Disuguaglianza tra gli elementi di un triangolo
Problema
(disuguaglianza tra gli elementi di un triangolo)
Considerato il triangolo ABC, sia P un punto interno al triangolo. Dimostrare che l’angolo BPC è
maggiore dell’angolo B AC .
Soluzione
Facciamo riferimento alla figura riportata a lato nella
quale, dopo aver preso il punto P interno al triangolo
ABC, abbiamo congiunto P con i vertici B e C e tracciato
il segmento AQ, essendo Q il punto d’intersezione della
retta [A;P] con il lato BC.
Per dimostrare la tesi è sufficiente richiamare il primo
teorema dell’angolo esterno di un triangolo di cui
ricordiamo l’enunciato:
Primo teorema dell’angolo esterno
Per un triangolo qualsiasi un angolo esterno è maggiore di
ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti.
Ciò premesso, osserviamo che relativamente al triangolo ABP l’angolo BPQ è esterno e quindi per
il suddetto teorema risulta vera la disuguaglianza
(1)
BPQ > B AP .
Considerando il triangolo ACP, l’angolo C PQ è esterno al triangolo e quindi risulta verificata la
disuguaglianza
C PQ > C AQ
(2)
Sommando membro a membro le disuguaglianze (1), (2) si ottiene la disuguaglianza
BPQ + C PQ > B AP + C AP ⇔ BPC > B AC
Cioè la tesi.
.
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
