Formulario di fisica 2

Formulario di FISICA 2
Elementi di Calcolo vettoriale
1) Prodotto scalare
A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
LEGGE DI COULOMB
qq
1 qq0
F = k 20 u r =
ur
r
4πε 0 r 2
2) Prodotto vettoriale
i
j k
A × B = Ax Ay Az
Bx
By
Tab 1.1
Elettrone e
Protone p
Neutrone n
Bz
 dU dU dU 
3) ∇U = gradU = 
,
,

 dx dy dz 
dU = ∇U ⋅ ds
FLUSSO: φS (E) = E ⋅ S
dove: E campo di flusso,
S = nS in cui:
S è la superficie elem. attraversata dal flusso
n è la direzione normale alla superficie S
In generale: φS ( v) = ∫ v ⋅ ndS
Campo elettrostatico E
F
1 q
E= =
u
q0 4πε 0 r 2
Densità di carica:
dq
,
dτ
dove: ρ è la densità spaziale di carica,
dτ = dx ' dy ' dz ' è il volume
elementare di carica dq.
In tal caso:
q = ∫ ρ ( x ', y ', z ')dτ
a) Spaziale dq = ρ ( x ', y ', z ')dτ ⇒ ρ =
S
∂vx ∂v y ∂vz
+
+
∂x ∂y ∂z
Campo solenoidale se div v = 0,
TEOREMA DELLA DIVERGENZA
φS ( v) = ∫ v ⋅ ndS = ∫ div vdV
4) Divergenza di v: div v =
S
ô
ρ ( x, y, z )dxdydz
u
r2
dq
b) Superficiale dq = σ ( x ', y ', z ')d Σ ⇒ σ =
,
dΣ
dove: σ è la densità superficiale di
carica,
d Σ = dx ' dy ' è l’area della superficie infinitesima di carica dq.
q = ∫ σ ( x ', y ', z ')d Σ
Σ
In tal caso:
1
σ dΣ
E=
u
∫
4πε 0 Σ r 2
dq
c) Lineare dq = λ ( x ', y ', z ')dl ⇒ λ =
,
dl
dove: λ è la densità lineare di carica,
dl è il tratto infinitesimo di linea.
q = ∫ λ ( x ', y ', z ')dl
Σ
In tal caso:
λ dl
1
E=
u
∫
l
4πε 0 r 2
In caso di distribuzioni uniformi di carica
q = ρτ ,
q = σΣ ,
q = λl .
Alcuni esempi immediati:
E=
V
dove: V è il volume racchiuso dalla superficie S
5) ROTAZIONE (O ROTORE) DI V:
i
∂
rot v =
∂x
vx
j
∂
∂y
vy
k
se rot v = 0
∂
= ∇ × v , si dice "campo
∂z
irrotazionale "
vz
TEOREMA DI STOKES
Ñ∫ v ⋅ dl = ∫ rot v ⋅ ndS
S
6) Operatore di Laplace (o Laplaciano):
∂2
∂2
∂2
2
∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
In un CAMPO CONSERVATIVO si ha:
Ñ∫ v ⋅ dl = 0 ⇒ v = ∇U ,
Se il campo è solenoidale e conservativo:
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
div v = div ∇U = 2 + 2 + 2 =
∂x
∂y
∂z
= ∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ∇U = ∇ 2U = 0
Alcune proprietà: div ROTORE
div rot v = 0 e poichè
div w = ∇ ⋅ w
C2
Nm2
Carica (C)
Massa (Kg)
-19
-1.6022 ⋅10
9.1094 ⋅10-31
+1.6022 ⋅10-19 1.6726 ⋅10-27
0
1.6749 ⋅10-27
dove: ε 0 = 8.8542 ⋅10 −12
1
4πε 0
∫
τ
1
ρ dτ
u=
2
4πε 0
r
∫
τ
1) Disco sottile di raggio di raggio R e di carica
x

q 
uniforme q: E( x) = ±
1−
 ux
2 
2πε 0 R 
x2 + R2 
⇒
⇒ div rot v = ∇ ⋅ ∇ × v = 0 sempre
1
Definisco “Potenziale rispetto all’infinito di
un punto distante r” :
qq
∞
q
⇒ U (r ) = 0
Vr = V (r ) = ∫ E ⋅ ds =
r
4πε 0 r
4πε 0 r
2) Anello sottile di raggio a e di carica unif. q
P
E
Potenziale di un dipolo elettrico
q 1 1
+q
V ( P) =
 − 
4πε 0  r1 r2 
dove: r1= d(P,+q); r2= d(P,-q) -q
x
q
x
ux
2
4πε 0 (a + x 2 )3 / 2
3) Piani paralleli, indefiniti, uniformemente
carichi con densità superficiale uno +σ l’altro
-σ posti risp. a distanza dall’origine x1 e x2
tali che x1<x2.
• All’interno dei 2 piani, ossia per
σ
x1<x<x2 si ha: E = u x
ε0
• All’esterno, x< x1 opp. X>x2 ⇒ E = 0
E( x) =
X1
X2
Σ
Dato che E è conservativo la
Σ
Ñ∫ E ⋅ ds = 0 ,
 ∂V ∂V ∂V 
ovvero E = − grad V =  −
,−
,−

∂y
∂z 
 ∂x
Segue pertanto: ∇ × Å = 0
1
Legge di GAUSS: φS (E) = qinterne
ε0
ρ
In forma differenziale: div E = ∇ ⋅ Ε =
ε0
x
F = q0E
P r
CONDUTTORI.
Nei conduttori metallici le cariche sono libere
+ +
di muoversi e si dispongono all’esterno.
dq
++
+
+
q All’interno E=0
++ + +
q Il conduttore è tutto allo stesso potenziale la
superficie esterna è una sup. equipotenziale
σ
Quindi: E = u n dove un è perpendicolare alla
ε0
superficie e diretto all’esterno se la densità è
positiva, entrante se negativa.
1
dq
1
σ dΣ
Potenziale: V ( P) =
=
∫
∫
4πε 0 q r
4πε 0 Σ r
q
Capacità di un conduttore: C =
V
dove l1 è una curva
W1 = ∫ dW = q0 ∫ E ⋅ ds
l1
r2
Teorema di STOKES in un campo elettrico
Ñ∫ E ⋅ ds = ∫ rot E ⋅ nd Σ = ∫ ∇ × E ⋅ nd Σ
Lavoro della forza elettrica.
dW = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds
P
r1
l1
Il campo elettrico è conservativo, pertanto:
q q 1 q0 q 1
Wi , f = 0
−
4πε 0 ri 4πε 0 rf
Principio di conservazione dell’energia:
∆Ec + ∆E p = 0
1 2 1 2
mvB − mv A = q0VA − q0VB = U A − U B
2
2
1 2 1 2
mvB − mv A = q0 E( z B − z A )
2
2
1 2 1 2
q 1 1
mvB − mv A = q0
 − 
2
2
4πε 0  rA rB 
Teorema dell’energia cinetica:
CONDENSATORI.
R1
R1 R2
R2
R2 − R1
2πε 0 d
• Cilindrico: C =
ln( R2 / R1 )
d è la sovrapposizione dei 2 cilindri concentrici
S
• Piano: C = ε 0
h
dove h è la distanza tra le 2 armature
•
f
∆Ec = ( Ec ) f − ( Ec )i = q0 ∫ E ⋅ ds
i
Energia Potenziale e LAVORO
f
U f − U i = − q0 ∫ E ⋅ ds
i
DIFFERENZA DI POTENZIALE
f
V f − Vi = − ∫ E ⋅ ds , dove V si dice potenziale
i
elettrico. In forma locale: dU = qdV
2
Sferico: C = 4πε 0
d
CONDENSATORI IN PARALLELO
1
1
1
= +
R eq R1 R2
Ceq = C1 + C2
CONDENSATORI IN SERIE
Potenza: P = R1i12 + R2i22 =
1
1
1
= +
Ceq C1 C2
MATERIALE
Energia Elettrostatica.
1
1V 1
U e = CV 2 =
= ε 0 E 2 Sh
2
2q 2
U 1
= ε0 E 2
Sh 2
ue =
CORRENTE ELETTRICA.
Intensità di corrente i =
dq
dt
In condizioni stazionarie i =
q
t
Si può anche osservare che:
i = J ⋅ ds dove J è il campo di flusso della
∫
s
corrente, s è la superficie della sezione di filo
In condizioni di S=cost, J=cost si ha che i = JS , e
inoltre: J = e ⋅ n ⋅ vd dove n è il numero delle
cariche sollecitate dal campo
Equazione di continuità in regime stazionario:
∇⋅J = 0
Legge di OHM V=R⋅i
RESISTENZA: R =
h
ρ [Ω]
S
1.59 ⋅ 10-8
1.67 ⋅ 10-8
2.35 ⋅ 10-8
2.65 ⋅ 10-8
5.65 ⋅ 10-8
5.92 ⋅ 10-8
6.84 ⋅ 10-8
9.71 ⋅ 10-8
10.6 ⋅ 10-8
11.0 ⋅ 10-8
12.5 ⋅ 10-8
20.7 ⋅ 10-8
98.4 ⋅ 10-8
1.38 ⋅ 10-5
0.46
2.30 ⋅ 103
2 ⋅ 105
1010÷1014
2 ⋅ 1015
1016÷1017
4.1 ⋅ 10-3
6.8 ⋅ 10-3
4.0 ⋅ 10-3
4.3 ⋅ 10-3
4.5 ⋅ 10-3
4.2 ⋅ 10-3
6.9 ⋅ 10-3
6.5 ⋅ 10-3
3.9 ⋅ 10-3
4.7 ⋅ 10-3
3.4 ⋅ 10-3
-0.5 ⋅ 10-3
-48 ⋅ 10-3
-75 ⋅ 10-3
I Dielettrici
1) Costante dielettrica assoluta ε = kε 0
RS
Resistività ρ =
[Ω ⋅ m]
h
dove κ è la costante dielettrica relativa;
2) Suscettività elettrica χ = κ − 1
3) Momento di dipolo o polarizzazione
Dove: h è la lunghezza del filo
S è la sezione del filo
Potenza P = Ri 2 = ρ
ρ 20 [ Ω ⋅ m ] Coeff. α °C −1 
Argento
Rame
Oro
Alluminio
Tungsteno
Zinco
Nichel
Ferro
Platino
Stagno
Niobio
Piombo
Mercurio
Carbonio(grafite)
Germanio
Silicio
Acqua
Vetro
Zolfo
Quarzo fuso
Densità di energia elettrostatica
V2 V2
1
+
=V 2
R1 R2
R eq
h 2
i [W ]
s
dielettrica P =
Energia dissipata nel tempo t
dP
= αE . Si dicono
dτ
dielettrici lineari quelli in cui vale:
W = Pt = Ri 2t
P = ε 0 (κ − 1)E = ε 0 χE
Dipendenza della resistività dalla temperatura
4) Il campo elettrico risultante*: E R =
ρ = ρ 20 (1 + α∆t )
dove ρ 20 è la resistività del conduttore a 20°C
∆t = t − 20°C diff. di temperatura
α °C −1  è il coefficiente termico di resistività
E0
κ
dq P
= −∇ ⋅ P
dτ
Legge di Gauss per i materiali dielettrici
1) Induzione dielettrica D = ε 0 E + P ;
∇⋅D= ρ
Densità spaziale di carica: ρ P =
Resistenza o resistori in serie
R eq = R1 + R2
2)
Potenza: P = P1 + P2 = R1i 2 + R2i 2
∫D⋅u
n
d∑=q
3) D è solenoidale, non è conservativo;
Resistenza o resistori in parallelo
3
Def.: Momento magnetico della spira m = iSu n
Pertanto (*) diventa: M = m × B ovvero
4) Nei dielettrici lineari risulta:
χ
κ −1
P=
D=
D
κ
χ +1
M = ∫ dM = m × B
Magnetismo
Effetto Hall
Legge di Coulomb per l’interazione magnetica
mm
m1, m2 masse magnetiche
F = k m 1 2 2 dove:
k m cost. magnetica
r
Il campo magnetico si indica con B, la sua unità di
misura è il Tesla (T); altre unità di misura sono:
il Gauss (G): 1G = 10 µT ;
il Weber (Wb): 1Wb = 1Tm2 = 1Vs
Nel M. il flusso è sempre
z
sx
dx
Sezione
Pianta
Sia dato un conduttore di sezione rettangolare a⋅b. Si
voglia determinare il n° dei portatori di carica positivi.
La densità di corrente vale:
∫ B ⋅u d ∑ = 0
n
e quindi… divB = ∇ ⋅ B = 0 il campo magnetico
è solenoidale.
j=
i
u x = nev d
ab
Forza di Lorentz
F = qv × B la velocità cambia direzione ma non
La forza di Lorentz agente su ogni elettrone è:
cambia in modulo. L’unica accelerazione
possibile è quella centripeta.
Moto di q in un campo uniforme B
Su ogni e agisce una forza non elettrostatica che
origina un campo elettromotore EH
F = ev d × B
F = qvB
mv
v qB

⇒ω = =

v2 ⇒ r =
qB
r m
F = mac = m

r
2π 2πm
Da cui il periodo T =
=
ω
qB
N.B.:
E+ = EHALL =
F
j
= vd × B = × B
e
ne
la cui direzione e verso è la stessa della F+
D’altra parte si origina un campo E, dovuto alla
concentrazione di cariche positive sul lato sx e
negative sul lato dx del conduttore. Pertanto in
equilibrio: E+EH=0. La tensione di Hall, ossia la
d.d.p. tra 2 punti P, Q delle facce laterali, sarà :
-q negativa… ω concorde a B
+q positiva… ω discorde a B
Q
VH = ε H = ∫ E H ⋅ dz = E H ⋅ PQ = EH a
II legge di Laplace
P
Se considero il moto di 1 elettrone all’interno di
un conduttore Fi = − ev d × B , per N elettroni
ossia:
VHALL = EH a = a v d B =
presenti dentro il volume elementare Σds
dF = NFi = (nΣds )Fi
dove n: densità elettroni
aj
iB
Ba VA − VB
B=
=
ne
neb neρ
d
l’ultima uguaglianza si ottiene ponendo
dF = −(Σds )nev d × B ma j = n(−e) v d
dF = Σdsj × B
Nel caso di un filo conduttore si ha i = Σj
i=
V A − VB
d
d
,e R=ρ =ρ
R
ab
Σ
da cui il numero dei portatori di carica positivi è
dF = ds i × B = i ds × B ,
n=
in quanto i e ds sono concordi
jaB
iaB
=
eV H eSV H
Al solito vale i = jS, dove S = ab.
Il numero dei portatori di carica negativi è uguale
a quello dei positivi, per la neutralità globale del
sistema.
Lungo un tratto di filo AB: i = costante
F = i ∫ ds × B
B
A
Conduttore rettilineo l e campo costante B
B
F = i ∫ ds × B = il × B
A
F = ilB sin ϑ
Momento meccanico su una spira
M = iSB sin ϑ (*)
B
dove S = ab = area racchiusa dalla spira
un
4
θ
Campo magnetico prodotto da una corrente
-Solenoide toroidale
µ0=4π10-7 H/m
µ0 Ni
B=
2π R
Forza tra 2 conduttori percorsi da corrente
-Fili rettilinei paralleli
ì i ds × u r
1° legge di Laplace dB = 0
4π r 2
ì i ds × u r
Legge di Ampere-Laplace: B = 0 ∫
4π
r2
Campo magnetico prodotto da una carica in
moto
Ricordando che: J = ids = n ⋅ q ⋅ vd
µ qv × u r
Per un volume elementare: dB = 0
ndτ
4π r 2
µ qv × u r
Per 1 sola carica: B = 0
= ε 0µ0 v × E
4π r 2
1
1
Da cui posto c 2 =
⇒ B = 2 v×E
c
ε 0 µ0
Correnti equiverse FORZA ATTRATTIVA
Correnti discordi FORZA REPULSIVA
F1,2 = i2 B1d =
µ0 i1i2 d
2π R
i1
dove d è la lunghezza di un tratto del filo 2
Per unità di lungh. d=1m: F1,2 = i2 B1 =
i2
R
µ0 i1i2
2π R
Legge di Ampere
Sia dato un filo circondato da una curva Γchiusa
Ñ∫ B ⋅ ds = ± µ i
0
8
Il segno è + se il verso su Γ è concorde con il verso di
rotazione della vite dx, il cui verso di avvitamento è
quello della corrente i. Viceversa sarà negativo.
dove c è la velocità della luce c=3*10 m/s
Circuiti particolari
-Filo rettilineo di lunghezza 2a
ì i
ì 0 ia
B = 0 cos ϑa =
2πR
2πR R 2 + a 2
Se la curva chiusa Γ non circonda il filo allora:
Ñ∫ B ⋅ ds = 0
In forma locale si scriverà : ∇ × B = µ 0 j
dove R è la distanza del punto P dall’asse del filo
e θa l’angolo come in figura:
In caso di correnti stazionarie
θa
∇⋅ j = 0
∇⋅∇×B = 0
Mutua induzione
2a
Dati 2 circuiti i cui rispettivi flussi magnetici, dovuti al
passaggio di corrente risp. i1 e i2, sono concatenati con i
circuiti reciproci:
P
Φ12 = M 12i1
Φ 21 = M 21i2
-Filo rettilineo infinito (legge di Biot-Savart)
ì i
cos θa=1 ⇒ B = 0 uφ
2πR
-Spira circolare
2
ì 0iR 2
ì iR
ì m
0
B( x ) =
un =
un = 0 3
3
2
2 3/2
2r
2π r
2(x + R )
M dipende da fattori geometrici e dalle proprietà
magnetiche del mezzo
Autoinduzione
In tal caso i circuiti sono coincidenti: 1≡2
Φ = Mi dove M è il coeff di autoinduzione.
Equazioni di Maxwell per i campi elettrici
e magnetici costanti
ρ
(1) ∇ ⋅ E =
(2) ∇ × E = 0
ε0
(3) ∇ ⋅ B = 0
(4) ∇ × B = µ 0 j
dove: m = iΣu n = iπR 2u n ed r 2 = x 2 + R 2
B(0) = B max =
R
x
P
µ 0i
un
2R
Forza elettromotrice del generatore G
ε = Rt i = ( R + r )i
B
r
coeff. di mutua
M 12 = M 21 = M induttanza
dove r è la resistenza interna del generatore
VA − VB = Ri = ε − ri
-Solenoide
Detto: N = numero tot. di spire
n = N/d densità lineare delle spire
r
B
B0 = µ0 ni
dove A e B sono i poli + e – del generatore G
A circuito aperto i = 0 ⇒ VA − VB = ε
d
A circuito chiuso i ≠ 0
⇒ VA − VB = ε − ri
Quindi ε è la d.d.p. misurata ai capi del generatore a
circuito aperto.
d + 4r 2
se d >> r ⇒ B0 = µ 0 ni
2
B0 al centro del solenoide
d
5
i
+i
Γ
Se B=cost. allora ∂B = 0 e quindi ∇ × E = 0 ossia E è
∂t
un campo conservativo
Legge di Faraday
Se varia il Φ (B ) concatenato con un circuito, compare
nel circuito una f.e.m. indotta
Generatore di corrente G
d Φ ( B)
εi = −
dt
Φ (B ) = ∫ B ⋅ u n d Σ = BΣ cos θ = BΣ cos ω t
Σ
d Φ (B )
εi = −
= ω BΣ sin ω t
dt
da cui ε MAX = ω BΣ
Se R è la resistenza del circuito:
ε
1 d Φ (B )
i= i =−
R
R dt
A circuito aperto (R=∞) e quindi se mediante uno
strumento viene misurato il voltaggio ossia
d Φ (B) come nel caso del generatore G
V = εi = −
dt
ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = −
i
d Φ(B)
d
=−
dt
dt
∫ B ⋅ dS
S
B
La potenza meccanica
P = M ω = (mB sin θ )ω = iω BΣ sin ω t =
ε i2
R
Autoinduzione
Quando varia i in un circuito, varia il Φ( B) concatenato e
quindi compare una f.e.m ε L autoindotta:
εL = −
∂Φ ( B )
d
= − ( Li )
∂t
dt
dove: L = coeff. di autoinduzione o induttanza
N.B.: L si misura in Henry [H]. In genere L=cost.
di
ε L = − L ; tale ε L si oppone alla f.e.m ε del generatore.
dt
Circuiti RL. In tali circuiti sono presenti un resistore R
e un’induttanza complessiva L. Supponiamo che si
chiuda tale circuito, per la legge di Ohm avremo:
di
ε + ε L = Ri ⇒ ε = L + Ri ⇒ ε dt = Ldi + Ridt
dt
(ε − Ri) dt = Ldi che separando le variabili e integrando
i=
d Φ(B)
dt
dove : τ
Se B è uniforme, oltre che costante nel tempo, il flusso
concatenato è costante e ε i = 0 .
=
R
t
− 
− t 
ε 
ε 
τ
1 − e L  = 1 − e 
R
 R

L
= costante di tempo del circuito RL
R
t
Pertanto: ε L = − L di = −ε e τ dove iL = ε L = − ε e−τ
dt
R
R
Se il circuito è aperto:
t
−
ε −t
dove τ ' = L / R '
i (t ) = e τ ' = i0 e τ '
R
R’ = resistenza del mezzo (es.: aria): R’ >> R
di
ε  1  − t  R'  − t
ε L (t ) = − L = − ( R 'τ ')  −  e τ ' =  ε  e τ '
dt
R τ '
R 
R
'
Se t=0 allora ε L (0) = ε >> ε ⇒ d.d.p. elevata ⇒
R
Scintilla nell’interruttore. Pertanto la corrente i = ε L è
−
2) B variabile nel tempo.
Ad originare il campo elettromotore non può essere la
forza di Lorentz (v=0). Dovrà esserci una forza F
indotta che muove gli elettroni di conduzione e genera
la corrente indotta. La forza che agisce su una carica –e
F = −e ( E + v × B )
quindi B variabile da luogo ad E indotto, e poiché
∂B
ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = − ∫
⋅ dS
i
S ∂t
per il teorema di Stokes
Ñ∫ E ⋅ dl = ∫ ∇× E ⋅ ndS
t
L
S
da cui segue: ∇ × E = −
un
v×B
ε i2
La potenza elettrica indotta P = ε i i = Ri =
R
F
= v×B
−e
i
B
v
2
1) Moto di una spira in B = costante.
ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = Ñ∫ v × B ⋅ dl = −
v×B
B
ε ω BΣ sin ω t
i= i =
R
R
Sugli elettroni di conduzione della spira agisce la forza
di Lorentz, per cui il campo elettromotore indotto:
Si può mostrare che:
v
L’intensità sarà :
il segno meno è indice del fatto che ε si oppone alla
variazione di flusso.
Se d Φ (B) > 0 ⇒ cioè Φ( B) aumenta (avvicinando il
dt
magnete), per cui si origina una ε i , e quindi una
corrente autoindotta di verso tale da generare un flusso
secondario, che si oppone all’aumento del flusso Φ( B)
Questa è la legge di Lenz.
Distinguiamo i casi per cui d Φ (B) ≠ 0 :
dt
1) Il conduttore si muove in una regione dove B
è costante;
2) B non è costante nel tempo anche se il
conduttore è fermo;
3) Una qualsiasi combinazione dei 2 casi
precedenti.
Ei =
ω
detta extracorrente di apertura.
∂B
∂t
6
R'
θ
Considerazioni ENERGETICHE nei circuiti RL
Poiché ε = Ri + L di , Potenza P = ε i = Ri 2 + Li di
dt
dt
Lavoro prodotto ε idt = Ri 2 dt + Li di
Possiamo osservare che ε idt = ε dq è il lavoro
compiuto dal generatore; il termine Ri 2 dt rappresenta il
lavoro speso per far circolare la corrente (effetto Joule),
mentre Li di il lavoro speso contro la f.e.m. di
autoinduzione ε L = − Ldi / dt per far aumentare la
corrente da i a i+di. Quando la corrente ha raggiunto il
valore di regime, il generatore continua a fornire la
potenza ε i∞ = Ri∞2 necessaria per mantenere una
corrente costante in un circuito resistivo (con resistenza
R). Nell’intervallo di tempo in cui la corrente passa da
0 al valore i, il generatore oltre a spendere il lavoro per
l’effetto Joule deve spendere contro ε L:
Corrente di spostamento:
Legge di Ampere-Maxwell.
In forma locale: ∇ × B = µ 0 jtot = µ 0 ( j + js )
E
dove js = ε 0 ∂ = densità di corrente di spostamento
∂t
In forma integrale:
∂E 

Ñ∫ B ⋅ dl = µ0 ∫S jtot ⋅ dS = µ0 ∫S  j + ε 0 ∂t  ⋅ dS =
= µ0 (i + i s ) = µ0 i tot
dove is = js ⋅ dS = ε 0 ∂E ⋅ dS = ε 0 ∂φS (E)
∫S
∫S ∂t
∂t
Concludendo un campo magnetico variabile nel tempo
produce una variazione del campo magnetico e
viceversa:
∂B
→Å
∂t
∂E
→B
∂t
legge di Faraday
legge di Ampere-Maxwell
i
WL = ∫ Lidi = 12 Li 2
0
che dipende solo dagli stati iniziale e finale. Possiamo
definire l’energia intrinseca della corrente U L = 12 Li 2
la cui variazione dà il lavoro fatto dal generatore contro
la f.e.m. di autoinduzione. Quando si apre il circuito sul
resistore viene speso il lavoro:
∞
ε2 ∞
1 ε2 1
WR = ∫ Ri 2dt = R ' 2 ∫ e −2 R 't / L dt = L 2 = Li∞2
0
R 0
2 R
2
Possiamo concludere che l’energia immagazzinata
nell’induttanza WL viene restituita attraverso R quando
si riapre il circuito.
Equazioni di Maxwell per i campi elettrici
e magnetici variabili
ρ
∂B
(1) ∇ ⋅ E =
(2) ∇ × E = −
ε0
∂t
∂Å
(4) ∇ × B = µ0 j + µ0ε 0
(3) ∇ ⋅ B = 0
∂t
Energia magnetica per un solenoide
u L = 12 L′i 2 [J/m3]
Ai campi E e B è associata la densità di energia
elettromagnetica (J/m3)
2
dove L’=induttanza x unità di volume L ' = L = µ 0 n Sd
V
V
S = sezione del solenoide
d = lunghezza del solenoide
n = n° di spire x unità di volume
u L = µ0 n i =
2 2
1
2
1
2 µ0
u = 12 ε 0 E 2 + 21µ0 B 2
In assenza di carica ρ = 0 j = 0 le eq. diventano:
B02
µ ni =
2 µ0
2
0
2 2
poiché B0 = µ 0 ni al centro del solenoide
(3) ∇ ⋅ B = 0
(4) ∇ × B = µ 0ε 0
∂Å
∂t
1. Resistore R
ε0
cos ω t = i0 cos ω t
R
VR (t ) = Ri(t ) = Ri0 cos ω t = V0 R cos ω t
i (t ) =
Mutua induzione
Nel caso di circuiti concatenati abbiamo definito
φ12 φ 21
=
come coeff. di mutua induzione.
i1
i2
La corrente e la f.e.m sono in fase
2. Induttore L
La ε 1i indotta nel circuito 1 dovuta alla variazione di i2 e
alla conseguente variazione del flusso φ21 concatenato
col circuito 1 è ε1i = −
(2) ∇ × E = −
Circuiti a corrente alternata ε (t ) = ε 0 cos ω t
B02
dτ
τ 2µ
0
UL = ∫
M=
∂B
∂t
(1) ∇ ⋅ E = 0
Vale la relazione ε = Ri + L
dφ21
di
= −M 2 .
dt
dt
di
e poiché R=0 ⇒
dt
i (t ) = i0 cos ω t ,
VL (t ) = L didt = −ω Li0 sin ω t = ω Li0 cos (ωt + π 2 )
Anche se nel circuito 1 non c’è una f.e.m. propria,
compare una i1, dovuta alla corrente i2 che varia nel
circuito 2 tramite il termine di accoppiamento M.
La corrente è in ritardo sulla f.e.m diπ/2
Reattanza dell’induttore = ωL
7
Se invece ε 0 ≠ 0 la soluzione generale della (2) sarà
3. Condensatore
C = q / ε (t ) ⇒ q(t ) = Cε 0 cos ω t
dq (t )
i (t ) =
= ω Cε 0 cos (ω t + π / 2 )
dt
IG2 = {c1 y1 (t ) + c2 y2 (t ) + y (t ) / c1 , c2 ∈ R}
se λ ≠ ±iω ⇒ γ ≠ 0 ⇒ y ( x ) = c3 cos ω t : c3 ∈ R
se λ = ±iω ⇒ γ = 0 ⇒ y ( x ) = (c3t + c4 ) cos ω t : c3 , c4 ∈ R
la corrente è in anticipo sulla f.e.m.
SE i (t ) = i0 cos ω t
Potenza nei circuiti RLC serie
V
i
Detti Veff = 0
e ieff = 0 si definisce
2
2
1
Potenza media P = Veff ieff cos φ = V0 i0 cos φ
2
cosφ è detto fattore di potenza
i0
cos (ω t − π / 2 )
ωC
VC (t ) =
Reattanza del condensatore = 1/ω
ωC
L
Circuito RLC serie
i (t ) = i0 cos ω t
R
φ
L+C
V0
V (t ) = V0 cos (ω t + φ )
2
1 
1

2
Se cos φ = 1 ⇒  ω L −
 = 0⇒ω =
ωC 
LC

C
V0 = V02R + (V0 L − V0C ) = R 2 + (ω L − 1 ω C ) i0
2
2
Questo condizione si verifica solo in circuiti
prevalentemente resistivi o in condizione di
risonanza. In tal caso il carico resistivo:
V0 = z0i0
dove z 0 è l'impedenza della serie
1
ωL −
V
R
ωC
tan φ =
e
cos φ = 0 R =
R
V0
z0
P = ieff Veff = 12 i0V0
Onde piane
E ( x, t ) = Em sin(kx − ω t )
Si ricorda che ω = 2πν
R
Definendo: γ =
,
2L
ω0 =
B( x , t ) = Bm sin(kx − ω t )
B
1
LC
E e B sono in fase e
perpendicolari tra loro
Per tali circuiti vale l’equazione differenziale:
(2)
DETTI:
ω = 2πν = pulsazione o frequenza angolare
2π
= n° d’onda
k=
λ
ω
= c velocità della luce
k
risulta Em = ω = c e inoltre c = 1 = 3 ⋅108 m / s
che nel caso in cui è assente la f.e.m. ( ε 0 = 0 )
d 2q
dq q
+ R + = 0 (1) a cui è associata l’equazione
dt 2
dt C
L
caratteristica
Lλ 2 + Rλ + 1/ C = 0
soluzioni sono:
λ=−
le
cui
R
1
R2
±i
−
= −γ ± i γ 2 − ω 02
2L
LC 4 L
{
= {( A + Bt )e
}
/ A, B ∈ R}
se λ1 ≠ λ2 ⇒ IG1 = Ae− λ1t + Be − λ2t / A, B ∈ R
se λ1 = λ2 ⇒ IG1
− λ1t
Bm
poiché B = E / c = E µ0ε 0 risulta…
γ 2 > ω 02 ⇒ R 2 > 4 L / C
i (t ) = e−γ t ( Aet
b)
γ 2 −ω02
+ Be − t
µ0 ε 0
k
Vettore di Poynting
1
1
S=
E × B in modulo S =
EB [W/m2]
µ0
µ0
PERTANTO:
Smorzamento forte
a)
γ 2 −ω02
S=
)
Smorzamento critico
γ = ω 02 ⇒ R 2 = 4 L / C i (t ) = e−γ t ( A + Bt )
1 2 c 2
E =
B
µ0c
µ0
la densità di energia elettrica e magnetica:
uE = 12 ε 0 E 2
uB = 21µ0 B 2 utot = uB + uE
2
c)
E
delevata
d 2q
dq q
ε 0 cos ω t = L 2 + R
+
dt
dt C
Smorzamento debole
γ < ω 02 ⇒ R 2 < 4 L / C
2
I = S medio =
i (t ) = De −γ t sin(ω t + φ ) , ω = ω02 − γ 2
L’intensità:
=
Resistenza critica Rc = 2 L / C
8
1 2
1
E =
Em2 =
µ 0c
2 µ 0c
1
1
Em Bm =
Eeff Beff
2µ0
µ0
Inoltre…
Legge di spostamento di Wien
λMAX = 2898 ⋅ T −1µ m
(T in °K)
λMAX è la lunghezza d’onda a cui si ha il massimo
2
Iθ  Eθ 
=   ⇒ Iθ = 4 I 0 cos 2 β
I 0  E0 
( Iθ )MAX = 4 I 0

⇒

 π dx 
2 πd
sin θ  = 4 I0 cos 2 

 Iθ = 4 I0 cos 
 λ

 λL 

NB: nota la lunghezza d’onda nel vuoto λ0 è
dell’intensità della radiazione emessa
Riflessione e rifrazione
κ = direzione (d’incidenza, di riflessione,ecc…)
La velocità di propagazione nel mezzo:
λν
1 = v1
2π ω
κ1 =
=
λ1 v1
λ2ν = v2
2π ω
e κ2 =
=
λ2 v2
λ1 v1
=
λ2 v2
⇒
possibile determinare la lunghezza d’onda nel
λ0
.
n
Diffrazione di FRAUNHOFER
mezzo λ =
κ 1 v2
=
κ 2 v1
e
Def.: si chiama “indice di rifrazione rispetto al
vuoto” – e si indica n – il rapporto n =
MIN
MAX
c
vmezzo
sin α
 sin α 
Eθ = Em
⇒ Iθ = I m 

α
 α 
MIN
m=1,2,…
α = mπ
MAX α = (2m + 1)π / 2
m=1,2,…
φ π
CMQ.: α = = a sin θ
2 λ
 f tan θ sx = ∆xsx
Geometricamente risulta: 
 f tan θ dx = ∆xdx
2
III legge (legge di Snell): n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
c
e
v1
n2 =
c
v2
Nel passaggio vuoto-mezzo
sin θ vuoto c c
=
= n2
sin θ 2
c v2
nacqua=1.33;
naria≈1
Interferenza
MAX d sin θ = mλ
MIN
d sin θ = (2m + 1)λ / 2
L
Il passo fra 2 max ∆x = λ
d
m=1,2,…
m=1,2,…
L’intensità delle onde di diffrazione
I legge: le onde riflesse e trasmesse giacciono
nello stesso piano di quello incidente
II legge: θ i = θ r
dove: n1 =
d sin θ = mλ
d sin θ = (2m + 1)λ / 2
P
r1
d
Intensità le leggi del campo E relative
ai due raggi r1 e r2 sono
E1 = E0 sin ω t , E2 = E0 sin(ω t + φ )
∆xsx
xa
r2
∆xdx
θ
f
L
L
Specchi sferici
Equazione degli specchi sferici
1 1
2
− =−
p q
R
Lenti sottili
Equazione delle lenti sottili
1 1
1 1 1
1
+ =
dove: = (n − 1)  − 
p q f
f
 r1 r2 
essendo r1 e r2 i raggi di curvatura dei diottri
ed n l’indice di rifrazione della lente
2π d
sin θ
λ
E = E1 + E2 = Eθ sin(ω t + β )
φ πd
dove: β = =
sin θ
2 λ
Eθ = 2Ε 0 cos β ⇒ ( Eθ =0 ) MAX = 2Ε 0
1
1
E02 ⇒ I MAX =
4 E02 = 4 I 0
Poiché I 0 =
2 µ0c
2 µ0c
dove: φ =
(vettore di Poynting)
I MAX = 4 I 0
9