PROBABILITA` E STATISTICA La nozione di probabilità è stata

PROBABILITA’ E STATISTICA
La nozione di probabilità è stata concepita in modi diversi; GROSSOLANAMENTE le principali
sono:
Concezione classica: concetto di probabilità come “uguale possibilità” concezione di Laplace
Concezione statistica: basata sul concetto di frequenza con cui si realizza un evento in un gran
numero di prove
Concezione soggettiva: la probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un
determinato soggetto coerente attribuisce all’avverarsi dell’evento stesso; tra i fautori di questa
concezione Finetti e Savane.
I matematici preferiscono la concezione assiomatica di probabilità: il concetto viene introdotto
implicitamente tramite alcuni assiomi; concezione di Kolmogorov.
Si chiama spazio delle probabilità, associato ad un dato esperimento, l’insieme S di tutti i possibili
risultati.
Si chiama evento un sottoinsieme A dello spazio S, cioè un insieme di risultati possibili.
Un evento si dice:
elementare se è un insieme con un solo elemento
certo se coincide con S
impossibile se è l’insieme vuoto
se A e B sono due eventi si chiama
evento somma di A e B l’evento C che risulta dal verificarsi di almeno uno degli eventi A o B
evento prodotto l’evento C che risulta dal verificarsi di entrambi gli eventi A e B
due eventi A e Ac si dicono complementari se uno di esse non si verifica quando si verifica l’altro
DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’
Si chiama probabilità p di un evento aleatorio, il quoziente fra il numero dei risultati favorevoli e il
numero dei risultati possibili, nell’ipotesi che siano tutti egualmente possibili
Seguono i seguenti proprietà:
•
per l’evento certo si ha P(S)=1
•
se A e B sono due eventi incompatibili si ha P(AuB)= P(A) + P(B)
•
la probabilità dell’evento Ac è: P(Ac) = 1-P(A)
•
la probabilità dell’evento impossibile è 0
APPUNTO: la definizione ha un punto debole nel concetto di EVENTI EQUIPROBABILI che
rischia di renderla un circolo vizioso. Risulta più corretto parlare di simmetria delle prove,
considerando tutti i risultati come egualmente possibili.
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ STATISTICA
Si chiama probabilità statistica di un evento aleatorio A un numero atto a prevedere la frequenza
relativa dell’evento, in un gran numero di prove, fatte tutte nelle medesime condizioni.
Valgono le proprietà della probabilità classica.
Si osservi che la probabilità classica è un numero determinato a priori per mezzo del rapporto tra
casi favorevoli e casi possibili; la porbabilità statistica invece è un dato ricavato sperimentalmente,
derivante da prove od osservazioni fatte. Per questo motivo viene anche detta probabilità a
posteriori
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ SOGGETTIVA
La probabilità di un evento A è la misura del grado di fiducia che un determinato soggetto coerente
attribuisce all’avverarsi di A. entra in gioco il concetto di COERENZA che implica la corretta
applicazione delle norme di calcolo e l’impostazione soggettiva non significa arbitrarietà.
De Finetti ha dato la seguente definizione per rendere più operativa la definizione data e per
adottare il linguaggio che si impiega nei giochi d’azzardo:
la probabilità di un evento A, secondo l’opinione di un dato individuo, è il prezzo p che egli stima
equo attribuire ad un importo unitario esigibile se A si verifica.
ESEMPIO: se la probabilità di vittoria di un cavallo, per un dato scommettitore, è di 0,3, significa
che egli è disposto a pagare, per esempio, 30.000€, per vincerne 100.000€ in caso di vittoria del
cavallo.
Gode delle proprietà della teoria classica più:
0<=P(A)<=1
TEOREMI DELLA PROBABILITA’
se A e B sono incompatibili si ha P(AuB) = P(A) + P(B)
se A e B sono eventi qualsiasi si ha P(AuB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
TEOREMA DELLA PROBABILITA’ CONDIZIONATA
La probabilità che un evento casuale A si realizzi, nell’ipotasi che un altro evento B si sia già
realizzato, si chiama probabilità condizionata dell’evento A, rispetto all’evento B, e si indica
P(A|B).
ESEMPIO: si lancino due dadi. Con che probabilità si otterrà come risultato del lancio 8 (evento A)
se si è sicuri che il risultato del lancio dà un numero pari (evento B)?
Esistono 36 possibili risultati, con il lancio di due dadi, queli favorevoli all’evento A sono 5 (2 e 6,
3 e 5, 4 e 4, 5 e 3, 6 e 2) quindi la probabilità incondizionata è P(A): 5/36
Se si è verificato l’evento B, allora si realizza una delle 18 (e non 36)possibilità (perché solo 18
eventi su 36 danno come risultato un numero pari) e, conseguentemente, la probabilità condizionata
è: P(A|B)= 5/18
In formula:
•
•
P(A|B) =
P( A ∩ B)
P( B)
STATISTICA
(PROF.SSA CALVI)
La statistica si divide in due grandi scuole principali: quella SOGGETTIVISTA e quella
OGGETTIVISTA.
In ambito forense è meglio applicare una probabilità di natura soggettivista. Da una
definizione di probabilità si possono ricavare valutazioni sulla probabilità stessa e sulla
frequenza.
I casi possibili devono sempre essere di numero FINITO e tutti in ugual misura
PROBABILI, come ad esempio il caso di una moneta.
Una valutazione di tipo frequentistica viene fatta mediante valutazioni effettuate su eventi
ripetibili, ma gli eventi naturali nella loro natura più intima non sono mai ripetibili, mente lo
sono gli esperimenti. Quindi bisogna considerare gli eventi ripetibili durante gli esperimenti.
PROBABILITÀ
Approccio
Approccio
Kolmogovoriano
Savane – De Finetti
Oggettivistico
Soggettivistico
Valutazioni
Valutazioni
Classica
e
frequentistica
Classica
e
frequentistica
L’approccio soggettivistico fa riferimento al concetto di evento e di probabilità.
Alla base della probabilità soggettiva vi è il concetto di evento, cioè un fatto descritto da
una proposizione non ambigua, che può essere o vera o falsa.
Quando è noto che l’evento si verifichi, cioè che sia vero, si dice che l’evento è certo.
Ω EVENTO CERTO: evento del quale si ha coscienza che avvenga.
Φ EVENTO IMPOSSIBILE: evento del quale si è certi non si verifichi.
U ha lo stesso significato della congiunzione “o” e rappresenta l’unione di due insiemi.
∩ ha lo stesso significato della congiunzione “e” e rappresenta l’intersezione di due insiemi,
ovvero il sottoinsieme che si viene a creare tra i due insiemi.
α = proporzionale
Due eventi sono incompatibili quando la loro intersezione è l’insieme vuoto.
Un evento invece è complementare quando è l’esatto opposto del precedente e si indica
nei seguenti modi: Ec, E o ancora CE.
E ∩ Ec = Ø
Concetto di probabilità è composta dal concetto di coerenza unito al concetto di
informazione.
La probabilità di un evento è definita dal grado di fiducia che un individuo coerente ripone
nel verificarsi di quel evento.
Un individuo è coerente quando è disposto a scambiarsi con il banco delle scommesse.
Il grado di fiducia è misurato dall’importo che lo scommettitore è disposto a pagare per
ricavare uno se l’evento si verifica e zero se non si verifica.
G1 = 1 – p
guadagno se E è vero
p = P (E)
CONSIDERAZIONE DI COERENZA
G2 = 0 – p
guadagno se E è falso
(1 – p) * (- p) ≤ 0
- p + p2 ≤ 0
G1 * G2 ≤ 0
p * (p – 1) ≤ 0
0≤p≤1
Si deve escludere un guadagno certo qualsiasi sia l’esito della prova.
0 ≤ P (E) ≤ 1
P (Ω) = 1
P (Ø) = 0
A∩B=Ø
P (A) U P (B) = P (A) + P (B)
Le PROPRIETÁ dell’approccio soggettivo sono ASSIOMI nell’approccio oggettivo:
1. 0 ≤ P (E) ≤ 1
2. P (Ω) = 1
P (Φ) = 0
3. A ∩ B = Ø
P (A U B) = P (A) + P (B).
Altre proprietà sono anche le seguenti:
⇒ P (Ac) = 1 – P (A)
A U Ac = Ω
⇒ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ ... ∩ An = Ø
⇒ P (A) + P (Ac) = 1
P (A U Ac) = 1
P ( i=1Un Ai) = i=1∑n P (Ai)
P (Ac) = 1 – P (A)
⇒ P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B).
P (A) + P (Ac) = 1
A partire dal concetto di evento, che risulta essere vero o falso, gli altri casi sono tutti
situazioni possibili.
COERENZA e INFORMAZIONE : per assegnare un certo tipo di probabilità si richiede i
avere un informazione.
P (E/I) ≡ P (E)
La sbarra tra E ed I è la rappresentazione grafica dell’espressione CONDIZIONATO.
È diverso parlare di probabilità condizionata anziché di intersezione.
Infatti se ho due eventi E ed H, posso supporre che la P (H) ≠ 0.
Ω
P (Ω) = 1 ma non si può scrivere il contrario, ovvero P (E) = 1
E=Ω.
Un evento con probabilità 1 è quasi certo, mentre un evento con probabilità 0 è quasi
impossibile.
Se scriviamo E inteso come evento ed H intesa come ipotesi, possiamo condizionare E ad
H.
P (H) ≠ 0, perché in matematica è proibito dividere per quantità uguali a 0; ad esempio la
probabilità di un certo gruppo sanguigno in una popolazione di innocenti.
P (E/H) = P (E ∩ H) / P (H)
In questo caso lo stato di informazione ha modificato la probabilità.
PROPRIETÁ:
•
0 ≤ P (E/H) ≤ 1
•
P (Ω/H) = 1
•
P (A U B/H) = P (A/H) + P (B/H), purchè A ∩ B = Ø.
Mentre non si può dire la stessa cosa per gli insiemi complementari; l’erronea
interpretazione di queste proprietà ha dato vita ai più gravi errori giudiziari.
P (Ec/H) = 1 – P (E/H)
P (E/H) ≠ P (H/E)
P (E/Hc) ≠ 1 – P (E/H).
LEZIONE N. 2
Al variare dello stato dell’informazione si modifica anche la probabilità.
Al momento in cui viene definita la probabilità di un evento si condiziona la probabilità di
tutti gli eventi possibili; invece la probabilità di un evento condizionato modifica la
probabilità di un sottoinsieme di eventi (CONCETTO BASE).
E, H
P (H) > 0
P (E/H) = P (E∩H) / P (H)
0 ≤ P (E/H) ≤ 1
P (Ec/H) = 1 – P (E/H)
P (AUB/H) = P (A/H) + P (B/H) se A∩B ≠ 0
H
P (Ω/H) = 1
E
P (Ec) = 1 – P (E)
Ω
P (A∩B) = P (B) * P (A/B) oppure P (A) * P (B/A) la probabilità di una intersezione di eventi
si può calcolare con la regola di moltiplicazione.
P (A∩B) = P (B) * P (A/B)
P (B) ≠ 0
P (A∩B) = P (A) * P (B/A)
P (A) ≠ 0
P (E/H) = P (E) e P (H/E) = P (H) sono entrambe condizioni di indipendenza degli eventi,
come ad esempio la probabilità che nel lancio di due dadi uno dia tre e l’altro dia due.
Quindi la definizione che si può dare è la seguente: P (E) * P (H) = P (E∩H) con P (H) > 0
e P (E) > 0.
L’INTERSEZIONE GODE DELLA PROPRIETÁ COMMUTATIVA.
Non si potranno mai complementare due probabilità condizionate da due eventi diversi.
TEOREMA DI BAYES: si parte dall’osservazione di un evento tentando di risalire agli
eventi principali.
E = (E∩H1) U (E∩H2) ovvero sono due eventi incompatibili.
P (E) = P (E∩H1) + P (E∩H2) = P (E/H1) * P(H1) + P (E/H2) * P (H2)
P(H1/E)=P(H1/E)/P(E) = [P(H1)*P(E/H1)]/[P(H1)*P(E/H1)+P(H2)*P(E/H2)] α P(H1)*P(E/H1)
PROBABILITÁ A POSTERIORI
P (H1) * P (E/H1) = K * P (H1) * P (E/H1) PROBABILITÁ A PRIORI VEROSOMIGLIANZA
(Informazione iniziale
Probabilità a priori) + (Esperimento
(Teorema di Bayes
Verosimiglianza)
Probabilità a posteriori)
Se P (H) fosse uguale a zero, qualunque sia la verosimiglianza la probabilità sarà
anch’essa uguale a zero). La K invece è una costante diversa da zero con un significato
ben preciso: K = 1 / [ P (H) * P (E/H) + P (Hc) * P (E/Hc) ].
P (E/H) = P (H∩E) / P (E) = [ P (H) * P (E/H) ] / [ P (H) * P (E/H) + P (Hc) * P (E/Hc) ]
Il teorema di Bayes consente di effettuare un aggiornamento della valutazione di
probabilità dopo aver osservato un evento.
H1 H2 H3
H4 H
E5 H6
… … Hn
Ω
P (Hi/E) = [ P (Hi) * P (E/Hi) ] / [ i=1∑n P (Hi) * P (E/Hi) ]
Quindi i termini più importanti sono: INFORMAZIONE, COERENZA e OSSERVAZIONE.