Modellizzazione con Cabri di esperimenti fisici

Modellazione con Cabri di esperimenti fisici
Antonio Scafuro – Liceo Scientifico “Rescigno” – Roccapiemonte – Salerno –
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www.antonioscafuro.it
Sommario
1) Moto del proiettile. Si tratta di un disegno dinamico che mette in evidenza la dipendenza
della traiettoria dalla quota del punto di partenza, dalla velocità iniziale, dall’angolo di
lancio e dal campo gravitazionale dentro il quale il proiettile si muove. Sul disegno è
possibile modificare in modo interattivo i parametri determinanti del moto e vedere in
tempo reale i cambiamenti che queste modifiche provocano.
2) Moto armonico semplice: ovvero proiezione, su un diametro, di un punto che corre su una
circonferenza percorrendo archi uguali in tempi uguali
3) Campi elettrici da cariche puntiformi. Posizionando una o più cariche elettriche in punti
diversi del piano si determina la struttura del campo elettrico intorno a tali punti. Il
modello che propongo consente di assegnare e variare in modo interattivo le posizioni, i
valori ed i segni delle cariche e restituisce i campi dovuti alle singoli cariche ed il campo
risultante in forma vettoriale. Di tale modello propongo alcune varianti:
a. Campo sull’asse di un dipolo
b. Campo determinato da una carica fissa positiva circondata da una carica opposta
in moto su una traiettoria circolare
c. Campo nel centro di un quadrato con cariche assegnate nei suoi vertici
L’importanza di tale modello sta nella possibilità di visualizzare i campi in modo
vettoriale e dinamico: si evidenziano in modo efficace i fattori che determinano la
formazione dei campi.
→
Moto del proiettile. La traiettoria di un proiettile lanciato con velocità v o che formi l’angolo
α con l’orizzonte è descritta dalla parabola y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c , con
g
a=−
, b = tan(α ) , c = h
2
2v x
m
dove g = 9,8 2 è l’accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre ed h è
s
l’altezza del punto di lancio.
Parabola.
Ovviamente la traiettoria effettivamente descritta dal proiettile ha un inizio ed una fine,
rispettivamente nel punto di partenza e nel punto d’impatto col suolo. Rappresentare l’intera
parabola è banale. Definita l’espressione a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c la si applica all’asse x e si ottiene la
parabola che contiene la traiettoria. Già qui è possibile cambiare i parametri iniziali del
problema e vedere come cambia la traiettoria.
È possibile anche
osservare come
l’altezza
massima
raggiunta e la
gittata dipendono
dall’altezza e
dall’angolo di
lancio, oltre che
dalla velocità
iniziale e dal
valore di g.
Arco effettivamente percorso
Rappresentare solo l’arco effettivamente percorso è sicuramente più interessante. Per poterlo
fare, fissato il punto di partenza sull’asse y, dobbiamo sapere dove il proiettile cade al suolo,
rappresentato dall’asse x. Intersecando la parabola con l’asse x otteniamo
− b − b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
xF =
, se il proiettile è sparato verso destra rispetto all’asse y, e
2⋅a
− b + b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
, se lo stesso è sparato verso sinistra. Definendo, allora,
2⋅a
v
− b − x b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
vx
otteniamo in ogni caso l’intersezione che ci interessa..
xF =
2⋅a
Fissiamo allora sull’asse x il segmento che sta sotto la traiettoria e su di esso fissiamo un
punto X e le sue coordinate.
xF =
Applichiamo
l’espressione
parabola prima
definita all’ascissa
di X e riportiamo il
risultato su y in Y.
Incrociando X ed Y
con le
perpendicolari, o
con le parallele,
otteniamo il punto
P e costruiamo
l’arco al quale
siamo interessati
come luogo di P.
Agendo sui
parametri iniziali
del
problema vediamo come cambia la traiettoria del proiettile e da questa possiamo risalire alla
gittata, all’altezza massima raggiunta ed è possibile anche scoprire, o verificare, le relazioni
esistenti tra queste ed i parametri iniziali.
Se poi vogliamo
visualizzare il
proiettile in moto,
fissiamo un punto
Q, con lo spessore
massimo, sull’arco
costruito e lo
animiamo. Se
abbiamo proiettato
Q sugli assi,
contemporaneamen
te al moto
di Q osserveremo i moti delle sue proiezioni sugli assi.
Moto armonico semplice
È semplice disegnare una circonferenza gamma, fissare un punto P su di essa ed animarlo. Si
fa così un moto circolare uniforme.
P
Il passo successivo è un diametro qualsiasi di gamma
P
La proiezione, H, di P sul diametro
P
H
L’animazione di P sulla circonferenza produce il moto armonico semplice di H sul diametro.
Legando ad H la posizione di un carrello, anche questo si muoverà di moto armonico
semplice
P
H
Anima il punto P. Lo vedrai p
ercorrere la circonferenza co
n velocità costante. Contemp
oraneamente vedrai muover
si il punto H ed il carrello di
moto armonico semplice
Nel disegno Cabri di questa figura la molla si dilata e si restringe seguendo il moto del
carrello. Le ruote danno l’impressione di un moto reale.
Campi elettrici da cariche puntiformi
Introduzione: una carica puntiforme Q in un punto O dello spazio genera in P un campo
Q
elettrico E radiale di modulo E = K 2 , dove K è la costante di Coulomb ed r è la distanza
r
di P da O. Se la carica sorgente del campo è positiva il campo è repulsivo. Altrimenti è
attrattivo.
Quantificazione del procedimento:
N
Per quantificare E occorrono i valori di k, che nel vuoto vale circa 9 ⋅ 10 9 2 , Q ed r.
m
−13
Siccome r è restituito in cm, conviene che Q sia dell’ordine di 10 .
Col comando numeri definiamo, ed eventualmente cambiamo i
valori di k e di Q. Questi devono essere definiti nelle loro due
parti: coefficiente ed esponente di 10. La distanza r invece può
essere rilevata, una volta fissati i punti O e P, con il comando
“distanza tra punti “.Fissati i valori di k e di Q, e fissati i punti O
e P nel piano, con la calcolatrice determino il valore di E
moltiplicando i coefficienti di K e di Q e dividendo per r 2 . Già
qui è possibile vedere come cambia E cambiando K, Q e le
posizioni di O e di P. Costruiamo la Macro E: oggetti iniziali i
coefficienti di K e di Q, il punto O ed il punto P ed ha come
oggetto finale il valore di E.
Per rappresentare il vettore E procediamo così:
1) si simmetrizzi O rispetto a P in O’; 2)
semiretta s con origine in P e per O’; 3) si
trasporti E su s in T; 3) il vettore PT
rappresenterà E. E visto che ci siamo, costruiamo
la
Macro V_E: oggetti iniziali O, P ed il valore E di
E; oggetto finale il vettore E. Ora abbiamo a
disposizione una piattaforma che può aiutarci a
far scoprire ai ragazzi alcune cose importanti.
Proviamo ora a cambiare il valore di Q, operando
sul suo coefficiente. Cambiamo segno a Q ed
osserviamo. Spostiamo poi P, portandolo più vicino
o più lontano ad O.
Vincoliamo P su una circonferenza con centro in O
vediamo che succede ad E quando P si muove su di
essa. La figura a lato si ottiene applicando il
comando traccia al vettore E ed animando il punto P
vincolato sulla circonferenza.
Applicazioni: con la piattaforma costruita adottando le macro E e V_E possiamo
rappresentare e studiare una varietà significativa di situazioni:
1) Aggiungiamo una carica Q1 in un punto O1 e
serviamoci della macro V_E per aggiungere in P E1.
Disegnato E1 si costruisce il parallelogrammo di lati E ed
E1 per ottenerne il vettore risultante. Anche qui è
possibile costruire una macro che potrebbe essere
chiamata V_R (vettore risultante).
2) Come si comporta E sull’asse di un
dipolo?
O
O'
3) Quanto vale E al centro di un quadrato
con cariche assegnate sui suoi vertici
D
C
P
A
4) Come vedremo E su un punto mobile
di una circonferenza con al centro una
carica positiva assegnata intorno alla
quale gira una carica opposta
4.a) Il campo in P dipende dalla
posizione della carica negativa: in figura
è rappresentata la traccia del campo in P
mentre la carica negativa si muove sulla
sua traiettoria
B
4.b) Traccia del campo mentre sono in
moto la carica negativa ed il punto P e la
circonferenza che contiene P si allarga e
si restringe