Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi
Def. Una funzione f(x) si dice infinitesima per x x0 (o
per x  ) , x0 punto di accumulazione per il dominio di
f(x), se:
Infiniti e Infinitesimi
lim f ( x)  0
x  x0
(oppure lim f ( x)  0)
x 
1
1
Infiniti e Infinitesimi
Esempi.
y=ex è un infinitesimo per 𝑥 → −∞
y=ln(x) è un infinitesimo per 𝑥 → 1
y= sin(x) è un infinitesimo per 𝑥 → 0
(𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝜋, 2𝜋 𝑒𝑡𝑐. )
y= ln(1+x) è un infinitesimo per 𝑥 →0
Infiniti e Infinitesimi
Def. Una funzione f(x) si dice infinita per x x0
(o per x  ), x0 punto di accumulazione per il dominio
di f(x), (o per x  ) se:
lim f ( x)  
x  x0
(oppure lim f ( x)  )
x 
2
Infiniti e Infinitesimi
Esempi
y=ex è un infinito per 𝑥 → +∞
y=ln(x) è un infinito per 𝑥 → 0+
Infiniti e Infinitesimi
Def.: Ordine di infinitesimo
Siano f(x) e g(x) infinitesimi per xx0 (o per x), con
g(x) 0. Se  R+ e R,   0 tale che
f ( x)

x  x0 g ( x)
lim

o



f ( x)
  

x  g ( x ) 

lim
y=𝑥 2 + 𝑥 è 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑥 → ∞
Allora, si dice che per xx0, (o per x), f(x) è un
infinitesimo di ordine  rispetto all’infinitesimo
campione g(x).
3
Infiniti e Infinitesimi
Esempi.
y=sinx è un infinitesimo per 𝑥 → 0 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 1
𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑙′ 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
Infatti lim 𝛼 =1 solo se 𝛼 = 1
𝑥→0 𝑥
𝑦 = 𝑡𝑔2 𝑥 è un infinitesimo di ordine 2 rispetto ad x,
per 𝑥 → 0
ord(1-cosx)=2 rispetto ad x per 𝑥 → 0
Infiniti e Infinitesimi
Def.: Ordine di infinito
Siano f(x) e g(x) infiniti per xx0 ( o per x), con
g(x) 0.
Se  R+ e R,   0 tale che
f ( x)

x  x0 g ( x)
lim

o



f ( x)




x  g ( x ) 

lim
Allora, si dice che per xx0, (o per x), f(x) è un
infinito di ordine  rispetto all’infinito campione g(x).
4
Infiniti e Infinitesimi
Esempi
1
ord(√𝑥) =
2
Infiniti e Infinitesimi
𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑑 𝑥 per 𝑥 → +∞
𝑜𝑟𝑑
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑜𝑟𝑑
1
1
=
1
𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜
𝑎
𝑒𝑥 − 1
𝑥
=1 rispetto a
1
𝑥
per 𝑥 → 0
per 𝑥 → 0
CONFRONTO TRA INFINITESIMI
Siano f(x) e g(x) infinitesime per xx0,
ord(f)  ord(g)
  0
 
ord(f)  ord(g)
f ( x) 
lim

x  x0 g ( x )
ord(f)  ord(g)
0

non esiste, f e g non confrontabili
Stesso risultato se f(x) e g(x) sono infinitesime per x
5
Infiniti e Infinitesimi
Infiniti e Infinitesimi
Utilizzando il confronto tra infinitesimi nel calcolo di limiti
del tipo
Siano f(x) e g(x) infiniti per xx0,
𝑓1 +𝑓2
,
𝑥→𝑥0 𝑔1 +𝑔2
lim
dove 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑔1 , 𝑔2 sono funzioni infinitesime per 𝑥 → 𝑥0 ,
si possono trascurare gli infinitesimi di ordine maggiore
(analogo discorso per funzioni infinitesime 𝑥 → ∞)
Es.
𝑥 2 +𝑥 3 +2𝑡𝑔𝑥
𝑥→0 𝑒 𝑥 −1 2 +𝑠𝑖𝑛𝑥
lim
CONFRONTO TRA INFINITI
2𝑡𝑔𝑥
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥
= lim
=2
ord(f)  ord(g)
  0

ord(f)  ord(g)
f ( x )  
lim

x  x0 g ( x )
ord(f)  ord(g)
0

non esiste, f e g non confrontabili
Stesso risultato se f(x) e g(x) sono infinite per x
6
Infiniti e Infinitesimi
Utilizzando il confronto tra infiniti nel calcolo di limiti del
tipo
𝑓1 +𝑓2
,
𝑔
𝑥→𝑥0 1 +𝑔2
lim
dove 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑔1 , 𝑔2 sono funzioni infinite per 𝑥 → 𝑥0 ,
si possono trascurare gli infiniti di ordine minore
(analogo discorso per funzioni infinite 𝑥 → ∞)
Infiniti e Infinitesimi
Esercizio.
x 2  x3  3 x
Calcolare il limite xlim
  x 2 2 x  1  3 x
Si ha:
x 2  x3  3 x
x3
1

lim
 .
3
2
x   x 2 x  1  3 x
x   2 x
2
lim
7
Infiniti e Infinitesimi
Def.
Si dice che due funzioni f, g sono asintotiche per xx0
se
lim
x  x0
f ( x)
1
g ( x)
e si scrive 𝑓~𝑔 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0
Es.
sinx ~x per 𝑥 → 0
ln(1+x) ~x per 𝑥 → 0
ex-1~x per 𝑥 → 0
Infiniti e Infinitesimi
Gerarchia degli infiniti
Per 𝑥 → +∞ 𝑠𝑖 𝑕𝑎
log a x   x   b x ,
con  ,   0, a, b  1
Non sempre è possibile calcolare l’ordine di infinito (o di
infinitesimo) rispetto alla funzione campione usuale.
Es
ax
 ,   0, a  1
x   x
lim


log a x 
lim
x  
x
 0,  ,   0, a  1
8
Infiniti e Infinitesimi
Regole aritmetiche
(si legge «o piccolo di»)
f(x)=o(𝑥 𝛼 )
Siano
e g(x)=o(𝑥 𝛽 )
due funzioni infinitesime di ordine superiore rispettivamente
ad 𝛼 𝑒 𝑎 𝛽 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 0
Allora si ha
cf(x)= o(𝑥 𝛼 ),
c  R
Infiniti e Infinitesimi
Regole aritmetiche
Siano f(x) e g(x) due funzioni infinite di ordine
rispettivamente 𝛼 𝑒 𝛽
ord  f ( x)  g ( x)   max( ,  ),
Allora si ha
ord  f ( x) g ( x)      ,


ord  f ( x)    .

x  f ( x)  o( x   )
f ( x ) g ( x )  o( x   )
f ( x)  g ( x)  o( x  ),
  min( ,  )
9
Infiniti e Infinitesimi
Esercizio
Utilizzando il confronto tra infiniti, calcolare il limite
Infiniti e Infinitesimi
Es.
Calcolare il limite
e 2 x  cos x
lim
x 0 sin x  ln(1  x 2 )
x x  e 2 x  ln 2 x
lim
x  
x3 x  2e x
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Infiniti e Infinitesimi
Es.
Calcolare il limite
Calcolare il limite
Infiniti e Infinitesimi
x3  2 x
lim
x   3 x 3  x  1
ex  x2
lim
x   ln(1  x 2 )  2e x
Es.
Calcolare il limite
Calcolare il limite
e 3 x  cos x
lim
x 0 sin x  ln(1  x 2 )
lim x ln
x  
x2
x 1
11
Infiniti e Infinitesimi
Es.
Calcolare l’ordine di infinitesimo di ciascuna funzione e
poi calcolare il limite
lim
x 2
sin 2 ( x  2 )  cos x
Funzioni continue
( x  2 )  tg ( x  2 )
12
Funzioni continue
Funzioni continue
Def.
Una funzione f(x) è continua in x0, se:
1  lim f ( x)  lim f ( x)   2  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
x  x0
x  x0
ossia   0     0 :
f(x) - f(x0 )  
(  f(x0 ))
x I ( x0 ,   )
Discontinuità
a) Discontinuità eliminabile
lim f ( x)  1
x  x0
lim f ( x)   2
x  x0
 f ( x)
f ( x)  

1   2  f ( x0 )
x  x0
x  x0
f(x) è stata prolungata per continuità – ridefinita per
continuità attraverso f (x)
13
Funzioni continue
Funzioni continue
Esempio di discontinuità eliminabile
f ( x) 
sen( x)
x
 sen( x)

f ( x)   x

1
x0
Discontinuità
b) Discontinuità di prima specie (salto)
lim f ( x)   1
x  x0
lim f ( x)   2
x  x0
1   2
x0
x0
14
Funzioni continue
Funzioni continue
Esempio di discontinuità di prima specie
| x|
y
x
C.E : x  R : x  0
| x|
| x|
lim
 1  lim
 1
x 0
x 0
x
x
Discontinuità
c) Discontinuità di seconda specie
Se uno dei due limiti lim f ( x), lim f ( x)
x  x0
x  x0
non esite oppure è 
y
1
x  12
15
Funzioni continue
Esercizio
Dire se è continua in x=0 la funzione così definita
1  e 2 x ln| x| x  0
f ( x)  
x0
 0
Funzioni continue
Esercizio
Dire per quali valori di k è continua la funzione così
definita
 1 x2 x  0
f ( x)  
 x  2k x  0
16
Funzioni continue
Esercizio
Dire per quali valori di k la funzione f(x)è continua in x=1
 2 ln x x  1

f ( x)   x  1
 k
x 1
Funzioni continue
Continuità della funzione composta
Siano:
g definita almeno in un intorno di x0 e continua in x0 ,
f definita almeno in un intorno di y0 =g(x0) e continua in
y0, allora la funzione f(g(x)) è definita almeno in un
intorno di x0 ed è continua in x0 :
lim f ( g ( x))  f ( g ( x 0 ))
x x0
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Funzioni continue
•
Le funzioni elementari sono continue nel loro ampo di
definizione,
• Somma, prodotto, quoziente (con denominatore
diverso da zero) di funzioni continue danno funzioni
continue,
• La composizione di funzioni continue è una funzione
continua
Funzioni continue
Esercizio
Calcolare il limite
x3  x
lim 2
x 1 x  3 x  4
Il limite si calcola sostistuendo x0 nell’espressione
analitica della funzione.
18
Funzioni continue: Teoremi
Teorema della permanenza del segno
Sia f(x) definita almeno in un intorno di x0 e continua in
x0.
Se f(x0)>0 allora ∃𝛿 > 0 : f ( x)  0 x   x0   , x0   .
In particolare
f ( x)  f ( x0 ) 
f ( x0 ) f ( x0 )

 0.
2
2
Se l=f(x0)=0, non si hanno informazioni sul segno di f(x).
Dimostrazione.
Fissato  
Funzioni continue: Teoremi
f ( x0 )   0 : f ( x)  f ( x )  f ( x0 ) , x  I ( x ,  )
0
0
2
2

f ( x0 )
f ( x0 )
 f ( x)  f ( x0 ) 
2
2
19
Funzioni continue: Teoremi
Teorema degli zeri
Sia f(x) continua in [a,b] . f(a)∙f(b) <0
allora x0  a, b  : f ( x0 )  0.
Se f è anche strettamente monotona, lo zero è unico.
Funzioni continue: Teoremi
Teorema dell’esistenza dei valori intermedi
(conseguenza del teorema degli zeri)
Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori
compresi tra f(a) ed f(b).
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Funzioni continue: Teoremi
Funzioni continue: Teoremi
Teorema di Wierstrass (sul max e min)
Sia f(x) continua in [a,b] . Allora f(x) assume massimo e
minimo assoluto in [a,b], cioè
x1 , x2  [a, b] : f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )
m  f ( x1 )  minimo di f ( x) in [a, b]
M  f ( x2 )  massimo di f ( x) in [a, b]
Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori
compresi tra il minimo(m) e il massimo (M)
21
Funzioni continue: Teoremi
Es.
y= ex-1 𝑥𝜖 0,1
Funzioni continue: Teoremi
Es.
y
1
, x  (0,1]
x
Il teorema di Weierstrass
non è applicabile: l’intervallo non è chiuso.
max e x 1  1
0,1
min e x 1 
[ 0 ,1]
f(x) non è limitata superiormente
1
e
22
Funzioni continue: Teoremi
Es. y 
1
, x  [1,)
x
Funzioni continue: Teoremi
Il teorema di Weierstrass
non è applicabile: l’intervallo non è limitato.
1
0
[1,  ) x
f(x) è limitata ma non ammette minimo, inf
Criterio di invertibilità
Una funzione continua e strettamente monotona in [a,b]
è invertibile in tale intervallo.
Dimostrazione.
Supponiamo che f(x) sia sterttamente crescente in [a,b],
si ha f (a )  f ( x)  f (b) , f(a)=minimo, f(b)=max.
Per il teorema dei valori intermedi:
x  [ f (a ), f (b)], x  [a, b] : f ( x)  y
e tale x è unico.
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Funzioni continue: Teoremi
Infatti se
x1 , x 2 : x1  x2 : y  f ( x1 )  f ( x2 )
si ottiene un assurdo perché per ipotesi
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Quindi f(x) è iniettiva e percio’ invertibile.
Inoltre la funzione inversa di una funzione continua e’
continua
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