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Esercizi di dinamica del punto materiale
Esercizio 1
Tre blocchi di massa rispettivamente
Kg,
Kg e
Kg poggiano su un piano
orizzontale e sono uniti da due funi (vedi figura). Sul blocco agisce una forza orizzontale pari a
Si determini l'accelerazione di ciascun blocco e la tensione delle due funi nel caso in cui:
N.
a)
non vi sia attrito tra blocchi e piano
b)
l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a
.
Soluzione
Esercizio 2
Allo specchietto retrovisore di una macchina è appeso un ciondolo di massa
g tramite un filo di
lunghezza
cm. La macchina percorre un tratto di strada piano a velocità costante pari a
Km/h (fase 1), quindi rallenta con decelerazione costante per un tratto di m (sempre in piano) fino alla
velocità
Km/h (fase 2). Con la velocità costante
la macchina percorre una curva (ancora in
piano) con raggio di curvatura m (fase 3). Al termine della curva la macchina imbocca una salita con
inclinazione
rispetto all'orizzontale, lungo la quale accelera con accelerazione costante pari a
(fase 4). Si determini per ciascuna delle quattro fasi l'inclinazione del filo rispetto alla verticale, la
direzione dell'inclinazione (concorde, opposta o perpendicolare al moto della macchina) e la tensione del filo.
Soluzione
Esercizio 3
Un bambino gioca con una pallina su una pista collocata sopra un tavolo ad altezza
m rispetto al
pavimento (vedi figura). Il bimbo vuole colpire con la pallina un bersaglio sul pavimento a distanza
cm dal piede del tavolo. La pista è inclinata di
rispetto al piano orizzontale del tavolo e tra la fine
della pista e il bordo del tavolo c'è una distanza
cm.
a)
Quale deve essere la velocità con cui la pallina arriva al bordo del tavolo?
b)
Se il bimbo lascia partire da ferma la pallina, da quale altezza
andare? Si supponga che
rispetto al tavolo deve lasciarla
)
non vi siano attriti
)
lungo il tratto orizzontale sul tavolo vi sia un attrito con coefficiente
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.
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(Si assuma che nel punto di cambio di pendenza tra pista e tavolo la velocità lineare della pallina non cambi in
modulo).
Soluzione
Esercizio 4
Un blocco di massa
è appoggiato su un piano inclinato con angolo di inclinazione rispetto
all'orizzontale. Il coefficiente di attrito tra blocco e piano inclinato sia . Il piano inclinato trasla su un piano
orizzontale nella direzione di discesa del piano inclinato. Si determini il valore minimo di
per il quale il
blocco rimane fermo rispetto al piano inclinato e il valore della reazione vincolare normale al piano inclinato
nel caso in cui
a) il piano inclinato trasla con velocità costante
b) il piano inclinato accelera nella direzione del moto con accelerazione
.
Soluzione
Esercizio 5
Su un piano inclinato con angolo di inclinazione
rispetto all'orizzontale sono posti due blocchi a
forma di cubo di massa
kg e
kg. Il blocco di massa
si trovi più in basso rispetto all'altro
lungo il piano inclinato. Il coefficiente di attrito tra blocchi e piano inclinato sia
. I due blocchi
sono collegati da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Sulla superficie superiore del blocco di massa
(quello più in alto) è appoggiato un corpo di massa
kg a distanza
cm dai bordi del
blocco. Il coefficiente di attrito tra il corpo e la superficie superiore del blocco di massa
. All'istante
sia
entrambi i blocchi e il corpo sono in quiete con la fune in tensione. Si
determini
a) l'accelerazione del corpo
b) l'accelerazione di ciascuno dei due blocchi e la tensione della fune
c) dopo quanto tempo il corpo raggiungerà il bordo del blocco e da quale parte cadrà.
Soluzione
Esercizio 6
Un'asta è incernierata a un suo estremo ad un asse verticale che ruota con velocità angolare costante .
Sull'asta è infilata una pallina che può scorrere lungo l'asta con coefficiente di attrito . Si determini in
funzione di
e dell'angolo di inclinazione
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l'intervallo di valori di
per cui la pallina rimane in equilibrio.
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Soluzione
Esercizio 7
Due blocchi di massa
kg e
kg sono uniti da una fune inestensibile e di massa trascurabile
che passa attraverso una carrucola anch'essa di massa trascurabile. Ciascuno dei due blocchi poggia su un
piano inclinato come rappresentato in figura. Si trascuri l'attrito tra blocchi e piani inclinati e si calcoli
a1)
l'accelerazione del sistema
a2)
la tensione della fune
Si suppongano i due blocchi inizialmente in quiete a una quota comune
orizzontale.
m rispetto al piano
a3)
Dopo quanto tempo uno dei due blocchi raggiunge il piano orizzontale? che quota ha raggiunto in
questo istante l'altro blocco?
b)
Si ripetano i calcoli di cui al punto a1), a2), a3) assumendo un coefficiente di attrito tra blocchi e piani
inclinati pari a
.
c)
Qualè il valore massimo di
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che consente al sistema dei due blocchi di mettersi in moto?
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Soluzione
Esercizio 8
Un pendolo è composto da un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza
cm e da un corpo
di massa
kg. Il pendolo viene spostato dalla posizione di equilibrio fino a formare un angolo
rispetto alla verticale. Si determini:
a)
quale deve essere la velocità minima iniziale del pendolo affinché possa eseguire un giro completo
attorno al perno rimanendo in tensione?
b)
quanto vale la velocità del pendolo nel punto più basso della traiettoria (
) e nel punto corrispondente all'angolo
?
), nel punto più alto (
c)
quanto vale la tensione del filo nei tre punti della traiettoria considerati in b) ?
Soluzione
Esercizio 9
Due blocchi
e
di massa rispettivamente
kg e
kg poggiano su un piano orizzontale e
sono uniti da una fune. Al centro della superficie superiore piana del blocco
a distanza
cm dai
bordi è collocata una biglia di ferro di massa
kg. Sul blocco agisce una forza orizzontale di
intesità
N che trascina i due blocchi. Si assuma il sistema inizialmente in quiete e la fune tra i blocchi
e
già in tensione. In assenza di attrito tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco
si calcoli:
a1)
l'accelerazione dei blocchi
e
,
a2)
la tensione della fune,
a3)
dopo quanto tempo la biglia cadrà dal bordo del blocco
.
B)
Si ripetano i calcoli nel caso in cui tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco
sia un attrito con coefficiente
.
vi
Soluzione
Esercizio 10
Un'autovettura percorre una curva di raggio
m. Sia
il coefficiente di attrito tra pneumatici e
asfalto.
a)
Si calcoli la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva piana senza sbandare.
b)
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Si supponga che la curva sia sopraelevata, ovvero giaccia su un piano inclinato con inclinazione
rispetto all'orizzontale, qual'è in questo caso la velocità massima con cui l'auto può
percorrere la curva senza sbandare?
Soluzione
Esercizio 11
Un camion viaggia alla velocità di km/h. Sul cassone del camion è collocata una cassa di massa
kg. Il coefficiente di attrito tra cassa e pianale del cassone sia
.
a)
Si calcoli il minimo spazio di arresto del camion affinchè la cassa rimanga ferma sul pianale.
b1)
Si ripeta il calcolo di cui al punto a) nel caso in cui il camion percorre una strada in discesa con
inclinazione rispetto all'orizzontale
,
b2)
e nel caso in cui il camion percorre una strada in salita con la stessa inclinazione.
Soluzione
Esercizio 12
Su un lago gelato, una ragazza di massa
kg con i pattini da ghiaccio tira con una forza costante una
corda che è legata a una slitta di massa
kg. Inizialmente la slitta si trova a
m dalla ragazza ed
entrambe sono in quiete. Trascurando l'attrito si calcoli la distanza percorsa dalla ragazza quando viene in
contatto con la slitta.
Soluzione
Esercizio 13
Una persona si trova su una giostra che ruota con velocità angolare w costante assegnata. La persona
cammina tangenzialmente sul bordo della giostra (di raggio R) con velocità v’ assegnata, misurata rispetto la
giostra e nel suo stesso verso di rotazione. Dimostrare l’esistenza e l’essenzialità del termine di accelerazione
complementare (diCoriolis) confrontando le accelerazioni misurate nei sistemi di riferimento “fisso” e solidale
con la giostra.
Soluzione
Esercizio 14
Due biglie differenti (masse m ed M) procedono con velocità v e V secondo moti rettilinei uniformi e
mutuamente perpendicolari. Le biglie collidono e si osserva che, dopo l’urto, la
biglia di massa m procede nella stessa direzione e verso d’incidenza ma con velocità in modulo v’<v.
Ottenere il vettore velocità della biglia di massa M dopo la collisione.
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Soluzione
Esercizio 15
Allo scopo di stimare la costante di attrito viscoso in un mezzo, si ipotizza che l’attrito segua una legge del tipo
F = - k v e si utilizzano due tubi disposti orizzontalmente e di differenti lunghezze nei quali viene lanciato il
medesimo oggetto con la stessa velocità iniziale. Si osserva che all’uscita dai due tubi gli oggetti hanno
differenti velocità. In particolare, la differenza di velocità osservate sta in rapporto fisso con la differenza di
lunghezza dei due tubi. Si dimostri che con questi due dati (differenza di velocità d’uscita, v, e differenza di
lunghezza dei due tubi, x) è possibile ottenere (entro la risoluzione sperimentale e nell’ambito di applicabilità
del modello di attrito viscoso qui adattato) la costante di attrito viscoso stessa. Si espliciti il calcolo nel caso
numerico v = 0.2 m / sec e x = 5 cm per una massa di 1 Kg.
Soluzione
Esercizio n.16
Esercizio
Un ragazzo di massa m1 = 50 Kg corre su di una banchina a velocitµa costante v0 = 3 m/s. All'estremitµa
della banchina µe fermo un carrello di massa m2 = 100 Kg. Il ragazzo salta su di esso e dopo un breve
scivolamento si ferma rispetto al carrello. Supponendo trascurabile l'attritio tra il carrello ed il terreno, si
determini:
a) La velocitµa ¯nale assunta dal carrello vf
b) La forza di attrito agente sul ragazzo durante lo scivolamento sul carrello. Il coefficiente di attrito fra le
scarpe del ragazzo e la superficie del carrello sia = 0.40
c) La forza forza di attrito esercitata sul carrello
d) La durata della forza d'attrito sul ragazzo e sul carrello
e) Di quanto si sposta il ragazzo rispetto al terreno nel momento in cui smette di scivolare sul carrello
f) Quale è il corrispondente spostamento del carrello.
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Soluzione
Problema 16
Una pallina puntiforme di, massa m, legata ad un filo inestensibile, poggia sul piano di un carrello che si
muove di accelerazione costante nota a (vedi figura).
a)
determinare la tensione del del filo. Scrivere le equazioni del moto in direzione orizzontale per
l’osservatore O del sistema
inerziale solidale al terreno, e per l’osservatore O’ nel sistema non inerziale solidale al carrello.
b)
In un dato istante t0 il filo si rompe istantaneamente. Si supponga nullo l’attrito tra piano e pallina.
Quali sono le equazioni del moto, in direzione orizzontale, della pallina per i due osservatori O ed O’?
In altre parole, di che moto si muove
la pallina rispetto ai due osservatori O ed O’ dopo che il filo è rotto?
c)
O?
Quale è la velocità vettoriale della pallina rispetto all’osservatore O’ e quale rispetto all’osservatore
Si indichi con vC0 la velocità del carrello, rispetto all’osservatore O, all'istante di rottura del filo.
d)
Dopo quanto tempo dalla rottura del filo la pallina raggiunge l’estremità del carrello, a distanza d
rispetto alla pallina
al momento della rottura del filo? Eseguire il calcolo sia da osservatori O' nel sistema non inerziale che
da osservatori O
nel sistema inerziale.
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Esercizio a
Un corpo di massa m=5 Kg e dimensioni trascurabili, fissato all’estremità di un’asta rigida di lunghezza R=1
m e massa trascurabile, viene fatto ruotare su un piano verticale con velocità angolare costante =5 rad/s.
Determinare la reazione vincolare radiale dell’asta quando il corpo è:
a) nel punto più alto della traiettoria;
b) nel punto più basso della traiettoria;
c) nel punto intermedio della traiettoria;
Si risolva il problema da osservatore inerziale e da osservatore solidale con la massa rotante.
Risultati: a) T=76 N b) T=174 N c) T=125 N
Esercizio b
Una pietra di massa m=3 Kg e di dimensioni trascurabili è posta sulla sommità di una superficie emisferica
liscia di raggio R=10 m. La pietra è fatta scivolare con una una velocità iniziale di modulo v0=5 m/s.
Si determini:
a) la coordinata angolare del punto in cui la pietra si stacca dalla superficie;
b) il valore minimo di v0 affinché la pietra si stacchi dalla superficie all’istante iniziale.
Risultati: a) =41.3° b) v 0=10 m/s
Esercizio c
Una pietra di massa m=0.5 Kg, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere al suolo da un’altezza h. La pietra
penetra nel terreno per una profondità d=0.5 m; la resistenza del terreno è riassumibile in una forza media F=
30 N. Si determino:
a) la velocità v della pietra nell’istante in cui urta il suolo;
b) l’altezza h da cui viene fatta cadere.
Risultati: a) v=7.08 m/s b) h=2.56 m
Esercizio d
Un blocco di 3 Kg è tenuto contro una molla di costante elastica k=25 N/cm, comprimendo la molla di 3 cm
dalla sua posizione rilassata. Quando il blocco è rilasciato, la molla spinge il blocco verso l’alto lungo un piano
inclinato di 20° avente un coefficiente di attrito =0.1.
Determinare:
a) il lavoro fatto dalla molla;
b) il lavoro fatto dalla forza di attrito mentre il blocco si muove di 3 cm;
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c) la velocità del blocco quando la molla raggiunge la posizione di equilibrio;
d) lo spazio percorso dal blocco sul piano inclinato;
e) nel caso in cui il blocco sia attaccato alla molla, quanto sarà estesa la molla prima che il blocco si fermi?
Risultati: a) L=1.13 J b) L=-0.083 J c) v=0.7 m/s d) s=8.8 cm e) x=2 cm
Esercizio e
Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h = 4.9 m, scivola senza attrito lungo un piano
inclinato di 60°. Giunto in fondo al piano inclinato incontra la superficie scabra del pavimento che ha un
coefficiente di attrito dinamico = 0.5.
Determinare:
a) lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra;
b) il tempo totale in cui il corpo è in moto.
Risultati: a) 9.8 m; b) 3.1 s
Esercizio f
Una pallina di massa m risale un piano inclinato di 45° che ha un coefficiente di attrito dinamico = 0.3. La
velocità iniziale v0 della pallina è 20 m/s.
Determinare:
a) il tempo impiegato ad arrivare all’altezza massima (tempo di salita);
b) lo spazio percorso sul piano inclinato;
c) il tempo di discesa;
d) la velocità con cui ritorna al punto di partenza dopo essere ridiscesa dal piano inclinato.
Risultati: a) 2.2 s; b) 22.4 m; c) 3 s; d) 14.4 m/s
Esercizio g
Un pendolo è costituito da una sfera di massa m fissata ad un’asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile.
Determinare a quale sforzo massimo T l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di
60°, 90°, 120° e 180°.
Risultati: T=2mg, 3mg, 4mg e 5mg
Esercizio h
Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h, scivola senza attrito lungo un piano inclinato. Sia
l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale. Giunto in fondo al piano inclinato il corpo incontra la superficie
scabra del pavimento che ha coefficiente di attrito dinamico d =0.4.
Determinare:
a) lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra.
b) il tempo totale in cui il corpo è in moto.
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