NUMERI RAZIONALI

NUMERI RAZIONALI
Prof.ssa Sara Di Giulio
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE
Dati due numeri a e b con b ≠ 0, per
indicare il loro quoziente a:b, si scrive una
frazione che ha come numeratore a e
come denominatore b
5:3=
5
3
4:9=
4
9
14:7=
14
7
NUMERI RAZIONALI
NUMERI
RAZIONALI
Un numero razionale è il valore comune di
tutte le infinite frazioni equivalenti a una
frazione data
2
2 4 6 8
′
è 𝑖𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑛𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 , , , , …
3
3 6 9 12
NUMERI RAZIONALI
INSIEME
DEI NUMERI RAZIONALI
- Q
L’insieme Q dei numeri razionali comprende
tutti i numeri frazionari.
Esso è un ampliamento dell’insieme N dei
numeri naturali in quanto tutti i numeri
naturali possono essere scritti come frazioni
apparenti
2=
2 4 6 8 10
; ; ; ; ;….
1 2 3 4 5
Quindi un numero naturale è anche un
numero razionale
NUMERI RAZIONALI
INSIEME
DEI NUMERI RAZIONALI
- Q
Quindi un numero naturale è anche un numero razionale
NUMERI RAZIONALI
NUMERI RAZIONALI E NUMERI DECIMALI
Un numero razionale può essere scritto come
frazione o come numero decimale
1
= 0,25
4
2
= 0,666 …
3
15
= 2,142857142 …
7
Un numero intero si può scrivere in forma decimale
con soli zeri dopo la virgola
2=2,0000…
NUMERI RAZIONALI
NUMERI DECIMALI FINITI
Un numero decimale si dice FINITO se ha un
numero finito di cifre decimali.
3
8
= 0,75
5
2
= 2,5
1
4
= 0,25
Questo si verifica quando la divisione tra
numeratore e denominatore, ad un certo punto
finisce, in quanto si arriva a resto uguale a zero
NUMERI RAZIONALI
NUMERI DECIMALI PERIODICI
Un numero decimale si dice PERIODICO se ha un
numero infinito di cifre decimali che si ripetono
2
= 0,666 …
3
2
= 0,1333 …
15
O Le cifre decimali che si ripetono si chiamano PERIODO
O Le cifre decimali che non si ripetono si dicono
ANTIPERIODO
NUMERI RAZIONALI
NUMERI DECIMALI PERIODICI
O Un numero decimale periodico che non
presenta antiperiodo si chiama
PERIODICO SEMPLICE
O Un numero decimale periodico che
presenta antiperiodo si chiama
PERIODICO MISTO
NUMERI RAZIONALI
ESAME
DEL DENOMINATORE
Per capire se un numero razionale
corrisponde ad un numero decimale finito,
ad un numero decimale periodico semplice
o un numero decimale periodico misto,
occorre esaminare il denominatore della
frazione generatrice
7
40
18
11
15
22
NUMERI RAZIONALI
ESAME
DEL DENOMINATORE
Denominatore con
SOLI FATTORI
2 e 5
7
7
7 ∙ 25
175
= 3
= 3
=
= 0,175
40 2 ∙ 5
2 ∙ 5 ∙ 25 1000
9
9
9∙5
45
= 2
= 2
=
= 0,45
20 2 ∙ 5
2 ∙ 5 ∙ 5 100
DECIMALE LIMITATO
NUMERI RAZIONALI
ESAME
DEL DENOMINATORE
Denominatore
SENZA FATTORI
2 e 5
18
= 1, 63
11
2
= 0, 3
3
DECIMALE PERIODICO SEMPLICE
NUMERI RAZIONALI
ESAME
DEL DENOMINATORE
Denominatore con
FATTORI
2 e 5 e
15
15
=
0,681
22 2 ∙ 11
5
5
= 2
= 0,416
12 2 ∙ 3
DECIMALE PERIODICO MISTO
ALTRI
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE GENERATRICE
Dato un numero decimale (limitato o
periodico) è sempre possibile trovare la
frazione che lo ha generato, cioè la
frazione il cui valore è proprio quel numero
decimale.
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE FINITO
La frazione generatrice di un numero
decimale finito è sempre una FRAZIONE
DECIMALE, cioè una frazione il cui
denominatore è una POTENZA DI 10
7
0,7 =
10
546
5,46 =
100
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE FINITO
La frazione generatrice di un numero
decimale ha:
O Al NUMERATORE il numero dato senza la
virgola
O Al DENOMINATORE l’unità seguita da tanti
zeri quante sono le cifre decimali
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE PERIODICO
La frazione generatrice di un numero
decimale periodico semplice ha:
O Al NUMERATORE la differenza tra il
numero dato, privato della virgola, e il
numero formato da tutte le cifre che
precedono il periodo
O Al DENOMINATORE il numero formato da
tanti 9 quante sono le cifre del periodo
e tanti 0 quante sono le cifre
dell’antiperiodo
NUMERI RAZIONALI
FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE PERIODICO
2146 − 214 1932 161
2,146 =
=
=
900
900
75
223 − 22 201 67
22, 3 =
=
=
9
9
3
3
1
0,03 =
=
90 30