tempus pecunia est

TEMPUS PECUNIA EST
COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE
FINANZIARIE E AZIENDALI

Direttore
Beatrice V
Università degli Studi di Cagliari
Comitato scientifico
Umberto N
University of Maryland
Russel Allan J
Università degli Studi di Firenze
Gian Italo B
Università degli Studi di Urbino
Giuseppe A
Università degli Studi di Cagliari
TEMPUS PECUNIA EST
COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE
FINANZIARIE E AZIENDALI
Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura.
P
Questa collana nasce dall’esigenza di offrire al lettore dei trattati che
aiutino la comprensione e l’approfondimento dei concetti matematici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà di
Scienze economiche, finanziarie e aziendali.
Il volume è stato pubblicato con il contributo dell’Università degli Studi “Gabriele
d’Annunzio” di Chieti–Pescara, Dipartimento di Lettere, Arti e Scienze Sociali.
Antonio Maturo, Ioan Tofan
Fuzziness
Teorie e applicazioni
Copyright © MMXVI
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: aprile 
Indice

Premessa

Capitolo I
Cenni storici e fondamenti logici
.. Le origini della teoria,  – .. Un breve itinerario, .

Capitolo II
Insiemi fuzzy
.. Nozioni di base,  – .. Strutture algebriche fuzzy, .

Capitolo III
Funzioni fuzzy
.. Definizione di funzione fuzzy,  – .. Una definizione alternativa, .

Capitolo IV
Relazioni fuzzy
.. Relazioni fuzzy fra due insiemi,  – .. Relazioni fuzzy in un
insieme, .

Capitolo V
Insiemi totalmente fuzzy e operazioni
.. Insiemi e funzioni totalmente fuzzy,  – .. Le t-funzioni, t-cofunzioni
e negazioni,  – .. Misure fuzzy,  – .. La teoria della percezione, .

Capitolo VI
Strutture algebriche fuzzy
.. Sottogruppi fuzzy,  – .. Ideali fuzzy,  – .. Anelli fuzzy di
quozienti, .

Indice


Capitolo VII
Numeri fuzzy
.. Concetti fondamentali e operazioni classiche,  – .. Equivalenza
e confronto di numeri fuzzy,  – .. Operazioni alternative a quelle
classiche, .

Capitolo VIII
Logica fuzzy
.. Connettori fuzzy e negazione,  – .. Teoremi, .

Capitolo IX
Probabilità fuzzy
.. Fuzzy probabilità assiomatica,  – .. Fuzzy probabilità di tipo
, .

Capitolo X
Un modello spaziale per le decisioni
.. Un modello decisionale spaziale,  – .. Procedimento iterativo, .

Capitolo XI
Inferenza fuzzy e grafi causali
.. Inferenza fuzzy con i grafi,  – .. Inferenze con t-norme e tconorme, .

Capitolo XII
Giochi fuzzy
.. Giochi con pagamenti fuzzy,  – .. Giochi con strategie fuzzy, .

Capitolo XIII
Probabilità soggettiva fuzzy
.. Introduzione,  – .. Un approccio alla probabilità condizionata
fuzzy,  – .. Probabilità fuzzy su t-funzioni e t-cofunzioni, .
Indice


Capitolo XIV
La regressione fuzzy
.. I limiti della regressione classica,  – .. Modelli di regressione fuzzy lineari,  – .. Regressione fuzzy possibilistica,  –
.. Regressione fuzzy usando il metodo dei minimi quadrati, .

Capitolo XV
Processi di socializzazione scolastica
.. Socializzazione scolastica e comunicazione,  – .. Modellizzazione dell’integrazione scolastica,  – .. Un approccio fuzzy per la
valutazione,  – .. Conclusioni e prospettive di ricerca, .

Capitolo XVI
Modelli Matematici per Comunità Virtuali
.. La Forza dei legami Fuzzy,  – .. Le reti a invarianza di scala, 
– .. I piccoli mondi aristocratrici di Facebook,  – .. Conclusioni e
prospettive di ricerca,  – Riferimenti bibliografici, .

Bibliografia
Premessa
Il volume tratta, in maniera spesso originale, le teorie sulla fuzziness
e le relative applicazioni.
Nei primi  capitoli, dopo un excursus storico, in cui si risale alle
più remote motivazioni dell’approccio fuzzy, e alla sua opportunità
per controllare situazioni di incertezza, si focalizza l’interesse su definizioni e risultati fondamentali relativi a insiemi fuzzy, funzioni fuzzy e
relazioni fuzzy, con riflessioni approfondite e talvolta originali sul loro
significato concreto e sulle loro applicazioni alle Scienze Economiche
e Sociali.
I capitoli  e  sono dedicati a due argomenti di approfondimento
teorico: gli insiemi totalmente fuzzy e le strutture algebriche fuzzy. Tali
teorie possono essere la base di partenza per molti risultati nuovi negli
ambiti delle decisioni fuzzy, dei giochi fuzzy, della regressione fuzzy e, in
generale, per le elaborazioni statistiche con dati o parametri fuzzy.
I capitoli  e  sono la parte centrale del libro. Essi contengono i
ragionamenti e le elaborazioni con i numeri fuzzy e la logica fuzzy.
Il capitolo , con la probabilità fuzzy, costruisce un ponte fra le
due teorie per il controllo dell’incertezza: la fuzziness ed il calcolo delle
probabilità.
I capitoli  e  sono dedicati a rappresentazioni geometriche,
rispettivamente con modelli spaziali e grafi.
Il capitoli  riguarda alcuni approcci fuzzy alla teoria dei giochi,
mentre il capitolo  si occupa della probabilità soggettiva condizionata
fuzzy, che può essere uno dei fondamenti per un approccio fuzzy alla
teoria delle decisioni in condizioni di incertezza.
Il capitolo , curato dal PhD Fabrizio Maturo, studioso dell’approccio fuzzy alla statistica e all’economia, affronta le tematiche relative
alla regressione fuzzy. Vengono analizzati i fondamenti teorici e le
possibili applicazioni della regressione fuzzy, evidenziando gli ambiti in cui essa risunta più vantaggiosa o meno efficace rispetto alla
regressione classica.


Premessa
Infine, i capitoli  e  riguardano alcune applicazioni dei sistemi
fuzzy in alcuni contesti importanti delle scienze sociali.
Il capitolo , curato dalla PhD Fiorella Paone, riguarda una analisi
dei processi di socializzazione scolastica degli studenti. In particolare
viene presentato un modello di definizione del grado medio di integrazione scolastica di una classe, formalizzato attraverso l’utilizzo
dell’analisi gerarchica e della logica fuzzy.
Il capitolo , curato dalla PhD Vanessa Russo, illustra l’insieme
delle teorie della complessità che si traducono nel modello matematico dei “Piccoli Mondi Aristocratici”, che descrive le dinamiche della
Rete Internet e delle comunità virtuali.
Capitolo I
Cenni storici e fondamenti logici
.. Le origini della teoria
Le prime idee sui fondamenti logici che poi hanno dato origine alle
teorie sui fuzzy set si possono far risalire a Platone e Aristotele.
Per Platone la distinzione tra “doxa” ed “episteme” (cioè tra conoscenza sensoriale (incerta) e conoscenza scientifica (certa) può essere
collegata al modo in cui si ottengono informazioni, che può avvenire
attraverso percezioni oppure attraverso misurazioni. Inoltre egli riconosce l’esistenza delle informazioni (dunque, anche delle proprietà)
incerte.
Le idee di Aristotele sul concetto di appartenenza (in particolare i
punti interrogativi su questo concetto) ed i punti interrogativi sulla
possibilità di passare direttamente da “bianco a nero”si ritrovano nelle
basi di alcune teorie collegate all’incerto, per esempio nella “Teoria
della possibilità”.
Fra le tematiche ampiamente dibattute nella Storia della Filosofia vi sono la distinzione tra “l’incerto epistemologico ”e “l’incerto
ontologico” ed il concetto di informazione.
Le informazioni possono essere classificate secondo diversi punti
di vista. Ad esempio esse possono essere:
—
—
—
—
quantitative / qualitative;
dichiarative (dati, fatti);
procedurali (regole, strategie, ecc.);
strutturali (il modo di organizzare le informazioni, relazioni tra
concetti, ecc.);
— metainformazioni (regole per trattare le informazioni di sopra,
in altre parole, la logica associata).
— esatte / approssimative;


Fuzziness
— metriche (per esempio, l’altezza di un albero);
— quasimetriche (per esempio, albero alto);
— percezionali (per esempio, albero alto, persona bella).
Possiamo anche avere informazioni derivate. Per esempio da “alto”
derivano “molto alto”, “abbastanza alto”, ecc.
Osserviamo che le informazioni ottenute tramite misurazioni hanno in generale un corrispondente percezionale. Per esempio, l’informazione da una misura: “X ha  anni” porta all’informazione
percezionale “X è giovane”.
In simboli scriviamo “X ha  anni” →”X è giovane”.
Analogamente, “fuori ci sono ○ ” → “fuori è caldo”. Il reciproco,
tuttavia, non è sempre possibile, ossia non sempre una percezione si
traduce in una misura. Ad esempio la percezione “tante ragazze sono
belle” a che misura porta?
Inoltre, il significato di un’informazione dipende dal contesto. Per
esempio l’informazione “albero alto” può avere il significato metrico
di “albero di  m”, mentre “uomo alto” può significare “uomo di
circa  m”.
Evidenziamo, infine, anche, la possibilità di raffinare l’informazione. Per esempio, da “ ≤ x ≤ ” si può arrivare, con una informazione
più dettagliata, a “ ≤ x ≤ ” oppure la classificazione “giovane, anziano” può essere più dettagliata con “molto giovane, mediamente
giovane, . . .”. Invece l’informazione “x = ” non si può raffinare.
In riferimento al concetto d’incertezza possiamo osservare che
l’incertezza è in relazione con vari aspetti:
— la fiducia (meglio la mancanza di fiducia) nell’informazione
ottenuta (dipendente anche dalla sua sorgente, dal modo di
trasmissione, ecc.) e la precisione del contenuto dell’informazione;
— il concetto di appartenenza e il principio del terzo escluso;
— il collegamento con ergodicità/non ergodicità.
Si distinguono:
— l’incertezza che risulta come conseguenza di una conoscenza
incompleta del modo di funzionare dei sistemi astratti oppure
. Cenni storici e fondamenti logici

concreti e si riferisce specialmente ai fenomeni dinamici;
— l’imprecisione che risulta dal linguaggio oppure ha un senso
più concreto in connessione con il processo di misurazione;
— la sfocatura che si riferisce a nozioni. Le sorgenti della sfocatura
possono essere: il linguaggio, il modo umano di pensare, un
tipo di indeterminismo apriorico.
.. Un breve itinerario
Presentiamo un breve itinerario storico sull’evoluzione dei concetti
sui fuzzy set e la logica fuzzy:
: Lorenzo Valla nelle sue importanti ricerche sulla filosofia del
linguaggio parlava della necessità di una distinzione tra gli individui anche per i dettagli, per esempio, per le persone, si deve
considerare la differenza anche solo per un pelo (De Elegantiis,
).
: J. Locke in Essay on human understanding parlava di “vague and
insignificant Forms of Speech”.
: G. Leibniz in New Essays parlava del senso e dell’imprecisione
delle parole (chiaramente come portatrici di incertezza).
: G. Frege affermava: “the presence of vague expressions in a
language invests it with an intrinsec incoherence”; e parlava
di “vagueness as a particular phenomenon” (Grundgesetza der
Arithmetic).
: H. Mac Coll nell’ambito delle sue ricerche su logica modale
pensava ad una generalizzazione del concetto di appartenenza
(Simbolic Reasoning in Mind, v.).
: C.S. Pierce è l’autore della seguente definizione del concetto
di ”vague”: “a proposition is vague when there are possible
states of things concerning which it is intrinsically uncertain
whether had they been contemplated by the speaker, he would
have regarded them as excluded or allowed by the proposition”
(Dictionary of Philosophy and Psychology, Mac. Millan, ).
: B. Russel affermava: “vagueness is a conception applicable to
every kind of representation - for example - a photography”
e ”a representation is vague when the relation of the repre-

Fuzziness
senting system to the represented system is not one-one but
one-many” (Vagueness in the Australasian Journal of Psychology
and Philosophy, ).
: T. Kotarbinski ha definito il concetto di ”proprietà sfocata” come
proprietà che ammette gradi di soddisfazione (in Elementi teoria
poznania, logiki formalnej i metodologii, Lvov, ).
: L. Wittgenstein affermava: ”vagueness is an essential feature of
language”.
: Max Black ha cominciato la descrizione, con l’aiuto della matematica e della logica, dell’incerto. Egli ha fatto distinzione tra
”ambiguity, generality and indeterminacy” (lavoro publicato in
, in Phil. of Science, v. ).
: H. Weyl formalizza il concetto di funzione di appartenenza
partendo dal concetto di funzione caratteristica di un sottoinsieme (The ghost of modality, Philosophical essays in memory of E.
Husserl, Cambridge (Mass), ).
: A. Kaplan, H.F. Schott, K. Menger (in A calculus of empirical
classes, Methodos, , v., n.) e K. Menger (in Ensemble flous et
fonctions aleatories, C.R. Acad. Sci. Paris , ) proposero una
nuova interpretazione per la generalizzazione del concetto di
appartenenza (praticamente equivalente alla proposta di Weyl).
Praticamente, quindi, già dal  sono nati i cosidetti ”insiemi
fuzzy”.
: L. Zadeh è riuscito ad imporre, mostrando delle applicazioni
consistenti, la teoria degli insiemi fuzzy (Fuzzy sets in Information and Control, , ).
La teoria degli insiemi fuzzy costituisce una possibilità (riuscita) di
estendere la zona d’applicabilità della matematica construendo gli strumenti e un quadro sistematico in grado di maneggiare l’imprecisione
inerente il linguaggio ed il modo di pensare umano.
Da osservare che: la logica a tre valori, che può essere considerata
come un caso particolare della logica fuzzy, è stata considerata anche
da Reichenbach nel  nella sua opera I fondamenti filosofici della
meccanica quantistica e da de Finetti, che nel suo libro Teoria delle
Probabilità, del , facendo riferimento alla logica di Reichenbach,
definisce l’evento condizionato come un ente logico di una logica a 
valori di verità.
. Cenni storici e fondamenti logici

La logica fuzzy può essere anche un utile strumento per un insegnamento interdisciplinare fra matematica e italiano nella scuola
elementare. Nel lavoro (Delli Rocili, Maturo, ) sono riportati i risultati della sperimentazione in alcune classi di una scuola elementare
di Pescara su “Logica e Probabilità”. L’idea di base di tale sperimentazione era di introdurre la probabilità dal punto di vista soggettivo,
partendo non da formule precostitute o da complesse strutture algebriche come le algebre di eventi, ma semplicemente da eventi definiti
come enunciati della logica bivalente. Il confronto fra tali enunciati
e quelli linguistici propri dell’italiano, ha fatto emergere la necessità
di considerare, per un insegnamento interdisciplinare, gli enunciati
fuzzy fin dalle prime classi. Come risultato della sperimentazione, si
è potuto osservare che la logica fuzzy corrisponde alla maniera più
spontanea e naturale di ragionare dell’essere umano.
Capitolo II
Insiemi fuzzy
.. Nozioni di base
Il punto di partenza è rappresentato dalla generalizzazione della nozione di funzione caractteristica di un sottoinsieme A, di un insieme
universo U, definita dalla
,
XA ∶ U → {, }, XA (x) = {
,
se x ∈ A;
se x ∈ U/A,
ossia dall’allargamento dell’accezione della nozione di appartenenza introducendo una transizione graduale da non-appartenenza ad
appartenenza.
Questo permette la determinazione degli insiemi (fuzzy) usando
proprietà (predicati univariabili), non necessariamente ”perfettamente
determinabili” come nel caso classico, ma anche ”imprecisamente definite” (ma con un grado misurabile d’imprecisione). Nel caso classico
chiamiamo insieme ogni collezione, complesso, mucchio di oggetti
detti elementi dell’insieme, che è considerato come un’entità. Per oggetto si intende tutto che è oppure può essere percepito (conosciuto)
fisicamente oppure idealmente (sia che faccia parte della realtà sensibile sia che costituisca una informazione). Un oggetto acquista le qualità
di essere elemento quando fa parte di un insieme. Denoteremo ∅
l’insieme vuoto.
Ricordiamo anche che “determinare un insieme” significa:
— precisare i suoi elementi (l’ordine in cui compaiano gli elementi
non ha importanza), oppure;
— precisare una proprietà (perfettamente determinabile nell’ambito della logica con  valori di verità: vero/falso) caratteristica
(che solo gli elementi dell’insieme hanno).


Fuzziness
Nell’ultimo caso denoteremo l’insieme con {x∣P(x)}.
In connessione con la sintagma “perfettamente determinabile” ricordiamo qualche controesempio:
i) In lingua inglese ”y” è qualche volte consonante (come in “yours”)
e qualche volte vocale (come in “my”);
ii) Se si strappa un pelo ad una persona che non è calva, chiaramente
la persona rimane non calva, ma se si continua (induttivamente) il
procedimento, allora (praticamente) si può arrivare a situazioni molto
spiacevoli (non sappiamo quando la persona sopracitata farà parte
dell’insieme delle persone calve). Questo paradosso fu presentato per
la prima volta dal filosofo socratico Eubulides da Miletus e fu analizato
de B. Russel nel .
Notiamo che:
— la prima variante (precisare gli elementi) vale solo per il caso
degli insiemi finiti;
— nell’insieme non possiamo avere lo stesso elemento più volte;
— la seconda variante si utilizza solo per determinare sottoinsiemi,
cioè, dato un insieme U ed una proprietà P (univocamente =
perfettamente determinable), si determina {x ∈ U∣P(x)}.
Ricordiamo anche che, per un insieme U, P(U) denota la famiglia
dei sotto insiemi di U, P(U) = {A∣A insieme e A ⊆ U}.
... Definizione: Chiamiamo insieme fuzzy ogni insieme di coppie (x, µx ) dove x è un oggetto e µx è un numero dell’intervallo [, ].
... Osservazione: Denotando con U l’insieme degli oggetti sopracitati si ottiene µ ∶ U → [, ], µ(x) = µx . Si arriva alla definizione
seguente:
... Definizione: Chiamiamo insieme fuzzy con insieme universo U una coppia (U, µ), dove U è un’insieme non vuoto e µ ∶ U →
[, ] è un’applicazione.
... Esempi:
i) L’insieme (fuzzy) degli alberi (. . . poco, molto . . . ) alti: accettando
una classificazione del tipo . . . albero medio, albero alto, albero molto