I PRINCIPI
DELLA
RELATIVITA’ GENERALE
Il principio di equivalenza
Dall’ analisi di esperimenti ideali Einstein giunge a formulare uno dei principi fondamentali che prende
il nome di principio di equivalenza. Il principio di equivalenza dice questo:
In una zona limitata dello spazio- tempo è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento in
modo da simulare l’ esistenza di un dato campo gravitazionale uniforme od, al contrario, in modo da
eliminare l’ effetto di una Forza di gravità costante.
Principio di Relatività generale
Secondo Einstein, non c’ è alcuna regione convincente per la quale i sistemi di riferimento inerziali
debbano essere “privilegiati” rispetto a tutti gli altri sistemi di riferimento . Tutti i sistemi di riferimento
devono avere la stessa dignità : in fin dei conti, ciò che avviene in un sistema di riferimento inerziale in
cui non agiscono forze avviene, in modo indistinguibile, in un sistema di riferimento che è in caduta libera
all’ interno di un campo gravitazionale.
Tutto ciò che avviene in un sistema inerziale in presenza della gravità è identico a ciò che avviene in
un sistema di riferimento accelerato.
Questo porta ad enunciare il Principio di relatività generale secondo cui:
La leggi di Fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento. Introducendo questo
principio,Einstein superò il primo della relatività ristretta, che afferma che le leggi della fisica hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Inoltre, come conseguenza del principio di relatività
generale anche l’ assioma sulla costanza della velocità della luce deve essere abbandonato. Infatti:
Se in un dato sistema di riferimento inerziale ( per esempio in un’ astronave non accelerata) , la luce si
propaga in linea retta con un vettore velocità costante, In un secondo sistema di riferimento
accelerato rispetto al primo ( per esmpio in un’ astronave con i motori accesi) la traiettoria della luce
risulta curva.
La Relatività generale
La generalizzazione della teoria della relatività a sistemi di riferimento non- inerziali, è nota come teoria
della relatività generale. Alla base della teoria generale della relatività sta il principio di equivalenza: “ Un
campo gravitazionale omogeneo equivale completamente ad un sistema di riferimento uniformemente
accelerato”. (PRINCIPIO DI EQUIVALENZA). Questo principio nasce in meccanica newtoniana dell’
identità apparente esistente tra massa gravitazionale e massa inerziale. In un campo gravitazionale
uniforme tutti gli oggetti cadono con la stessa accelerazione g indipendente dalle loro masse, poiché la
forza gravitazionale è proporzionale alla massa (gravitazionalòe) : P = mg, mentre l’ accelerazione varia
inversamente con la massa (inerziale) : a= F/m; a= F/(P/g) Nessun esperimento di meccanica può essere
effettuato, dato la capsula per distinguere se la capsula per distinguere se la capsula è in realtà accelerata
nello spazio oppure se è a riposo( od in moto a velocità uniforme), in presenza di un campo gravitazionale
uniforme g = -a. Se degli oggetti un’ accelerazione g = -a. Se una persona sale su una bilancia, si leggerà il
proprio peso di modulo m∙a = m∙g. Einstein suppose che il principio di equivalenza si applica a tutti i
fenomeni fisici e non solo in meccanica. In realtà suppone reale un massimo tipo di esperimento potesse
distinguere in modo uniformemente accelerato dalla presenza di un campo gravitazionale. Una
conseguenza del principio di equivalenza – la deflessione di un fascio di luce in un campo gravitazionale- fu
una delle prime verifiche sperimentali. In una regione senza campo gravitazionale, un fascio di luce viaggia
lungo un’ unica retta a velocità c. Il principio di equivalenza ci dice che una regione senza campo
gravitazionale esiste solo in cuna capsula in caduta libera. Poiché la capsula sta accelerando, la distanza da
essa percorsa in ogni intervallo di tempo aumenta col tempo. Il percorso del fascio di luce è quindi una
parabola secondo la traiettoria derivante dalla composizione dei movimenti. In accordo con il principio di
equivalenza, non c’è nuovo di distinguere tra una capsula accelerata ed una che si muove con velocità
uniforme in un campo gravitazionale uniforme, come la navicella in orbita attorno alla terra. La luce si
incurva per l’ attrazione gravitazionale del Sole come nell’ esperimento di Eddington. Per esempio, vicino
alla superficie della Terra, la luce cadrà con un’ accelerazione di 9,81 m/s2. Una seconda predizione della
teoria di Einstein riguarda la valutazione di tale caduta su una distanza di 3000 Km, che la luce cadrà con
un’ accelerazione di 9,81 m/s2. Una seconda predizione della teoria di Einstein riguarda la valutazione di
tale caduta su una distanza di 3000Km, che la luce attraversa 0,01 s, ed un fascio di luce cade per circa
0,5 mm. Una terza predizione della relatività generale riguarda la varazione degli intervalli di tempo e
della frequenza della luce in un campo gravitazionale. Si è trovato che l’ energia potenziale
gravitazionale tra due masse M e m a distanza s è : U = (-G∙M∙m)/r, dove G è la costante gravitazionale
universale ed il punto zero dell’ energia potenziale è stato scelto per una separazione infinita delle
masse. L’ energia potenziale per unità di massa vicino ad una massa M è potenziale gravitazionale φ:φ =
(-G∙M)/r. Le dimensioni del campo gravitazionale sono g =(G∙M)/r2 ; g è m/s2. Se Δt1 è un intervallo di
tempo tra eventi misurato da un orologio dove il potenziale gravitazionale è φ1 e Δt2 è l’ intervallo tra gli
stessi due eventi misurato da un orologio dove il potenziale gravitazionale è φ2, è (Δt2 – Δt2)/Δt = 1/c2∙(φ2φ1).
Concl. 1 : Un orologio in una regione con basso potenziale gravitazionale andrà quindi più lentamente di
un orologio in una regione con potenziale maggiore.
Concl. 2 : Data f1 = 1/t1, ede un atomo in vibrazione può essere considerato come un orologio, la
frequenza di vibrazione di un atomo in una regione di basso potenziale, come vicino al Sole, sarà minore
della frequenza di vibrazione dello stesso atomo sulla Terra. Questo è detto spostamento gravitazionale
verso il rosso.
Buchi neri
In accordo con la teoria della relatività generale, se la densità come una stella è grande abbastanza , la
sua attrazione gravitazionale sarà così grande che , una volta superato un raggio critico, nulla potrà
uscirne, neanche la luce o qualsiasi altra luce elettromagnetica. Come a volte accade in fisica, un calcolo
semplice ed eseguito fornisce i risultati corretti fra la massa ed il raggio critico di un buco nero. Nella
meccanica newtoniana, la velocità necessaria ad una particella per sfuggire dalla superficie di un pianeta
o di una stella di massa M e raggio R: vf = √(2∙G∙M)/R. Se si pone la velocità di fuga uguale alla velocità
della luce e si risolve rispetto al raggio, si ottiene il raggio critico Rs detto raggio di Schwarzschild:
Rs =(2∙G∙M)/c2
ESERCIZI GENERALI SU RELATIVITA’ GENERALE
Applicazione n° 1
Sappiamo che la velocità di fuga da un corpo celeste di massa M e raggio R è v = √(2∙G∙m)/R . Se la
velocità di fuga è uguale alla velocità della luce, il corpo diventa un buco nero.
a)
Determina la formula che ti permette di calcolare il valore critico del raggio per il quale un
corpo celeste diventa un buco nero.
b) Calcola quale raggio dovrebbe avere la Terra per diventare un buco nero.
Soluzione
a)
Se l’ ente fisico uscente dal pianeta è un raggio di luce , la velocità di fuga è c ed il corpo
planetario diventa un buco nero. Abbiamo: c= √(2∙G∙M)/Rs . Quindi RS = (2∙G∙M)/c2.
b) Sostituiamo nella formula precedente dal Raggio di Schwarzschild i valori del pianeta Terra.
Quindi RS = 2∙G∙M/c2 = 6,67∙ 10-11∙5,98∙1024 /(3∙ 108)2 = 8,86 mm.
Applicazione n° 2
Un raggio luminoso sulla Terra percorre in direzione orizzontale una distanza di 2000 m . IN base al
principio di equivalenza, sappiamo che anche un fascio di luce Accelera in un campo gravitazionale.
a)
Qual è l’ ordine di grandezza della deflessione del raggio verso il basso nel campo gravitazionale
terrestre?
Soluzione
La distanza percorsa in una traiettoria parabolica è data dalla composizione dei movimenti: rettilineo
uniforme con velocità c; x =c∙t e moto verticale uniformemente accelerato: y = (1/2∙g∙t2). La traiettoria
parabolica è data da: y = (1/2∙x2/c2) = 0,5∙ 9,8∙(2000)2/(3∙ 108)2 = 2,7∙ 10-10 m = 0,27∙ 10-9 m. L’ ordine di
grandezza della caduta è del decimo di nanometro.
Applicazione n° 3
Tracciamo un triangolo su una superficie arbitraria, fissando tre punti e congiungendoli con opportune
geodetiche. Misuriamo i tre angoli interni di questa figura, trovando i seguenti valori : α = 27°; β = 85°; ϒ=
69°. Che tipo di geometria ha questa superficie?
Soluzione
La somma dei tre angoli interni : S = α+β+ϒ = 191°. La superficie ha geometria ellittica.
Applicazione n° 4
Curvatura dello spazio e moto lungo le geodetiche
Il principio di equivalenza ed il principio di relatività generale furono i punti di partenza della teoria della
gravitazione di Einstein. La nuova teoria de4lla gravitazione prende il nome di relatività generale che
richiede bla introduzione di due idee fondamentali :
La presenza di masse incurva lo spazio- tempo.
I corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere, che si
muovono seguendo le geodetiche (curve di minima lunghezza) dello spazio-tempo.
La Geometria sulla Sfera è una Geometria ellittica introdotta da Riemann. :
1) Nella Geometrie ellittiche non esistono rette4 parallele ad una retta data, condotte per un punto
esterno ad essa.
2) La Somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di un angolo piatto.
3) Lo spazio ha curvatura negativa ( Curvo).
4) Lo Spazio tridimensionale di Euclide e lo spazio- tempo di Minkowsky hanno curvatura nulla (
Piatti).
