Legge di Gauss
Legge
di Gauss in forma integrale e locale
Esempi
Equazioni di Poisson e di Laplace
Problemi di Dirichlet e Neumann
Problema generale dell elettrostatica
Legge di Gauss
Superficie Σ immersa nel campo
elettrostatico generato da una carica q
!
! !
d!( E) " E # n dA =
!
E
!
er
θ
!
n
Σ
dA
dΩ
q
! !
er ! n dA
= d"
2
r
q ! !
e ! n dA
2 r
4!" 0 r
!
q
d!( E) =
d"
4!" 0
dipende solo dall angolo solido
dA ! r
E!r
2
!2
Legge di Gauss
Superficie chiusa
dA
Σ
Carica esterna
r
n
Carica interna
!
!( E) =
!
!( E) = 0
!
q
" d !( E) = 4!"
0
q
" d# = "
0
tanto flusso entra quanto esce
Il campo incontra 2 volte la superficie sotto lo stesso angolo solido
L orientamento dei due elementi intercettati e` opposto
Legge di Gauss
n-cariche: principio di sovrapposizione
i
distribuzioni continue di carica elettrica
(e simili per distribuzioni superficiali e lineari)
Legge di Gauss
Il flusso del campo elettrico attraverso una
superficie chiusa e` uguale alla somma delle
cariche elettriche contenute nel volume
racchiuso dalla superficie divisa per ε0 ,
comunque siano distribuite le cariche
Legge di Gauss
La legge di Gauss e` dovuta al fatto che
valgono la legge di Coulomb e il principio
di sovrapposizione
E` attraverso la legge di Gauss che si
sottopone a verifica sperimentale la legge di
Coulomb
(e anche verificando che la massa del fotone mγ=0)
Legge di Gauss
La legge di Gauss e` dovuta al fatto che
valgono la legge di Coulomb e il principio
di sovrapposizione
Importante teoricamente, e` anche utile in
problemi pratici quando ci sono simmetrie
Esempio. Sfera con superficie
uniformemente carica.
!
!
Q
Σ2
E
=
E(r)
e
σ
=
r
2
σ
4π R
R
Σ1
r>R
r
! !
! =1 !
!# E ! n dA = !# E(r)er ! er dA
"2
2
Q
4
!"
R
E(r) ! dA =E(r)4! r 2 = =
!0
!0
!2
!
! !
!( E) = ! E ! n dA =0
r
r<R
"2
!1
Esempio. Sfera cava con superficie
uniformemente carica.
2
4
!"
R
E(r)4! r 2 =
!0
(r > R)
)0
+
2
E(r) = * ! " R %
Q 1
+ $ ' =
2
, " 0 # r & 4#" 0 r
r!R
r(R
E
Come per una carica puntiforme nel
centro della sfera (r>R)
r
Potenziale sfera cava con
superficie unif. carica
Il potenziale V(r) all esterno e` come per una
carica puntiforme Q
All interno e` costante e prende il valore V(R)
V(r)
Q
4!" 0 r
Q
4!" 0 R
R
r
Esempio.
Sfera uniformemente carica.
r
R
r
4
Q = ! R3 "
3
!(E) = E(r) ! dA =E(r)4! r 2
!
1 4 3
#
2
r<R
" r # = E(r)4" r ! E(r) =
r
!0 3
3! 0
3
1 4
#
R
1
3
2
r!R
" R # = E(r)4" r " E(r) =
!0 3
3! 0 r 2
Esempio.
Sfera uniformemente carica.
E
r
∝r
1
∝ 2
r
R
r
r
R
"
r!R
V (r) =
#
r
Q 1
E(r)dr =
4!" 0 r
R
r!R
V (r) !V (R) =
!
r
!
E(r)dr =
3" 0
4
!
R3 !
Q 1 3
1 ! R2
V (R) =
=
=
4!" 0 R
4"# 0 R 3! 0
R
!
r
!
r dr =
(R 2 ! r 2 )
6" 0
Esempio. Filo uniformemente
carico.
!
!
! " ( E) = ! " ( E) = 0
1
!
Q #h
! " ( E) = 2! rhE(r) = =
3
"0 "0
n
Σ1
E
Σ3
r
h
n
Σ2
Q = !h
2
E
! 1
E(r) =
2"# 0 r
r
!
r
V (r) !V (r0 ) = ! " E(r)dr = !
ln
2"# 0 r0
r0
Esempio. Piano indefinito
uniformemente !carico.
!
!
(
! !
E!n
)
"2
!
!( E) = ! " ( E) + ! " ( E) + ! " ( E)
1
2
3
!
!
E
= ! " ( E) + ! " ( E)
=E
2
A
n
Σ1
A
n
Σ3
E
(
n
! !
E!n
)
"3
=E
= 2AE
E
Σ2
(
! !
E!n
)
3
!1
=0
Q A!
2AE = =
!0 "0
! ! !
E=
n
2! 0
Forma differenziale (locale)
della legge di Gauss
Usiamo il teorema della divergenza
! !
!
! !
!( E) = "
$ E " n dA = $ # " E dV
V
%V
Per la legge di Gauss
!
Q
!( E) = =
!0
"
V
=
" dV
Forma differenziale (locale)
della legge di Gauss
$!
!'
* V & ! " E # " ) dV = 0
%
0 (
Quindi:
Ma il volume V e` arbitrario. La relazione
deve valere per qualsiasi volume V.
Equazioni di Maxwell per
l elettrostatica
Il campo elettrostatico e`
conservativo
Le cariche elettriche sono sorgenti
del campo elettrostatico. Valgono la
legge di Coulomb e il principio di
sovrapposizione.
Equazione di Poisson
Equazione per il potenziale elettrostatico
Combina le due equazioni di Maxwell
!
Conservativo ! " E = 0 #
Coulomb + sovrapposizione
!
! V ="
"0
2
!
!
E = !"V
! ! !
!"E =
"0
!
!
!
#
!
2
" % & ' (&V = !" V =
"0
#
$
Equazione di Poisson
(
)
Se le sorgenti si annullano
abbastanza rapidamente all infinito
!
V (r ) =
1
4!" 0
"
!
# ( r ')
! ! dV '
| r ! r '|
Equazione di Laplace
Nel vuoto (in assenza di cariche elettriche)
2
! V =0
Equazione di Laplace
Problemi di Dirichlet e
Neumann
Note le distribuzioni delle sorgenti del campo
si determina il potenziale risolvendo
l equazione di Poisson (complicato)
In pratica spesso sono noti il potenziale su
una superficie (problema di Dirichlet)
oppure il campo elettrico su una superficie
( la derivata normale del potenziale) (problema di Neumann)
Unicita` della soluzione (*)
Si basa sull esistenza della soluzione dell equazione di
Laplace.
La assumiamo.
Ω
V1
V2
ψ ≡ V1 − V2
Σ condizioni al contorno su Σ
V1 e V2 siano soluzioni
dell eq. di Poisson entro Ω
V1 e V2 soddisfano le stesse
condizioni al contorno su Σ
Poniamo Ψ = V1-V2
Unicita` della soluzione (*)
! " V1 #V2
! 2V1 = "
Ω
!
"0
Dirichlet
! 2V2 = "
!
"0
(V )
1
!
= (V2 ) " ( # ) = 0
2
!
!
2
! "=0
Σ
Neumann
!
" !V % " !V %
" !* %
!
1
2
$
' =$
' )$
' = 0 = +* , n
# !n & ( # !n & ( # !n & (
Unicita` della soluzione (*)
! " V1 #V2
%
! "=0
!
!
! " (#!# )dV=
$
2
! !
!
!
% (!" # "! + "! # "!)dV
$
teor. diverg.
!
= $ (!" 2 ! + | !" |2 )dV
=0
#
!
!
=!
% (!"!) # n dA
$
"!
=!
$ ! "n dA =
#
! 2
" ( | #$ | )dV
!
Unicita` della soluzione (*)
"!
$! ! "n dA =
#
2
$ | %! | dV
&
= 0 Neumann
= 0 Dirichlet
⇒
!
!" = 0 in #
⇒ Ψ costante
Dirichlet Ψ = 0 (V1=V2)
Neumann V1=V2+cost.
Problema generale
dell elettrostatica
Determinare il campo elettrico in tutto lo spazio
quando per M conduttori sono fissati i
potenziali e per i rimanenti N sono note le
cariche possedute
Nello spazio esterno ai conduttori vale
l equazione di Laplace
Problema generale
dell elettrostatica
Si risolve il problema di Dirichlet, identificando
le soluzioni dell equazione di Laplace che
soddisfano le condizioni al contorno specificate
Dal potenziale si calcola il campo elettrico nei
punti infinitamente vicini alla superficie dei
conduttori
Problema generale
dell elettrostatica
Dal campo elettrico sulla superficie si ottiene la
densita` di carica superficiale (σ=ε0E) e da
questa la carica totale Q
Per gli N conduttori in cui sono note le cariche
si deve risolvere il problema di Neumann (piu`
complesso)
