Il lavoro del campo elettrico.
Se una carica esploratrice q si sposta in una regione di spazio, sede di un campo elettrico, le forze elettriche del campo compiono un lavoro. Esaminiamo le proprietà di tale lavoro nel caso di un
campo elettrico uniforme.
In figura è rappresentato un campo elettrico uniforme generato da due
distribuzioni di cariche opposte distribuite su due piastre metalliche
parallele. Supponiamo che una carica q positiva si sposti dalla piastra
positiva alla piastra negativa. Se la carica viene abbandonata da ferma nel punto A, essa sotto l'azione della forza elettrica costante qE si sposta lungo la linea di forza AB. Se d è la distanza tra le piastre, il lavoro è:
L= qEd
Calcoliamo ora il lavoro nel caso in cui la carica q si sposta da A a B seguendo il percorso AB'B. Durante lo spostamento AB' la forza elettrica forma un angolo α con la
direzione dello spostamento, per cui il lavoro è
LAB' = qE AB'cosα
ma
quindi otteniamo
LAB' = qE AB=qEd
Durante lo spostamento successivo B'B la forza elettrica, essendo perpendicolare allo
spostamento, non compie lavoro LB'A=0
di conseguenza il lavoro complessivo durante il cammino AB'B è
AB =AB'cosα
L'= LAB' + LB'B = qEd + 0 = qEd
possiamo perciò concludere che
L'= L
cioè il lavoro della forza elettrica del campo agente sulla carica q è indipendente dal particolare cammino seguito dalla carica q durante lo spostamento dalla piastra positiva alla piastra negativa.
Qualunque sia la distribuzione di cariche si trova che il lavoro non dipende dal percorso seguito. Le forze elettriche
sono conservative.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è un campo radiale analogo al campo gravitazionale terrestre.
Una carica esploratrice q è sottoposta ad una forza F di diversa intensità al variare della sua distanza r dalla carica puntiforme Q sorgente, secondo la relazione:
F=
1
Qq
4π ε0 r 2
Il lavoro (L ) che compie la forza di Coulomb quando una carica
esploratrice q si sposta da un punto A a distanza rA da Q, ad un
punto B a distanza rB da Q, ( con rB>rA) non è semplice da calcolare in quanto la forza non è costante.
La forza, durante lo spostamento (s= rB- rA) della carica q non rimane costante, bensì diminuisce proporzionalmente al quadrato
della distanza, passa dal valore FA =
1 Qq
4πε 0 rA 2
al valore
1 Qq
. Per calcolare il lavoro possiamo dividere lo spo4πε 0 rB 2
stamento (s) in tanti intervalli ∆r e considerare per F un valore medio
(Fmedio) in ogni intervallo e calcolare i prodotti Fmedio∆r: Essi corrispondono alle aree dei rettangolini indicati in figura .
L=L1+ L2+ ....+Li+ ...+ Ln
La somma delle aree di tali rettangolini ci dà il lavoro totale compiuto
con un'approssimazione tanto migliore quanto più piccoli sono
gli intervalli in cui è stato suddiviso lo spostamento s. Il calcolo sarebbe esatto se all'interno di ogni intervallo la forza si
FB =
potesse considerare costante, cioè il tratto di curva considerato fosse praticamente orizzontale. Osserviamo che man
mano che si riducono le ampiezze degli intervalli ∆r, la somma delle aree dei rettangolini si avvicina sempre più all'area
della superficie racchiusa tra la curva e l'asse orizzontale. Il calcolo del lavoro si riduce al calcolo dell'area. Non è facile calcolare l'area sottesa dalla curva e l'asse orizzontale. L'analisi matematica ci permette di calcolare il valore dell'area
quindi il lavoro. Quando il numero, n, di suddivisioni che abbiamo operato diventa infinito, la sommatoria che ci permette
n
di calcolare il lavoro
L =∑ Fi−medio ∆ri , si riduce al seguente integrale :
i =0
B
1 Qq
dr
2
A 4πε
0 r
L = ∫ Fdr = ∫
A
B
Applicando il calcolo integrale si ottiene:
1 Qq 1 Qq
−
L=
4π ε r 4π ε r
0
A
0
B
questo risultato vale qualunque sia il particolare cammino seguito dalla
carica q per spostarsi da A a B.
Se UA è l'energia potenziale elettrica
della carica q nel punto A che dista rA da
Q e UB è l'energia potenziale elettrica
della carica q nel punto B che dista rB da
Q il lavoro compito dalle forze del campo
quando la carica si sposta da A a B è pari
alla differenza di energia potenziale
L'energia potenziale elettrica
L'indipendenza del lavoro dalla traiettoria seguita da una carica q che si
muove nel campo elettrico uniforme, e nel campo generato da una carica
puntiforme, sussiste qualunque sia il particolare campo. Possiamo perciò
concludere che il campo elettrico prodotto da cariche ferme (campo elettrostatico) è conservativo. Possiamo introdurre una grandezza U, funL = UA − UB
zione delle coordinate posizionali e delle cariche, tale che la differenza
UA- UBdei valori che essa assume in due punti A e B di un campo elettrico
Se conveniamo di attribuire valore zero
esprime il lavoro L compiuto dalla forza del campo quando una carica eall'energia potenziale elettrica all'infinito
sploratrice q si sposta da A a B lungo qualsiasi percorso. Si ha perciò
l'energia potenziale elettrica di una cariL=UA- UB
oppure
L= - ∆U
ca q posta in un punto P distante r da una
La funzione U è chiamata energia potenziale elettrica della carica q.
carica puntiforme Q che genera il campo
Occorre sempre tener presente che fisicamente hanno significato solo le
E attorno a sé, esprime il lavoro che la
differenze di energia potenziale. Il valore dell'energia potenziale in un
forza del campo compie quando la carica
punto dipende dal livello di riferimento scelto. Diciamo che l'energia poq si sposta da quel punto all'infinito lungo
tenziale elettrica in un punto del campo è definita a meno di una costante
qualsiasi traiettoria.
additiva. Generalmente si pone uguale a zero l'energia potenziale all'infinito oppure a terra o nel campo uniforme la piastra negativa.
L'espressione analitica dell'energia potenziale dipende dal particolare campo elettrico considerato.
Campo uniforme
Campo radiale
L'energia potenziale elettrica
di una carica q in un punto P a
distanza r dalla carica Q
che genera il campo è
L'energia potenziale (U) di
una carica q in un punto p
distante h dall'armatura negativa di un condensatore è
uguale a
U=qEh + c
Se poniamo uguale a zero il
valore dell'energia potenziale
sulla piastra negativa:
U=qEh.
U=
1 Qq
+c
4π ε 0 r
Qq
tende a zero quindi U=c.
4π ε 0 r
Se conveniamo di attribuire valore nullo all'energia potenziale all'infinito (c=0)
U risulta uguale a
Osserviamo che se
r → ∞ , allora
U=
1
1 Qq
4π ε 0 r
con tale convenzione possiamo affermare che l'energia potenziale elettrica di
una carica q in punto a distanza r dalla carica Q che genera il campo esprime il
lavoro che la forza del campo compie quando la carica q si sposta da quel
punto all'infinito lungo qualsiasi traiettoria
