Solo quello che ti interessa | Geometria iperbolica - Pitagora, triangoli e lunghezze
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Geometria iperbolica - Pitagora, triangoli e
lunghezze
Sui triangoli
- Nella geometria euclidea la formula dell’area di qualsiasi triangolo è A=(b×h)/2
. La sua valenza universale sta nel fatto che la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre 180°.
- Nella geometria iperbolica, la formula per calcolare l’area di un triangolo
dipende dal valore della somma dei suoi angoli, che è diversa da triangolo a
triangolo, ed è sempre minore di 180°!
- Nella geometria euclidea se i tre angoli di un triangolo T1 sono uguali ai tre
angoli di un triangolo T2, diciamo che T1 e T2 sono simili, ma T1 e T2 potranno
avere lunghezze dei lati differenti, e quindi, i due triangoli potranno avere
dimensioni/aree differenti. Nella geometria iperbolica, la stessa situazione
implica che i due triangoli sono uguali. Anzi nel mondo iperbolico non esistono
nemmeno triangoli con area infinitamente grande.
- Chiamiamo A, B e C gli angoli di un triangolo. La loro somma sarà minore di
180°. Chiamiamo difetto la differenza di 180-(A+B+C). Diciamo che l’area del
triangolo è proporzionale al difetto. Il fattore di proporzionalità k è
presente nel calcolo dell’area, la cui formula è
- Visto che la somma degli angoli sarà sempre al di sotto di 180°, si può dedurre
che essendo la somma A+B+C un valore tra 0 e 180, il valore massimo
dell’area potrà essere πk2. Tanto più grande è il triangolo, più piccoli saranno
gli angoli. In regioni molto piccole (aree infinitesimali) la somma degli angoli si
approssima a 180° (quindi l’area tende a 0). Già nella metà del secolo XVIII,
Johann Heinrich Lambert, negando il quinto postulato di Euclide, ottenne
come risultato che la somma degli angoli di un triangolo aumentava (verso
180°), al diminuire della sua area. Per questo motivo la geometria euclidea è
una caso limite della geometria iperbolica.
- Nella geometria iperbolica non esistono triangoli simili: se due triangoli hanno
gli angoli uguali (e quindi lo stesso difetto), anche loro devono essere
necessariamente uguali.
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Sulle circonferenze
- Nelle geometria euclidea, la formula della lunghezza della circonferenza di
raggio r è C=2πr.
- Nella geometria iperbolica entra in gioco il fattore di proporzionalità k. Qui
la circonferenza ha la seguente formula
senh è il seno iperbolico. Il fattore senh(r/k) si può sviluppare come una serie di
Taylor per tanto la formula potrà essere scritta come
da cui, per valori molto piccoli di r, si ottiene che l’ultimo fattore dell’espressione
tende ad 1, riconducendo la formula, alla classica formula euclidea della
circonferenza.
- Anche in questo caso in regioni infinitesimali, si ricade nella geometria
euclidea.
Sulle lunghezze
- Possiamo osservare che in tutte le formule della geometria iperbolica compare
il fattore n/k dove n è un elemento della lunghezza della figura (un raggio, un
lato, ecc…). In scala astronomica questo fattore si deve tenere in
considerazione, mentre è ininfluente su scala infinitesimale. Possiamo
affermare che in regioni molto piccole, geometria euclidea e iperbolica
coincidono.
- Questo risultato conferma che la geometria iperbolica è un’estensione della
geometria euclidea. Lobachevski sostenne questa idea nelle sue teorie,
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battezzando la propria geometria con il nome di pangeometria, cioè
geometria universale.
Sul teorema di Pitagora
- Anche in questo caso il teorema che conosciamo non è altro che un caso
particolare che si riscontra nella geometria iperbolica, cioè il caso in cui ci
limitiamo ad analizzare piccole porzioni di superficie (il nostro quotidiano,
rispetto alla dimensione dell’universo).
- Un triangolo, nella geometria iperbolica, avrà i lati curvi e, come abbiamo già
detto, con la somma degli angoli minori di 180°
- In questo triangolo si verifica che
che nella geometria iperbolica si traduce in
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sviluppando la prima formula in serie di potenze di Taylor si ottiene
utilizzando lati di piccole dimensioni, si ricade nel Teorema di Pitagora classico.
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