2.2 Successioni numeriche Definizione 2.2.1 Una successione `a

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2.2 Successioni numeriche
Definizione 2.2.1
Una successione `a` con valori in A è una funzione che associa ad ogni numero naturale n un elemento `a_n`.
`a:NN→A`
Anziché indicare le immagini di tale funzione `a(n)` come nella notazione usuale per le funzioni si utilizzerà invece la
notazione `a _n`.
Una successione numerica è quindi un elenco ordinato di elementi di A detti termini della successione. In base alla loro
posizione nell'elenco sono indicati come primo termine, secondo termine e così via. Il primo termine è solitamente
rappresentato da `a_1`, il secondo termine da `a_2` e il generico termine n-mo viene rappresentato da `a_n`.
Per indicare una successione si scrive:
`a_1, a_2, a_3, …, a_n, …` oppure, in maniera più sintetica, `(a_n)_n in NN`.
L'immagine della successione è l'insieme `{a_n:n in NN}`, da non confondersi con `(a_n)` che è la successione. Una
successione può anche non essere definita su tutto l'insieme `NN`, ma la si può definire anche su un insieme `NN^' sub
NN`, con `NN^'={n^'>k: k in NN}`
Esempio 2.2.2
Un esempio di successione numerica è `{2n+1}_(n in NN)`. Per calcolarne i termini si assegnano a `n` i valori 0, 1, 2,
eccetera, ottenendo:
`a_0=2*0+1=1`
`a_1=2*1+1=3`
`a_2=2*2+1=5……`
Tale successione è espressa in forma esplicita in quanto l'n-mo termine della successione è calcolabile direttamente
conoscendo n.
Talvolta le successioni sono espresse in forma ricorsiva, e ciò accade quando l'n-mo termine della successione non è
calcolabile conoscendo n ma lo è utilizzando i valori di alcuni termini che lo precedono.
Esempio 2.2.3
Una famosa successione ricorsiva è la successione di Fibonacci, definita come segue:
`{{:(a_0=0),(a_1=1),(a_n=a_(n-2)+a_(n-1) text(per n)>=2):}`
Utilizzando tale definizione si ottengono i valori seguenti:
`a_1=0`
`a_2=1`
`a_2=a_(2-1) +a_(2-2) =a_1 +a_0 +1=1`
`a_3=a_(3-1)+a_(3-2)=a_2 +a_1 =1+1=2 `
`a_4=a_(4-1)+a_(4-2)=a_3 +a_2 =2+1=3`
`a_5 =a_(5-1)+a_(5-2)=a_4 +a_3 =3+2=5`
……
La successione in questione risulta essere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, eccetera.
Le successioni che tratteremo in questo capitolo sono solamente quelle di numeri reali, dunque `a_n in RR, AA n in
NN`.
E' possibile sommare o moltiplicare due successioni termine a termine, definendo così le successioni somma e
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prodotto di successioni date. Date due successioni `(a_n)` e `(b_n)` le funzioni somma e prodotto si definiscono come
`(a_n)+(b_n)=(a_n+b_n)` e `(a_n)*(b_n)=(a_n*b_n)`. E' anche possibile confrontare due successioni termine a termine,
e si dice che `(a_n)<=(b_n)` se e solo se `(a_n)<=(b_n) AA n in NN`.
Definizione 2.2.4
Un maggiorante M per una successione `(a_n)` è un numero M, se esiste, tale che `a_n<=M AAn in NN`.
Una successione è detta limitata superiormente se ammette un maggiorante.
L'estremo superiore di una successione `(a_n)` è il minimo `alpha` dell'insieme avente come elementi i maggioranti
della successione `{M:M è maggiorante per (a_n)}`.
Sono analoghe le definizioni di minorante, funzione limitata inferiormente e estremo inferiore. Una successione limitata
sia superiormente che inferiormente è detta limitata.
Definizione 2.2.5
Una successione è crescente se `(a_n)<=(a_(n+1)) AA n in NN`, strettamente crescente se `(a_n) lt (a_(n+1)) AA n in
NN`. E' analoga la definizione di funzione decrescente e strettamente decrescente. Le successioni crescenti,
decrescenti, strettamente crescenti e strettamente decrescenti sono dette monotone.
Definizione 2.2.6
Una successione `(a_n)` converge ad un certo valore se `a in RR`
`AA epsilon>0 EE i in NN` tale che `|a_n-a| lt epsilon`
La condizione `|a_n-a| lt epsilon` può anche essere scritta come `a-epsilon lt a_n lt a +epsilon`.
Si scrive in tal caso che `lim_(n→infty)a_n=a` oppure che `a_n→a`.
Esempio 2.2.7
Si consideri la successione `a_n→a`. Essa ha elementi 0, `1/2, 2/3, 3/4, 4/5...`
Il numero 2 è un maggiorante della successione, in quanto `n/(n+1)<=2 hArr`` hArr n<=2(n+1) hArr n<=2n+2 hArr
n>=-2`, e quest'ultima disequazione è sempre verificata in quanto n è un numero naturale. La successione è dunque
limitata superiormente.
La successione è strettamente crescente in quanto
`(a_n) lt (a_(n+1)) hArr n/(n+1)<=(n+1)/(n+2) hArr n(n+2) lt (n+1)^2 hArr`
`hArr n^2+2n lt n^2 +2n+1 hArr 0 lt 1`
e quest'ultima disequazione è sempre verificata.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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