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Moti nel piano
Moto del proiettile o moto parabolico
RICHIAMI DI MATEMATICA
Equazione di una
parabola
y  a x b x  c
2
a>0: concavità rivolta verso l’alto
a<0: concavità rivolta verso il basso
c=0 la parabola passa per l’origine
c0 la parabola interseca l’asse y
nel punto di coordinate (0,c)
RICHIAMI DI MATEMATICA
Parabola con concavità rivolta verso il
basso (a<0)
Come trovare i punti x1 e x2 di
intersezione con l’asse delle x?
Dobbiamo trovare i punti di intersezione
della parabola con l’asse delle x!
x1
x2
y  ax 2  bx  c
y0
ax 2  bx  c  0
x1 e x2 sono le soluzioni
dell’equazione di 2° grado
Accelerazione di gravità
a = g = 9.8 m/s2
SUPERFICIE TERRESTRE
L’accelerazione di gravità è diretta verso il centro della
Terra ed ha il valore di g = 9.8 m/s2
Negli esercizi di cinematica/dinamica si trascura la curvatura
terrestre e si assume che g sia semplicemente diretta verso
il basso.
Moto del proiettile (1)
Y
a = g = 9.8 m/s2
v0

SUPERFICIE TERRESTRE
X
Un punto materiale parte dall’origine del sistema di riferimento
con velocità iniziale v0 inclinata di un angolo  sull’orizzontale.
Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale.
Si osserva che l’accelerazione è presente solo nella
direzione Y.
Scriviamo separatamente le equazioni orarie del punto
materiale su asse X ed asse Y.
Moto del proiettile (2)
Y
a = g = 9.8 m/s2
v0

SUPERFICIE TERRESTRE
X
Che tipo di equazioni orarie governano il moto del punto materiale?
Asse X: non c’è accelerazione  equazione del moto rettilineo
uniforme.
Asse Y: accelerazione g (costante)  equazione del moto
uniformemente accelerato.
Moto del proiettile (3)
Dalle due equazioni orarie e dall’equazione della
traiettoria si possono ricavare molte
caratteristiche salienti sul moto.
1. Quanto tempo il proiettile resta in aria?
2. Qual è la massima altezza raggiunta?
3. A che distanza tocca Terra?
Moto del proiettile (4)
Y
a = g = 9.8 m/s2
Il vettore g è opposto
al verso positivo
dell’asse Y !!!!
v0
v0y

v0x
X
Si scompone la velocità iniziale secondo le
componenti X e Y.
v 0x  v 0 cos 
v 0y  v 0sen
Moto del proiettile (5)
Y
Il moto di un proiettile è la combinazione:
g
• di un moto orizzontale con velocità
costante (asse X) e
v0
v0y

v0x
X
• di un moto verticale con accelerazione
costante (asse Y)
Le equazioni orarie che descrivono il moto nel sistema di
riferimento scelto sono:
x = x 0  v 0x t
1 2
y = y 0  v 0y t  at
2
Moto del proiettile (6)
Ricordando che:
 Il proiettile parte dall’origine: x 0=0, y0=0
 l’accelerazione a=-g:
allora le equazioni del moto divengono:
x = v 0x t
1
y = v 0y t  gt 2
2
Moto del proiettile (7)
Ricordando la scomposizione della velocità iniziale v 0x  v 0 cos 
v 0y  v 0sen
possiamo anche scrivere, per le equazioni orarie:
x = v 0x t  v 0 cos t 

1 2
1 2
y = v 0y t  gt  v 0sen t  gt
2
2
e per le velocità lungo i due assi:
v x  v 0 x  v 0 cos  costante
v y  v 0y  gt  v 0sen  gt
Moto del proiettile (8)
Equazione della traiettoria
Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava
l’equazione della traiettoria:
x = v 0x t  t 
x
v 0x
1 2
y = v 0y t  gt  v 0y
2
y=
v 0y
v 0x
 x

v
 0x
 1  x

  2 g
v

 0x




2
v 0y
1 g
1 g
2
2
x
x 
x 
x
2
2
2 v 0x
2 v 0x
v 0x
Moto del proiettile (9)
 1 g
y

 2 v2
0x

 2  v 0y


x


v

 0x
a
b


x


c=0
Abbiamo trovato un’equazione di secondo grado del tipo
y = ax 2+bx+c
:
EQUAZIONE DI UNA…
PARABOLA!
passante per l’origine (c=0) e con concavità rivolta verso il basso (a<0)
Moto del proiettile (10)
Scomponendo la velocità iniziale nelle sue componenti:
 1 g  2  v 0y 
 x  
 x 
y   
2 
 2 v 0x 
 v 0x 

 1
g

 
2
2
2
v
cos

0

 2  v 0 sen
 x  

 v 0 cos
 1
g
  
2
2
2
v
cos

0


 x 

 2
 x  tg x

v 0x  v 0 cos 
v 0y  v 0sen
In sintesi
L’equazione della traiettoria nel moto di un proiettile lanciato con
velocità iniziale v0 che forma un angolo  con l’asse orizzontale è:
g
2
y 2
x  tg  x
2
2v0 cos 
y  ax  bx  c;
2
Abbiamo trovato che la
traiettoria del proiettile è
descritta dall’equazione di
una parabola:
g
a 2
;
2
2v0 cos 
b  tg  ;
c  0.
Traiettoria del proiettile
Altezza massima
Quanto vale l’altezza massima raggiunta dal corpo?
 Quando il corpo raggiunge il punto di massima altezza la sua
velocità lungo l’asse verticale si annulla!


Da questa relazione posso ricavare il tempo impiegato a
raggiungere il punto di altezza massima: t=tmax:


vy = v0y - gt = 0
tmax = voy/g
e infine, dall’equazione della traiettoria determinare l’altezza
massima:
1 2
y = v 0y t  gt  v 0y
2
 v 0y

 g

2
2
 1 v 0y
1 v 0y

  2 g g2  2 g

Altezza massima

In sintesi, nel punto di massima altezza raggiunto
dal proiettile si ha:
 vy=0
 tmax=
v 0y
g
2
1 v 0y
 ymax=
2 g
Gittata (1)

La gittata è la distanza lungo l’ asse X fra il punto in cui il
corpo si stacca dal suolo e il punto in cui il corpo tocca
nuovamente il suolo.
GITTATA
Gittata (2)


Dalla definizione, per trovare la formula della gittata
basta mettere a sistema l’ equazione della parabola con
l’ equazione dell’ asse X (y=0)
trovare l’intersezione della parabola con l’asse delle X
2
gx
y  tg  x  2
2
2v0 cos 
y0
Gittata (3)
y0
g
2
0  tg   x 
x
2v02 cos 2 
b
a
Equazione di 2° grado
del tipo: ax2+bx=0
Le cui soluzioni sono:
x1=0
x2=-b/a
Le soluzioni dell’equazione sono:
x1  0
sen
2
2
2
v
v
cos
0
x2  

sin  cos   0 sin(2 )
g
g
g
2v 02 cos 2
Gittata (4)

Abbiamo trovato l’espressione della gittata:
2
0
v
GITTATA  x  x2  x1 
sin(2 )
g
x1
x2
GITTATA