Insegnamento
Geometria
Livello e corso di studio
Laurea in Ingegneria Civile (classe L-7)
Laurea in Ingegneria Industriale (classe L-9): curriculum meccanico, elettronico, biomedico, gestionale
Settore scientifico
disciplinare (SSD)
MAT/03 - Geometria
Anno di corso
1
Numero totale di
crediti
9
Propedeuticità
Nessuna
Docente
Alfredo Donno
Facoltà: Ingegneria
Nickname: donno.alfredo
Email: [email protected]
Orario di ricevimento: consultare calendario videoconferenze
Obiettivi formativi
Il corso ha lo scopo di far acquisire allo studente una buona conoscenza del metodo analitico, che si rivela di
grande utilità nella soluzione di problemi geometrici, partendo dallo studio dell’algebra delle matrici e dei metodi
di risoluzione dei sistemi lineari.
I risultati di apprendimento attesi sono più precisamente: conoscenza e comprensione della struttura algebrica di
spazio vettoriale, dell’algebra matriciale, delle proprietà degli operatori lineari; capacità di applicare conoscenza
e comprensione per analizzare e risolvere problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici, e
problemi di geometria euclidea, nel piano e nello spazio, utilizzando tecniche algebriche.
La rappresentazione analitica del piano e dello spazio euclideo dà infatti la possibilità di applicare le nozioni di
base dell’Algebra lineare acquisite alla ricerca e allo studio delle equazioni dei luoghi geometrici.
Prerequisiti
E’ necessario che lo studente che si avvicina alla preparazione di questa materia abbia una buona padronanza di
alcuni argomenti di matematica di base, trattati tipicamente nella scuola superiore e rivisti nel corso di Istituzioni
di Matematica, quali:
- equazioni e disequazioni di primo e secondo grado intere e fratte;
- risoluzione di alcune equazioni algebriche di grado superiore al secondo;
- equazioni e disequazioni con valore assoluto e irrazionali;
- esponenziali e logaritmi: definizioni e proprietà fondamentali;
- equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche;
- funzioni goniometriche fondamentali. Archi associati. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari.
Teoremi sui triangoli rettangoli.
Contenuti del corso
Modulo 1 – Insiemi, applicazioni, gruppi e campi.
Modulo 2 – Spazi vettoriali R^n. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi.
Modulo 3 – Generatori, basi, dimensione.
Modulo 4 – Prodotto scalare in R^n. Matrici: prime definizioni.
Modulo 5 – Trasposizione di matrici. Prodotto righe per colonne.
Modulo 6 – Determinanti.
Modulo 7 – Matrici invertibili. Rango per minori.
1
Modulo 8 – Riduzione a scalini. Cambiamento di base.
Modulo 9 – Sistemi lineari. Metodo di Cramer.
Modulo 10 – Sistemi lineari normali e non normali.
Modulo 11 – Sistemi lineari omogenei. Eliminazione di Gauss.
Modulo 12 – Operatori lineari su R^n e matrici associate.
Modulo 13 – Teorema nullità + rango. Autovalori e autovettori.
Modulo 14 – Diagonalizzazione di operatori lineari.
Modulo 15 – Operatori lineari simmetrici.
Modulo 16 – Geometria analitica nel piano: prime definizioni. Vettori geometrici nel piano.
Modulo 17 – Prodotto scalare. Rette.
Modulo 18 – Intersezione e parallelismo di rette. Fasci. Angoli tra rette.
Modulo 19 – Distanza punto-retta. Circonferenza.
Modulo 20 – Equazione canonica delle coniche non degeneri.
Modulo 21 – Cambiamento di riferimento nel piano. Geometria analitica nello spazio: prime definizioni.
Modulo 22 – Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto.
Modulo 23 – Piani. Fasci di piani.
Modulo 24 – Rette. Parallelismo tra rette e retta-piano. Complanarità tra rette.
Modulo 25 – Angolo tra rette, tra piani, tra retta e piano.
Modulo 26 – Distanza punto-piano, punto-retta, tra due rette. Sfera.
Modulo 27 – Equazione canonica delle quadriche non degeneri. Cambiamento di riferimento nello spazio.
Materiali di studio
· MATERIALI DIDATTICI A CURA DEL DOCENTE
Il materiale didattico caricato dal docente in piattaforma è organizzato come segue.
I 27 moduli ricoprono interamente il programma, e ciascuno di essi contiene dispense, slide, e videolezioni in cui
il docente commenta le slide. Tale materiale contiene sia gli elementi di teoria necessari per affrontare lo studio
della materia, sia una grande quantità di esempi ed esercizi interamente svolti.
Sono infine presenti in piattaforma i testi e le soluzioni di ni precedenti appelli d’esame di Geometria, nonché
numerosi file contenenti ulteriori esercizi svolti dal docente sui vari argomenti del programma.
Testi consigliati:
· A. Carfagna, L. Piccolella. Complementi ed esercizi di geometria e algebra lineare. Zanichelli.
Metodi didattici
Il corso è sviluppato attraverso le lezioni preregistrate audio-video che compongono, insieme a slide e dispense,
i materiali di studio disponibili in piattaforma.
All’interno dei moduli 4, 8, 11, 15, 20, 27, cioè alla conclusione di ogni macroargomento, vi sono dei test di
autovalutazione, tramite i quali ogni studente può valutare sia la comprensione, sia il grado di conoscenza
acquisita dei vari contenuti e prendere coscienza di quali siano, eventualmente, i suoi punti deboli e le sue lacune
sui vari argomenti del programma. Tutti gli studenti sono fortemente incoraggiati a svolgere i test di
autovalutazione durante la propria attività di studio.
Sono altresì disponibili lezioni in web-conference programmate a calendario che si realizzano nei periodi
didattici.
La didattica si avvale, inoltre, delle cosiddette classi virtuali, gestite dal Tutor del corso, il Dottor Fabio Felici.
Le classi virtuali prevedono l’interazione fra tutor e studenti e fra studenti, in relazione alla discussione e
svolgimento di un’esercitazione assegnata dal tutor. In generale il tutor assegna una esercitazione relativa a un
2
argomento svolto nell’ambito del corso e stabilisce un tempo massimo per lo svolgimento dell’esercitazione. Per
lo svolgimento dell’esercitazione è auspicata la collaborazione e l’interazione fra studenti della stessa classe
virtuale. Il tutor supervisiona la discussione e interviene su richiesta o ad eventuale correzione di inesattezze nella
discussione. Entro il termine assegnato, ciascuno studente ha la possibilità di caricare nell’apposita area
l’esercitazione svolta. Il tutor revisiona gli elaborati e rende disponibile lo svolgimento corretto dell’esercitazione
nella classe virtuale.
Il Regolamento didattico del Corso di Laurea prevede che lo studente sia in grado di prepararsi a sostenere
l’esame nell’arco di un periodo di 12 settimane. Nel programma esteso che segue, il docente suggerisce una
scansione temporale della preparazione al corso; accanto a tale scansione temporale, si trova un’indicazione con i
moduli di riferimento e i relativi test di autovalutazione.
Modalità di verifica
dell’apprendimento
L’esame consiste di norma nello svolgimento di una prova scritta della durata di 90 minuti, tendente ad accertare
le capacità di analisi e rielaborazione dei concetti acquisiti.
La prova scritta prevede 5 esercizi (a risposta aperta) e un ulteriore esercizio a risposta multipla.
La massima votazione che lo studente può conseguire è di 30/30:
16 punti sono attribuiti alla parte di programma relativa all’Algebra lineare (moduli 1-15), e i restanti 14 punti
sono attribuiti alla parte di programma relativa alla Geometria analitica (moduli 16-27).
Durante la prova scritta NON è consentito utilizzare dispense, appunti, testi o formulari in formato cartaceo né
digitale. L’uso della calcolatrice è consentito solo nel caso di calcolatrici non scientifiche né programmabili.
ATTENZIONE
Gli studenti che, a seguito dell’avvenuto riconoscimento di un esame affine, sostenuto in una precedente carriera
accademica, devono sostenere l’esame di Geometria in forma ridotta (numero di c.f.u. inferiore a 9) saranno
esaminati su argomenti relativi alla sola Geometria analitica del piano e dello spazio (Moduli 16-27 del corso).
Gli studenti di altri corsi di laurea che intendono sostenere l’esame di Geometria, come materia a scelta da 6
c.f.u., saranno esaminati su argomenti relativi alla sola Geometria analitica del piano e dello spazio (Moduli
16-27 del corso).
Criteri per
l’assegnazione
dell’elaborato finale
L’assegnazione dell’elaborato finale avverrà sulla base di un colloquio con il docente in cui lo studente
manifesterà i propri specifici interessi in relazione a qualche argomento che intende approfondire; non esistono
preclusioni alla richiesta di assegnazione della tesi e non è prevista una media particolare per poterla richiedere.
Programma esteso e materiale didattico di riferimento
Modulo 1 - Lezione 1
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Insiemi, corrispondenze e applicazioni, gruppi e campi.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 2 - Lezione 1
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Spazi vettoriali R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 2 - Lezione 2
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi vettoriali di R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 3 – Lezione 1
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Generatori, basi, dimensione.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 3 – Lezione 2
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Generatori di un sottospazio di R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 1
Settimane 1,2; Test di
autovalutazione 1
Prodotto scalare in R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 2
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Matrici e operazioni sulle matrici.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 1
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Trasposizione di matrici. Matrici simmetriche e antisimmetriche.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 2
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Prodotto righe per colonne di due matrici.
Materiali didattici a cura del docente
3
Modulo 6 – Lezione 1
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Determinanti.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 2
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Proprietà dei determinanti.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 1
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Invertibilità e matrici inverse.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 2
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Rango di una matrice. Rango per minori.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 1
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Metodo di Gauss di riduzione a scalini.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 2
Settimane 3,4; Test di
autovalutazione 2
Cambiamento di base in R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 9 – Lezione 1
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Sistemi lineari: prime definizioni.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 9 – Lezione 2
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Sistemi lineari di n equazioni in n incognite.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 10 – Lezione 1
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Sistemi normali di m equazioni in n incognite.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 10 – Lezione 2
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Sistemi non normali.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 11 – Lezione 1
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Sistemi lineari omogenei.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 11 – Lezione 2
Settimane 5,6; Test di
autovalutazione 3
Metodo di eliminazione di Gauss per sistemi lineari.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 12 – Lezione 1
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Operatori lineari su R^n: definizioni e prime proprietà.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 12 – Lezione 2
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Matrice associata a un operatore lineare su R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 13 – Lezione 1
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Teorema nullità + rango. Automorfismi.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 13 – Lezione 2
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Autovalori e autovettori.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 14 – Lezione 1
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Diagonalizzazione di operatori lineari su R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 14 – Lezione 2
Settimane 7,8; Test di
Esercizi sulla diagonalizzazione di operatori lineari.
Materiali didattici a cura del docente
4
autovalutazione 4
Modulo 15 – Lezione 1
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Operatori lineari simmetrici su R^n.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 15 – Lezione 2
Settimane 7,8; Test di
autovalutazione 4
Esercizi sulla diagonalizzazione di operatori lineari simmetrici.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 16 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Geometria analitica nel piano: riferimento cartesiano, coordinate di punto. Vettori liberi. Operazioni sui vettori
liberi.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 16 – Lezione 2
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Rappresentazione cartesiana di vettori liberi. Parallelismo di vettori.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 17 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Prodotto scalare. Componente ortogonale di un vettore lungo una retta.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 17 – Lezione 2
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Rette nel piano.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 18 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Intersezione e parallelismo di rette. Fasci di rette.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 18 – Lezione 2
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Coseni direttori. Angolo di due rette e perpendicolarità tra due rette.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 19 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Area di un triangolo. Distanza punto-retta.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 19 – Lezione 2
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Curve e luoghi geometrici notevoli del piano. Circonferenza.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 20 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Ellisse, iperbole, parabola.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 21 – Lezione 1
Settimane 9,10; Test di
autovalutazione 5
Cambiamento di riferimento cartesiano nel piano.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 21 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Geometria analitica nello spazio: sistema di riferimento cartesiano, coordinate di punto, vettori liberi e loro
rappresentazione cartesiana.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 22 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 22 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Esercizi.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 23 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Equazione cartesiana ed equazioni parametriche di un piano.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 23 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Parallelismo di piani. Fasci di piani.
Materiali didattici a cura del docente
5
Modulo 24 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Equazioni cartesiane ed equazioni parametriche di una retta.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 24 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Parallelismo di rette. Parallelismo retta-piano. Complanarità tra rette.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 25 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Coseni direttori. Angolo di due rette, di due piani, tra retta e piano. Perpendicolarità di due rette, di due piani, tra
retta e piano.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 25 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Esercizi.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 26 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Distanza punto-piano. Distanza punto-retta. Distanza tra due rette.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 26 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
La sfera.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 27 – Lezione 1
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Quadriche generali: ellissoide, iperboloide ellittico, iperboloide iperbolico, paraboloide ellittico, paraboloide
iperbolico.
Materiali didattici a cura del docente
Modulo 27 – Lezione 2
Settimane 11,12; Test di
autovalutazione 6
Cambiamento di riferimento cartesiano nello spazio.
Materiali didattici a cura del docente
6
