Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Esercizi
ESERCIZI DI TEORIA DEI NUMERI – MODULO PROF. VERARDI
A) Introduzione.
1. - Trovare i numeri naturali m che possono essere scritti nella forma 5x+11y, con x, y
interi positivi.
2. Trovare due terne pitagoriche di cui faccia parte il numero 17
3. Scomporre il numero 851 in fattori primi, scrivendolo dapprima come a 2 " b2, con a
e b opportuni.
!
4. Trovare una terna pitagorica di cui faccia parte il numero 851 (si usi l’esercizio
precedente).
5. Scomporre in fattori primi il numero 33!
6. Posto a n =
nn
a n +1
, si dimostri che lim a n = +#, poi si trovi lim
.
n!
n "+#
n "+# a n
7. Si dimostri che due termini consecutivi della successione di Fibonacci sono coprimi
!
!
!
8. Si dimostri che nella successione di Fibonacci, se
a n +2
a
< " e n +3 > ".
a n +1
a n +2
!
a n +1
> " (il numero aureo) allora
an
!
"p %
9. Si dimostri
che se p è primo allora per ogni k, 0 < k < p , $$ '' è multiplo di p.
!
#k &
! p, p+2, p+4, allora p = 3.
10. Si dimostri che se tre primi sono del tipo
!
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B) Equazioni e sistemi lineari diofantei.
11. Si risolva l’equazione diofantea 332x + 743y = 13
12. Si risolva l’equazione diofantea 3x+5y+8z = 24.
13. Si risolva l’equazione diofantea 12x+14y+21z = 100.
#
3x + 7y + 8z = 5
%
14. Si risolva il sistema lineare diofanteo $10x + 12y + 15z = 13 , se ha soluzione.
% 2x " 17y " 17z = "7
&
"
3x + 5y + 8z = 24
15. Si risolva il sistema lineare diofanteo
.
#
!
12x
+ 14y + 21z = 100
$
16. Si trovi una soluzione positiva dell’equazione 7x+8y = 51.
!
17. Si trovino i numeri naturali n per i quali l’equazione 7x+8y = n non ha soluzione
con x ed y interi positivi.
18. Si trovi un numero naturale n per il quale l’equazione 7x+8y = n ha due soluzioni
intere positive distinte.
19. Si trovino le partizioni di 6 ed il numero delle soluzioni intere positive di tutte le
n
equazioni
" x i = 6 al variare del numero intero positivo n.
i=1
20. Si scriva 64 come prodotto di divisori >1 in tutti i modi possibili, con i fattori
!
ordinati in senso non crescente.
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C) Forme quadratiche diofantee.
21. Per quali m ≤ 50 l’equazione diofantea x2 + y2 = m ha soluzioni?
22. Si esprima 91 come somma di due, tre o quattro quadrati, ove possibile.
!
23. Si trovi la soluzione minima positiva dell’equazione di Pell x2 " 17 # y2 = 1.
24. Si risolva l’equazione Pell generalizzata x2 " 11 # y2 = 5.
!
25. Si risolva l’equazione Pell generalizzata x2 " 17 # y2 = 5.
!
26. Si trovi una forma quadratica intera non diagonale equivalente a x2 " 2 # y2
!
27. La forma quadratica f x, y = x2 " 2 # x # y " 3 # y2 è equivalente alla forma x2 " 2 # y2 ?
!
( )
2
2
28. La forma quadratica f x, y = 65 " x2 + 94 " x " y + 34 " y2 è equivalente
! a x +y ?
!
( )
( )
29. Se la risposta alla domanda precedente è affermativa, si risolva f x, y = 10.
!
!
30. L’equazione diofantea x2 + 6 " x " y # 2 " y2 = 12 ha soluzioni intere? (Suggerimento: si
!
riduca dapprima l’equazione mod 3, poi …).
!
OSSERVAZIONE. Se una equazione diofantea ha soluzioni intere, allora per ogni intero n " 2
riducendo i coefficienti modulo n, le ha anche l’equazione così ottenuta nell’anello quoziente Z n .
!
Pertanto, se per un n " 2 le soluzioni non ci sono in Z n , l’equazione data non ha soluzioni
intere.
!
!
!
