Programma di ANALISI MATEMATICA 1

Programma di Analisi Matematica I a.a. 2007/08 - B. Di Bella
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Programma di ANALISI MATEMATICA 1
1) Insiemi numerici - L’insieme esteso dei numeri reali - Intervalli - Insiemi limitati - Massimo e minimo di un insieme di numeri reali - Estremo
superiore ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali.
2) Numeri complessi - Definizioni ed operazioni su di essi - Forma algebrica e forma trigonometrica - Potenza ad esponente naturale (formula di
De Moivre) e radici di un numero complesso - Formula di Eulero - Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi - Logaritmo complesso.
3) Successioni numeriche, limiti - Concetto di limite -Successioni limitate - Successioni convergenti, divergenti, indeterminate, regolari - Teorema
di unicità del limite - Teorema di limitatezza delle successioni convergenti Teorema del confronto - Teorema della permanenza del segno - Algebra dei
limiti - Successioni monotone - Successioni di Cauchy - Limiti notevoli.
4) Serie numeriche - Carattere di una serie - Criterio di convergenza di
Cauchy - Condizione necessaria per la convergenza - Serie a termini non
negativi - Criterio del confronto, del rapporto, della radice - Serie geometrica
- Serie di Mengoli - Serie armonica - Serie armonica generalizzata - Serie
esponenziale - Serie a termini di segno alterno - Criterio di Leibniz - Serie
assolutamente convergenti.
5) Limiti e continuità di funzioni - Generalità sulle funzioni - Funzione
pari, dispari, monotona, limitata, periodica - Funzione composta - Funzione
invertibile - Funzione inversa - Elementi di topologia - Retta estesa - Intorni
di un punto in lR - Limite per le funzioni - Teorema di unicità del limite Teorema di limitatezza locale - Teorema della permanenza del segno - Teorema del confronto - Limte destro e sinistro - Teoremi sul limite di funzioni
monotone - Algebra dei limiti - Forme indeterminate - Limiti fondamentali Infinitesimi e infiniti - Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo - Discontinuità e loro classificazione - Algebra delle funzioni continue
- Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse - Teorema di
Weierstrass - Teorema di esistenza degli zeri - Teorema dei valori intermedi.
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Corso di Analisi Matematica 1
6) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale - Definizione
di derivata e suo significato geometrico - Derivabilità e continuità - Algebra
delle derivate - Derivate di ordine superiore - Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse - Punti di non derivabilitè e loro classificazione
- Differenziale - Massimi e minimi relativi ed assoluti - Teorema di Fermat
- Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange - Conseguenze del Teorema di
Lagrange: Test di monotonia, Test di riconoscimento dei punti stazionari,
Funzioni a derivata nulla. - Teoremi di De L’Hopital - Funzioni convesse
e concave, flessi.
7) L’integrazione di Riemann per funzioni di una variabile reale
- Integrale secondo Riemann - Significato geometrico - Criterio di integrabilità - Classi di funzioni integrabili - Proprietà degli integrali: linearità,
positività, monotonia, additività - Tereoma della Media integrale - Funzione
integrale - Primitive - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Formula
fondamentale del calcolo integrale - Integrale indefinito.
8) Metodi di integrazione - Integrazione per parti e per sostituzione Integrazione delle funzioni razionali - Integrazione di alcune funzioni trascendenti.
9) Integrali generalizzati - Integrali di funzioni illimitate - Integrali di
funzioni su intervalli illimitati - Criteri di integrabilità - Assoluta integrabilità in senso improprio.
Testi consigliati:
• P. MARCELLINI - C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica
uno, Ed. Liguori;
• P. MARCELLINI - C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, Vol
1, parte 1a e parte 2a , Ed. Liguori;
• M. BRAMANTI - C.D. PAGANI - S. SALSA, Matematica Calcolo
infinitesimale e algebra lineare, Ed. Zanichelli;
• E. GIUSTI, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Vol 1, Ed.
Boringhieri.
Programma di Analisi Matematica I a.a. 2007/08 - B. Di Bella
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Teoremi di cui si chiede la dimostrazione all’orale
Oltre alla dimostrazione dei teoremi seguenti, lo studente dovrà mostrare
di conoscere le definizioni di tutti i concetti che sono stati introdotti nel
corso, e di saper illustrare definizioni e teoremi con esempi, qualora ce ne
siano di semplici.
1. Teorema di unicità del limite per le funzioni.
2. Teorema del confronto per le funzioni.
3. Teoremi sul limite delle funzioni monotone.
4. Teorema sulle successioni monotone.
5. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie.
6. Teorema di esistenza degli zeri.
7. Teorema: la derivabilità implica la continuità.
8. Teoream sulla derivata del prodotto di due funzioni.
9. Teorema sulla derivabilità della funzione inversa.
10. Teorema di Fermat.
11. Teorema di Rolle.
12. Teorema di Cauchy.
13. Teorema di Lagrange.
14. Applicazioni del Teorema di Lagrange: funzioni a derivata nulla, test
di monotonia.
15. Criterio di integrabilità secondo Riemann.
16. Teorema della media integrale.
17. Teorema fondamentale del calcolo integrale.