Capitolo 4 - Ateneonline

Introduzione alla logica e al linguaggio matematico - Giorgio T. Bagni, Daniele Gorla, Anna Labella
Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl
Soluzioni degli Esercizi da Svolgere
Capitolo 4
Esercizio 4.6. L’insieme dato è numerabile; una possibile biiezione tra esso
e i naturali è la funzione che associa il naturale k alla coppia ((k+1)2 , (k+1)3 ).
Esercizio 4.7. I due intervalli sono equipotenti. Per mostrare ciò, si con. Tale funzione
sideri la funzione (biiettiva) f : H → G tale che f (x) = x−2
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è costruita componendo la funzione f1 (x) = x − 2, che mostra l’equipotenza
di [2, 5] e [0, 3], con la funzione f2 (x) = x3 , che mostra l’equipotenza di [0, 3]
e [0, 1].
Esercizio 4.8. Sia A ⊆ N. Se A è finito, il caso è banale. Altrimenti,
poichè N è totalmente ordinabile, possiamo enumerare gli elementi di A come
a0 , a1 , . . . , an , . . . in modo che a0 < a1 < . . . < an < . . . . Si consideri ora
f : A → N tale che f (ai ) = i. Essa è una funzione, poichè ad ogni elemento di
A associa un unico indice (il suo posto nell’ordinamento); inoltre è iniettiva
(banalmente) e suriettiva (visto che, per ipotesi, A non è finito). Quindi, f
è una biiezione tra A e N; pertanto questi insiemi risultano equipotenti.
Esercizio 4.9. Banalmente, A è equipotente ad A; essendo A ⊆ B, per
definizione di ≤# , segue che A ≤# B.
Esercizio 4.10. Per l’esercizio svolto 4.5, per ogni A ⊆ N si ha che A =# N
oppure N \ A =# N. Visto che per ipotesi N \ A 6=# N, deve essere A =# N.
Se invece A ⊆ N è tale che A =# N, non è detto che N \ A sia finito: si
considerino, ad esempio, i naturali pari e dispari, entrambe equipotenti a N.
Similmente, se A ⊆ R e R \ A è finito, allora A =# R.
Esercizio 4.11.
1. È facile vedere che A ∪ B è uguale all’unione di A \ B, A ∩ B e B \ A,
dove questi tre insiemi sono a due a due disgiunti. Sia c1 = #(A \ B),
c2 = #(A ∩ B) e c3 = #(B \ A); allora, #(A) = c1 + c2 , #(B) = c2 + c3
e #(A ∪ B) = c1 + c2 + c3 = #(A) + #(B) − #(A ∩ B).
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2. L’insieme A × B è costruito prendendo, per ogni elemento a ∈ A, #(B)
coppie del tipo (a, b), dove b ∈ B. Quindi, #(A × B) = #(A) · #(B).
3. Siano A = {a1 , . . . , am } e B = {b1 , . . . , bn }, cioè #(A) = m e #(B) = n;
bisogna quindi dimostrare che #(B A ) = nm . Per costruire una generica funzione f da A a B dobbiamo specificare, per ogni elemento di A,
quale (unico) elemento di B dobbiamo associargli. In generale, ogni
a ∈ A può essere associato ad ogni b ∈ B; quindi, per ogni a ∈ A,
abbiamo n possibili scelte per f (a). Poiché questa scelta va fatta esattamente m volte (una per ogni elemento di A), abbiamo nm possibili
funzioni.
(N.B.: questo esercizio potrebbe essere risolto in maniera molto naturale utilizzando il principio di induzione che verrà presentato e discusso
nel capitolo 5)
Esercizio 4.12. Sia F : {0, 1}A → ℘(A) tale che
F (g) = {a ∈ A : g(a) = 1}
e dimostriamo che F è biiettiva.
Per dimostrarne l’iniettività, siano g e g 0 due funzioni diverse da A a
{0, 1}. Poiché g 6= g 0 , deve esistere un a ∈ A tale che g(a) 6= g 0 (a), per
esempio g(a) = 1 e g 0 (a) = 0; allora, a ∈ F (g) e a 6∈ F (g 0 ), da cui F (g) 6=
F (g 0 ).
Per dimostrarne la suriettività, fissiamo un A0 ⊆ A e consideriamo la
funzione gA0 : A → {0, 1} tale che g(a) = 1, se a ∈ A0 , e g(a) = 0, altrimenti
(tale funzione è chiamata funzione caratteristica di A0 ). È facile dimostrare
che F (gA0 ) = A0 , e questo basta per concludere.
Esercizio 4.13. Immediata conseguenza degli Esercizi 4.11(3) e 4.12.
Esercizio 4.14. Sia A = {a1 , . . . , am }; bisogna dimostrare che #(BijA ) =
m!. Per costruire una funzione biiettiva f da A in sè dobbiamo specificare,
per ogni elemento di A, quale (unico) elemento di B dobbiamo associargli in modo che (1) elementi diversi abbiano immagini diverse (iniettività)
e (2) ogni elemento sia tra le immagini di f (suriettività). In generale, a1
può essere associato ad ogni ai ∈ A; quindi, per a1 , abbiamo m possibili
scelte per f (a1 ). Ora, a2 può essere associato ad ogni ai ∈ A, tranne che
ad f (a1 ), altrimenti l’iniettività di f non varrebbe; quindi, per a2 , abbiamo
m − 1 possibili scelte per f (a2 ). Per a3 possiamo scegliere un qualunque elemento in A \ {f (a1 ), f (a2 )}, avendo quindi m − 2 possibili scelte. E cosı̀
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via. Alla fine, per am avremo una sola possibile scelta e questo garantisce la suriettività. Pertanto, tutte le possibili biiezioni da A in sè sono
m(m − 1)(m − 2) . . . 1 = m!.
(N.B.: questo esercizio potrebbe essere risolto in maniera molto naturale utilizzando il principio di induzione che verrà presentato e discusso nel capitolo
5)
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