Tutorato Lezione 2 Gli amplificatori operazionali
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1 Tutorato Lezione 2 Gli amplificatori operazionali Ideale: Gli op-amp sono circuiti elettronici di base ideati e sviluppati con la nascita delle prime macchine di calcolo analogico. In seguito con l’avvento dell’elettronica digitale il loro utilizzo rimase comunque incentrato sull’elaborazione di segnali analogici, In quanto tramite questi circuiti è possibile comunque svolgere un’elevato numero di operazioni tra di essi, come amplificazione di somme differenze, realizzazione di circuiti integratori, derivatori, somme di segnali etc…. Lo schema base con cui possiamo rappresentare un amplificatore operazionale è ancora quello del generatore controllato che amplifica la differenza di due segnali in ingresso. − out v1 + ± A(v2 − v1 ) v2 Per un op-amp si definiscono: Il segnale di ingresso differenziale come la differenza dei segnali che sono presenti ai terminali v ID = (v 2 − v1 ) E il segnale di modo comune come la media dei segnali presenti ai due terminali v ICM = 1 (v1 + v2 ) 2 Idealmente un op-amp ha una resistenza di uscita nulla e una resistenza di ingresso infinita. Molte delle potenzialità e delle operazioni che vengono realizzate con gli amplificatori operazionali derivano dal fatto che possono essere utilizzati come circuiti reazionati con una reazione negativa. Come insegna la teoria dei controlli un blocco reazionato può essere schematizzato come in figura Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 2 xs + − xi Σ A(s ) xO xf β (s ) Possiamo scrivere le equazioni del sistema come segue: xO segnale in uscita dal sistema xi segnale in ingresso alla catena dei sistemi xs segnale che proviene dal generatore Σ circuito sommatore A= guadagno ad anello aperto del sistema β = tasso o fattore di controreazione Possiamo scrivere le seguenti equazioni xO = Axi x f = β xO = Aβxi x s = xi + x f ⇒ xO + β xO A x 1 + Aβ A ⎛1 ⎞ )⇒ O =( ) x s = xO ⎜ + β ⎟ = x O ( A xs 1 + Aβ ⎝A ⎠ Dove Aβ viene definito come guadagno d’anello del sistema Le cose cambiano un po nel caso dell’amplificatore operazionale in quanto abbiamo due terminali di ingresso Per esempio consideriamo la retroazione sul terminale negativo quando il terminale positivo è a massa x 1 + Aβ A ⎛1 ⎞ )⇒ O =( ) x s = xO ⎜ + β ⎟ = xO ( A xs 1 + Aβ ⎝A ⎠ Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 3 Per il momento non eseguiamo il calcolo del guadagno d’anello e del guadagno a ciclo chiuso del sistema utilizzando la teoria della retroazione, che riprenderemo quando a lezione vedrete i quattro tipi di controreazione ma studiamo le due configurazioni fondamentali dell’operazionale reazionato con elementi passivi utilizzando solo i concetti di corrente e tensione del sistema. Consideriamo invece il calcolo utilizzando il bilanciamento delle correnti e tensioni andando ad esaminare entrambe le configurazioni partendo dalle idealità ed eliminando le idealita La configurazione invertente L’operazionale idealmente parlando è un amplificatore caratterizzato dall’avere un guadagno infinito. v− − vid A + − + vO v+ Se considerato così la relazione tra ingresso uscita sarà: v0 v = A → vid = O vid A Ora se v A → ∞ ⇒ O → 0 ⇒ vid = 0 ; ⇒ v + = v − A siccome la tensione presente sul nodo positivo è nulla allora la tensione sul nodo negativo è nulla e stiamo facendo l’ipotesi di cortocircuito virtuale Cioè avere un guadagno infinito equivale ad annullare la tensione differenziale che si ha in ingresso, ma è una conseguenza!! Non vuol dire che il sistema non funziona, infatti se passiamo al sistema reazionato per esempio da elementi passivi abbiamo che possiamo scrivere le equazioni di kirkchoff: Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 4 v2 R2 i2 v1 R1 vS i1 + i− v− − vid − + v+ vO Dobbiamo trovare la legge che lega la tensione di uscita alla tensione di ingresso Siccome l’amplificatore è ideale ha una resistenza di ingresso infinita una resistenza di uscita nulla e un guadagno a ciclo aperto infinito La tensione sull’uscita viene riportata indietro da una rete di reazione composta da elementi passivi Possiamo scrivere l’equazione al nodo di ingresso per le correnti Per la legge di kirckoff la somma delle correnti entranti nel nodo deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti i1 = i− + i2 Avendo l’operazionale una resistenza ideale di ingresso idealmente infinita la corrente che entrerà nel terminale invertente dell’amplificatore è nulla i1 = i2 Poi possiamo scrivere anche l’equazione alla maglia considerando le tensioni v s = v0 + v1 + v 2 ⇒ v s − v0 − v1 − v 2 = 0 O scritta in termini di correnti v s − v 0 − i1 R1 − i2 R2 = 0 ⇒ v s − v0 − i1 R1 − i1 R2 = 0 La corrente i1 = vs − v− R1 La v- abbiamo detto che è nulla per il cortocircuito virtuale quindi i1 = vs R1 Inserendo questa nell’equazione trovata in precedenza si ottiene Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 5 v s − v0 − vs v v R1 − s R2 = 0 ⇒ −v0 − s R2 = 0 R1 R1 R1 v 0 − R2 = vs R1 La resistenza di ingresso è quella che si vede guardando da dove viene applicato il generatore di ingresso applicando un generatore di prova vx e misurando la corrente ix R2 RIN R1 vx ix − + − + Per la presenza del cortocircuito virtuale si vede solo la R1 connessa a massa La resistenza di uscita si calcola allo stesso modo ma considerando un generatore di prova di corrente applicato in uscita. R2 ROut R1 − + + v+ vx − ix v x = i1 R1 + i2 R2 i1 = i2 Siccome la R1 p tra massa e massa non ci può essere corrente che la attraversa vista dall’uscita quindi anche I2=0 allora ROut = 0 Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 6 Togliendo le on idealità si ottengono e ripetendo i ragionamenti e reinterpretando i risultati con la teoria dei controlli si ottengono le seguenti espressioni Av0 β RIN ROut guadagno dell’amplificatore apertoin continua fattore di reazione resistenza di ingresso resistenza di uscita Av 0 = β= − R2 R1 ⎛ A0 β ⎜⎜ ⎝ 1 + A0 β ⎞ − R2 ⎟⎟ ≈ ; R1 ⎠ R1 1 = 1 + Av0 R1 + R2 ⎛ R2 RIN = R1 + ⎜⎜ RID // 1 + A0 ⎝ ⎞ ⎟⎟ ≈ R1 ; ⎠ ROUT = RO 1 + A0 β invece è il fattore di retroazione I limiti sulla R2 Dato che la RID dell’amplificatore ha un valore finito nel morsetto invertente entra comunque una corrente. Affinché il sistema funzioni però la corrente che entra deve essere minore della corrente che scorre in R2 in pratica deve essere trascurabile rispetto ad essa. Come indicazione pratica di progetto si assume che il valore limite della resistenza R2 R R2 (max ) = ID 2 Ora come già detto il guadagno di un’amplificatore è funzione della frequenza e il suo andamento sarà rappresentato dal diagramma di Bode, per ora ci interessa solo il modulo e si l’ipotesi di singolo polo AdB A0 0 ωB ωT ω = 2πf Per effetto della reazione La risposta dell'amp ad anello chiuso viene modificata ovvero è possibile diminuire il guadagno rispetto a quello che avrebbe il sistema a ciclo aperto e aumentare la banda passante del sistema Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 7 A0ω B ωT = dove G BW = ωT = A0ω B gain badwidth è il prodotto guadagno s + ωB s + ωB larghezza di banda che per definizione è la frequenza a guadagno unitario, ovvero la frequenza a cui il guadagno si riduce a 1=0dB. A(s ) = AV = − R2 A(s )β ; R1 1 + A(s )β ora sostituendo As nell’espressione calcolata sopra si ottiene ⎛ R2 ⎞ A0 β A0ω B ⎜⎜ − ⎟⎟ β R ⎛ R2 ⎞ s + ω B 1 ⎠ (1 + A0 β ) ⎟⎟ =⎝ AV = ⎜⎜ − s ⎝ R1 ⎠ 1 + A0ω B β +1 ω B (1 + A0 β ) s + ωB Che per A0 β >> 1 Diventa ⎛ R2 ⎞ A0ω B ⎜⎜ − ⎟⎟ β R ⎛ R2 ⎞ s + ω B 1 ⎠ ⎟⎟ =⎝ AV = ⎜⎜ − s ω A R 1 ⎠ ⎝ +1 1+ 0 B β ωH s + ωB Dove ωH = ωt ≈ βω T A0 (1 + A0 β ) Cosa succede dal punto di vista della risposta in frequenza quando si mettono più stadi in cascata? AV (s ) = AV 1 (0) ⎛ s ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜1 + ω H1 ⎠ ⎝ ⋅ AV 2 (0) ⎛ s ⎜⎜1 + ⎝ ωH 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⋅⋅⋅ AVN (0) ⎛ s ⎜⎜1 + ⎝ ω HN ⎞ ⎟⎟ ⎠ La larghezza di banda dell’amplificatore rappresenta la frequenza alla quale il guadagno di tensione si riduce del fattore 1 − 3dB = 2 Se si mettono nel caso particolare N amplificatori in cascata identici si ottiene: ⎡ ⎤ ⎢ A (0 ) ⎥ ⎥ AV (s ) = ⎢ V 1 ⎢1 + s ⎥ ⎢ ωH1 ⎥ ⎣ ⎦ N Si trova che la banda passante si riduce di un fattore che dipende da quanti stadi metto in cascata: Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 8 f H = f H 1 = 21 / N − 1 Dove N è il numero degli stadi. Quindi possiamo riportare in una tabellina i risultati finora trovati e ripetere il ragionamento per la configurazione non invertente Si HA CONFIGURAZIONE INVERTENTE Av 0 = β= R − R2 ; R IN = R1 ; ROUT = O dove RO è la resistenza di uscita propria dell’amplificatore R1 A0 β R1 1 ; f H1 = = R1 + R2 1 + AV (0) fT ; f H = f H 1 21 / N − 1 A0 1 + A0 β CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE Av 0 = 1 + R2 ; R1 R IN = RID (1 + A0 β ) ; ROUT = RO R1 1 = ; β= ; A0 β R1 + R2 1 + AV (0) f H1 = fT ; A0 1 + A0 β f H = f H 1 21 / N − 1 La differenze fondamentali tra i due stadi stanno nel fatto che: La configurazione invertente fornisce in uscita uno sfasamento di 180° del segnale di ingresso La configurazione non invertente ha a parità di guadagno una banda più ampia rispetto a quella invertente dovuto al fatto che l’espressione del guadagno è 1+…. AV (inv) = − R2 , R1 ω 3dB = ωt 1 + R2 R1 AV (noninv ) = 1 + R2 R1 ω 3dB = ωt 1 + R2 R1 A parità di guadagno quindi la configurazione non invertente permette di avere una ω 3dB maggiore rispetto alla invertente perché si ottiene lo stesso valore del guadagno con valori di resistenza più piccoli. Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 9 Esercizio 1 Progettare un amplificatore di tensione per un canale telefonico in grado di fornire un guadagno di tensione pari a Av = 90dB nella banda passante a 3dB 100 Hz ÷ 4.5 KHz con impedenza di ingresso RIN ≥ 68KΩ e impedenza di uscita ROUT = 4.7 KΩ Si dispone di condensatori con tolleranze del 10% , di resistori con tolleranze del 5% e di amplificatori operazionali con le seguenti caratteristiche: Av = 106dB CMRR = 80dB R ID = 2 MΩ VOS < 5mV VO (max ) = ±12V con RL > 2 KΩ SR = 0.5V µ sec RO = 75Ω I B < 500nA GBW = 1MHz I OS < 500nA Traccia di una possibile soluzione Ci viene chiesto di realizzare un circuito con la risposta in frequenza rappresentata in figura 1 utilizzando degli amplificatori operazionali con la risposta in frequenza rappresentata in figura 2 Figura 1 Figura 2 La prima cosa da calcolare è quanti stadi serviranno. Chiudendo l’amplificatore con una retroazione che può essere sia negativa che positiva ci muoviamo infatti dentro la figura 2 tenendo presente che a una riduzione del guadagno corrisponde un aumento della banda. Per calcolare il numero degli stadi necessari dobbiamo prima sapere qual’è il massimo guadagno ottenibile con uno stadio e questo viene fissato dal rapporto tra le due frequenze di taglio ad anello aperto e chiuso 1 ⋅ 10 6 A(max) = = 222.23 → 46.9dB 4.5 ⋅ 10 3 Ovviamente per arrivare a 90 dB ≈ 31623 mi serviranno almeno due stadi!!. Se decido di usare due stadi la cosa più semplice da fare è vedere se posso ottenere le specifiche utilizzando due stadi uguali. Per fare questo devo considerare il limite imposto dalla frequenza superiore e il fattore di riduzione della banda passante dovuto all’utilizzo di più stadi uguali in cascata. Indicando quindi con f H 1 e f H 2 le frequenze di taglio superiori, rispettivamente del primo e del secondo stadio abbiamo la seguente relazione: ⎛ f H1 + f H 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ 0.644 = 4.5 KHz 2 ⎝ ⎠ Da cui se imponiamo f H 1 = f H 2 = f H essendo gli stadi uguali otteniamo 4.5 KHz ≈ 6.99 KHz 0.644 Questo ci dice che la frequenza di taglio superiore per il singolo stadio sarà di 6.99 KHz . Possiamo ora calcolare il guadagno corrispondente dividendo GBW del 741 per f H fH = Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 10 A(max ) = 1 ⋅ 10 6 = 143 → 43dB 6.99 ⋅ 10 3 Per arrivare al guadagno richiesto occorre aggiungere uno stadio con un guadagno di 4dB ≈ 1.58 . Essendo il guadagno piccolo, il polo è a una frequenza molto alta rispetto a quella richiesta dalle specifiche e quindi non le influenza. fH = 1 ⋅ 10 6 = 446.428 KHz che risulta molto maggiore di 4.5 KHz 2.24 Possiamo quindi disegnare un primo schema a blocchi. Nella figura c’è un’errore il guadagno del terzo stadio è 4 non 7dB. Adesso dobbiamo vedere come possiamo realizzare le configurazioni richieste e questo possiamo farlo applicando le formule Dalla teoria sappiamo che possiamo utilizzare l’amplificatore sia in configurazione invertente che in configurazione non invertente. Abbiamo una specifica sulla resistenza di ingresso del sistema che deve essere di 68KΩ e una sulla resistenza di uscita. Sicuramente la resistenza di uscita per entrambe le configurazioni è RO con A0β>>1 A0 β La resistenza di uscita è piccola pertanto per ottenere la Rout richiesta si metterà un carico di 4.7KΩ in serie. ROUT = Per la resistenza di ingresso possiamo esaminare entrambe le configurazioni e fare un’analisi comparata per vedere quale sarà la migliore. Se scegliamo di utilizzare la configurazione invertente avremo che Per soddisfare la specifica sulla resistenza di ingresso dovremo scegliere una resistenza di ingresso R1 almeno pari al valore indicato. Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 11 RIN = R1 = 68KΩ Mentre per il fatto che il guadagno dell’amplificatore deve essere di 43dB=141.25 dovremo utilizzare una R2 = 141.2 R1 = 141.2 ⋅ 68 KΩ = 9.6 MΩ Ma in questo caso dato che questo valore di resistenza è più grande di quello della RID la corrente che scorrerebbe su di essa è minore di quella su RID mentre dovrebbe succedere l’esatto contrario infatti si ha come regola pratica R2 (max ) = R ID ≈ 1MΩ 2 Che anche commercialmente è un valore limite. Se vogliamo utilizzare la configurazione invertente come primo stadio dobbiamo quindi ricorrere ad uno schema circuitale differente caratterizzato dal fatto di offrire un’alta impedenza e quindi utilizzare l’operazionale ad alta impedenza! La cui espressione del guadagno è data dalla relazione: A=− R2 R1 ⎛ R R ⎞ R ⎜⎜1 + 4 + 4 ⎟⎟ da cui imponendo : 2 = 10 → R2 = 680 KΩ e R4 = R2 il valore di R 2 R3 ⎠ R1 ⎝ R3 = 55.28ΩK ≈ 56 KΩ considerando i valori delle resistenze al 5%. I seguenti valori di resistenza permettono di ottenere il guadagno pari a 680 ⎞ ⎛ A = −10⎜1 + 1 + ⎟ = 141.43 . 56 ⎠ ⎝ Mettendo insieme questi stadi considerando il fattore di riduzione della banda passante e del guadagno si ottiene un’amplificazione con guadagno Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 12 A = 141.43 ⋅ 141.3 = 86 dB Essendo la fH = 10 MHz ≈ 7 KHz 141.3 Dobbiamo ora realizzare il circuito non invertente del sistema ⎛ R ⎞ 4dB = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ si sceglie un valore con tolleranza del 5% e si calcola il corrispondente valore di R1 ⎠ ⎝ R2 R1=10KΩ R2=15.8KΩ.=16ΚΩ Rimane ora da fissare la frequenza di taglio inferiore del circuito in modo che vengano tagliate le frequenza al di sotto dei 100 Hz . Per fare questo possiamo aggiungere in serie alla resistenza di ingresso di uno stadio un condensatore il cui valore si ottiene facilmente dalla relazione: C= 1 ≈ 24nF 2πfR Il condensatore ha anche la funzione di bloccare le componenti in continua del primo stadio che se troppo elevate comprometterebbero il corretto funzionamento del secondo stadio. Per quanto riguarda invece l’ultimo stadio possiamo scegliere pertanto una prima possibile soluzione del circuito è la seguente 680K 680K 16 K 680K 680K 56K 68K 56K − + 68K 10 K − − + 24n + Ovviamente non è necessario realizzare il secondo stadio con una configurazione invertente ad alta impedenza in quanto on si hanno vincoli sulla resistenza di ingresso, pertanto dato che la resistenza di uscita del primo amplificatore è molto bassa, possiamo realizzare un secondo stadio con una configurazione invertente semplice!! Se invece come primo stadio decidessimo di utilizzare una configurazione noninvertente avremo: Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 13 R IN = RID (1 + A0 β ) la specifica sulla resistenza di ingresso sarà soddisfatta a prescindere dai valori di resistenze che si utilizzeranno perché la resistenza di ingresso è molto elevata e per default va pure meglio infatti sappiamo che per un amplificatore di tensione la resistenza di ingresso deve essere la più elevata possibile. Possiamo fissare la banda per uno stadio che sarà pari a 7KHz e andare a determinare qual è il guadagno ottenibile. f 3dB = ⎛ ft R ⎞ 1 ⋅ 10 6 ⇒ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = = 143 R1 ⎠ 7 ⋅ 10 3 1 + R2 R1 ⎝ ⎛ R ⎞ R ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = 143 ⇒ 2 = 142 R1 ⎠ R1 ⎝ In aggiunta a questo possiamo scegliere il valore di resistenza che preferiamo senza inficiare il valore della resistenza di ingresso del progetto e rispettando il limite pratico per il valore della corrente che deve scorrere sulla R2 infatti ricordiamo che R2 (max ) = R ID ≈ 1MΩ 2 Scegliendo un valore sulla tabella dei componenti standard per R si vede che non possiamo soddisfare tale specifica con i valori standard, pertanto dovremo scegliere una combinazione di resistori esistenti sul mercato che mi dia il guadagno un po inferiore e una banda un po maggiore R1=820KΩ R2=6.2KΩ R2 820 = = 132.26 R1 6.2 fH 1 ⋅ 10 6 = = 7.56 KHz 132.26 Per cui avremo mettendo due stadi in cascata identici f HT = 7.56 KHz ⋅ 0.644 ≈ 4.87 KHz Che soddisfa la specifica sulla banda Ora il valore del guadagno ottenuto espresso in decibel è: AdB = 20 log(132.26) = 42.42dB Per cui mettendo insieme due stadi in cascata si ottiene Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 14 A = A1 + A2 = 84.8dB Servirà mettere un terzo stadio che abbia un guadagno di A3 = 2 Allora avremo ⎛ R ⎞ R ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = 2 ⇒ 2 = 1 R1 ⎠ R1 ⎝ Basta scegliere due valori che sono presenti sul mercato e metterli per es: 10KΩ In questo caso la banda il polo che introdurrà il terzo amplificatore sarà a 500MHz e non influenza il comportamento del sistema alla frequenza che vogliamo noi. Quindi una possibile configurazione è: 10K 820K 820K 10K − 6.2K 6.2K − + − C + + + − Rimane da mettere la resistenza in uscita che si aggiunge semplicemente inserie E fare in modo che la banda del sistema tagli le frequenze sotto i 100Hz Si procede come nel caso precedente tenendo presente che qui la ⎛ ⎛ 10 KΩ ⎞ ⎞ 11 R IN = RID (1 + A0 β ) ⇒ 2 ⋅ 10 6 ⎜⎜1 + 1.99 ⋅ 10 5 ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 1.99 ⋅ 10 Ω 20 K Ω ⎝ ⎠⎠ ⎝ Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 15 Per cui basta un capacitore di: C= 1 1 = = 8 fF 2πfR 2π 100 ⋅ 1.9911 Troppo piccolo!! Deve essere almeno delle centinaia di pF Pertanto posso metterlo tra il primo e il secondo stadio? ⎛ ⎛ 6.2 KΩ ⎞ ⎞ 9 R IN = RID (1 + A0 β ) ⇒ 2 ⋅ 10 6 ⎜⎜1 + 1.99 ⋅ 10 5 ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 2.98 ⋅ 10 Ω 826 . 2 K Ω ⎝ ⎠⎠ ⎝ C= 1 1 = = 534 fF 2πfR 2π 100 ⋅ 2.98 9 Se posso realizzarlo ok se no torno indietro per esempio imponendo un valore di 500fF che posso realizzare connettendo in serie due capacitori da 1pF e calcolo il valore della RIN Es R= 1 1 = = 3.18 9 Ω −15 2πfC 2π 100 ⋅ 500 Calcolo il beta 3.18 9 = RID (1 + A0 β ) ⇒ β = 0.080 ⎛ R ⎞ 1 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = = 125 = 41.93dB R1 ⎠ 0.0080 ⎝ La ft di due stadi messi in cascata sarà quindi 10 6 0.644 ≈ 5.125KHz che soddisfa la specifica sulla banda ma ci sono 500KHz in più… 125 Se danno fastidio non si può seguire questa strada e la soluzione più semplice è utilizzare una configurazione invertente come ultimo stadio per poter trovare un valore di capacità realizzabile. Oppure provare con stadi diversi; per esempio si potrebbe provare a realizzare uno stadio con specifica sulla banda 4.5KHz avente guadagno di: 10 6 = 67 dB 4.5 3 E un secondo stadio di guadagno di Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected] 16 23dB = 14.1 ⇒ 16 ≈ 71KHz 14.1 Vedendo se è possibile soddisfare le specifiche. Come possiamo vedere ci sono molte soluzioni, per un esame vi conviene abbozzare la soluzione più semplice quella per cui ci mettete meno tempo, poi motivare se va bene o meno e cambiarla Tutorato Lez.2 Glia amplificatori operazionali [email protected]
