Pompa di calore a celle di Peltier
( 3 ) Analisi dei dati
Scuola estiva di Genova
2 – 6 settembre 2008
1
Primo esperimento : riscaldamento
per effetto Joule
Come descritto nella guida, misuriamo tensione di alimentazione v della resistenza, corrente i, temperatura T del parallelepipedo di alluminio e tempo t ogni 30 secondi, per circa 3 minuti ( 180
secondi ).
Poi spegniamo l’alimentazione e proseguiamo le misure della temperatura T per altri 3 minuti.
Vanno bene anche altre scelte dell’intervallo di tempo fra una misura e la successiva, ma sconsigliamo
di prendere un intervallo maggiore di 30 secondi.
Nella tabella 1 riportiamo un esempio di dati misurati nel primo esperimento.
Osserviamo che la temperatura del parallelepipedo di alluminio continua ad aumentare un poco
anche dopo che l’alimentazione della resistenza è stata spenta.
Disegniamo un grafico di ∆T in funzione del tempo t, mostrato in figura 1. Osserviamo che esso
mostra un andamento lineare.
Dalla pendenza delle retta di interpolazione fra i punti possiamo calcolare la capacità termica del
parallelepipedo di alluminio. Poiché l’alimentazione della resistenza è a potenza costante, l’energia
fornita al parallelepipedo è semplicemente data dalla potenza per il tempo trascorso. Nel caso dell’esempio, la potenza elettrica di alimentazione vale P = v · i = 1.91 V · 1.09 A = 2.08 W. Perciò
il calore fornito al sistema vale Q = P t e dalla definizione di capacità termica C = Q/∆T troviamo
C = P t/∆T .
Dai dati dell’esempio, calcolando la pendenza della retta dei minimi quadrati, troviamo C =
107.7 J/K.
2
t [s]
v [V]
i [A]
T [◦ C]
∆T [◦ C]
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
1.90
1.91
1.91
1.91
1.91
1.91
1.91
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.10
1.09
1.09
1.09
1.09
1.09
1.09
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
22.7
23.1
23.7
24.3
24.9
25.5
26.1
26.4
26.4
26.4
26.4
26.4
26.3
0.0
0.4
1.0
1.6
2.2
2.8
3.4
3.7
3.7
3.7
3.7
3.7
3.6
Tabella 1: Dati misurati nell’esperimento di riscaldamento per effetto Joule.
3.5
Aumento di temperatura [° C]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
Tempo [s]
120
140
160
180
Figura 1: Grafico dell’aumento di temperatura ∆T in funzione del tempo t.
3
Secondo esperimento :
riscaldamento con pompa di calore
a celle di Peltier
Anche in questo secondo esperimento, misuriamo tensione di alimentazione v della resistenza, corrente
i, temperatura T del parallelepipedo di alluminio e tempo t ogni 30 secondi, per circa 3 minuti. Poi
spegniamo l’alimentazione e proseguiamo le misure della temperatura T per altri 3 minuti.
Nella tabella 2 riportiamo un esempio di dati misurati nel secondo esperimento.
Nella serie di misure di cui mostriamo i dati, non abbiamo misurato la tensione di alimentazione v
dopo che questa è stata spenta, ma è utile prendere anche queste misure.
Disegniamo un grafico di ∆T in funzione del tempo t, insieme al grafico dell’esperimento precedente.
La figura 2 mostra un grafico per il nostro esempio.
Nel secondo esperimento l’andamento mostrato dal grafico è lineare ?
Quale dei due metodi di riscaldamento è più efficiente ? Perché ?
Bilancio energetico del sistema ( il parallelepipedo di alluminio )
Conviene considerare il dispositivo a celle di Peltier come una macchina termica interposta fra un termostato freddo, costituito dalla base nera di alluminio e da tutto il laboratorio, e il parallelepipedo
di alluminio da riscaldare ( sistema ).
Energia assorbita
Durante un intervallo di tempo di durata infinitesima dt l’alimentazione fa un lavoro elettrico pari a
dL = P dt sul dispositivo a celle di Peltier. Parte di questo lavoro viene dissipato per effetto Joule
dal passaggio della corrente elettrica nelle celle e infine ceduto, una frazione s, al nostro sistema e,
una frazione u, al termostato freddo, cioè alla base nera di alluminio e a tutto il laboratorio. Sarebbe
necessario misurare quanto valgono le frazioni s ed u, ma con l’apparato a nostra disposizione questa
misura non è semplice e diretta. Perciò faremo delle ipotesi semplificative : che le due frazioni siano
complementari, cioè che la loro somma sia uguale a 1 ( s + u = 1 ) ; che siano uguali, per simmetria,
cioè che ognuna valga 0.5 ( s = u = 0.5 ), oppure che il valore di tali frazioni sia tale da riprodurre
meglio possibile la curva di riscaldamento.
Il restante lavoro elettrico fornito dall’alimentazione si aggiunge al calore estratto dal termostato
freddo e trasmesso, per effetto di Peltier, al sistema.
In definitiva,
dQassorbito
= v · i − uRi2 + ε · i · TF .
dt
4
t [s]
v [V]
i [A]
T [◦ C]
∆T [◦ C]
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
1.74
1.82
1.86
1.90
1.93
1.96
1.98
1.19
1.15
1.12
1.10
1.09
1.07
1.05
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
22.9
25.2
27.5
29.8
31.9
33.8
35.6
35.0
34.1
33.0
32.5
31.7
31.2
0.0
2.3
4.6
6.9
9.0
10.9
12.7
12.1
11.2
10.3
9.6
8.8
8.3
Tabella 2: Dati misurati nell’esperimento di riscaldamento con pompa di calore a celle di Peltier.
14
Joule
Peltier
Aumento di temperatura [° C]
12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Tempo [s]
120
140
160
180
Figura 2: Grafico dell’aumento di temperatura ∆T in funzione del tempo t per riscaldamento con
effetto Joule o con pompa di calore a celle di Peltier.
dove v e i sono la tensione e la corrente di alimentazione ; R è la resistenza interna del dispositivo a
celle di Peltier ; u la frazione di energia disssipata per effetto Joule che le celle cedono al termostato
freddo ; ε è il coefficiente di Seebeck ; TF è la temperatura del termostato freddo.
Energia ceduta
Il sistema cede energia per conduzione attraverso il dispositivo stesso a celle di Peltier :
dQceduto
= K · (TC − TF )
dt
dove K è il coefficiente di Fourier nell’equazione semplificata, che comprende i fattori geometrici e il
coefficiente di conducibilità termica del materiale ; TC è la temperatura del sistema.
5
t − 180 [s]
TC − TF [◦ C]
0
30
60
90
120
150
180
12.7
12.1
11.2
10.3
9.6
8.8
8.3
loge
TC −TF
10 ◦ C
0.239
0.191
0.113
0.030
-0.041
-0.128
-0.186
Tabella 3: Dati misurati durante la fase di raffreddamento del secondo esperimento.
Bilancio complessivo
Possiamo scrivere che
dQtotale entrante
= v · i − uRi2 + ε · i · TF − K · (TC − TF ).
dt
Se consideriamo la capacità termica C del sistema e la dipendenza della corrente i dal tempo,
possiamo scrivere la seguente equazione differenziale che regola l’aumento di temperatura del sistema :
C
dTC
= −KTC (t) + P − uRi2 (t) + εTF i(t) + KTF .
dt
(1)
e la cui integrazione non è banale. Abbiamo scritto P al posto di v(t) · i(t) perché la potenza di
alimentazione è costante e capiamo ora perché sia stata fatta questa scelta in fase di progettazione
dell’esperimento.
Calcolo dei parametri
Coefficiente di Fourier
Faremo l’ipotesi che la capacità termica C del sistema sia la stessa di quella valutata nel primo esperimento, anche se si tratta solo di un’approssimazione, perché non teniamo conto della capacità termica
del dispositivo a celle di Peltier.
Dai dati relativi alla curva di raffreddamento, cioè dopo che l’alimentazione elettrica del dispositivo
è stata spenta, possiamo valutare il rapporto fra il coeffiente di Fourier K e la capacità termica C.
Quando la corrente i di alimentazione vale 0, l’equazione differenziale (1) diventa
dTC
K
= − [TC (t) − TF ],
dt
C
cioè l’equazione differenziale di raffreddamento di un corpo per conduzione di Fourier, già vista nella
presentazione degli effetti termoelettrici. La sua soluzione è
¶
µ
K
TC (t) − TF = (TC,0 − TF ) exp − t ,
C
dove TC,0 è la temperatura raggiunta dal sistema al termine della fase di riscaldamento.
Se consideriamo il logaritmo naturale di (TC −TF )/10 ◦ C in funzione del tempo t possiamo calcolare
il rapporto K/C come pendenza della retta di interpolazione ( figura 3 ).
Nel caso del nostro esempio riportiamo i dati che ci interessano nella tabella 3. Dalla pendenza
della retta dei minimi quadrati troviamo che K/C = 2.46 × 10−3 s−1 e perciò K = 2.46 × 10−3 s−1 ·
107.7 J/K = 0.265 W/K.
6
0.3
0.25
0.2
loge [(TC-TF)/10° C]
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
20
40
60
80
100
Tempo [s]
120
140
160
180
C −TF
Figura 3: Grafico logaritmico della temperatura loge T10
in funzione del tempo t per la curva di
◦C
raffreddamento. La retta di interpolazione dei minimi quadrati è mostrata tratteggiata.
Resistenza interna e coefficiente di Seebeck
La differenza di potenziale v fra sistema e termostato freddo sarà uguale alla differenza di potenziale
prodotta per effetto Seebeck più la caduta di potenziale per effetto ohmico dovuto al passaggio della
corrente i nel dispositivo a celle di Peltier :
v = ε(TC − TF ) + Ri = ε∆T + Ri.
(2)
Poiché abbiamo misurato v, ∆T e i ( vedere la tabella 2 ), possiamo ricavare ε ed R come coefficienti
dei minimi quadrati.
Quindi prenderemo per queste grandezze i valori che rendono minima la somma
X
(vn − ε∆Tn − Rin )2
n
dove l’indice n si riferisce all’n-esima riga della tabella 2 o meglio alla parte di essa relativa alla fase di
riscaldamento.
Come è noto, questo è il metodo dei minimi quadrati di Legendre-Gauss.
La quantità sopra scritta come funzione delle variabili ε ed R è definita positiva, essendo una
somma di quadrati, e ammette un minimo assoluto. Le condizioni per trovare questo punto di minimo
corrispondono all’annullarsi delle derivate parziali rispetto a ε ed R, che si scrivono sotto forma di
sistema lineare
( ¡P
¢
P
P
∆Tn2 ε + ( n ∆Tn in ) R = n ∆Tn vn
¡P 2 ¢
Pn
P
( n ∆Tn in ) ε +
n in R =
n in vn ,
la cui soluzione è data da
P
P
P
P
vn )−(
∆Tn in )(
in v n )
( n i2nP
)( n ∆TnP
nP
n
ε=
2
2
2 −
∆T
i
∆T
i
(
)(
)
(
)
n
n
n
n
n n
n
P
P
P
P
2
in vn )−(
∆Tn in )(
∆Tn vn )
( n ∆TP
n )(
n
n P
n
P
.
R=
2
2
2 −
∆T
i
∆T
i
( n n )( n n ) ( n n n )
Nel nostro esempio troviamo i seguenti valori
X
∆Tn2 =
n
7
435.2 K2
v-Ri @VD
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
12
DT @°CD
Figura 4: Grafico di v − Ri, calcolato per R = 1.5 Ω, in funzione di ∆T . I punti rappresentano i valori
sperimentali, la curva la retta di interpolazione v − Ri = ε∆T con ε = 0.033 V/K.
X
∆Tn in
n
X
n
X
i2n
=
50.20 K A
=
8.639 A2
n
∆Tn vn
X
in vn
= 89.73 K V
= 14.62 W.
n
Perciò abbiamo che ε = 0.033 V/K e R = 1.5 Ω. Con questi valori, possiamo calcolare l’errore
quadratico medio su v come
X
h∆vi2RMS =
(vn − ε∆Tn − Rin )2 = 0.39 V2
n
che ci permette di stimare l’errore sui parametri trovati.
L’errore quadratico medio vale
s
rP
P 2
2
n in
n (vn − ε∆Tn − Rin )
h∆εiRMS =
= 0.023 V/K
P
P
P
2
7−2
( n ∆Tn2 ) ( n i2n ) − ( n ∆Tn in )
s
rP
P
2
2
n ∆Tn
n (vn − ε∆Tn − Rin )
h∆RiRMS =
= 0.2 Ω.
P
P
P
2
7−2
( n ∆Tn2 ) ( n i2n ) − ( n ∆Tn in )
Notiamo che l’errore su R è di poco più del 10 %, mentre l’errore sul coefficiente di Seebeck ε è
considerevole. Mostriamo nella figura 4 la quantità v − Ri calcolata con il valore di R = 1.5 Ω, in
funzione di ∆T , per avere un’idea visiva se l’approssimazione data dalla formula (2) sia adatta oppure
no.
Integrazione dell’equazione differenziale per la variazione di temperatura del sistema
Siamo quasi pronti per provare a integrare l’equazione differenziale (1). Ci manca ancora una stima
del valore della frazione u e la conoscenza della funzione i(t).
La tabella 2 ci mostra che la variazione relativa totale di i è del 12 %, ovvero piuttosto piccola.
Perciò per i prenderemo un’approssimazione lineare ( vedere la figura 5 ). Con il metodo dei minimi
8
1.2
1.18
1.16
Corrente elettrica [A]
1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0
20
40
60
80
100
Tempo [s]
120
140
160
180
Figura 5: Andamento temporale della corrente i di alimentazione che attraversa il dispositivo a celle
di Peltier e sua approssimazione lineare.
quadrati troviamo
i(t) = 1.175 A − (7.26 × 10−4 A/s) · t.
Possiamo ora provare a integrare numericamente l’equazione differenziale (1). E’ sufficiente usare
il metodo di Eulero con una scelta del passo di integrazione ∆t = 0.1 s. Per il parametro u scegliamo
tentativamente i valori u = 0, poi u = 0.5 e infine u = 1. Le curve di riscaldamento ottenute sono
mostrate nella figura 6. Che interpretazione fisica si può dare al fatto che i punti sperimentali siano
più in basso delle curve teoriche, a qualunque valore di u esse corrispondano ?
9
DT @°CD
15
10
5
t @sD
50
100
150
Figura 6: Curva di riscaldamento del sistema con pompa di calore a celle di Peltier. I punti rappresentano i valori misurati sperimentalmente. Le curve rappresentano la soluzione numerica dell’equazione
differenziale (1) per diverse scelte del parametro u : punteggiata corrisponde a u = 0, tratteggiata a
u = 0.5 e continua a u = 1.
10
