ðxÞ ¼
Þ
2
guenti equazioni e cerca di individuare, dal grafico, le loro soluzioni o un intervallo cui tali soluzioni appartengono:
9
Þ
a. f ðxÞ ¼ 0
b. gðxÞ ¼ 0
c. f ðxÞ ¼ gðxÞ
Verifica le conclusioni alle quali sei giunto, risolvendo le equazioni algebricamente.
4
1
x þ 4 e y ¼ x 1, interpreta graficamente le seguenti dise3
2
quazioni e cerca di individuare, dal grafico, l’insieme delle soluzioni o una sua approssimazione:
11
Þ
Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni y ¼ 4
1
4
1
xþ40
b. x 1 > 0
c. x þ 4 x 1
3
2
3
2
Verifica le conclusioni alle quali sei giunto, risolvendo le disequazioni algebricamente.
a. Il tempo y necessario per svolgere un lavoro varia in modo inversamente proporzionale al numero x di persone che
lo svolgono. Sapendo che, lavorando in 4 persone, il lavoro viene completato in 3 ore, scrivi la legge che lega y a x e rappresentala in un piano cartesiano. Determina poi:
12
Þ
a. il tempo necessario a svolgere il lavoro se si impiegano 8 persone;
b. il numero di persone che bisogna impiegare per svolgere il lavoro in mezz’ora.
12
y¼
; a. 1 ora e mezza; b. 24 persone
x
13 Il peso di un corpo sulla Terra è direttamente proporzionale al peso dello stesso corpo sulla Luna. Un astronauta di
Þ
90 kg peserebbe sulla Luna 15 kg. Quanto peserebbe sulla Luna un astronauta di 78 kg?
[13 kg]
14 L’indice UV dei raggi ultravioletti indica l’intensità dei raggi solari. Per una pelle piuttosto sensibile, un indice UV
Þ
pari a 7 causa una scottatura in 10 minuti. Il tempo di esposizione ai raggi solari che determina una scottatura è inversamente proporzionale all’indice UV dei raggi ultravioletti. Quanto tempo impiegherà una pelle piuttosto sensibile a scottarsi in una giornata in cui l’indice dei raggi UV è 5?
[14 minuti]
Un rettangolo in cui la base misura x, ha l’altezza che è un quarto della base. Indicato con y il perimetro del rettangolo, esprimi y in funzione di x e stabilisci quale tipo di proporzionalità lega y e x.
15
Þ
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
b. Determina x in modo che sia y ¼ 25.
5
a. y ¼ x con x > 0; b. x ¼ 10
2
16 In un trapezio l’area misura 6, la somma delle basi misura x.
Þ
a. Indicata con y la misura dell’altezza, esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo
in evidenza il tratto relativo al problema.
12
, con x > 0; b. dimezza
b. Se le misure delle due basi raddoppiano, come varia la misura dell’altezza?
a. y ¼
x
60
10
A Ripasso
Scheda
Unità 10
Il metodo assiomatico-deduttivo
RISPOSTE
Che cos’è un assioma?
Una proposizione che si pone alla base di una teoria matematica senza darne una
giustificazione. Sono le «regole del gioco».
Che cos’è un concetto primitivo?
Un concetto che viene assunto senza darne una definizione, supponendone una
conoscenza intuitiva.
Che cos’è un teorema?
Una proposizione che si deduce dagli assiomi (e dai teoremi precedentemente
dimostrati).
Che cosa significa affrontare lo studio
della geometria secondo il metodo
assiomatico-deduttivo?
Significa scegliere alcuni concetti primitivi e alcuni assiomi e dedurre tutte le altre
proprietà delle figure geometriche a partire da essi.
Quali concetti abbiamo assunto come
primitivi?
I concetti di punto, retta e piano.
Quali enti geometrici sono stati definiti
tramite quelli primitivi?
I segmenti; le semirette e i semipiani; gli angoli.
Rivedi le definizioni!
Quali sono gli assiomi che abbiamo
assunto come fondamento della
geometria euclidea?
Gli assiomi che abbiamo assunto possono essere suddivisi in tre gruppi.
1. Assiomi di appartenenza della retta e del piano
2. Assiomi d’ordine
3. Assiomi di partizione del piano
Sai enunciare almeno un assioma per ciascun gruppo?
Piano euclideo
DOMANDE
I segmenti
TERMINE
DEFINIZIONE
Segmento di estremi
AeB
La figura formata da tutti i punti della retta (orientata) AB
compresi tra A e B, inclusi A e B.
Segmenti
consecutivi
Due segmenti che hanno in comune soltanto un estremo.
DISEGNO
A
B
B
A
Segmenti adiacenti
Due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa
retta.
C
A
B
C
Gli angoli
TERMINE
DEFINIZIONE
Angolo
Ciascuna delle due parti in cui il piano resta diviso da due
semirette aventi la stessa origine, incluse le semirette stesse.
Angoli consecutivi
Due angoli che hanno lo stesso vertice e hanno in comune
soltanto i punti di un lato.
DISEGNO
angoli
α e β consecutivi
β
α
,
61
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
10
A Ripasso
,
TERMINE
DEFINIZIONE
DISEGNO
Angoli adiacenti
Due angoli consecutivi tali che i lati non comuni
appartengono alla stessa retta.
α e β adiacenti
β
α
Angolo nullo
L’angolo formato da due semirette coincidenti che non
contiene altri punti oltre alle semirette.
Angolo piatto
Ciascuno dei due angoli formati da due semirette opposte.
Angolo giro
L’angolo formato da due semirette coincidenti, che coincide
con l’intero piano.
angolo nullo
angolo piatto
angolo giro
a≡b
Angoli opposti
al vertice
Due angoli (convessi) tali che i lati dell’uno sono i
prolungamenti dei lati dell’altro.
α e β opposti al vertice
α
β
Attenzione!
Se una figura F è tale che, comunque scelti due punti P e Q appartenenti a F, il segmento PQ è interamente contenuto in F, la
figura si dice convessa; altrimenti si dice concava.
I poligoni
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è un poligono?
Si chiama poligono la figura formata da
una poligonale chiusa e non intrecciata e
da tutti i suoi punti interni.
ESEMPI
vertice
poligono
lato
Che cos’è una diagonale di un
poligono? E una corda?
Che cos’è un angolo interno a un
poligono? E un angolo esterno?
62
Una diagonale di un poligono è un
segmento che congiunge due suoi vertici
non consecutivi.
Una corda è un segmento che congiunge
due punti del contorno del poligono
appartenenti a lati distinti.
Un angolo interno a un poligono è un
angolo individuato da due lati consecutivi
del poligono e dal vertice in comune.
Ciascuno dei due angoli adiacenti a un
angolo interno si dice angolo esterno al
poligono.
corda
dia
go
angolo
interno
na
le
angolo
esterno
B Verifica delle conoscenze
10
Scheda
1
Þ
In matematica, i termini di cui non si dà una definizione si riferiscono a concetti che vengono detti ......................... .
Per esempio, nello studio della geometria, abbiamo assunto come concetti .................... quelli di .................... .................... .
Le proposizioni che si assumono all’inizio di una teoria matematica senza darne una dimostrazione si chiamaLe proposizioni che vengono dimostrate si chiamano .............................. .
3
Þ
La geometria che studiamo si chiama euclidea perché ....................................................... .
4
Þ
a. La retta è costituita da .............................. punti.
.................... .
Piano euclideo
2
Þ
no
Unità 10
Completa e poni le crocette sulle affermazioni corrette
b. Per due punti distinti di un piano quante rette passano? ....................
Questa affermazione:
si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema
è stata assunta come assioma
c. Data una retta r appartenente a un piano , esiste certamente un
............... .
....................
appartenente a che non appartiene a
Questa affermazione:
si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema
è stata assunta come assioma
Una relazione si dice d’ordine quando è ............... e ........................................ . Quante relazioni d’ordine totale è possibile definire sulla retta?
5
Þ
una
due
tre
infinite
Questa affermazione:
si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema
è stata assunta come assioma
Se due rette distinte hanno un punto in comune si dicono .................... . Due rette che non hanno punti d’intersezione
si dicono .................... .
6
Þ
7
Þ
Due rette distinte possono avere in comune al massimo ............... punto.
Questa affermazione:
si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema
è stata assunta come assioma
8 Un punto O appartenente a una determinata retta la divide in due parti; ciascuna di queste due parti, incluso il
Þ
punto O, è chiamata ......................... della .................... .
9
Þ
Quante semirette restano individuate su una retta da due punti?
nessuna
due
quattro
più di quattro
10 Si chiama semipiano ciascuno dei due sottoinsiemi in cui un piano resta diviso da una ...................., inclusa la retta stesÞ
sa. La retta si chiama ......................... del semipiano.
11 Se P è un punto interno a uno dei due semipiani aventi come origine la retta r e Q è interno al semipiano opposto,
Þ
allora il segmento PQ interseca certamente .............................. .
Questa affermazione:
si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema
è stata assunta come assioma
12
Þ
Si chiama figura geometrica ogni sottoinsieme di .................... del piano.
13
Þ
Un angolo piatto è concavo o convesso? ::::::::::::::::::::::::: E un angolo giro? :::::::::::::::::::::::::
63
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
14
Þ
10
B Verifica delle conoscenze
a. Un poligono di cinque lati si chiama ::::::::::::::::::::::::: .
b. Un ettagono è un poligono avente :::::::::: lati.
c. Un poligono avente sei lati si chiama :::::::::: .
d. Un decagono è un poligono avente :::::::::: lati.
Vero o falso?
15
Þ
16
Þ
17
Þ
18
Þ
per tre punti distinti non passa mai una retta
V
F
due semirette aventi la stessa origine si dicono opposte
V
F
l’intersezione di due semipiani non è mai vuota
V
F
V
F
se due segmenti hanno uno e un solo punto in comune, allora sono certamente consecutivi
V
F
se due angoli hanno in comune soltanto il vertice, allora sono certamente consecutivi
V
F
esistono angoli consecutivi ma non adiacenti
V
F
esistono angoli adiacenti ma non consecutivi
V
F
in un pentagono si possono tracciare esattamente cinque diagonali distinte
V
F
in un esagono si possono tracciare esattamente sei diagonali distinte
V
F
ogni segmento è convesso
V
F
ogni angolo è convesso
V
F
se il segmento PQ ha esattamente un punto in comune con la retta r, diverso da P e da Q, allora P e Q
non possono appartenere allo stesso semipiano avente come origine r
19
Þ
20
Þ
21
Þ
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
26
Þ
Scheda
1
Þ
10
C Esercizi guidati
Considera la sequenza:
10, 30, 70, 150, ....., .....
e cerca di individuare i due termini successivi. Hai utilizzato un ragionamento di tipo induttivo o deduttivo?
................................... . Spiega che cosa significa affrontare la geometria secondo un metodo ipotetico deduttivo: ..................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................... .
2
Þ
a.
b.
c.
d.
Considera le seguenti condizioni che regolano alcune operazioni bancarie.
Un bonifico bancario è un’operazione tramite cui si trasferiscono dei soldi da un conto corrente a un altro.
Un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca italiana viene effettuato con una commissione di 1 euro.
Per un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca estera, la banca trattiene una commissione di 3 euro.
Le commissioni trattenute vengono scalate dal conto corrente.
Ora rispondi alle seguenti domande.
e. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come definizioni? .................... Se sı̀,
che cosa definiscono?....................
f. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come assiomi? ......................... Se sı̀,
quali? .........................
g. Dalle proposizioni c. e d., assunte come assiomi, si può dedurre un teorema. Qual è questo teorema?
..................................................
64
10
C Esercizi guidati
Spiega perché i segmenti AB e CD in ciascuna delle seguenti figure non sono consecutivi.
D
D
D
A
B
A
C
......................................................................................
B C
B
C
......................................................................................
......................................................................................
Piano euclideo
A
4
Þ
Unità 10
3
Þ
Scheda
Al di sotto di ogni figura, spiega perché i segmenti AB e CD non sono adiacenti.
A
C
B
D
A
B C
D
D
A
......................................................................................
......................................................................................
B≡C
......................................................................................
Le affermazioni nella seguente tabella non sono corrette. Per ciascuna di esse, trova un «controesempio», cioè disegna una figura che evidenzi l’inesattezza dell’affermazione, e poi correggila.
5
Þ
Affermazione inesatta
Figura «controesempio»
Correzione dell’affermazione
Due angoli che hanno il vertice
in comune sono opposti al vertice.
Due angoli che hanno un lato
in comune sono consecutivi.
Due angoli che hanno il vertice
in comune sono consecutivi.
,
65
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
10
C Esercizi guidati
,
Affermazione inesatta
Figura «controesempio»
Correzione dell’affermazione
Due angoli aventi due lati che sono
uno il prolungamento dell’altro,
sono adiacenti.
6
Þ
Completa la seguente tabella.
Figura
È un poligono?
Scheda
1
Þ
Sı̀
No, perché ..........
10
Sı̀
No, perché ..........
Sı̀
No, perché ..........
Sı̀
No, perché ..........
D Esercizi da svolgere
Vero o falso?
In riferimento alla figura qui a fianco:
a.
b.
c.
d.
e.
AC e CB sono consecutivi
AC e CB sono adiacenti
AC e CD sono consecutivi
CB e CD sono adiacenti
AB e CD sono consecutivi
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
D
A
C
B
[3 affermazioni vere e 2 false]
2 In riferimento agli angoli e della figura qui a fianco, stabilisci se e sono consecuÞ
tivi, adiacenti o opposti al vertice.
β
α
3
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
66
In riferimento agli angoli , e della figura qui a fianco, rispondi alle seguenti domande:
e sono adiacenti ?
e sono consecutivi?
e sono consecutivi ?
e sono adiacenti?
e sono opposti al vertice?
β
γ
α
D Esercizi da svolgere
Scheda
Unità 10
4
Þ
10
In riferimento agli angoli ; ; ; della figura qui a fianco, rispondi alle seguenti domande:
a. e sono consecutivi?
α
b. e sono adiacenti ?
γ
δ
β
d. e sono consecutivi?
5
Þ
Piano euclideo
c. e sono opposti al vertice?
Completa la seguente tabella disegnando, se possibile, angoli che soddisfino le proprietà indicate.
Due angoli consecutivi,
uno concavo e l’altro convesso
Due angoli adiacenti,
entrambi convessi
Due angoli adiacenti,
entrambi concavi
6 Elenca tutti i segmenti e tutte le semirette che si possono individuare nelÞ
la figura qui a fianco.
C
A
7
Þ
D
B
Nella figura qui a fianco individua:
a. tutti gli angoli;
b. tutte le coppie di angoli adiacenti;
c. tutte le coppie di angoli consecutivi.
D
C
A
8
Þ
B
E
A
Vero o falso?
In riferimento alla figura qui a fianco:
a. ABCDEF è un poligono
V
F
b. ABCDEF è un poligono ma non è convesso
V
F
c. AR è una diagonale
V
F
d. P EbQ è un angolo esterno
V
F
e. c’è un solo angolo esterno al poligono di vertice E
V
F
9
Þ
F
P
B
E
R
D
Q
C
Disegna un poligono convesso ABCDEFGH avente otto lati; poi:
a. traccia due diagonali che hanno un punto in comune e una corda che interseca entrambe le diagonali;
b. rappresenta l’angolo interno di vertice B e i due angoli esterni di vertice E.
67
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
68
10
Þ
10
Stabilisci se le seguenti figure sono convesse o concave.
convessa
11
Þ
12
Þ
D Esercizi da svolgere
concava
convessa
concava
convessa
concava
convessa
concava
Quante diagonali distinte si possono tracciare in un esagono? E in un ettagono?
b b e bO
bc,
Disegna una figura che corrisponda alla seguente descrizione: dati due angoli convessi e consecutivi aO
traccia una retta r che interseca i lati a, b e c dei due angoli rispettivamente nei tre punti A, B e C.
Disegna una figura che corrisponda alla seguente descrizione: dati due segmenti adiacenti AB e BC, traccia, in semipiani opposti aventi come origine la retta AC, due semirette r e s, aventi origine rispettivamente in A e C. Traccia quindi
una retta passante per B che intersechi le due semirette r e s rispettivamente in P e Q.
13
Þ
11
A Ripasso
Scheda
TERMINE
DEFINIZIONE
Punto medio di un segmento
Il punto di un segmento che lo divide
in due segmenti congruenti.
Bisettrice di un angolo
La semiretta che divide l’angolo in due
angoli congruenti.
DISEGNO
A
M
bisettrice
O
Angolo retto
B
Ciascuno dei due angoli in cui un
angolo piatto resta diviso dalla sua
bisettrice.
Dalla congruenza alla misura
Abbiamo assunto il concetto di congruenza come primitivo. Intuitivamente, due figure sono congruenti se è possibile sovrapporle punto a punto mediante un movimento rigido.
Nell’insieme dei segmenti (angoli), grazie alla nozione di congruenza, abbiamo definito un ordine, le operazioni di addizione e sottrazione fra segmenti (angoli) e il concetto di multiplo di un segmento (angolo). Inoltre abbiamo assunto, come
assioma, che somme e differenze di segmenti (angoli) congruenti sono congruenti.
Introdotta la nozione di congruenza, abbiamo potuto introdurre le nozioni di punto medio di un segmento e di bisettrice
di un angolo; inoltre abbiamo introdotto nuove definizioni circa gli angoli.
Unità 11
Il concetto di congruenza e le sue conseguenze
angolo retto
O
Angolo acuto
Un angolo minore di un angolo retto.
α
angolo acuto
O
Angolo ottuso
Un angolo maggiore di un angolo retto
e minore di uno piatto.
angolo ottuso
α
O
Angoli complementari
Due angoli la cui somma è un angolo
retto.
α e β complementari
β
α
Angoli supplementari
Due angoli la cui somma è un angolo
piatto.
α e β supplementari
β
α
La misura dei segmenti e degli angoli
DOMANDE
RISPOSTE
Com’è definita la misura di un segmento
(angolo)?
b) scelto come
Dato un segmento AB (un angolo Ab) e un segmento u (angolo U
b
b
unità di misura, si dice misura di AB (di A) rispetto a u (a U ) il numero reale non
negativo k per cui AB ﬃ k u ðAb ﬃ k Ub).
,
69
11
A Ripasso
,
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è la lunghezza di un
segmento?
È la misura del segmento, rispetto a una data unità di misura.
Che cos’è l’ampiezza di un angolo?
È la misura dell’angolo, rispetto a una data unità di misura.
Che cos’è il sistema di misura
sessagesimale?
È il sistema di misura degli angoli che adotta come unità di misura il grado, ossia
la trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
I sottomultipli del grado sono il primo e il secondo:
1 0
1 primo ¼ 1 ¼
60
1 0
1
1 secondo ¼ 100 ¼
¼
60
3600
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
Attenzione!
In alcuni testi il concetto di lunghezza di un segmento viene definito in modo diverso, per cui si parla di «misura della
lunghezza di un segmento». Per questo motivo, nella pratica sono diffuse sia espressioni del tipo «la misura di un segmento è
5 cm», sia «la lunghezza di un segmento è 5 cm», sia «la misura della lunghezza di un segmento è 5 cm».
Scheda
11
B Verifica delle conoscenze
Completa
1
Þ
La somma di due segmenti adiacenti AB e BC è il segmento ............... .
2 Per somma di due segmenti non adiacenti AB e CD, si intende la somma di due segmenti .............................. ad AB e CD,
Þ
ma adiacenti fra loro.
3
Þ
Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un segmento AB è la somma di .......... segmenti congruenti ad AB.
La differenza di due segmenti AB e CD, con AB > CD, è il segmento che, addizionato a CD, dà come risultato
............... .
4
Þ
5
Þ
b b e bO
bc è l’angolo ............... .
La somma di due angoli adiacenti aO
6
Þ
Per somma di due angoli non adiacenti e , si intende la somma di due angoli .................... ad e ma adiacenti fra
7
Þ
Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un angolo è la somma di .......... angoli congruenti ad .
8
Þ
La differenza di due angoli e , con > , è l’angolo che, addizionato a , dà come risultato ............... .
9
Þ
L’ampiezza dei due angoli in cui un angolo retto resta diviso dalla sua bisettrice è .................... .
10
Þ
L’ampiezza dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice è .................... .
11
Þ
L’ampiezza del complementare di un angolo di 15 è .......... .
12
Þ
L’ampiezza del supplementare di un angolo di 130 è .......... .
loro.
70
11
C Esercizi guidati
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una semplice dimostrazione.
Passi
Rappresenta la situazione descritta
dal problema con un disegno.
Individua l’ipotesi.
Individua la tesi.
Completa la seguente traccia di
dimostrazione.
In base alla definizione di differenza tra segmenti:
AB ﬃ AC ::::::::::
CD ﬃ :::::::::: BC
Dalla congruenza alla misura
Due segmenti AB e CD, appartenenti alla stessa retta orientata nel verso da A a B,
sono tali che A precede B, B precede C e C precede D. Dimostra che, se AC ﬃ BD,
allora AB ﬃ CD.
Unità 11
1
Þ
Scheda
I due segmenti AB e CD risultano allora la differenza di segmenti
rispettivamente congruenti (infatti AC ﬃ :::::::::: per ipotesi e BC ﬃ BC per la
proprietà riflessiva della relazione di congruenza), dunque sono ::::::::::::::::::::
2
Þ
Completa la seguente tabella.
u
A
u
B
Misura di AB rispetto a u ¼ ..........
3
Þ
C
D
Misura di CD rispetto a u ¼ ..........
u
E
F
Misura di EF rispetto a u ¼ ..........
Fai riferimento alla figura qui a fianco.
a. Come sono gli angoli e ?
Complementari
Opposti al vertice
Supplementari
b. Come sono gli angoli e ?
Complementari
Opposti al vertice
Supplementari
α
β
δ
γ
c. Sapendo che ¼ 15 , calcola le ampiezze degli altri angoli.
¼ ::::::::::
¼ ::::::::::
¼ ::::::::::
4
Þ
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a risolvere un problema sul calcolo delle ampiezze di alcuni angoli.
Passi
Due angoli supplementari e sono tali che è il quadruplo di . Qual è
l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e ?
Rappresenta la situazione descritta dal
problema con un disegno
Scrivi le relazioni tra e fornite dal
testo e determina le loro ampiezze.
Sappiamo che ¼ 4 e che þ ¼ ::::::::::
Se ne deduce che
þ 4 ¼ :::::::::: ) 5 ¼ :::::::::: ) ¼ ::::::::::
Pertanto ¼ 180 ¼ :::::::::::::::
Determina infine l’ampiezza dell’angolo
formato dalle bisettrici di e .
L’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e è uguale a:
þ ¼ ::::::::::
2
2
71
1
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2
Þ
11
D Esercizi da svolgere
Vero o falso?
due angoli supplementari sono consecutivi
due angoli adiacenti sono supplementari
un angolo ottuso viene diviso dalla bisettrice in due angoli acuti
due angoli opposti al vertice non possono essere retti
due angoli supplementari sono adiacenti
due angoli complementari non nulli sono necessariamente acuti
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Costruisci con riga e compasso i segmenti indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure.
B
D
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
A
A
B
C
A
D
B
C
C
AB + CD
3
Þ
D
Costruisci gli angoli indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure.
β
α
α+β
4
Þ
AB − CD
2AB e 3CD
β
α
β
α
β−α
5(β − α)
Completa la seguente tabella disegnando angoli che soddisfino le proprietà descritte.
Due angoli complementari opposti
al vertice
Due angoli supplementari non
adiacenti
Due angoli consecutivi, uno acuto
e l’altro ottuso
Siano AB, BC, CD e DE quattro segmenti con AB adiacente a BC, BC adiacente a CD e CD adiacente a DE, tali che
AD ﬃ BE e C è il punto medio di BD. Dimostra che AB ﬃ DE e AC ﬃ CE.
5
Þ
bb, bO
bc e c O
bd tre angoli con b O
bc adiacente ad a O
bb e c O
bd adiacente a b O
bc. Sia r la bisettrice dell’angolo aO
bb
Siano aO
b
b
b
e s la bisettrice dell’angolo c Od. Dimostra che r Oc ﬃ bOs.
6
Þ
2
1
di un angolo piatto e l’angolo è
di un angolo retto. Qual è l’ampiezza (in gradi) dell’angolo
3
4
þ ? E dell’angolo ?
[142,5 ; 97,5 ]
7
Þ
L’angolo è
8
Þ
Due angoli complementari e sono uno il quadruplo dell’altro. Determina:
a. l’ampiezza di ciascuno dei due angoli;
b. l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e .
[a. 18 , 72 ; b. 45 ]
Due angoli e sono uno il triplo dell’altro e l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e è 24 . Quali sono le ampiezze di e ?
[12 , 36 ]
9
Þ
72
12
A Ripasso
Scheda
Unità 12
Triangoli e criteri di congrenza
TRIANGOLI
Un triangolo si dice:
isoscele se ha due lati congruenti;
equilatero se ha i tre lati congruenti;
scaleno se i lati sono a due a due
non congruenti.
triangolo isoscele
Classificazione
rispetto agli angoli
triangolo equilatero
Un triangolo si dice:
acutangolo se tutti i suoi angoli
sono acuti;
ottusangolo se ha un angolo ottuso;
rettangolo se ha un angolo retto.
triangolo
acutangolo
Segmenti notevoli
triangolo scaleno
Altezza relativa a un lato: il
segmento che partendo dal vertice
opposto a quel lato incontra il lato
stesso o il suo prolungamento
formando due angoli retti.
Bisettrice uscente da un vertice: il
segmento costituito dai punti della
bisettrice dell’angolo avente quel
vertice che appartengono al
triangolo.
Mediana relativa a un lato: il
segmento che congiunge il vertice
opposto a quel lato con il punto
medio del lato stesso.
CRITERIO
DI CONGRUENZA
A PAROLE
I criterio di
congruenza
Due triangoli sono congruenti se
hanno ordinatamente congruenti
due lati e l’angolo tra di essi
compreso.
triangolo
ottusangolo
Congruenza nei triangoli
Classificazione
rispetto ai lati
triangolo
rettangolo
A
mediana
relativa a BC
altezza
relativa a BC
bisettrice
uscente da A
H
B
L M
C
IN SIMBOLI
A
A'
B
C
B'
C'
0 b0 0
0 0 0
b
AB ﬃ A B , BC ﬃ B C , AB C ﬃ A B C ) ABC ﬃ A B C
0 0
II criterio di
congruenza
Due triangoli sono congruenti se
hanno ordinatamente congruenti
un lato e gli angoli a essi adiacenti.
0
0
A
A'
B
C
B'
C'
0 b0 0
0 b0 0
b
b
BC ﬃ B C , AB C ﬃ A B C , BC A ﬃ B C A ) ABC ﬃ A0 B0 C 0
0
III criterio di
congruenza
Due triangoli sono congruenti se
hanno i tre lati ordinatamente
congruenti.
0
A
B
A'
C
B'
C'
AB ﬃ A0 B 0 , BC ﬃ B0 C 0 , AC ﬃ A0 C 0 ) ABC ﬃ A0 B0 C 0
73
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
12
A Ripasso
Attenzione!
Negli enunciati dei tre criteri di congruenza è essenziale l’avverbio ordinatamente. Esso indica che i lati congruenti devono
essere opposti ad angoli congruenti e gli angoli congruenti a lati congruenti.
Proprietà dei triangoli isosceli
TEOREMI A PAROLE
TEOREMI IN SIMBOLI
A
In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli
angoli adiacenti alla base sono congruenti.
AB ≅ AC ⇒ α ≅ β
β
α
B
C
A
Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il
triangolo è isoscele e ha come base il lato adiacente agli
angoli congruenti.
α ≅ β ⇒ AB ≅ AC
β
α
B
C
A
AH altezza
⇒
In un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche
mediana e bisettrice.
B
H
C
BH ≅ HC
BAH ≅ CAH
Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo
TEOREMA
A PAROLE
Teorema
dell’angolo
esterno
Ogni angolo esterno di un triangolo
è maggiore di ciascuno degli angoli
interni a esso non adiacenti.
Relazioni fra gli
angoli e i lati
di un triangolo
Se in un triangolo due lati non sono
congruenti, allora anche gli angoli
opposti non sono congruenti e al
lato maggiore sta opposto l’angolo
maggiore.
Analogamente, se in un triangolo
due angoli non sono congruenti,
allora anche i lati opposti non sono
congruenti e all’angolo maggiore
sta opposto il lato maggiore.
Disuguaglianza
triangolare
74
Ogni lato di un triangolo è minore
della somma degli altri due
e maggiore della loro differenza
(la differenza, naturalmente, va
effettuata sottraendo dal lato
maggiore il lato minore).
IN SIMBOLI
α
γ
β
α
c
b
β
>
>
> ¼) a > b
a > b ¼) > γ
a
b
c
a
bc <a <bþc
ac <b<aþc
ab<c <aþb
B Verifica delle conoscenze
12
Scheda
un triangolo è l’intersezione di tre semipiani
V
F
ogni triangolo è convesso
V
F
ogni triangolo scaleno è ottusangolo
V
F
ogni triangolo isoscele è acutangolo
V
F
ogni triangolo equilatero è anche isoscele
V
F
ogni triangolo isoscele è anche equilatero
V
F
due triangoli equilateri con un lato rispettivamente congruente sono congruenti
V
F
due triangoli rettangoli isosceli con le ipotenuse congruenti sono sempre congruenti
V
F
due triangoli con due angoli rispettivamente congruenti sono sempre congruenti
V
F
due triangoli rettangoli isosceli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti
V
F
due triangoli rettangoli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti
V
F
due triangoli rettangoli con i due cateti rispettivamente congruenti sono sempre congruenti
V
F
Congruenza nei triangoli
1
Þ
2
Þ
3
Þ
4
Þ
5
Þ
6
Þ
7
Þ
8
Þ
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
Unità 12
Vero o falso?
Test
Nei triangoli ABC e A0 B 0 C 0 , nella figura qui sotto a destra, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono
congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
13
Þ
A
A
I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza
B
I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza
C
I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza
D
I due triangoli possono non essere congruenti
B
A'
C
B'
C'
Nei triangoli ABC e A0 B0 C0 , nella figura qui sotto, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti.
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A
A'
B'
A I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza
14
Þ
B
I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza
C
I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza
D
I due triangoli possono non essere congruenti
B
C
C'
Affinché due triangoli siano congruenti, avere un lato e gli angoli a esso adiacenti ordinatamente congruenti è una
condizione:
15
Þ
A
necessaria ma non sufficiente
B
sufficiente ma non necessaria
C
necessaria e sufficiente
D
né necessaria né sufficiente
16
Þ
Affinché due triangoli siano congruenti, avere gli angoli ordinatamente congruenti è una condizione:
A
necessaria ma non sufficiente
B
sufficiente ma non necessaria
C
necessaria e sufficiente
D
né necessaria né sufficiente
17
Þ
Affinché due triangoli siano congruenti, avere i lati ordinatamente congruenti è una condizione:
A
necessaria ma non sufficiente
B
sufficiente ma non necessaria
C
necessaria e sufficiente
D
né necessaria né sufficiente
75
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
12
C Esercizi guidati
Negli esercizi 1-2-3, fai riferimento al seguente teorema: «sia APB un triangolo; prolunga BP, dalla parte di
P, di un segmento PD congruente a BP; prolunga AP, dalla parte di P, di un segmento PC congruente ad AP.
Dimostra che AB ﬃ CD e BC ﬃ AD».
1 Individua l’ipotesi e la tesi del teorema e contrassegna nella figura con uno stesso simbolo gli elementi che sono
Þ
congruenti per ipotesi:
D
C
IPOTESI:
..............................
TESI:
..............................
P
A
2
Þ
B
Completa le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette.
a. Nei due triangoli APD e BPC, per quale ragione risulta AP ﬃ ..... e DP ﬃ .....?
Per ipotesi
Perché somme di segmenti congruenti
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
b. Nei due triangoli APD e BPC, per quale ragione risulta APbD ﬃ CPbB?
Per ipotesi
Perché opposti al vertice
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
c. In base a quale criterio i due triangoli APD e BPC sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
d. Dal punto c. segue che AD ﬃ ..... Per quale ragione?
Per ipotesi
Per i criteri di congruenza dei triangoli
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
e. In base a quale criterio i due triangoli APB e CPD sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
f. Dal punto e. segue che AB ﬃ ..... Per quale ragione?
Per ipotesi
Per i criteri di congruenza dei triangoli
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
3 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema di cui nell’esercizio 1 hai espresso ipotesi e tesi, tenendo
Þ
conto dei passi suggeriti nell’esercizio precedente.
Negli esercizi 4-5-6, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura qui sotto, l’ipotesi e la tesi qui
C
di seguito.
IPOTESI:
TESI:
bB ﬃ DC
bB, AC ﬃ BC e CM ﬃ CD
AM ﬃ MB, M C
b
b
CAM ﬃ CBD
D
A
4
Þ
M
B
Completa il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all’ipotesi e alla tesi indicate.
«Dato un triangolo ABC, ......................... sulla base AB, sia CM la .................................................. . Un triangolo BCD è tale che BC è la
bisettrice di ............... e .............................. . Dimostra che ..............................».
76
C Esercizi guidati
Scheda
Unità 12
5
Þ
12
Completa le parti mancanti e indica con una crocetta la risposta corretta.
Congruenza nei triangoli
a. In base a quale criterio i triangoli CMA e CMB sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
Proprietà transitiva della congruenza
b. In base a quale criterio i triangoli CMB e CBD sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
Proprietà transitiva della congruenza
c. Da a. e b. segue che il triangolo CMA è congruente al triangolo CBD. Per quale ragione?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
Proprietà transitiva della congruenza
bM ﬃ :::::::::: Per quale ragione?
d. Dal punto c. segue che CA
Per ipotesi
Per i criteri di congruenza dei triangoli
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
6 Riscrivi la dimostrazione del teorema espresso nell’esercizio 4 in forma discorsiva, tenendo conto dei passi suggeriti
Þ
nell’esercizio precedente.
C
7 Fai riferimento alla figura qui a fianco (P è un punto interno al triangolo ABC).
Þ
a. Prolunga AP e indica con Q il suo punto d’intersezione con il lato BC.
bB. A quale
b. In base al teorema dell’angolo esterno, puoi affermare che APbB > AQ
triangolo è stato applicato il teorema?
APB
AQB
PQB
P
B
A
AQC
c. In base al teorema dell’angolo esterno applicato al triangolo AQC, puoi dire che:
b B > .......... e AQ
bB > ..........
AQ
bB? ..............................
d. In base a quanto dimostrato in b. e c., che cosa puoi concludere a proposito degli angoli APbB e AC
Negli esercizi 8-9, fai riferimento al seguente teorema: «Sia ACBC 0 un quadrilatero in cui AC ﬃ AC 0 e
BC ﬃ BC 0 . Dimostra che l’angolo esterno di vertice C è maggiore di ciascuno dei due angoli in cui la diagonale AB divide l’angolo C AbC 0 ».
8
Þ
In riferimento alla figura qui a fianco, riscrivi in simboli l’ipotesi e la tesi del teorema.
IPOTESI:
TESI:
9
Þ
e ...............
.................... e .............................................
C
....................
Completa la seguente dimostrazione guidata del teorema.
A
β
γ
α
B
C'
a. In base al teorema ................................... applicato al triangolo ......................... puoi dire che:
> ..........
b. I due triangoli ABC e ABC0 sono ............... per il .................... criterio di congruenza; in particolare:
..........
ﬃ
Quindi è anche:
> ..........
77
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
12
C Esercizi guidati
Negli esercizi 10-11, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura sotto, l’ipotesi e la tesi riportata di seguito.
C
IPOTESI:
TESI:
bB < ABbC
CA
BC < PA þ PC
P
A
10
Þ
Completa il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all’ipotesi e alla tesi indicate.
«Sia ABC un triangolo e P un punto .................... al triangolo; dimostra che, se .............................., allora il segmento BC è minore
della somma delle .................... di P da ....................».
Completa la seguente dimostrazione guidata del teorema.
bB < ABbC, puoi dedurre che:
a. Dall’ipotesi CA
11
Þ
BC < ..........
b. Per la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo APC, puoi dedurre che:
AC < ..........
c. Confrontando le due disuguaglianze, ottieni che:
BC < .......... < ..........
e quindi .............................. .
12
Þ
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema.
Passi
bb, conduci la bisettrice r dell’angolo. Considera un punto P su tale
Dato un angolo aO
bisettrice e traccia due semirette, aventi origine in P, e giacenti in semipiani opposti rispetto
alla bisettrice, che formano con OP angoli congruenti. Indica con Q e R, rispettivamente, i
punti d’intersezione di tali semirette con a e b. Sia S un punto di OP; dimostra che RS ﬃ QS.
Figura
Q
a
S
O
P
r
R
b
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
I due triangoli OPQ e ::::::::::::::: hanno:
OP
in comune
::::::::::
ﬃ ::::::::::
per ipotesi
::::::::::
ﬃ ::::::::::
per ::::::::::
quindi sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::. In particolare, PQ ﬃ :::::::::: .
I due triangoli PQS e ::::::::::::::: hanno:
PS
::::::::::
in comune
ﬃ ::::::::::
PQ ﬃ ::::::::::
per ipotesi
per la precedente dimostrazione
Quindi sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; in particolare RS ﬃ :::::::::: .
78
B
C Esercizi guidati
Scheda
Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema.
Passi
In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le mediane AM e BN. Indica con P il loro
punto d’intersezione e dimostra che il triangolo APB è isoscele sulla base AB.
Congruenza nei triangoli
Figura
C
N
AN ﬃ ::::::::::
P
M
A
B
BM ﬃ ::::::::::
fP g ¼ AM \ ::::::::::
Ipotesi
AC ﬃ ::::::::::
Tesi
AP ﬃ ::::::::::
Dimostrazione
I due triangoli ABN e ABM hanno:
AN ﬃ BM
in quanto ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
AB
bB ﬃ CBbA
CA
in comune
Unità 12
13
Þ
12
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Quindi i due triangoli sono :::::::::::::::::::: per il ::::::::::::::::::::::::: .
bB ﬃ :::::::::::::::
In particolare M A
bB ﬃ ::::::::::::::: . Quindi il triangolo APB è ::::::::::
Da quanto appena dimostrato, segue che P A
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
D Esercizi da svolgere
12
Scheda
bC. Siano Q e R, rispettivamente, i punti appartenenti ad AB e ad
1 Dato un triangolo ABC, sia AP la bisettrice di BA
Þ
AC, tali che APbQ ﬃ APbR. Dimostra che AQ ﬃ AR.
2 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AE, e AC, dalla parte di
Þ
A, di un segmento AD, in modo che AD ﬃ AE. Dimostra che BD ﬃ EC.
3 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, disegna, esternamente al triangolo ABC, un triangolo ABD, isoscele
Þ
sulla base AB. Considera un punto qualsiasi P sul segmento CD e dimostra che PA ﬃ PB.
Dimostra che il triangolo che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele è anch’esso
isoscele.
4
Þ
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Sul prolungamento di CA dalla parte di A considera un punto P e sul
prolungamento di CB dalla parte di B un punto Q, in modo che AP ﬃ BQ. Dimostra che AQ ﬃ BP.
5
Þ
6 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC. Prolunga il cateto AB, dalla parte di A, di un segmento AP ﬃ AB e
Þ
b C.
l’ipotenusa BC, dalla parte di C, di un segmento CQ ﬃ BC. Dimostra che CPbQ ﬃ P Q
7
Þ
8
Þ
Dimostra che, in due triangoli congruenti, le due bisettrici relative a due angoli congruenti sono congruenti.
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Indica con N e M, rispettivamente i punti medi di AC e BC. Considera
un punto P sull’altezza del triangolo relativa ad AB e dimostra che i due segmenti PN e PM sono congruenti.
79
12
D Esercizi da svolgere
In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera un punto P su AC e un punto Q su BC, in modo che
CP ﬃ CQ. Detto R il punto d’intersezione di BP e di AQ, dimostra, nell’ordine che:
9
Þ
a. il triangolo ABR è isoscele sulla base AB;
b. i triangoli ACR e BCR sono congruenti;
bB.
c. la semiretta CR è la bisettrice di AC
In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia l’altezza CH. Considera un qualsiasi punto P su CH e dimostra
che PA ﬃ PB.
10
Þ
11
Þ
In riferimento alla figura qui sotto, rispondi alle seguenti domande.
a. Qual è l’ampiezza di ABbC?
b. Quale fra i tre lati del triangolo ABC ha lunghezza minima? Perché?
c. Quale fra i tre lati del triangolo ABC ha lunghezza massima? Perché?
C
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
55°
115°
60°
A
B
D
12 Può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi 10 cm, 12 cm e 15 cm? E un triangolo i cui lati sono lunghi 7 cm,
Þ
11 cm e 3 cm? Giustifica le tue risposte.
13
Þ
14
Þ
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e P un punto interno a BC. Dimostra che PA > PB.
Sia ABCD un quadrilatero convesso. Dimostra che ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri.
(Suggerimento: traccia una delle due diagonali di ABCD)
80
13
A Ripasso
Scheda
RISPOSTE
Quando due rette si
dicono perpendicolari?
Quando sono incidenti e, incontrandosi,
formano quattro angoli retti.
ESEMPI
s
r⊥s
r
Che cos’è l’asse di un
segmento?
L’asse di un segmento è la retta
perpendicolare al segmento e passante per il
suo punto medio.
asse
A
Che cos’è la proiezione
di un punto P su una
retta r? E che cos’è la
distanza di P da r?
La proiezione di P su r è il punto
d’intersezione di r con la perpendicolare
condotta da P a r.
La distanza di P da r è il segmento che ha come
estremi il punto P e la sua proiezione su r.
Che cos’è la proiezione
di un segmento AB su
una retta r?
È il segmento A0 B 0 che ha per estremi le
proiezioni A0 , B 0 dei punti A e B su r.
Rette perpendicolari e parallele
DOMANDE
Unità 13
Rette perpendicolari e parallele
M
B
P
distanza
di P da r
r
H
A
B
B'
A ≡ A'
A'
B'
r
B
Quando due rette si
dicono parallele?
Quando non hanno punti d’intersezione
oppure coincidono.
Si può dimostrare
l’esistenza di una retta
passante per un punto
P e parallela a una
retta data?
Sı̀: la retta passante per P perpendicolare alla
perpendicolare per P a una retta r
è parallela a r.
Si può dimostrare
l’unicità di una retta
passante per un punto
P e parallela a una
retta data?
No, occorre assumerla come assioma della
geometria euclidea.
s
r || s
r
n
P
s
r
P
s
r
n⊥r e s⊥n
⇓
r || s
Non possono esistere
due rette distinte
passanti per P
e parallele a r.
Attenzione!
1. Invece di dire che H è la proiezione di un punto P su una retta r si dice anche che H è il piede della perpendicolare condotta
da P alla retta r . Inoltre, con il termine «distanza di P da r » a volte non si indica il segmento PH, ma la misura del segmento
PH.
2. L’assioma tramite cui si assume l’unicità della retta passante per un punto e parallela a una data retta si chiama «assioma
della parallela» o «quinto postulato di Euclide».
81
13
A Ripasso
Criterio di parallelismo
Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se e solo se formano una coppia di angoli:
alterni interni congruenti
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
oppure
oppure
alterni esterni congruenti
coniugati interni supplementari
oppure
oppure corrispondenti congruenti
coniugati esterni supplementari
Proprietà degli angoli nei poligoni
TEOREMA
A PAROLE
Angoli esterni di un
triangolo
L’ampiezza di ciascun angolo esterno di un
triangolo è la somma delle ampiezze degli
angoli interni non adiacenti.
Somma degli angoli
interni di un
triangolo
La somma delle ampiezze degli angoli interni
di un triangolo è sempre uguale a 180 .
Angoli acuti di un
triangolo rettangolo
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo
sono complementari.
ESEMPI
β
γ=α+β
γ
α
β
α + β + γ = 180°
α
γ
β
β + γ = 90°
γ
Somma degli angoli
interni di un
poligono
La somma delle ampiezze degli angoli interni
di un poligono di n lati è uguale a
ðn 2Þ180 .
α
n = 4, quindi
α+β+γ+δ=
= (4 – 2) · 180° = 360°
δ
γ
Somma degli angoli
esterni di un
poligono
La somma delle ampiezze degli angoli esterni
di un poligono (uno per ciascun lato) è
sempre 360 , indipendentemente dal
numero dei lati del poligono.
α
α + β + γ + δ = 360°
δ
γ
82
β
β
13
A Ripasso
Scheda
A PAROLE
Secondo criterio
generalizzato
Due triangoli aventi un lato e
due angoli ordinatamente
congruenti sono congruenti.
IN SIMBOLI
A
A'
B
C
B'
Rette perpendicolari e parallele
TEOREMA
Unità 13
Altri criteri di congruenza
C'
BC ﬃ B C , Bb ﬃ Bb0 , Ab ﬃ Ab0 ) ABC ﬃ A B C 0
0
Criterio di
congruenza per i
triangoli rettangoli
0
Due triangoli rettangoli sono
congruenti se hanno
congruenti, rispettivamente,
un cateto e l’ipotenusa.
0 0
C
A
B
C'
A'
B'
AC ﬃ A0 C 0 , BC ﬃ B0 C 0 , Bb ﬃ Bb0 ﬃ
) ABC ﬃ A0 B 0 C 0
2
Attenzione!
Nel secondo criterio generalizzato, è essenziale l’avverbio «ordinatamente»: è essenziale, cioè, che il lato congruente sia
opposto, nei due triangoli, a due angoli congruenti.
B Verifica delle conoscenze
1
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
13
Scheda
Vero o falso?
sia r una retta; se P 2 r allora esistono infinite rette per P perpendicolari a r
se r ? s e s ? t, allora anche r ? t
le bisettrici di due angoli supplementari sono perpendicolari
se ABC è un triangolo isoscele, sulla base BC, allora A appartiene all’asse di BC
sia H la proiezione di P su una retta r e Q un punto di r diverso da H, allora PQ > PH
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
[3 affermazioni vere e 2 false]
2
Þ
a.
b.
c.
d.
3
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Fai riferimento alla figura qui a fianco e rispondi alle seguenti domande.
D
Quali degli angoli 1, 2, 3 e 4 sono congruenti, se AB k DC?
Quali degli angoli 1, 2, 3 e 4 sono congruenti, se AD k BC?
bB, se AB k DC?
Quale angolo è supplementare a DA
bC, se AD k BC?
Quale angolo è supplementare ad AD
C
2 3
1 4
A
B
Completa, facendo riferimento alla figura qui a fianco:
se 1
se 2
se 3
se 3
se 4
se 6
ﬃ 2 , allora sono parallele le due rette ...............;
ﬃ 5 , allora sono parallele le due rette ...............;
e 4 sono supplementari, allora sono parallele le due rette ...............;
ﬃ 6 , allora sono parallele le due rette ....................;
e 7 sono supplementari, allora sono parallele le due rette ...............;
ﬃ 7 , allora sono parallele le due rette ............... .
a
α1
b
α3
α2 α4
α5
c
α6
α7
d
e
83
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
13
B Verifica delle conoscenze
4
Þ
Quanti angoli ottusi può avere al massimo un triangolo? :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
5
Þ
La somma delle ampiezze degli angoli interni di un quadrilatero è :::::::::::::::::::::::::::::: .
6 La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono dipende dal numero dei lati del poligono? ::::::::::::::: E la
Þ
somma delle ampiezze degli angoli esterni ? :::::::::::::::
7 Qual è l’ampiezza di ciascuno degli angoli interni di un triangolo equilatero?
Þ
angoli esterni? ::::::::::::::::::::
8 Qual è la somma delle ampiezze degli angoli interni di un ottagono?
Þ
angoli esterni di un ottagono? ::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::
:::::::::::::::
E l’ampiezza di ciascuno degli
Qual è la somma delle ampiezze degli
Test
9
Þ
Quale delle seguenti proprietà non si può dimostrare e abbiamo dovuto assumere come assioma?
A
l’esistenza della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta assegnata
B
l’unicità della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta assegnata
C
l’esistenza della retta passante per un punto e parallela a una retta assegnata
D
l’unicità della retta passante per un punto e parallela a una retta assegnata
10
Þ
In riferimento alla figura qui a fianco, quale affermazione è corretta?
A
1 e 2 sono alterni interni
B
1 e 2 sono alterni esterni
C
3 e 2 sono corrispondenti
D
nessuna delle precedenti affermazioni è esatta
a
α1
α3
b
α2
α4
c
Quale delle seguenti non è una condizione necessaria e sufficiente perché due rette, tagliate da una trasversale, siano parallele?
11
Þ
A
Avere due angoli alterni interni congruenti
B
Avere due angoli alterni esterni congruenti
C
Avere due angoli corrispondenti congruenti
D
Avere due angoli coniugati interni congruenti
Nei triangoli disegnati nella figura qui sotto a destra, gli angoli contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Possiamo dire che i due triangoli sono congruenti?
12
Þ
A
Sı̀, in base al primo criterio di congruenza
B
Sı̀, in base al secondo criterio di congruenza generalizzato
C
Sı̀, in base al terzo criterio di congruenza
D
Non possiamo affermare che i due triangoli sono congruenti
A
B
b?
b è 15 e l’ampiezza di Bb è 35 . Qual è l’ampiezza di C
13 In un triangolo ABC, l’ampiezza di A
Þ
A
110
B
120
C
130
D
A'
C
B'
C'
Nessuna delle precedenti
In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l’ampiezza dell’angolo al vertice è 20 . Qual è l’ampiezza di ciascuno degli angoli adiacenti ad AB?
14
Þ
A
15
Þ
B
80
C
90
D
100
In quale dei seguenti poligoni la somma delle ampiezze degli angoli esterni è 200 ?
A
In un decagono
B
In un poligono di 20 lati
C
In ogni poligono
D
In nessun poligono
16
Þ
A
84
70
In un poligono la somma degli angoli interni è 1620 ; quanti lati ha il poligono?
9
B
10
C
11
D
12
C Esercizi guidati
13
Scheda
ABC è un triangolo acutangolo, CH ﬃ CK, AH?BC e BK?AC
TESI:
ABC è isoscele sulla base AB
K
A
1 Completa l’enunciato del teorema: «Sia ABC un triangolo acutangolo e siano AH e BK le
Þ
:::::::::::::::::::::::::::::: .
2
Þ
:::::::::::::::::::::::::
H
B
relative ai lati
Dimostra che, se il triangolo KHC è :::::::::::::::::::: sulla base ::::::::::, allora ABC è :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::».
Completa e indica con una crocetta le risposte esatte.
a. In base alle ipotesi si può affermare che i triangoli AHC e BKC hanno:
due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti
un lato e gli angoli adiacenti ordinatamente congruenti
i tre lati ordinatamente congruenti
nessuna delle precedenti risposte è corretta
Rette perpendicolari e parallele
IPOTESI:
Unità 13
Negli esercizi 1-2-3, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura sotto e come ipotesi
e tesi quelle specificate.
C
C
b. Di conseguenza si può affermare che AHC e BKC sono:
congruenti per il primo criterio
congruenti per il secondo criterio
congruenti per il terzo criterio
nessuna delle precedenti risposte è corretta
K
c. Come conseguenza di quanto dimostrato nel punto precedente si può affermare che:
AC ﬃ BC, quindi ABC è isoscele
bB ﬃ CBbA, quindi ABC è isoscele
CA
nessuna delle precedenti risposte è corretta
H
A
B
3 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema espresso nell’esercizio 1 seguendo i passi suggeriti nell’eserÞ
cizio precedente.
Considera la figura sotto: ABC è un triangolo isoscele sulla base AB e il lato obliquo BC è stato prolungato di un segmento CD, congruente a BC.
4
Þ
a. Indica nella figura con l’ampiezza degli angoli alla base del triangolo ABC e con l’ampiezza degli angoli alla base del triangolo isoscele ACD.
b. Quanto vale, in funzione di e , la somma delle ampiezze degli angoli del triangolo ABD?
þ
2 þ þ 2
2 þ 2
c. In base al teorema sulla somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo, a che cosa deve essere uguale 2 þ 2? .............................. Che cosa puoi dedurre a proposito di þ ? ...............
bD?
d. Tenendo conto di quanto ricavato nei punti precedenti, che cosa puoi dedurre dell’angolo BA
Che è retto
Che è acuto
bD dipende da e Che l’ampiezza di BA
D
C
A
B
Negli esercizi 5-6-7, fai riferimento al teorema che ha come modello la seguente figura e come ipotesi e tesi
quelle indicate qui di seguito.
B
B'
P
A
C
A'
bP ﬃ P A
bC e B0 Ab0 P0 ﬃ P 0 Ab0 C0
b ﬃ Ab0 , Bb ﬃ Bb0 ﬃ , AP ﬃ A0 P 0 , BA
IPOTESI: A
2
TESI:
ABC ﬃ A0 B0 C0
P'
C'
85
13
C Esercizi guidati
5 Completa l’enunciato del teorema che ha le ipotesi e la tesi indicate nella pagina precedente: «due triangoli rettangoli
Þ
sono .............................. se hanno congruenti, ordinatamente un angolo .............................. e .......................................................».
6
Þ
Completa le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette.
a. I due triangoli ABP e A0 B0 P 0 sono congruenti. Per quale ragione?
Per il primo criterio di congruenza
Per il secondo criterio di congruenza
Per il secondo criterio di congruenza generalizzato
Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
b. Si può affermare che AB ﬃ :::::::::: Per quale ragione?
Per ipotesi
Perché elementi corrispondenti nei triangoli congruenti ............... e ...............
Perché opposti ad angoli congruenti per ipotesi
Perché opposti ai segmenti AP e A0 P 0 , congruenti per ipotesi
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
c. I due triangoli ABC e A0 B0 C0 sono congruenti:
Per il primo criterio di congruenza
Per il secondo criterio di congruenza
Per il secondo criterio di congruenza generalizzato
Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema espresso nell’esercizio 5, seguendo i passi suggeriti nell’esercizio precedente.
7
Þ
8
Þ
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia da A la retta perpendicolare ad AC che
incontra il prolungamento di BC nel punto E e da B la retta perpendicolare a BC, che incontra
il prolungamento di AC nel punto D.
Dimostra che AD ﬃ BE.
Figura
C
A
D
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
I triangoli BCD e ACE hanno:
b in comune;
l’angolo C
B
E
CBbD ﬃ :::::::::: perché :::::::::::::::;
CB ﬃ :::::::::: perché ABC è un triangolo ::::::::::::::: .
Pertanto i triangoli considerati sono congruenti in base al ::::::::::::::: criterio di congruenza.
In particolare DC ﬃ :::::::::::::::, quindi AD ﬃ BE in quanto differenze di
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
86
C Esercizi guidati
Scheda
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
Figura
c
A
a
C
b
B
D
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
I due triangoli ABD e ACD hanno:
AD
in comune
AC ﬃ BD
bC ﬃ :::::::::::::::
DA
per :::::::::::::::::::::::::
perché angoli
trasversale AD
::::::::::::::::::::
Rette perpendicolari e parallele
Due rette parallele a e b, sono tagliate da una trasversale c, che interseca la retta a in A e la
retta b in B.
Considera due punti C 2 a, D 2 b, appartenenti allo stesso semipiano avente come origine la
retta c, tali che AC ﬃ BD e dimostra che AB k CD.
Unità 13
9
Þ
13
rispetto alle parallele a e b tagliate dalla
Pertanto ABD e ACD sono congruenti in base al ::::::::::::::::::::::::::::::.
bD ﬃ :::::::::::::::.
Ne segue in particolare che BA
Ciò significa che le rette AB e CD, tagliate dalla trasversale AD formano angoli
::::::::::::::::::::::::: congruenti, quindi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
10
Þ
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci da A la perpendicolare ad AC e da B la
perpendicolare a BC. Indica con P il punto d’intersezione delle due perpendicolari. Dimostra
bB.
che la semiretta CP è la bisettrice dell’angolo AC
Figura
C
A
B
P
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
I due triangoli rettangoli PAC e ::::::::::::::::::::::::: hanno:
PC
:::::::::::::::::::::::::
AC ﬃ :::::::::::::::
quindi sono congruenti in base al :::::::::::::::::::::::::::::: .
Ne segue in particolare che ::::::::::::::::::::::::::::::, da cui la tesi.
87
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
1
Þ
2
Þ
13
D Esercizi da svolgere
Qual è l’ampiezza degli angoli interni di un poligono di 20 lati, avente tutti gli angoli congruenti?
a. Qual è l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo rettangolo isoscele?
b. Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa BC. Sia P un punto di BC tale che AB ﬃ BP. Qual è l’ampiezza
bC?
dell’angolo P A
bB hanno l’ampiezza indicata.
bC e AC
3 Nella figura qui sotto BC ﬃ BD e gli angoli BA
Þ
C
76°
38°
A
B
D
a. In base al teorema dell’angolo esterno, qual è l’ampiezza di CBbD?
bB.
b. Deduci qual è l’ampiezza di CD
Stabilisci se esiste un poligono che soddisfa ciascuna delle seguenti condizioni. Se esiste un tale poligono, stabilisci
quanti lati deve avere:
4
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
f.
un poligono tale che la somma delle ampiezze degli angoli interni sia 1080 ;
un poligono tale che la somma delle ampiezze degli angoli interni sia 1000 ;
un poligono tale che la somma delle ampiezze degli angoli esterni sia 500 ;
un poligono tale che la somma delle ampiezze degli angoli esterni sia 360 ;
un poligono i cui angoli interni hanno tutti ampiezza uguale a 144 ;
un poligono i cui angoli interni hanno tutti ampiezza uguale a 120 .
5 Scrivi l’enunciato del teorema che ha come modello la seguente figura e l’ipotesi e la tesi indicate di seguito. Poi diÞ
mostra il teorema.
C
IPOTESI:
TESI:
DE ﬃ EF e CE ﬃ EB
AC k BF
E
F
D
A
B
6 Scrivi l’enunciato del teorema che ha come modello la seguente figura e l’ipotesi e la tesi indicate di seguito. Poi diÞ
mostra il teorema.
C
bD ﬃ DA
bB e EG k AD
IPOTESI:
CA
G
TESI:
AF ﬃ AE
F
E
A
D
B
7 Due segmenti AB e CD hanno entrambi come asse la retta r. I punti A e C appartengono al semipiano, avente come
Þ
origine r, opposto a quello a cui appartengono B e D. Inoltre A, B, C e D non sono allineati.
Disegna due segmenti AB e CD che soddisfino tali condizioni e dimostra che AC ﬃ BD.
Siano a e b due rette parallele. Considera un punto A 2 a, un punto B 2 b e conduci per un punto P del segmento
AB una retta che interseca a in C e b in D. Dimostra che i triangoli APC e BPD hanno gli angoli congruenti.
8
Þ
Sia ABC un triangolo. Sulla parallela alla retta BC passante per A considera un punto D, appartenente allo stesso semipiano avente come origine la retta AB a cui appartiene il triangolo, tale che AD ﬃ BC. Dimostra che i due triangoli
ABC e ADC sono congruenti.
9
Þ
10 Due triangoli ABC e ABD appartengono a semipiani opposti aventi come origine la retta AB e sono tali che
Þ
AC ﬃ BD e BC ﬃ AD. Dimostra che AC k BD.
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Conduci una parallela ad AB che interseca AC in D e BC in E. Considera
su AB il punto F tale che AF ﬃ DE e dimostra che AD k EF. Conduci poi da B la parallela a EF che incontra in G il prolungamento di DE e dimostra che AD ﬃ EB ﬃ EF ﬃ BG.
11
Þ
88
D Esercizi da svolgere
13
Scheda
14
Þ
15
Þ
In un triangolo ABC, traccia le altezze AK e BH. Dimostra che, se AH ﬃ BK, allora ABC è isoscele sulla base AB.
16
Þ
17
Þ
Dimostra che le altezze relative ai lati obliqui di un triangolo isoscele sono congruenti.
Sia ABC un triangolo rettangolo, di ipotenusa BC. Conduci la bisettrice CP e indica con H la proiezione di P su BC.
Dimostra che il triangolo ACH è isoscele sulla base AH.
Dimostra che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti l’altezza relativa all’ipotenusa e un angolo acuto.
18 In un triangolo ABC, traccia la mediana BM. Siano H e K, rispettivamente, le proiezioni di A e C sulla retta BM. DiÞ
mostra che AH ﬃ CK e AK ﬃ CH.
Rette perpendicolari e parallele
b di un triangolo ABC. Dimostra che l’angolo BPbC
beC
13 Sia P il punto d’intersezione delle due bisettrici degli angoli B
Þ
non può essere retto.
Unità 13
Dato un triangolo ABC, rettangolo in A, considera un punto D sul prolungamento di BC, dalla parte di C. Dal punto
D conduci la perpendicolare a BD e indica con E il punto in cui incontra il prolungamento di AC, dalla parte di C. Dimostra che ABbC ﬃ CEbD.
12
Þ
19 Sia ABC un triangolo. Traccia da C la mediana CM e indica con H e K, rispettivamente, le proiezioni di A e B sulla
Þ
retta CM. Dimostra che:
a. AH ﬃ BK e AK ﬃ BH;
b. AK k BH.
Dato il triangolo ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di A, di un segmento AD ﬃ AB e il lato AC, sempre dalla parte
di A, di un segmento AE ﬃ AC. Dimostra che i segmenti BE e DC sono congruenti e paralleli.
20
Þ
21
Þ
b e Bb del triangolo ABC. Dimostra che l’angolo APbB è ottuso.
Sia P il punto d’intersezione delle bisettrici degli angoli A
89
A Ripasso
Trapezi e parallelogrammi
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è un trapezio?
Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: i lati paralleli
si chiamano basi del trapezio, i lati non paralleli lati obliqui.
D base minore C
lato ob
liquo
Come si classificano
i trapezi?
uo
A
iq
obl
Tema D
14
lat o
Le nozioni di base della geometria
Scheda
base maggiore
Un trapezio si dice scaleno se ha i lati a due a due disuguali, isoscele se i lati obliqui sono
congruenti (e le basi non lo sono), rettangolo se un lato obliquo è perpendicolare alle basi.
D
D
C
A
B
trapezio isoscele
C
A
B
trapezio rettangolo
Di quali proprietà gode
un trapezio?
a. In ogni trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari;
b. in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna delle due basi sono congruenti e le
diagonali sono congruenti.
Che cos’è un
parallelogramma?
Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.
Di quali proprietà godono
i parallelogrammi?
Ogni parallelogramma ha...
D
A
B
D
α
A
A
C
B
... angoli opposti congruenti
D
C
C
α+β≅π
β
B
... angoli adiacenti a ciascun
lato supplementari
Quali condizioni
garantiscono che un
quadrilatero sia un
parallelogramma?
D
C
... lati opposti congruenti
90
B
A
B
... diagonali che si intersecano
nel loro punto medio
a. Una qualsiasi delle quattro proprietà precedenti (lati opposti congruenti o angoli opposti
congruenti o angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o diagonali
che si intersecano nel loro punto medio), oppure
b. due lati opposti congruenti e paralleli.
14
A Ripasso
Scheda
Rettangolo
PROPRIETÀ
FIGURA
Un quadrilatero con i quattro
angoli retti.
Le diagonali sono congruenti.
D
A
Rombo
Un quadrilatero con i quattro
lati congruenti.
C
Quadrilateri
DEFINIZIONE
Unità 14
Parallelogrammi particolari
B
AC ≅ BD
D
Le diagonali sono:
perpendicolari;
bisettrici degli angoli
interni al rombo.
A
C
B
Quadrato
Un quadrilatero con i quattro
lati congruenti e i quattro
angoli retti.
C
D
Le diagonali sono congruenti,
perpendicolari e bisettrici
degli angoli interni al
quadrato.
A
AC ≅ BD
B
Attenzione!
Dalle definizioni di rettangolo, rombo e quadrato, segue immediatamente che tutti questi quadrilateri sono parallelogrammi.
Sai giustificarlo?
Piccolo teorema di Talete e teorema dei punti medi
TEOREMA
A PAROLE
... di Talete
(piccolo)
Dato un fascio di rette parallele
tagliato da due trasversali, a
segmenti congruenti su una
trasversale corrispondono
segmenti congruenti sull’altra
trasversale.
IN SIMBOLI
A'
A
B'
B
C'
C
D'
D
r
... dei punti
medi
AB ﬃ CD
+
A0 B0 ﬃ C 0 D0
s
A
Il segmento che congiunge i
punti medi di due lati di un
triangolo è parallelo al terzo lato
e congruente alla sua metà.
M
B
N
AM ﬃ MB
AN ﬃ NC
) MN k BC, MN ﬃ
1
BC
2
C
91
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
14
B Verifica delle conoscenze
Vero o falso?
1
Þ
2
Þ
3
Þ
ogni parallelogramma ha le diagonali congruenti
V
F
un parallelogramma con tre angoli congruenti è un rombo
V
F
V
F
un quadrilatero con gli angoli opposti congruenti è un parallelogramma
V
F
un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rombo
V
F
un quadrilatero con un angolo retto e i lati opposti paralleli è un rettangolo
V
F
un quadrilatero che ha i quattro lati congruenti è un rombo
V
F
un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rettangolo
V
F
se due lati consecutivi di un parallelogramma sono congruenti, allora il parallelogramma è un rombo
V
F
tutti i quadrati sono rombi
V
F
tutti i parallelogrammi sono rettangoli
V
F
se un parallelogramma ha un angolo retto, allora è un rettangolo
V
F
dato un parallelogramma ABCD, comunque scelto un punto P interno al lato CD, il quadrilatero ABPD
è un trapezio
4
Þ
5
Þ
6
Þ
7
Þ
8
Þ
9
Þ
10
Þ
11
Þ
12
Þ
Completa
13
Þ
Un quadrilatero che ha due lati opposti paralleli si chiama
:::::::::::::::::::::::::.
Se le diagonali di un tale quadrilatero sono
congruenti, allora esso si chiama ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
14
Þ
Un quadrilatero che ha entrambe le coppie di lati opposti paralleli si chiama ::::::::::::::::::::::::::::::.
15
Þ
Un parallelogramma che ha un angolo retto è un ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
16
Þ
Un rombo è un parallelogramma che ha ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
17
Þ
Un quadrilatero che appartiene sia all’insieme dei rombi sia all’insieme dei rettangoli è un ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
18
Þ
I due triangoli in cui un parallelogramma ABCD resta diviso da una diagonale sono congruenti in base al
criterio di congruenza.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
19 In un quadrilatero ABCD risulta AB ﬃ CD. Formula almeno due ipotesi aggiuntive, ciascuna delle quali, unita all’iÞ
potesi AB ﬃ CD, garantisca che il quadrilatero sia un parallelogramma.
Ipotesi aggiuntiva 1: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ipotesi aggiuntiva 2: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
20 In un quadrilatero ABCD risulta AD k BC. Formula almeno due ipotesi aggiuntive, ciascuna delle quali, unita all’iÞ
potesi AD k BC, garantisca che il quadrilatero sia un parallelogramma.
Ipotesi aggiuntiva 1: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ipotesi aggiuntiva 2: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Test
21 Sia P l’insieme dei parallelogrammi; R l’insieme dei rettangoli; O l’insieme dei rombi; Q l’insieme dei quadrati. QuaÞ
le delle seguenti relazioni non è corretta?
A
PR
B
RP
C
R\O¼Q
D
R[P ¼P
Sia P l’insieme dei parallelogrammi; R l’insieme dei rettangoli; O l’insieme dei rombi; Q l’insieme dei quadrati. Quale delle seguenti relazioni non è corretta?
22
Þ
A
92
QP
B
R\P ¼R
C
Q[O¼O
D
RO
C Esercizi guidati
14
Scheda
P
Sı̀, perché ::::::::::::::::::::::::::::::
No
c. Si può affermare che i due triangoli PND e PNC sono congruenti?
Sı̀, in base al ::::::::::::::::::::::::: criterio
No
d. In base al passo precedente, puoi dedurre che:
N è il punto medio di CD
P, N e M non sono allineati
N è il punto medio di PM
nessuna delle precedenti
2
Þ
Quadrilateri
a. Il triangolo APB è isoscele perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
b. Si può affermare che gli angoli DPbN e CPbN sono congruenti?
N
D
A
Unità 14
1 Sia ABCD un trapezio isoscele, di base maggiore AB e base minore CD. Sia P il punto d’intersezione dei prolungaÞ
menti dei lati obliqui del trapezio, PM la mediana relativa ad AB del triangolo APB e N il punto in cui PM interseca DC.
C
M
B
Nella figura qui a fianco: AC ﬃ BC, PQ k AC e QR k AB.
a. In base alle ipotesi, il triangolo ABC è isoscele: su quale base? ::::::::::::::::::::
A
b. Dal fatto che ABC è isoscele (per ipotesi), che cosa si può dedurre?
bQ
bR ﬃ RC
PA
bQ
P BbQ ﬃ RC
bR ﬃ P BbQ
PA
R
P
c. Puoi affermare che il quadrilatero APQR è un parallelogramma?
Si, perché . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ...
No, le ipotesi non sono sufficienti
b R?
bR ﬃ P Q
d. Puoi affermare che P A
Q
B
C
Sı̀, perché lati opposti di un parallelogramma
Sı̀, perché angoli corrispondenti rispetto a due rette parallele tagliate da una trasversale
No, le ipotesi non sono sufficienti
bR?::::::::::::::::::::
e. In base alle deduzioni dei passi precedenti, che cosa puoi dedurre degli angoli P BbQ e PQ
3 Nella figura qui a fianco, il quadrilatero ABCD è un parallelogramma, AK ? CD e CH ? AB. Considera i triangoli
Þ
AKD e CHB.
a. Completa, giustificando perché gli elementi indicati sono congruenti:
b B perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
AKbD ﬃ CH
b
ADK ﬃ H BbC perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
AD ﬃ BC
D
K
C
A
H
perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
b. In base a quale criterio si può affermare che AKD e CHB sono congruenti?
Primo
Secondo generalizzato
4
Þ
Secondo
Terzo
Nella figura qui a fianco, il quadrilatero ABCD è un trapezio.
B
C
D
a. Sapendo che AM ﬃ MD, che cosa si può affermare in base al teorema di Talete?
AB ﬃ 2CD
N è il punto medio di CB
b. Rispetto a quali rette parallele e a quali trasversali si è applicato tale teorema?
B
A
Parallele: AB, MN e CD; trasversali: AD e BC
Parallele: AB e CD; trasversali: AD e BC
Trasversali: AB, MN e CD; parallele: AD e BC
Parallele: AD e BC; trasversali: AB e CD
5
Þ
N
M
AD ﬃ BC
Nella figura qui a fianco:
il quadrilatero ABCD è un parallelogramma;
M e N sono, rispettivamente, i punti medi di DC e AB;
P e Q sono due punti, il primo appartenente ad AD e il secondo appartenente a BC.
O è il punto d’intersezione di PQ e MN.
a. Si può affermare che ANMD è un parallelogramma. Per quale ragione?
D
C
M
P
O
A
Q
N
B
Perché, per ipotesi, ha i lati opposti congruenti
Perché, dalle ipotesi, segue che i lati ::::::::::::::: e ::::::::::::::: sono congruenti e paralleli
93
14
C Esercizi guidati
Perché, per ipotesi, ha i lati opposti paralleli
Per nessuna delle ragioni precedenti
Di conseguenza AD k :::::::::::::::
b. Analogamente si può affermare che :::::::::::::::::::: è un parallelogramma. Di conseguenza MN k :::::::::::::::
c. Considera le tre rette AD, MN e BC (parallele per quanto osservato in a. e in b.) e le due trasversali PQ e AB. In base
al teorema di Talete, che cosa puoi dedurre dei segmenti PO e OQ? ::::::::::::::::::::
6
Þ
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
È dato un parallelogramma ABCD. Costruisci, nel semipiano di origine DC opposto a quello in
cui giace ABCD, un parallelogramma DCFE. Dimostra che ABFE è un parallelogramma.
Figura
E
F
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
C
D
B
A
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
Poiché ABCD è un parallelogramma:
AB ﬃ ::::::::::
e AB k ::::::::::
Poiché DCFE è un parallelogramma:
DC ﬃ ::::::::::
e DC k ::::::::::
Per la proprietà :::::::::::::::::::::::::::::: della congruenza e del parallelismo puoi dedurre che:
AB ﬃ ::::::::::::::: e AB k :::::::::::::::
Ma allora il quadrilatero ABFE ha i lati opposti ::::::::::::::::::::::::: e ::::::::::::::::::::, quindi ::::::::::::::::::::.
7
Þ
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Indica:
con P e Q, rispettivamente, i punti medi di AC e BC;
con P 0 e Q 0 , rispettivamente, le proiezioni di P e Q su AB.
Dimostra che AP 0 ﬃ P 0 H ﬃ HQ 0 ﬃ Q 0 B.
Figura
C
P
A
P'
Q
H Q' B
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
Per il teorema di Talete puoi affermare che:
AP 0 ﬃ :::::::::: e HQ 0 ﬃ ::::::::::
L’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è anche :::::::::::::::, quindi AH ﬃ ::::::::::::::: .
Di conseguenza :::::::::::::::::::::::::::::: .
94
C Esercizi guidati
Scheda
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
b e indica con P il suo punto
In un parallelogramma ABCD, traccia la bisettrice dell’angolo A
b
d’intersezione con CD. Poi traccia la bisettrice dell’angolo D e indica con Q il suo punto
d’intersezione con AB. Dimostra che il quadrilatero AQPD è un rombo.
A
Q
C
B
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
Osserviamo che:
bP
DPbA ﬃ Q A
in quanto angoli :::::::::::::::::::: rispetto alle
rette parallele :::::::::: e ::::::::::, tagliate dalla trasversale :::::::::: .
bP ﬃ ::::::::::
QA
per ipotesi
Dunque, per la proprietà :::::::::::::::::::: della congruenza:
DPbA ﬃ ::::::::::
Pertanto il triangolo ADP è isoscele sulla base :::::::::::::::::::: e quindi:
AD ﬃ ::::::::::
[*]
Ragionando in modo analogo si deduce che il triangolo ADQ è :::::::::::::::::::: sulla base
::::::::::, quindi:
AD ﬃ ::::::::::
[**]
Da [*] e [**], segue che ::::::::::::::::::::; d’altra parte è anche AQ k :::::::::: quindi il quadrilatero
AQPD è un ::::::::::::::::::::::::::::::. Tale parallelogramma è un rombo perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
9
Þ
Quadrilateri
P
D
Figura
Unità 14
8
Þ
14
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione.
Passi
Dimostra che congiungendo i punti medi dei lati di un rombo si ottiene un rettangolo.
C
Figura
R
Q
D
B
S
P
A
Ipotesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tesi
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dimostrazione
I punti R e Q sono i punti medi dei lati DC e BC del triangolo DBC, quindi:
1
RQ k :::::::::: e RQ ﬃ ::::::::::
2
Ragionando analogamente possiamo dedurre che:
SP k :::::::::: e SP ﬃ ::::::::::
RS k :::::::::: e RS ﬃ ::::::::::
QP k :::::::::: e QP ﬃ ::::::::::
Queste relazioni dicono in particolare che i lati RQ e SP sono paralleli alla diagonale
:::::::::::::::::::: mentre i lati RS e QP sono paralleli alla diagonale ::::::::::::::::::::. Poiché in un
rombo le diagonali sono :::::::::::::::::::::::::::::::::::, puoi dedurre che :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
95
Tema D
Le nozioni di base della geometria
Scheda
14
D Esercizi da svolgere
1 Un rombo è un quadrilatero con le diagonali perÞ
pendicolari. Non è vero, invece, che ogni quadrilatero
con le diagonali perpendicolari è un rombo. Disegna nella
figura un controesempio.
Dimostra che un rombo con un angolo retto è un
quadrato.
8
Þ
Sia ABCD un rombo e sia O il punto d’intersezione
delle diagonali. Indica con H, K, R e S le proiezioni di O,
rispettivamente, sui lati AB, BC, CD e AD. Dimostra che:
9
Þ
a. H, O e R sono allineati;
c. HKRS è un rettangolo.
b. K, O e S sono allineati;
10 Sia ABCD un trapezio rettangolo, di base maggiore
Þ
AB e base minore CD, con angoli retti in A e in D. Indica
con M il punto medio del lato obliquo BC. Dimostra che
MA ﬃ MD.
(Suggerimento: traccia l’altezza relativa ad AD del triangolo
AMD)
2 Un rettangolo è un quadrilatero con le diagonali
Þ
congruenti. Non è vero, invece, che ogni quadrilatero
con le diagonali congruenti è un rettangolo. Disegna nella
figura un controesempio.
Considera un trapezio e traccia il segmento che
congiunge i punti medi dei suoi lati obliqui. Dimostra
che tale segmento è parallelo alle basi del trapezio e dimezza le diagonali.
11
Þ
12 In un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e baÞ
se minore CD, sia M il punto medio di CD e N il punto medio
di BD. Dimostra che MN è congruente alla metà di AD.
13 Dimostra che congiungendo i punti medi dei lati di
Þ
un rettangolo si ottiene un rombo.
In un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base
minore CD, traccia la bisettrice dell’angolo ABbC e indica
con E il punto in cui interseca la retta CD. Dimostra che
BC ﬃ EC.
3
Þ
TESI:
ABCD è un parallelogramma
Sulla diagonale AC di un parallelogramma ABCD,
considera due punti P e Q tali che AP ﬃ QC. Dimostra
che PBQD è un parallelogramma.
B
A
Dimostra che un quadrilatero con due lati opposti
congruenti e paralleli e le diagonali congruenti è un rettangolo.
Dato un segmento PQ, di punto medio M, traccia
due rette p e q, passanti rispettivamente per P e Q, parallele tra loro. Una retta r, passante per M, interseca p in R e q
in S. Dimostra che PSQR è un parallelogramma.
16 Dimostra che congiungendo i punti medi dei lati
Þ
obliqui di un trapezio isoscele con il punto medio di una
delle due basi, si ottiene un triangolo isoscele.
Sia ABCD un parallelogramma e siano M, N, P e Q i
punti medi di AB, BC, CD e AD. Dimostra, nell’ordine,
che:
17 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Indica
Þ
con P e Q, rispettivamente, i punti medi dei lati obliqui
AC e BC e con P 0 , C 0 , Q 0 le proiezioni di P, C e Q su AB.
Dimostra che 2P 0 Q 0 ﬃ AB.
4
Þ
5
Þ
6
Þ
a. AMQ e CNP sono congruenti;
b. PDQ e MBN sono congruenti;
c. QM k PN.
Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB.
Traccia la bisettrice dell’angolo esterno di vertice C del
triangolo e indica con D il punto d’intersezione della retta cui appartiene tale bisettrice con la retta passante per B
e per il punto medio di AC. Dimostra, nell’ordine, che:
7
Þ
a. la bisettrice è parallela al lato AB;
b. il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
96
14 In riferimento alla figura sotto, scrivi l’enunciato
Þ
del teorema la cui ipotesi e la cui tesi sono quelle indicate
e dimostralo.
bB ﬃ DBbC
IPOTESI: AD ﬃ BC e AD
D
C
15
Þ
Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici i
punti medi dei lati di un trapezio isoscele è un rombo.
18
Þ
Sia ABCD un parallelogramma. Indica con P il punto d’intersezione delle bisettrici degli angoli adiacenti alla
base AB e dimostra che APbB è retto.
19
Þ
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Prolunga AC, dalla parte di C, di un segmento CE e BC, dalla parte di C, di un segmento CD congruente a CE. Dimostra
che ABED è un trapezio isoscele.
20
Þ
15
A Ripasso
Scheda
Unità 15
Termini di base
SIGNIFICATO
Popolazione (o collettivo)
L’insieme degli individui oggetto di un’indagine statistica.
Carattere
La proprietà oggetto di un’indagine statistica.
Modalità
Ciascuna delle varianti con cui un carattere può presentarsi.
Frequenza (assoluta) di una modalità
Il numero di volte in cui una modalità è stata osservata.
Frequenza relativa di una modalità
Il rapporto tra la frequenza assoluta della modalità e il numero di individui
della popolazione.
Frequenza percentuale di una modalità
La rappresentazione in percentuale della frequenza relativa.
Statistica
TERMINE
Tipo di carattere
Carattere
Quantitativo
(quando le modalità sono espresse da numeri)
Discreto
(quando può assumere
soltanto un numero
finito di valori)
Continuo
(quando può assumere
tutti i valori reali
di un determinato intervallo)
Esempio: l’anno
di nascita di una persona
Esempio: l’altezza
di una persona, misurata in metri
Qualitativo
(quando le modalità non sono esprimibili tramite numeri)
Principali rappresentazioni grafiche
4
5
6 7 8
Voto
azzurri
marroni
verdi
Anni
3
[3 5)
5,
50
)
[5
0,
65
)
0
3000
2600
2500
2200
2000 1800
1500
1000
500
0
0,
80%
Stipendi medi
4
2010
0
2
3
3
2
1
2008
5
4
Stipendi in un’azienda
per fasce d’età
4
12%
2006
6
2
8%
7
Prezzo
Frequenze
8
ISTOGRAMMA
Andamento del prezzo
di un prodotto
Colore degli occhi
in un insieme di persone
2004
Voti in un compito
in classe
GRAFICO CARTESIANO
[2
DIAGRAMMA A TORTA
2002
DIAGRAMMA A BARRE
Fasce d’età
97
Tema E
Dati e previsioni
Scheda
15
A Ripasso
Valori medi e misure di variabilità
Le formule nella tabella seguente si riferiscono a n numeri x1 , x2 , ..., xn , di media x.
TERMINE
DEFINIZIONE
Media
aritmetica
x¼
Mediana
x1 þ x2 þ ::: þ xn
n
Ordinati i numeri x1 , x2 , ..., xn in senso crescente
(o decrescente), la loro mediana è:
il numero che occupa la posizione centrale,
se n è dispari.
la media aritmetica dei due numeri che
occupano le posizioni centrali, se n è pari.
ESEMPI
La media dei tre numeri 2, 4 e 6 è:
x¼
2þ4þ6
¼4
3
La mediana dei tre numeri:
4, 5, 6
n ¼ 3 (dispari)
è il numero 5.
La mediana dei quattro numeri:
4, 5, 6, 7
n ¼ 4 (pari)
è la media aritmetica dei due numeri che
occupano le posizioni centrali:
Moda
Il dato (o i dati) che hanno la massima frequenza.
5þ6
11
¼
.
2
2
Dati i numeri:
1, 2, 3, 4, 3
la moda è il numero 3, che compare con frequenza
massima uguale a 2.
V¼
Varianza
ðx1 xÞ2 þ ::: þ ðxn xÞ2
n
oppure
V¼
x12 þ ::: þ xn2
x2
n
Consideriamo i due numeri 4 e 8.
La loro media aritmetica è:
x¼
La loro varianza, in base alla formula abbreviata, è:
V¼
Deviazione
standard
s¼
pﬃﬃﬃﬃ
V
Distribuzioni di frequenze
Dati k numeri x1 , x2 , ..., xk , con frequenze rispettivamente f1 , f2 , ..., fk :
la loro media aritmetica è data dalla formula:
x¼
x1 f1 þ x2 f2 þ ::: þ xk fk
f1 þ f2 þ ::: þ fk
la loro varianza è data dalla formula:
V¼
98
x12 f1 þ :::::: þ xk2 fk
x2
f1 þ ::: þ fk
4þ8
¼6
2
42 þ 82
62 ¼ 4
2
La deviazione standard di 4 e 8, in base alla
varianza poc’anzi calcolata, è:
pﬃﬃﬃ
s¼ 4¼2
B Verifica delle conoscenze
15
Scheda
1
Þ
Quale dei seguenti caratteri è quantitativo discreto?
Il colore degli occhi di una persona.
B
Il peso di una persona.
C
L’età di una persona.
D
Nessuno dei precedenti.
2
Þ
Quale dei seguenti caratteri è quantitativo continuo?
A
Il colore degli occhi di una persona.
B
Il peso di una persona.
C
L’età di una persona.
D
Nessuno dei precedenti.
3
Þ
Statistica
A
Unità 15
Test
Quale dei seguenti caratteri è qualitativo?
A
Il colore degli occhi di una persona.
B
Il peso di una persona.
C
L’età di una persona.
D
Nessuno dei precedenti.
È stata compiuta un’indagine statistica su un campione di 125 persone. La frequenza assoluta di una modalità è 25.
Qual è la frequenza relativa di questa modalità?
4
Þ
A
0,15
B
0,2
C
0,25
D
È uguale alla frequenza assoluta.
5
Þ
Qual è la media aritmetica dei numeri: 1, 2, 3, 4, 5?
A
2
B
3
C
4
D
Nessuno dei precedenti numeri.
6
Þ
Qual è la mediana dei numeri: 1, 2, 3, 4, 5?
A
2
B
3
C
4
D
Nessuno dei precedenti numeri.
7
Þ
Qual è la mediana dei numeri: 10, 11, 12, 13?
A
11
B
11,5
C
12
D
12,5
8
Þ
Qual è la moda della seguente sequenza di numeri: 3, 4, 5, 6, 5, 7, 8, 4, 4, 7?
A
4
B
5
C
6
D
7
99
Dati e previsioni
9
Þ
Tema E
Scheda
10
Þ
15
B Verifica delle conoscenze
Quale è la varianza della seguente sequenza di numeri: 1, 2, 3, 4?
A
0,75
B
1
C
1,25
D
1,5
Se la varianza di un insieme di dati è 5, qual è la deviazione standard?
A
5
B
C
25
pﬃﬃﬃ
5
D
I dati non sono sufficienti per determinarla.
Vero o falso?
l’età di una persona è un carattere quantitativo continuo
V
F
il concetto di frequenza assoluta è equivalente a quello di frequenza relativa
V
F
V
F
V
F
se la mediana di un insieme di dati è 10, allora sono state rilevate modalità maggiori o uguali
a 10 almeno sul 50% della popolazione
V
F
16 se le altezze di tre ragazzi sono 175 cm, 180 cm e 185 cm, allora l’altezza media , in cm, dei tre ragazzi
Þ
è espressa da un numero intero
V
F
la varianza e la deviazione standard di un insieme di dati presentano la stessa unità di misura
V
F
la varianza è il quadrato della deviazione standard
V
F
la media aritmetica di due numeri pari è un numero pari
V
F
V
F
V
F
11
Þ
12
Þ
13
Þ
viene effettuata su una popolazione di 1000 individui un’indagine statistica: se la frequenza assoluta
di una data modalità è 10, allora la frequenza percentuale di quella modalità è 1%
14
Þ
15
Þ
17
Þ
18
Þ
19
Þ
20
Þ
la media aritmetica di una sequenza di numeri non può mai essere 0
la mediana di una sequenza di numeri x1 , x2 , ..., xn varia a seconda che i numeri siano disposti
in ordine crescente o decrescente
21
Þ
la mediana dei numeri 3, 4, 1, 2, 5 è 1
Negli esercizi 22-27 fai riferimento alla distribuzione di frequenze rappresentata dalla tabella qui sotto. Si è rilevato il numero di SMS ricevuti in un giorno da un gruppo di ragazzi.
Modalità
2
3
4
5
6
Frequenze
3
2
5
6
9
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
26
Þ
27
Þ
100
la popolazione oggetto dell’indagine è costituita da 25 individui.
V
F
la frequenza della modalità 4 è maggiore della frequenza della modalità 5
V
F
la frequenza relativa della modalità 4 è 0,2
V
F
la frequenza percentuale della modalità 6 è 36%
V
F
gli studenti che hanno mandato più di 4 SMS sono il 6%
V
F
gli studenti che hanno mandato meno di 4 SMS sono il 20%
V
F
C Esercizi guidati
15
Scheda
1
Þ
Unità 15
Completa le seguenti proposizioni.
La media aritmetica dei numeri 2, 4, 5, 6 è data da:
x¼
Si è rilevata l’età di ciascun individuo in un gruppo di persone e si è ottenuta la seguente distribuzione di frequenze.
2
Þ
Età
20
24
28
30
32
Frequenza assoluta
11
12
13
8
6
Statistica
2 þ ::: þ ::: þ 6
¼ :::::
:::::
Per calcolare l’età media e nel gruppo di persone esaminato, occorre calcolare una media aritmetica ponderata; sarà:
e¼
20 11 þ 24 12 þ 28 13 þ ::::: ::::: þ ::::: :::::
11 þ 12 þ 13 þ ::::: þ :::::
Dati i numeri 2, 5, 4, 6, 8, vogliamo calcolare la mediana. Anzitutto ordiniamo i numeri in senso crescente: 2, ..., ...,
6, 8. Poiché si tratta di un numero dispari di numeri (cinque), la loro mediana è data dal valore centrale dei numeri ordinati in senso crescente, dunque:
3
Þ
mediana ¼ .................
Dati i numeri 2 ,4, 5, 6, vogliamo calcolare la loro mediana. Osserva che i numeri sono già ordinati in senso crescente; si tratta di un numero pari di numeri (quattro), quindi la loro mediana è data dalla media aritmetica dei due numeri che occupano le posizioni centrali, che sono 4 e 5; dunque:
4
Þ
mediana ¼
4 þ :::
¼ :::
2
Dati i numeri: 4, 5, 9, vogliamo calcolare la loro varianza e la loro deviazione standard.
::: þ ::::: þ ::::
¼ :::::
a. Calcoliamo anzitutto la media aritmetica dei numeri dati: x ¼
3
b. Per il calcolo della varianza puoi utilizzare due formule:
ðx1 xÞ2 þ ::::: þ ðxn xÞ2
– la formula V ¼
, che scaturisce dalla definizione, che in questo caso fornisce:
n
5
Þ
V¼
ð4 :::Þ2 þ ð5 :::Þ2 þ ð9 :::Þ2
¼ :::::
3
– la formula «abbreviata», V ¼
V¼
6
Þ
x21 þ ::::: þ x2n
x2 , che in questo caso fornisce:
n
42 þ 52 þ 92
ð:::Þ2 ¼ :::::
3
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, quindi: s ¼
pﬃﬃﬃﬃ
::: ’ :::::
D Esercizi da svolgere
15
Scheda
Per ciascuno dei seguenti gruppi di numeri determina: la media, la mediana e la moda.
1
Þ
2
Þ
3
Þ
3, 4, 5, 6, 3
4
Þ
1, 1, 2, 4, 6, 8
[Media ¼ 4,2; moda ¼ 3; mediana ¼ 4]
2, 1, 1, 2, 1
[Media ¼ 0,2; moda ¼ 1; mediana ¼ 1]
2, 4, 2, 5
[Media ¼ 3,25; moda ¼ 2; mediana ¼ 3]
10
; moda ¼ tutti i numeri; mediana ¼ 3
Media ¼
3
101
Tema E
Dati e previsioni
Scheda
15
D Esercizi da svolgere
5
Þ
Determina la varianza e la deviazione standard dei seguenti numeri: 2, 3, 5, 8.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 21
21
; deviazione standard ¼
Varianza ¼
4
2
6
Þ
Determina la varianza e la deviazione standard dei seguenti numeri: 1, 4, 5, 10.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 42
21
; deviazione standard ¼
Varianza ¼
2
2
10
Per quale valore di a la media aritmetica dei numeri a 1, a þ 1, a þ 2 è uguale a 4?
3
3
Per quale valore di x la mediana dei numeri x 1, x, x þ 1, x þ 2 è uguale a 2?
2
La distribuzione dei voti in un compito in classe è rappresentata nel seguente diagramma a barre.
7
Þ
8
Þ
9
Þ
Frequenze
Voti in un compito in classe
8
7
6
5
4
3
2
1
0
4
5
6
Voto
7
8
Determina il voto medio, il voto mediano e il voto modale della distribuzione.
44
’ 6,3; voto mediano ¼ 6; voto modale ¼ 6
Voto medio ¼
7
10
Þ
Quattro amici sono alti 174 cm, 184 cm, 180 cm, 178 cm.
a. Qual è la loro altezza media?
b. Qual è la loro altezza mediana?
c. Se ai quattro amici se ne aggiunge un quinto, alto 190 cm, come variano l’altezza media e l’altezza mediana?
[a. 179 cm; b. 179 cm; c. la media diviene 181,2 cm e la mediana 180 cm]
11
Þ
I voti di Paolo nei primi quattro compiti in classe di Matematica del primo quadrimestre sono stati 5, 7, 6, 5.
a. Qual è il voto medio dei primi quattro compiti in classe?
b. Quale voto dovrebbe prendere Paolo nel quinto compito in classe per avere la media del 6?
c. Supposto che Paolo prenda nel quinto compito il voto di cui al punto b, qual è il voto mediano preso da Paolo nei
cinque compiti in classe del quadrimestre?
23
a.
’ 5,75; b. 7; c. 6
4
12 Il negozio di Barbara, negli ultimi tre mesi dell’anno, ha incassato rispettivamente 16 500 euro, 14 000 euro e
Þ
18 700 euro.
a. Qual è l’incasso medio nei tre mesi presi in considerazione?
b. Qual è l’incasso mediano nei tre mesi presi in considerazione?
c. In ciascuno dei tre mesi presi in considerazione, il guadagno di Barbara, al netto delle spese, è risultato corrispondente al 20% dell’incasso. Qual è stato il guadagno medio mensile nei tre mesi presi in considerazione? Qual è stato il
guadagno mediano?
d. Tenendo conto anche dell’incasso del mese di settembre, che è stato di 15 000 euro, qual è stato l’incasso medio negli ultimi quattro mesi dell’anno? E quale l’incasso mediano?
[a. 16 400 euro; b. 16 500 euro; c. guadagno medio ¼ 3280 euro, guadagno mediano ¼ 3300 euro;
d. incasso medio ¼ 16 050 euro; incasso mediano ¼ 15 750 euro]
102