Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell
a cura di Flavio Cimolin
(formula suggerita da David Della Rossa)
(ultimo aggiornamento: 13/09/2004)
Probabilmente a chi non abbia confidenza con gli operatori differenziali su campi vettoriali le
formule che seguono appariranno, oltre che oscure, anche decisamente strambe, vista la presenza di
triangolini, quadratini e freccette. Nel caso delle equazioni di Maxwell, tuttavia, poco importa
addentrarsi nei meandri della difficile matematica che esse sottendono, dato che già una descrizione
qualitativa può essere in grado di far cogliere la bellezza e nel contempo la straordinaria potenza
che esse esprimono. Ma vediamo appunto in cosa constano le suddette equazioni:
Si tratta di un sistema di 4 equazioni differenziali alle derivate parziali sui campi elettrico E e
magnetico B. Esse costituiscono l'apice della fisica classica, essendo il coronamento di secoli di
ricerche da parte di scienziati di tutto il mondo riguardanti l'elettromagnetismo. Con il lavoro di
Maxwell del 1873 si chiude infatti in un certo senso l'era della fisica classica, per poi passare nel
ventesimo secolo alle stravaganze della meccanica quantistica, con cui ci stiamo cimentando
tutt'ora. E vogliate crederci o no, le equazioni di Maxwell riescono a riassumere al loro interno
davvero tutti i risultati che i fisici avevano ricavato sperimentalmente fino ad allora (vedi le leggi di
Gauss per il campo elettrico e magnetico, il teorema sulla circuitazione di Ampère, le leggi di
Lorentz, e di Faraday, ...). In teoria, si suole dire, che prendendo come postulati queste quattro
equazioni, un matematico infinitamente abile sarebbe in grado di ricavare tutta la teoria
dell'elettromagnetismo senza bisogno di altro. Notevole, non è vero?
Per descrivere molto sinteticamente le equazioni, vediamo che esse definiscono dei legami fra il
campo elettrico E ed il campo magnetico B. Le due equazioni a sinistra contengono a primo
membro l'operatore differenziale di divergenza, che definisce in che modo, alla scala microscopica,
si generano i campi. Da qui si coglie una forte differenza fra i due campi: l'uno, quello elettrico, può
nascere in concomitanza di una carica (ρ) distribuita nello spazio, di segno positivo oppure
negativo; per il campo magnetico, invece, non esistono 'monopoli', e dunque per ogni polo positivo
ce ne deve essere uno uguale ma negativo (basti pensare alle calamite a noi molto familiari: sono
caratterizzate dal fatto di possedere - sempre - due poli di segno opposto). Le due equazioni di
destra contengono invece a primo membro l'operatore differenziale rotore, che indica il calcolo di
una circuitazione. Banalizzando al massimo, queste due equazioni enunciano il principio secondo il
quale una variazione nel tempo del campo elettrico genera un campo magnetico, ed una variazione
del campo magnetico genera un campo elettrico. Su questo principio si basano un numero pressochè
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Flavio Cimolin – Le equazioni di Maxwell
infinito di applicazioni tecnologiche con cui siamo a contatto tutti i giorni, ad esempio le dinamo o i
trasformatori.
Una semplificazione particolarmente interessante delle equazioni di Maxwell si ha quando le
collochiamo in un mezzo infinito ed omogeneo, in assenza di cariche libere e correnti di
spostamento. Rimaneggiano un po' le equazioni si può ottenere un'altra coppia di equazioni che
possono essere considerate fra le più belle di tutta la fisica: le equazioni delle onde
elettromagnetiche
Inutile dire che è grazie a queste teorie che l'uomo è stato in grado di utilizzare a proprio vantaggio
le onde elettromagnetiche, dapprima costruendo emettitori ed antenne in grado di creare e leggere
onde di grandezza voluta, in modo da gestirle per trasmettere segnali in grado di rendere possibili
comunicazioni anche a grandissima distanza, quasi in maniera istantanea.
In ultimo, per chi abbia un interesse matematico agli operatori differenziali che sono stati utilizzati
in questa pagina, mostriamo le definizioni in ordine degli operatori: divergenza, rotore, laplaciano e
D'Alambertiano.
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