Appunti di Meccanica Quantistica
Nel 1897 Thomson scoprì l'elettrone ed elaborò il primo modello atomico della materia
(modello a panettone). In questo modello l'atomo veniva immaginato come una microscopica
sfera (carica positivamente) e gli elettroni distribuiti in essa come l'uvetta nel panettone.
Successivamente nel 1911 Rutherford scoprì il nucleo atomico ed elaborò il modello
planetario o nucleare, in cui tutta la carica positiva era confinata in una regione
(nucleo) molto più piccola dell'atomo e gli elettroni che orbitano attorno come tanti pianetini.
Il rapporto fra il raggio medio delle orbite elettroniche ( circa 10-10 m ) e le dimensioni del
nucleo ( circa 10-15 m) è enorme: circa 105.
Prendiamo in considerazione l’atomo più ‘’semplice’’ cioè quello dell’idrogeno e ragioniamo
in termini classici utilizzando il modello di Rutherord. La massa del nucleo di H è circa 2000
volte quella dell’elettrone per cui il CM del nostro sistema è praticamente nel nucleo, quindi
possiamo descrivere l’atomo dicendo che c’è un elettrone che ruota attorno al nucleo e fare a
meno della trattazione in termini di ‘’problema dei due corpi’’.
Poiché l’elettrone è carico elettricamente e si muove di moto accelerato nel campo elettrico
generato dal nucleo atomico, secondo la teoria classica esso dovrebbe irradiare energia sotto
forma di radiazione elettromagnetica. D’altra parte, sempre classicamente, si può
determinare il raggio dell’orbita imponendo che la forza coulombiana dev’essere compensata
dalla forza centrifuga. Si trova che il valore di questo raggio dipende dalla velocità con la
quale l’elettrone ruota attorno al nucleo, poiché l’elettrone irradia energia col passare del
tempo il raggio dell’orbita dovrebbe decrescere gradualmente fino a che non finisce sul
nucleo.
Dunque le dimensioni dell’atomo dovrebbero coincidere con quelle del nucleo. Ma questo è
sbagliato di un fattore 105 .
Questo discorso lo possiamo vedere meglio considerando l’hamiltoniano H del sistema che,
assumendo il nucleo puntiforme, è il seguente:
H = p2 /2 - e2 / r
dove:
p = quantità di moto dell’elettrone
= massa ridotta ( in questo caso coincide con quella dell’elettrone)
r = distanza elettrone-nucleo
e = carica elementare
Troviamo lo stato fondamentale del nostro sistema, cioè quello di minima energia, imponendo
semplicemente che l’elettrone sia fermo sul nucleo cioè
p = 0 e r 0
in questo stato l’energia del sistema tende a -∞, ma ciò significa che per estrarre l’elettrone
dall’atomo di H occorrerebbe un’energia ∞. Questo è in palese contraddizione col fatto
sperimentale che l’energia di estrazione è di circa 10 eV.
Autore: prof. Angelo Schillaci
