Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Esercizi ESERCIZI DI TEORIA DEI NUMERI – MODULO PROF. VERARDI A) Introduzione. 1. - Trovare i numeri naturali m che possono essere scritti nella forma 5x+11y, con x, y interi positivi. 2. Trovare due terne pitagoriche di cui faccia parte il numero 17 3. Scomporre il numero 851 in fattori primi, scrivendolo dapprima come a 2 " b2, con a e b opportuni. ! 4. Trovare una terna pitagorica di cui faccia parte il numero 851 (si usi l’esercizio precedente). 5. Scomporre in fattori primi il numero 33! 6. Posto a n = nn a n +1 , si dimostri che lim a n = +#, poi si trovi lim . n! n "+# n "+# a n 7. Si dimostri che due termini consecutivi della successione di Fibonacci sono coprimi ! ! ! 8. Si dimostri che nella successione di Fibonacci, se a n +2 a < " e n +3 > ". a n +1 a n +2 ! a n +1 > " (il numero aureo) allora an ! "p % 9. Si dimostri che se p è primo allora per ogni k, 0 < k < p , $$ '' è multiplo di p. ! #k & ! p, p+2, p+4, allora p = 3. 10. Si dimostri che se tre primi sono del tipo ! Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Esercizi B) Equazioni e sistemi lineari diofantei. 11. Si risolva l’equazione diofantea 332x + 743y = 13 12. Si risolva l’equazione diofantea 3x+5y+8z = 24. 13. Si risolva l’equazione diofantea 12x+14y+21z = 100. # 3x + 7y + 8z = 5 % 14. Si risolva il sistema lineare diofanteo $10x + 12y + 15z = 13 , se ha soluzione. % 2x " 17y " 17z = "7 & " 3x + 5y + 8z = 24 15. Si risolva il sistema lineare diofanteo . # ! 12x + 14y + 21z = 100 $ 16. Si trovi una soluzione positiva dell’equazione 7x+8y = 51. ! 17. Si trovino i numeri naturali n per i quali l’equazione 7x+8y = n non ha soluzione con x ed y interi positivi. 18. Si trovi un numero naturale n per il quale l’equazione 7x+8y = n ha due soluzioni intere positive distinte. 19. Si trovino le partizioni di 6 ed il numero delle soluzioni intere positive di tutte le n equazioni " x i = 6 al variare del numero intero positivo n. i=1 20. Si scriva 64 come prodotto di divisori >1 in tutti i modi possibili, con i fattori ! ordinati in senso non crescente. Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Esercizi C) Forme quadratiche diofantee. 21. Per quali m ≤ 50 l’equazione diofantea x2 + y2 = m ha soluzioni? 22. Si esprima 91 come somma di due, tre o quattro quadrati, ove possibile. ! 23. Si trovi la soluzione minima positiva dell’equazione di Pell x2 " 17 # y2 = 1. 24. Si risolva l’equazione Pell generalizzata x2 " 11 # y2 = 5. ! 25. Si risolva l’equazione Pell generalizzata x2 " 17 # y2 = 5. ! 26. Si trovi una forma quadratica intera non diagonale equivalente a x2 " 2 # y2 ! 27. La forma quadratica f x, y = x2 " 2 # x # y " 3 # y2 è equivalente alla forma x2 " 2 # y2 ? ! ( ) 2 2 28. La forma quadratica f x, y = 65 " x2 + 94 " x " y + 34 " y2 è equivalente ! a x +y ? ! ( ) ( ) 29. Se la risposta alla domanda precedente è affermativa, si risolva f x, y = 10. ! ! 30. L’equazione diofantea x2 + 6 " x " y # 2 " y2 = 12 ha soluzioni intere? (Suggerimento: si ! riduca dapprima l’equazione mod 3, poi …). ! OSSERVAZIONE. Se una equazione diofantea ha soluzioni intere, allora per ogni intero n " 2 riducendo i coefficienti modulo n, le ha anche l’equazione così ottenuta nell’anello quoziente Z n . ! Pertanto, se per un n " 2 le soluzioni non ci sono in Z n , l’equazione data non ha soluzioni intere. ! ! !