Elettrotecnica II 1 Materiale didattico 1 Trasformatore
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Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico 1 Trasformatore Si consideri il seguente circuito magnetico: Sia S la sezione del materiale ferromagnetico. Si facciano le seguenti ipotesi: r 1) assenza di flussi dispersi, ovvero il campo B è incanalato nel circuito magnetico e dunque r all’esterno del circuito B è trascurabile. E’ la stessa ipotesi alla base della 1a legge dei circuiti magnetici. 2) Assenza di perdite nel nucleo di materiale ferromagnetico, ovvero la potenza dissipata dal nucleo è nulla. 3) Assenza di perdite negli avvolgimenti di materiale conduttore (rame), ovvero la resistività e dunque la potenza dissipata è nulla. L’equivalente elettrico del circuito magnetico è: R = © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 4a µ0 µr S Pagina 1 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico N1i 1 + N2 i 2 N1 N = i1 + 2 i2 R R R 2 dφ N di N N di a) v 1 = N1 1 = 1 1 + 1 2 2 dt R dt R dt 2 dφ N N di N di v 2 = N2 2 = 1 2 1 + 2 2 dt R dt R dt φ1 = φ2 = φ = L1 = k= N12 R M L1L2 L2 = = 1⇒ N22 R M= N1N2 = L1L2 R accoppiamento perfetto Si definisca il rapporto spire n n= N1 N2 si ha che: L1 M = M L2 L1 =n L2 Si scrivano ora le equazioni nel caso di regime sinusoidale permanente d → jω dt V1 = jωL1I 1 + jωMI 2 V2 = jωMI1 + jωL2I 2 M 1 V1 = jωL1 I 1 + I 2 = jωL1 I 1 + I 2 L1 n M M L2 M L I V2 = jωL2 I1 + jωL2 I 2 = jωL2 I1 + 2 I 2 = jωL2 n I 1 + 2 L2 L2 M L2 M n jωL1 I 1 + I 2 n V1 L 1 n2 = = 1 = =n V2 I L n n 2 2 jωL2 n I 1 + n V1 = nV2 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 2 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Si faccia ora l’ulteriore ipotesi: 4) il circuito magnetico è realizzato con materiale ferromagnetico ideale, ovvero µr → ∞ Ne deriva che: R = 4a →0 µ0 µr S L1 = N12 →∞ R Si è detto che: I V1 = jωL1 I 1 + 2 n I1 = V1 I − 2 jωL1 n se L1 → ∞ I1 = − I2 n Riassumendo: V1 = nV2 I I1 = − 2 n trasformatore ideale Il simbolo è: © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 3 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Considerazioni energetiche 1 p(t ) = v 1 (t )i 1 (t ) + v 2 (t )i 2 (t ) = nv 2 (2)− i 2 (t ) + v 2 (t )i 2 (t ) = −v 2 (t )i 2 (t ) + v 2 (t )i 2 (t ) = 0 n Il trasformatore ideale non dissipa e non immagazzina energia. Esempio 1 Con riferimento alla figura seguente, si voglia calcolare il rapporto tensione/corrente sulla porta 1 del trasformatore ideale. Si ha: v1 i = Re v 2 = −Rc i 2 v 1 = nv 2 i = i1 = − 1 i2 n v 1 = n(− Rc i2 ) = n 2Rc i1 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 4 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Quindi quando la porta 2 di un trasformatore ideale è chiusa su un resistore di resistenza Rc , dalla porta 1 si vede un bipolo che è resistore di resistenza equivalente: Re = n 2Rc Evidentemente, se le porte invertono il loro ruolo di modo che il resistore Rc chiude la porta 1, allora alla porta 2 si misura una resistenza di valore Re = 1 Rc n2 Esempio 2 Per la rete di figura calcolare: 1. la resistenza del resistore visto dai morsetti A – B 2. determinare inoltre la rappresentazione Thevenin del bipolo indicato nella figura seguente Tenendo conto della formula ricavata in precedenza Re = 1 Rc , risulta: n2 R1 R2 + R3 R5 = Req + R 4 2 n Dalla formula ricavata in precedenza ( Re = n 2Rc ) si deduce la resistenza Thevenin: © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 5 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Re = n 2R La tensione a vuoto si determina immediatamente tenendo conto che se i1 = 0 anche i 2 = 0 , in base alla relazione costitutiva del trasformatore ideale; quindi v 2 = e e v 1 = ne . Ne consegue la rappresentazione Thevenin della figura precedente. 1.1 Utilizzo dei trasformatori nella distribuzione dell’energia elettrica Senza trasformatori Rl << Rc Rl << Rg La potenza dissipata sulla linea di distribuzione è: E (0 ) Pdiss = 2Rl I 2 = 2R l R c + R g + 2R l © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 2 E2 ≅ 2R l (Rc + Rg )2 Pagina 6 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Con trasformatori (0 ) Pdiss kE = 2Rl I = 2R l 2 k (Rc + Rg ) + 2Rl 2 2 (0 ) Pdiss E2 ≅ 2Rl 1 = 2 k 2 (Rc + R g )2 k La potenza dissipata sulla linea di distribuzione si è ridotta di un fattore k 2 con k >> 1. © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 7 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 1.2 Materiale didattico Esercizio 1 Nel circuito di figura lo stadio di interfaccia che procede il carico è costituito da un trasformatore ideale. Determinare il rapporto fra il numero di avvolgimenti k = N1 N2 affinché al carico venga trasferita la massima potenza. [k = 0,436] 1.3 Esercizio 2 Nel circuito di figura determinare: i rapporti di trasformazione k1, k 2 in modo tale che al carico venga trasferito il massimo di potenza la potenza dissipata dal carico nelle condizioni specificate al punto a) ipotizzando che k1, k 2 siano quelli determinati al punto a) e che il carico venga rimpiazzato con un resistore da 16 Ω , determinare la potenza dissipata dal carico. Rs = 50 Ω Ri = 20 k Ω R0 = 600 Ω RL = 4 Ω α = 800 v s (t ) = © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 8 di 21 Autori: Enrico Vialardi 2 sin(ωt ) V 10 Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico a) k1 1 k 2 = 150 20 b) P = 266,67 W c) P = 170,67 W 1.4 Esercizio 3 Nel circuito in figura il generatore di potenza, rappresentato dal bipolo a destra dei morsetti A – B, è caratterizzato da una tensione a vuoto sinusoidale di valore efficace E. Determinare k ed M in modo che il generatore fornisca alla rete la sua potenza disponibile Determinare inoltre quanto vale la sua potenza disponibile. R1 k = R k2 M = ± 2 ω C 2 Pdisp = E 2R © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 k2 k 2 2 − L1 2 − L2 ω C ω C Pagina 9 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 1.5 Materiale didattico Modello del trasformatore reale Si rimuovono ora, ad una ad una, le ipotesi semplificative sotto le quali si è definito il trasformatore ideale. Si rimuove innanzitutto l’ipotesi che il materiale ferromagnetico sia ideale, ovvero si assume µr di valore finito. Nel dominio del tempo si era scritto: Rφ = N1i1 + N2 i2 dφ v 1 = N1 dt dφ v 2 = N2 dt e dunque in regime sinusoidale: RΦ = N1I 1 + N2 I 2 V ⇒Φ= 1 V1 = jωN1Φ jωN1 V = jωN Φ 2 2 V2 = jωN 2 Φ = jωN 2 V1 N V = 2 V1 = 1 jωN1 N1 n Ciò significa che la relazione del trasformatore ideale per le tensioni è ancora rispettata. RΦ = N1I 1 + N2 I 2 I1 = I I V I RΦ N 2 R V1 R − I2 = − 2 = V1 − 2 = 1 − 2 2 N1 N1 N1 jωN1 n n jωL1 n jωN1 Allora il circuito equivalente diventa: © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 10 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico In modo analogo si può ricavare un altro circuito equivalente: RΦ = N1I 1 + N2 I 2 I2 = RΦ N1 − I N 2 N2 1 sostituendo Φ= V2 jωN2 ed essendo L2 = N22 R I2 = V2 − nI1 jωL2 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 11 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Si rimuove ora l’ipotesi di assenza di flussi dispersi. La tensione indotta ai capi degli avvolgimenti è data dal flusso magnetico Φ incanalato r nel circuito magnetico e dal campo B presente nell’aria e creato dalle correnti impresse dall’esterno. Ovvero: RΦ = N1I 1 + N2 I 2 V1 = jωN1Φ + jωL1d I 1 V = jωN Φ + jωL I 2 2d 2 2 L1d , L2 d → induttanza di dispersione Ponendo V1 ' = V1 − jωL1d I 1 e V2 ' = V2 − jωL2 d I 2 Si ottengono le stesse equazioni ricavate appena sopra. Allora il circuito equivalente diventa: Si rimuove ora l’ipotesi dell’assenza di perdite negli avvolgimenti. La resistività del rame non è dunque nulla, e allora: RΦ = N1I 1 + N2 I 2 V1 = jωN1Φ + jωL1d I 1 + R1I1 V = jωN Φ + jωL I + R I 2 2d 2 2 2 2 Le resistenze R1 e R2 sono ovviamente in serie rispettivamente a L1d e L2d . © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 12 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Infine, per tenere conto delle perdite nel nucleo ferromagnetico, si inserisca nel modello una resistenza R0 in parallelo all’induttanza L1 . Il circuito equivalente del trasformatore reale è pertanto: Riportando al primario la resistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento I secondario ed essendo I1 ≅ − 2 si ottiene il circuito equivalente semplificato del n trasformatore reale: Esso è caratterizzato da quattro parametri: La resistenza degli avvolgimenti R1 + n 2 R 2 L’induttanza di dispersione L1d + n 2 L2d L’induttanza dell’avvolgimento primario L1 La resistenza di perdita nel ferro R0 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 13 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico La determinazione di questi parametri avviene sperimentalmente tramite le prove “a vuoto” e “in cortocircuito”. 1.6 Prova a vuoto I morsetti del secondario sono in circuito aperto e dunque I 2 = 0 . I morsetti del primario sono invece collegati ad un generatore di tensione che fornisce il valore di tensione primaria nominale V1n (ovvero il valore per il quale il trasformatore è stato progettato e realizzato). Il voltmetro e il frequenzimetro sono utilizzati per verificare che la tensione applicata abbia valore efficace e frequenza corrispondenti ai valori nominali. L’amperometro e il wattmetro misurano rispettivamente la corrente I 1o e la potenza P10 assorbita dal trasformatore in queste condizioni di secondario aperto. Poiché I 2 = 0 e dunque I2 = 0 la corrente misurata dall’amperometro è I1 = I 10 . n Non essendoci dissipazione di potenza attiva sulla resistenza degli avvolgimenti R1 + n 2 R 2 , si ha: P10 = G 0V12n dove G 0 è la conduttanza del parallelo tra la resistenza R0 e l’induttanza L1 . Ovvero G0 = 1 R0 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 14 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico da cui: V12n R0 = P10 Inoltre: Y0 = 1 1 1 j + = − R0 jωL1 R0 ωL1 1 Y0 = R0 L1 = 1.7 2 2 1 I + = 10 V1n ωL1 1 I ω 10 V1n 2 1 − R0 2 Prova in cortocircuito I morsetti del primario sono collegati ad un generatore di tensione che fornisce il valore di tensione primaria necessaria affinché la corrente primaria assuma il suo valore nominale I 1n . Di conseguenza anche la corrente secondaria assumerà il suo valore nominale I 2 n . © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 15 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Poiché la tensione primaria da applicare V1cc è molto inferiore al valore nominale V1n , la corrente I10 è pressoché nulla e dunque la corrente I 1n scorre nella resistenza R1 + n 2 R 2 e nell’induttanza L1d + n 2 L2d . Il wattmetro misura la potenza P1cc assorbita dal trasformatore e dissipata da R1 + n 2 R 2 , essendo trascurabile la dissipazione di R0 . ( ) P1cc = R1 + n 2 R2 I 12n da cui: R1 + n 2 R2 = P1cc I 12n Inoltre ( ) ( Z1cc = R1 + n 2 R2 + jω L1d + n 2 L2 d Z1cc = V1cc I 1n V1cc = I 1n (R 1 L1d + n L2 d 2 1.8 + n 2 R2 1 = ω ) 2 ( ) + ω2 L1d + n 2 L2 d V1cc I 1n 2 ) − R1 + n 2 R2 ( 2 ) 2 Esercizio 4 Le prove a vuoto e in cortocircuito su un trasformatore monofase da 10 kVA, 2200/220 V, 50 Hz hanno dato i seguenti risultati: prova a vuoto eseguita sul lato bassa tensione V2 n = 220 V V1n = 2200 V I 20 = 2,5 A P20 = 100 W © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 16 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico prova in cortocircuito eseguita sul lato alta tensione V1cc = 150 V I1n = 4,55 A P1cc = 215 W Ricavare i parametri del circuito equivalente riferiti rispettivamente al lato bassa tensione e al lato alta tensione. Ricavare inoltre il rapporto tra la corrente I10 e quella nominale I 1n , ed infine il fattore di potenza a vuoto e in cortocircuito. © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 17 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico 2 Macchine elettriche Si consideri il seguente circuito magnetico r L’andamento della componente radiale del campo B lungo il tra ferro è: Se invece la forma dell’elemento centrale del circuito magnetico (quello su cui è presente l’avvolgimento) viene opportunamente sagomata fino ad assumere la struttura di un osso, ovvero: © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 18 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico r La componente radiale del campo B lungo il tra ferro assume un andamento sinusoidale Se l’elemento centrale ruota si genera quello che viene definito campo magnetico rotante, ovvero in un punto fissato del tra ferro, per esempio ϑ0 , la componente radiale del campo r B non è più costante nel tempo, ma ha un andamento sinusoidale: r Si era visto che ai capi di una spira, posta in una zona in cui è presente un campo B variabile nel tempo, si crea una differenza di potenziale uguale alla variazione nel tempo del flusso magnetico attraverso la superficie della spira stessa. Ponendo allora una spira sul circuito magnetico considerato (si veda la figura) ai suoi capi è disponibile una differenza di potenziale. r Essendo B sinusoidale lo è anche la differenza di potenziale ai capi della spira. © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 19 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Ciò significa che abbiamo realizzato un generatore di tensione sinusoidale a partire da una corrente i continua: La parte di circuito magnetico a forma di osso su cui vi è l’avvolgimento in cui scorre la corrente i, ovvero la parte di circuito magnetico che ruota, viene chiamata ROTORE. Viceversa, la parte di circuito magnetico sul quale viene avvolta la spira ai cui capi è indotta la tensione v è ferma, è solidale con un supporto fisso e viene chiamata STATORE. Se, invece di inserire una sola spira sullo statore, ne vengono posizionate tre uguali in posizione sfasata di 120° l’una dall’altra, si ottengono ai capi delle tre spire tre tensioni sinusoidali di uguale valore efficace, ma sfasate nel tempo di 120° l’una dall’altra. Si è cioè realizzato un generatore trifase. © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 20 di 21 Autori: Enrico Vialardi Politecnico di Torino CeTeM Elettrotecnica II 1 Materiale didattico Si noti che la struttura di rotore (osso di materiale ferromagnetico e avvolgimento percorso dalla corrente i) altro non è che un elettromagnete. La struttura realizzata (rotore + statore), sia essa monofase o trifase, è reversibile, ovvero applicando una tensione sinusoidale alla o alle spire di statore viene generato il campo r magnetico rotante B . Il rotore magnetico si comporta come l’ago di una bussola, cioè cerca di inseguire il campo magnetico rotante. Ciò significa che il rotore ruota. Si è dunque realizzata una macchina elettrica che trasforma l’energia elettrica in energia meccanica. In particolare essa viene definita MACCHINA ELETTRICA SINCRONA, perché il rotore ruota alla stessa velocità del campo magnetico rotante. Si consideri ora la stessa struttura vista in precedenza, ma anziché alimentare con una corrente continua i l’avvolgimento di rotore, si chiuda questo avvolgimento in cortocircuito. Gli avvolgimenti di statore sono identici al caso precedente e dunque creano il campo magnetico rotante che induce una corrente sinusoidale nell’avvolgimento di rotore. Detta corrente crea a sua volta un altro campo magnetico rotante, questa volta di rotore. L’interazione tra il campo magnetico rotante di statore e il campo magnetico rotante di rotore pone in rotazione il rotore. Sia Ω c la velocità di rotazione del campo di statore e quella del campo di rotore. Ω r dipende dalla coppia resistente agente sull’albero della macchina elettrica. Essa non può però in alcun caso uguagliare Ω c , in quanto se così fosse il campo magnetico di statore risulterebbe fermo rispetto al campo magnetico di rotore e non potrebbe indurre nessuna corrente nell’avvolgimento di rotore. Quindi Ω r < Ωc ovvero il rotore deve ruotare più lentamente rispetto al campo di statore. Per questa ragione una tale struttura viene definita MACCHINA ELETTRICA ASINCRONA. Per caratterizzare la relazione tra Ω c e Ω r si usa lo scorrimento s: s= Ωc − Ω r Ωc s =0→ s =1→ 0 < s ≤1 sincronismo rotore bloccato Valori tipici di s: 2 ÷ 3% nelle macchine di grande potenza 6 ÷ 7% nelle macchine di piccola potenza © Politecnico di Torino Data ultima revisione 03/11/01 Pagina 21 di 21 Autori: Enrico Vialardi
