Capitolo 6
Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico
Esercizio 6.1
Dopo aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la
formula per il calcolo della media si semplifica, otteniamo il prezzo medio praticato
dai rivenditori italiani:
x̄IT A =
k
1 P
5.5 + · · · + 4.9
= 4.39e.
xi fi =
N i=1
12
Per effettuare un confronto con la media inglese sarebbe necessario convertire
tutti i prezzi in euro e poi farne la media, invece è possibile applicare la proprietà di
omogeneità della media aritmetica che ci assicura che se Y = aX allora ȳ = ax̄.
Poiché i prezzi in euro altro non sono che i prezzi in sterline per il tasso di cambio,
si può ottenere la media dei prezzi inglesi in euro, moltiplicando la media in sterline:
ȳU K =
k
1 P
4.9 + · · · + 3.1
yi fi =
= 3.41£.
N i=1
10
per il tasso di cambio fornito nella traccia 1.18: xU¯K = yU K · 1.18 = 3.41£ × 1.18 =
4.02e.
Il prezzo medio inglese della chiavetta USB cercata è di poco inferiore a quello italiano.
Esercizio 6.2
Dopo aver calcolato la numerosità di ogni sottogruppo di ulivi:
Cannellina
Maiatica
Ogliarola
Totale
Ni
5
10
5
20
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F. Mecatti, Statistica di base 1
2
Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi
e aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la formula
per il calcolo della media si semplifica, otteniamo la resa media per ogni varietà di
ulivo:
k
1 P
2.29 + · · · + 1.22
x̄C =
xCi fi =
=2
NC i=1
5
k
1 P
1.72 + · · · + 3.05
x̄M =
= 2.71
xM i fi =
NM i=1
10
k
2.87 + · · · + 2.95
1 P
xOi fi =
= 2.67
x̄O =
NO i=1
5
mentre la resa totale è:
k
1 P
2.87 + · · · + 3.05
= 2.52
x̄ =
xi fi =
N i=1
20
La proprietà associativa della media aritmetica ci assicura che la media (generale) di X (su U ) è sempre raggiungibile dai dati aggregati (sulle sottopopolazioni Uj ),
basta calcolare la media delle medie delle sottopopolazioni, quindi:
x̄ =
h
1 P
2 × 5 + 2.71 × 10 + 2.67 × 5
= 2.52.
x̄j Nj =
N j=1
20
La proprietà risulta verificata.
Esercizio 6.3
Dopo aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la
formula per il calcolo della media si semplifica, otteniamo la borsa di studio media:
k
1 P
350 + · · · + 110
xi fi =
= 519.33.
x̄V =
N i=1
15
Dopo l’aumento delle borse di studio, gli studenti percepirebbero queste somme:
487.50
1162.50
1062.50
1000.00
262.50
625.00
275.00
812.50
575.00
437.50
650.00
1062.50
775.00
1112.50
187.50
e la media delle borse diventerebbe:
k
1 P
487.5 + · · · + 187.5
x̄N =
xi fi =
= 699.17.
N i=1
15
Per la proprietà di linearità della media aritmetica, se X e Y sono due fenomeni
diversi ma legati dalla formula: Y = a + bX con a e b numeri reali qualunque e b
diverso da 0, si dice che Y è una trasformazione lineare di X. La media aritmetica
di Y si ottiene dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione cioè:
ȳ = a + bx̄.
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3
Poiché le nuove borse di studio sono trasformazioni lineari delle vecchie, infatti:
XN = XV + 0.25XV + 50 = 1.25XV + 50
possiamo ottenere la nuova borse media senza aggiornare tutti i valori ma applicando
la trasformazione lineare direttamente alla vecchia borsa, infatti:
x̄N = 1.25x̄V + 50 = 1.25 × 519.33 + 50 = 699.17.
Esercizio 6.4
La proprietà da utilizzare è la proprietà di mantenimento ed equidistribuzione del
totale:
k
P
xi fi = N x̄ =
i=1
k
P
x̄ fi
i=1
ovvero:
1. Se ai valori xi osservati sostituiamo la media aritmetica x̄ che li sintetizza tutti,
il totale di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il
totale.
2. Se il totale di X fosse diviso in parti uguali fra le N unità di U , a ciascuna
unità toccherebbe una quota di totale pari a x̄. Allora la media aritmetica
equidistribuisce il totale di X sulle N unità di U.
Verifichiamo che:
k
P
T otaleX
= x̄ =
x̄ fi
N
i=1
144 + · · · + 263
2438
= 203.17 = x̄ =
= 203.17
12
12
Esercizio 6.5
La proprietà da utilizzare è la proprietà di mantenimento ed equidistribuzione del
totale:
k
P
i=1
xi fi = N x̄ =
k
P
x̄ fi
i=1
ovvero:
1. Se ai valori xi osservati sostituiamo la media aritmetica x̄ che li sintetizza tutti,
il totale di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il
totale.
2. Se il totale di X fosse diviso in parti uguali fra le N unità di U , a ciascuna
unità toccherebbe una quota di totale pari a x̄. Allora la media aritmetica
equidistribuisce il totale di X sulle N unità di U.
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Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi
Avendo constatato che i giorni lavorativi sono stati 22 e che la produzione totale
è stata di 60 kg di offelle, verifichiamo che:
k
P
T otaleX
= x̄ =
x̄ fi
N
i=1
3 + ··· + 2
60
= 2.73 = x̄ =
= 2.73
22
22
Esercizio 6.6
Variabile statistica X = Kg di formaggio:
xi
46
47
48
51
54
fi
1
2
3
1
2
9
Moda
Media
Mediana
pi
0.11
0.22
0.34
0.11
0.22
1
Φi
0.11
0.33
0.67
0.78
1
Kg di formaggio
48
49
48
La modalità più frequente è 48 kg, circa il 34% delle aziende produce in questa
quantità, inoltre almeno il 50% delle aziende produce non più di 48kg che è un valore
molto vicino alla produzione media (49 kg): tutto ciò indica una certa simmetria
nella distribuzione.
Funzione basata sugli scarti quadratici:
k
P
2
(xi − valor medio) fi
i=1
Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza:
k
P
2
(xi − x0.5 ) fi = (48 − 48)2 + · · · + (48 − 48)2 = 87
i=1
k
P
2
(xi − moda) fi = (48 − 48)2 + · · · + (48 − 48)2 = 87
i=1
k
P
2
(xi − x̄) fi = (48 − 49)2 + · · · + (48 − 49)2 = 73.56
i=1
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5
è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la media aritmetica è il
valore medio che minimizza la funzione di perdita basata sugli scarti quadratici.
Esercizio 6.7
Variabile statistica X = Ore passate giocando all’aperto:
fi
2
3
3
4
12
xi
1
2
3
4
Moda
Media
Mediana
pi
0.17
0.25
0.25
0.33
1
Φi
0.17
0.42
0.67
1
Ore di gioco all’aperto
4
2.75
3
La modalità più frequente è 4 ore di gioco, circa il 33% bambini ne usufruisce,
inoltre almeno il 50% esce a giocare non più di 3 ore che è un valore non molto
lontano dal tempo medio trascorso all’aperto a giiocare: tutto ciò indica che non c’è
una forte simmetria nella distribuzione.
Funzione basata sugli scarti assoluti:
k
P
|xi − valor medio| fi
i=1
Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza:
k
P
|xi − moda| fi = |2 − 4| + · · · + |3 − 4| = 15
i=1
k
P
|xi − x0.5 | fi = |2 − 3| + · · · + |3 − 3| = 11
i=1
k
P
|xi − x̄| fi = |2 − 2.75| + · · · + |3 − 2.75| = 11.5
i=1
è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la mediana è il valore medio
che minimizza la funzione di perdita basata sugli scarti assoluti.
Esercizio 6.8
Variabile statistica X = Numero uova di struzzo:
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F. Mecatti, Statistica di base 6
Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi
xi
2
3
4
5
fi
1
3
4
2
10
pi
0.10
0.30
0.40
0.20
1
Φi
0.1
0.4
0.8
1
Numero uova di struzzo
4
3.7
4
Moda
Media
Mediana
La modalità più frequente è 4 uova, circa il 40% degli struzzi ne produce in questa quantità, inoltre almeno il 50% degli animali produce non più di 4 uova che è
un valore molto vicino alla produzione media (3.7 uova): tutto ciò indica una certa
simmetria nella distribuzione.
Funzione di perdita “drastica”:
lim
s→0
k
X
s
|xi − valor medio| fi
i=1
Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza:
xi
4
4
3
5
3
4
4
5
3
2
lim |xi − x0 |
s→0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
6
s
s
lim |xi − x̄|
s→0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
s
lim |xi − x0.5 |
s→0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
6
è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la moda è il valore medio che minimizza la funzione di perdita drastica. Ovviamente, in questo caso, la
mediana minimizza a sua volta la funzione di perdita ma solo perché il suo valore
coincide con quello della moda.
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7
Esercizio 6.9
Il valore medio che sostituito ai valori osservati non altera il totale di una distribuzione è la media aritmetica. Per calcolarla si possono utilizzare direttamente i dati
grezzi attribuendo a ciascuno frequenza unitaria:
x̄ =
k
P
i=1
xi fi =
3 + ··· + 2
= 3.65
20
Il numero totale di parole, dato dalla somma dei dati grezzi:
k
P
xi fi = 3 + · · · + 2 = 73
i=1
resta invariato se sostituiamo a ciascuno di essi la media aritmetica:
k
P
x̄ fi = 3.65 + · · · + 3.65 = 20 × 3.65 = 73
i=1
Esercizio 6.10
Variabile statistica X = Giorni necessari per il confezionamento di un abito da sposa:
xi
62
63
64
65
66
68
fi
1
1
2
2
1
2
9
da cui ricaviamo la variabile statistica Y = Velocità di confezionamento ( in vestiti
al giorno) delle sarte:
yi
0.01471
0.01515
0.01538
0.01562
0.01587
0.01613
fi
2
1
2
2
1
1
9
Per calcolare il valore medio della velocità di produzione che lasci inalterato il
numero di giorni impiegati in totale per terminare i nove vestiti devo utilizzare la
media armonica:
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Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi
9
N
=
= 0.015383
k f
P
585
i
i=1 yi
me tre la media aritmetica della velocità è pari a:
x̄ =
k
P
xi fi =
i=1
0.01471 × 2 + · · · + 0.01613 × 1
= 0.015397
20
Se ora si procede con il calcolo del tempo impiegato per produrre i nove abiti:
9
= 585, 06
media armonica=0.015383
9
= 584.53
media aritmetica=0.015397
si può notare che, al contrario della media aritmetica, la media armonica riproduce il valore iniziale dei giorni impiegati in totale per il confezionamento dei 9 abiti (essendo la piccola discrepanza esistente interamente dovuta ai limiti delle varie
approssimazioni successive).
Esercizio 6.11
1
V
2
F
3
V
4
F
5
F
6
V
7
V
8
V
9
V
10
V
Esercizio 6.12
Scegli la risposta (più) corretta
1. La moda x0 di un fenomeno quantitativo rende minima la seguente funzione
dei dati:
Pk
s
• lim i=1 |xi − x0 | fi
s→0
2. La funzione di perdita è una funzione dei dati che:
• formalizza la perdita di informazioni in cui si incorre sintetizzando l’intera
v.s. con un unico valor medio
3. La mediana x0.5 di un fenomeno quantitativo minimizza la seguente funzione
di perdita:
Pk
•
i=1 |xi − x0.5 | fi
4. La definizione di media armonica è:
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N
• Pk
fi
i=1 xi
5. La media aritmetica é anche media alla Chisini con invariante:
Pk
• Il totale:
i=1 xi fi
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