Esercizi di Matematica Finanziaria

Esercizi di Matematica Finanziaria
Rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Claudio Pacati
Roberto Renò
Università degli Studi di Siena
Università degli Studi di Verona
[email protected]
[email protected]
Versione del 18 settembre 2016
Temi trattati in questa raccolta di esercizi:
–
–
–
–
–
Duration e convexity
Rischio di tasso di interesse
Tassi variabili
Titoli a cedola variabile
Derivati su tasso di interesse
Esercizio 1
Un portafoglio obbligazionario è formato da:
a) BTP con valore di mercato 10 milioni di euro e duration
8 anni e mezzo;
b) rendite perpetue con rata annuale per un valore attuale
di 6 milioni di euro;
c) BOT a 3 mesi per un valore di rimborso di 5 mln di
euro.
con maturità 5 anni e tasso nominale annuo del 3%, del
valore complessivo di V = 28 milioni di euro. Ipotizzando
che la struttura dei tassi di interesse sia piatta, al tasso
annuo i = 12%, si calcoli la duration D del portafoglio.
A tale portafoglio, vengono aggiunti CTZ con vita residua
di 9 mesi per un valore V 0 . Si calcoli il valore complessivo
V + V 0 del nuovo portafoglio, con V 0 tale che la duration
complessiva di del portafoglio risulti di D0 = 2 anni.
Esercizio 4
La Ducktown University ha debito che consiste in una
rendita trentennale con rata mensile di 1 000$. Si calcoli
anzitutto il valore V e la duration D (in anni) del debito,
sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse
è piatta, con tasso annuo i = 6%.
Il direttore amministrativo vuole dimezzare la duration del
debito, acquistando titoli per un importo V 0 (n.b.: acquisto
in senso stretto, cioè con V 0 > 0). Può scegliere tra titoli
a cedola nulla a un anno, titoli a cedola nulla a due anni e
Il portafoglio viene poi ribilanciato nel seguente modo: titoli a cedola nulla trentennali. Determinare per ciascuna
tutti i titoli di Stato Italiani vengono venduti a al loro dei tre TCN se è adatto allo scopo, tra quelli adatti, quale
posto viene acquistato un valore pari a V 0 (incognito) titoli sia quello che gli fa spendere di meno e l’importo da spendi Stato a cedola nulla Tedeschi a 2 anni, in modo tale dere nel caso di acquisto di titoli del TCN scelto. Motivare
che la duration complessiva del nuovo portafoglio sia di 10 le risposte!
anni. Si calcoli il valore V 0 necessario a tale scopo.
Esercizio 5
Esercizio 2
Una famiglia deve gestire un patrimonio di 50 000 euro e lo
Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta
al tasso annuo i = 4%, si calcoli il valore V e la duration
D del portafoglio.
In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al investe interamente in BTP con maturità di 5 anni e tasso
tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio nominale annuo del 5.5%. Assumendo che sul mercato
del valore complessivo di 38 mln di euro, formato per il viga una struttura per scadenza piatta al tasso i = 6%, si
60% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante calcoli la duration del portafoglio, esprimendola in anni.
e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del Un consulente convince la famiglia ad abbassare il rischio
portafoglio.
dell’investimento, disinvestendo parte dei BTP (per un
L’investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla valore di mercato complessivo V ) e acquistando con il
con maturità T da decidere, per un valore complessivo di ricavato BOT a 3 mesi, in maniera da ottenere una duration
200 mln di euro. Si calcoli la maturità che deve essere del portafoglio di 1 anno. Si calcoli il valore V necessario
fissata anziché il portafoglio complessivo dell’investitore a tale scopo.
abbia una duration di 4 anni.
Esercizio 6
Esercizio 3
Il fondo MoneyGest deve investire V = 100 mln di euro
tot
Si consideri un portafoglio interamente composto di BTP raccolti fra la sua clientela in un portafoglio composto da
Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
BTP a un anno, con tasso nominale annuo del 1.5%, e CTZ
a due anni; l’obiettivo è di avere una duration complessiva
di 1.8 anni. Si determini l’importo VBTP da investire nel
BTP e l’importo VCTZ da investire nel CTZ, sapendo che
i tassi di mercato (in base annua) sono i(0, 0.5) = 3%,
i(0, 1) = 4%, i(0, 1.5) = 4.5%, i(0, 2) = 5%.
Esercizio 10
Esercizio 7
Esercizio 11
Un’investitore acquista un portafoglio del valore attuale di
240 000 euro, composto per il 10% del valore da TCN a un
anno, e per il valore restante da TCN a 10 anni. Assumendo
una struttura per scadenza piatta al tasso i = 4.65%, si
calcoli la duration del portafoglio esprimendola in anni.
Si consideri un portafoglio obbligazionario del valore complessivo di 500 mln di euro, investito per il 30% del valore
in BOT a un anno, e per il resto in BTP con duration di 9
anni. La struttura dei tassi di interesse è piatta al tasso
annuo i = 4.25%. Si calcoli la duration D del portafoglio.
Ritenendo tale duration troppo rischiosa, l’investitore decide di liberarsi dei TCN a 10 anni e investire una frazione
α dei proventi in altri TCN a 1 anno, e la restante frazione
(1−α) in rendite perpetue mensili, con rata R = 1 200 euro.
Si calcoli la frazione α necessaria a rendere la duration
complessiva pari a 3 anni.
Si decide di ribilanciare il portafoglio per aumentarne la
duration di 8 mesi, vendendo un certo ammontare V di
BOT e acquistando rendite immediate, posticipate a rata
annuale costante con durata m = 20 anni per un valore
identico. Si calcoli il valore V da disinvestire (e reinvestire)
a tale scopo
Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con
duration rispettivamente D1 = 1 anni, D2 = 5 anni, D3 =
10 anni. Un investitore ha a disposizione 10 000 euro e vuole
investirne un quartol primo titolo e il resto nei rimanenti
due, con l’obiettivo di ottenere una duration di 6 anni.
Subito dopo avere effettuato l’investimento, il fondo riceve Si calcoli l’importo V2 che investirà nel secondo titolo e
la richiesta dell’autorità di vigilanza di effettuare uno stress l’importo V3 che investirà nel terzo.
test, consistente nel calcolare le variazione di valore del Se invece il terzo titolo fosse una rendita immediata, perpefondo ∆V+100pb e ∆V−50pb nell’ipotesi che i tassi di inte- tua a rata semestrale costante e se la struttura per scadenza
resse salgano istantaneamente di 100 punti base ( = 1%) o dei tassi di interesse fosse piatta, con tasso annuo i = 5%,
scendano di 50 punti base, rispettivamente. Si calcolino gli fermi rimanendo tutti i rimanenti dati del problema, quale
importi da comunicare all’autorità di vigilanza, sapendo sarebbe la soluzione?
che essa accetta l’uso di approssimazioni ragionevoli.
Esercizio 8
Un fondo obbligazionario detiene un portafoglio di obbligazioni del valore di 45 milioni di euro e con la duration di 6.6
anni. Tale portafoglio viene arricchito con l’investimento
in BOT a 1 anno con l’obiettivo di abbassare la duration
fino a 6 anni. Sapendo che la struttura per scadenza è
piatta al tasso i = 4.5%, si calcoli il valore V da investire
in BOT a tale scopo.
Esercizio 12
Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di
interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco
possiede un portafoglio del valore di 96 000 euro investito
interamente in BT P di maturità 6 anni, e t.n.a. del 6%.
Si calcoli la duration del portafoglio.
Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide
Subito dopo avere effettuato l’investimento, il gestore del di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V
fondo vuole calcolare la fluttuazione di valore del por- espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quantafoglio che conseguirebbe ad una variazione dei tassi to deve essere la quota V affinché la duration complessiva
di 50 punti base. Si calcoli tale variazione utilizzando risulti pari a 3 anni?
approssimazioni ragionevoli.
Esercizio 13
Esercizio 9
Un gestore di un fondo comune obbligazionario deve investire il patrimonio del fondo che ammonta a 100 milioni
di euro in un portafoglio di obbligazioni, in modo che la
duration del fondo risulti di 6.1 anni. A tale scopo ha può
scegliere tra titoli a cedola fissa annuale a 10 anni, con
tasso cedolare 3%, e TCN a 1 anno. Nell’ipotesi che sul
mercato sia in vigore una struttura per scadenza dei tassi
di interesse piatta, al tasso annuo i = 3%, determinare le
duration (in anni) DTCF e DTCN dei due titoli e gli importi
VTCF e VTCN che il gestore investirà nei due titoli.
Subito dopo avere composto il portafoglio, al fondo affluiscono altri 10 milioni di euro e il gestore li investe in una
rendita immediata perpetua a rata semestrale costante
posticipata. Si determini la duration D (in anni) del fondo
dopo quest’ultima aggiunta.
Un portafoglio obbligazionario è formato da:
a) BOT a 3 mesi con valore di rimborso 10 mln di euro;
b) rendite perpetue con rata annuale per un valore attuale
di 6 milioni di euro;
c) titoli a cedola nulla a due anni per un valore di rimborso
di 5 mln di euro.
Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta
al tasso annuo i = 4%, si calcoli il valore V e la duration
D del portafoglio.
Il portafoglio viene poi ribilanciato nel seguente modo:
i titoli a due anni vengono integralmente venduti, e al
loro posto viene acquistato un valore pari a V 0 (incognito)
di rendite perpetue con rata annuale, in maniera tale da
raddoppiare la duration precedente. Si calcoli il valore V 0
necessario a tale scopo.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 14
Esercizio 18
Il signor Russo vuole investire V = 100 000 euro in un
portofoglio composto da BTP trentennali di tasso nominale
a) un titolo a cedola nulla con scadenza sei mesi;
annuo 3% e BOT a 6 mesi. Come deve ripartire l’importo
b) una rendita perpetua con rata semestrale.
a disposizione V = VBTP + VBOT tra i due titoli, in modo
La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore tale che la duration del portafoglio sia di 10 anni? Nel
su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%.
mercato è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di
Si calcolino le duration Da e Db , rispettivamente, dei due interesse piatta, al tasso annuo 4%.
titoli, esprimendole in anni
Si dia inoltre una stima della variazione di valore ∆V che
Il sig. Rossi ha un portafoglio con valore 1 000 000 euro e subisce il portafoglio cosı̀ costruito se, immediatamente
duration 5 anni e vuole investire altri 100 000 euro in questo dopo l’acquisto, tutti i tassi di mercato scendono di 60
mercato, in modo tale che la duration del suo portafoglio punti base (1 punto base = 0.01%).
non cambi. Si determini come deve ripartire i 100 000 euro
fra i due titoli, indicando con Va l’investimento nel primo Esercizio 19
titolo e con Vb l’investimento nel secondo.
Un fondo pensione attiva una linea di investimento in
Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli:
Esercizio 15
obbligazioni italiane del valore di 180 milioni di euro. Essa
viene investita, al tempo t = 0, in BTP di due tipi: 1) a
3 anni, per il 50% del valore; 2) a 30 anni, per il restante
50%. Sapendo che la struttura per scadenza è piatta e che
il tasso semestrale di interesse è pari al tasso cedolare di
entrambi i BTP, e cioè pari a 0.55%, si calcoli la duration
D del portafoglio esprimendola in anni.
Nel mercato eurobond viene emesso un TCF con cedola
annuale, vita a scadenza 5 anni e tasso cedolare 3%. Sapendo che la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo
3.5%, si calcoli il prezzo P (riferito ad un facciale C = 100)
e la duration D del TCF.
Il gestore decide di aumentare il rendimento del fondo
Un investitore, che possiede 12 mln di euro investiti in aumentandone la duration di 5 anni. A tale scopo acquista
TCN con maturità di 4 mesi, desidera portare la duration rendite perpetue posticipate, con rata triennale (pagata
del proprio portafoglio a 2 anni, investendo ulteriori V cioè ogni tre anni) per un valore complessivo V 0 . Si calcoli
milioni di euro nel TCF di cui sopra. Si calcoli la quantità il valore di V 0 necessario allo scopo.
V necessaria allo scopo.
Esercizio 20
Esercizio 16
Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con
duration rispettivamente D1 = 6 mesi, D2 = 2 anni, D3 =
6 anni. Un investitore ha a disposizione 100 000 euro e vuole
investirne 20 000 nel primo titolo e il resto nei rimanenti
due, con l’obiettivo di ottenere una duration di 3 anni.
Si calcoli l’importo V2 che investirà nel secondo titolo e
l’importo V3 che investirà nel terzo.
Un’azienda ha un’esposizione debitoria di valore attuale 10
milioni di euro e duration 5.5 anni. Dovendo finanziare un
nuovo progetto, accede ad un finanziamento che prevede
il rimborso di 1 milione di euro fra un anno. Se la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta, al tasso
annuo i = 6%, si determini il valore V e la duration D
Nel portafoglio vengono successivamente investiti altri
dell’esposizione dell’azienda dopo il nuovo finanziamento.
20 000 in una rendita perpetua con rata semestrale costante.
Un istituto di credito propone una ristrutturazione del Assumendo che la struttura per scadenza sia piatta, con
debito dell’azienda, che consiste nel sostituirne la metà del tasso annuo i = 4.04%, si calcoli il valore V 0 e la duration
valore V con un finanziamento di pari valore attuale ma D0 (in anni) del portafoglio dopo quest’aggiunta
con il doppio della duration. Calcolare la duration D0 delle
passività dell’azienda, nell’ipotesi che la ristrutturazione Esercizio 21
venga effettuata.
Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli:
Esercizio 17
Ipotizzando che il debito pubblico italiano sia composto
interamente da BTP decennali con tasso nominale annuo
del 4% e valore nominale complessivo C = 2.2 trilioni di
euro (1 trilione = 1 000 miliardi), se ne calcoli la duration e
il valore di mercato V in t = 0 assumendo che la struttura
sia piatta al tasso i = 0.5%.
Il Tesoro decide di allungare la duration di 1 anno, sostituendo BTP per un valore di mercato complessivo di 400
miliardi di euro con titoli a cedola nulla dello stesso valore.
Si calcoli la maturità T dei titoli a cedola nulla necessaria
a tale scopo.
a) il titolo x, con prezzo Px = 200 euro e duration Dx = 8
anni;
b) il titolo y, con prezzo Py = 100 euro e duration Dy = 2
anni;
Il sig. Bianchi ha un portafoglio z composto da αx = 6
unità del titolo x e αy = 4 unità del titolo y. Si calcoli il
prezzo Pz e la duration Dz del portafoglio.
Il sig. Bianchi si accorge che il portafoglio ha una duration
troppo bassa e decide di aumentarla di un anno, vendendo un certo numero di quote del titolo y e investendo
l’intero ricavato nel titolo x. Determinare le nuove quote di composzione αx0 e αy0 del portafoglio dopo questa
movimentazione.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 22
anni. Tale portafoglio viene arricchito con l’investimento
duration
Mario Rossi investe 100 euro in un BOT a 6 mesi, 200 euro in CT Z a 2 anni con l’obiettivo di abbassare la
0
fino
a
7
anni.
Si
calcoli
il
valore
complessivo
V
del
nuovo
in un BTP a tre anni con tasso nominale annuo il 3% e
portafoglio
dopo
l’operazione.
300 euro in una rendita perpetua a rata annuale costante
posticipata. Sapendo che la struttura per scadenza dei tassi Subito dopo avere effettuato l’investimento, l’Università
di interesse è piatta al tasso annuo i = 5%, si determini il vuole calcolare la fluttuazione eventuale del fondo in seguito
valore V e la duration D (in anni) del portafoglio.
ad una variazione dei tassi di 50 punti base. Si calcoli tale
variazione
utilizzando approssimazioni ragionevoli.
Supponendo che improvvisamente i tassi subiscano una
variazione ∆i = +0.5%, di quanto cambia (approssimativamente) il valore del portafoglio del nostro investitore?
Esercizio 27
Mario Rossi guadagna o perde? Motivare le risposte.
Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli:
Esercizio 23
a) il titolo x, con prezzo Px = 100 euro e duration Dx = 10
anni;
Si consideri un portafoglio del valore complessivo di 300 mln
il titolo y, con prezzo Py = 200 euro e duration Dy = 3
b)
di euro, investito interamente in BTP con maturità T = 20
anni;
anni e t.n.a. del 2.2%. Si calcoli il payoff (flusso di cassa)
xT del portafoglio in T e la duration D del portafoglio Il sig. Bianchi ha un portafoglio z composto da αx = 6
stesso, esprimendola in anni, nel caso in cui sul mercato unità del titolo x e αy = 4 unità del titolo y. Si calcoli il
viga una struttura piatta al tasso annuo i = 4.45%.
prezzo Pz e la duration Dz del portafoglio.
Si decide, successivamente, di vendere una parte del por- Il sig. Bianchi si accorge che il portafoglio ha una duration
tafoglio di valore V e di investirla in BOT a 6 mesi allo troppo elevata e decide di abbassarla di un anno, vendenscopo di portare la duration complessiva del portafoglio a do un certo numero di quote del titolo x e investendo
D0 = 10 anni. Si calcoli il valore V necessario.
l’intero ricavato nel titolo y. Determinare le nuove quote di composzione αx0 e αy0 del portafoglio dopo questa
movimentazione.
Esercizio 24
Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con
duration rispettivamente D1 = 6 mesi, D2 = 2 anni, D3 =
4 anni. Un investitore ha a disposizione 100 000 euro e vuole
investirne 20 000 nel primo titolo e il resto nei rimanenti
due, con l’obiettivo di ottenere una duration di 3 anni.
Si calcoli l’importo V2 che investirà nel secondo titolo e
l’importo V3 che investirà nel terzo.
Esercizio 28
Il fondo pensioni dell’azienda Rossi & Figli investe solo
in titoli di Stato e ha un patrimonio di 5 400 000 euro,
investito con duration di 7 anni. Il gestore del fondo deve
investire i contributi raccolti nell’ultimo mese, che ammontano complessivamente a 150 000 euro, con l’obiettivo di
Subito dopo vince 11 000 euro al lotto e decide di aggiungermantenere inalterata la duration del fondo. Per fare questo
li al portafoglio, investendoli in una rendita perpetua con
ha a disposizione BTP a 10 anni, con tasso nominale annuo
rata semestrale costante. Assumendo che la struttura per
del 3% e BTP a 3 anni, con tasso nominale annuo dell’1%.
scadenza sia piatta, con tasso annuo i = 4.04%, si calcoli
Nell’ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi di in0
0
il valore V e la duration D (in anni) del portafoglio dopo
teresse sia piatta, al 2.01% annuo, si determini l’importo
quest’aggiunta
V10 che investirà nel BTP a 10 anni e l’importo V3 che
investirà nel BTP a 3 anni.
Esercizio 25
Subito dopo, il fondo deve fare fronte ad una spesa di 80 000.
Il sig. Bianchi ha in portafoglio i seguenti titoli:
Per questioni di tattica di mercato, il gestore decide di
reperire i fondi necessari smobilizzando parte dei BTP a 10
– una rendita perpetua con rata annuale di 100 euro;
anni. Determinare il patrimonio P e la duration del fondo,
– un BOT a sei mesi di nominale 5 000 euro.
dopo questo smobilizzo.
Sapendo che sul mercato è in vigore una struttura per
scadenza piatta, di tasso annua i=7%, si calcoli il valore V
e la duration (in anni) D del portafoglio
Esercizio 29
Un consulente finanziario lo convince che il suo portafoglio Un portafoglio di attività finanziare obbligazionarie comè troppo rischioso e gli suggerisce di dimezzarne la duration. posto da BTP appena emessi a 15 anni, con t.n.a del 4.3%
A questo scopo, gli propone di vendere un po’ della rendita, e del valore complessivo di 28.5 mln di euro. Si calcoli la
per un valore di V 0 euro, e di comprare con questa somma duration D di tale portafoglio assumendo che la struttura
un titolo a cedola nulla a 2 anni. Si determini il valore V 0 per scadenza sia piatta al tasso i = 4.2%.
necessario allo scopo.
Si decide di abbassare tale duration di 3 anni disinvestendo
parte dei BTP e rimpiazzandoli con BOT a 3 mesi, in
Esercizio 26
maniera tale che il valore del portafoglio resti immutato.
L’Università di Siena detiene un portafoglio obbligazionario Si calcoli il valore V , in milioni di euro, che va disinvestito
del valore di 12 milioni di euro e con la duration di 8.6 in BTP e investito in BOT a tale scopo.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 30
Esercizio 34
Il signor Russo deve investire 10 000 euro ha a disposizione Un’istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario composto da 500 ZCB a tre mesi, da 200 ZCB a sei
i seguenti titoli:
• una rendita immediata e perpetua con rata semestrale mesi e da 399 ZCB ad un anno. Tutti gli ZCB presentano
valore nominale C = 100e. Nell’ipotesi che la struttura
costante;
dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli la
• un BOT a 3 mesi;
duration D del portafoglio:
• un BTP con duration 9.5 anni.
La struttura per scadenza dei tassi di interesse di mercato
è piatta, con tasso annuo i = 2%. Sapendo che il signor
Russo vuole investire metà della somma nel BOT e che
il portafoglio dovrà avere una duration complessiva di 10
anni, determinare l’importo Vren che investirà nella rendita
e l’importo VBTP che invesitrà nel BTP.
L’istituzione decide di aumentare la duration del portafoglio di 0.1 anni, operando solo sui titoli a tre mesi e su
quelli a sei mesi nel modo seguente: incrementa il portafoglio di α titoli a sei mesi e decrementa di α titoli a tre mesi.
Si determini il valore α che permette di ottenere l’aumento
di duration desiderato.
Subito dopo avere effettuato l’investimento, il signor Russo
Esercizio 35
vince 5 000 euro al lotto e decide di investirli tutti nello
stesso BTP già acquistato. Si determini la duration D del Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli
obbligazionari, con due contratti:
portafoglio dopo questo ulteriore investimento
• il titolo x, con valore 100 euro e duration 5 anni;
Esercizio 31
• il titolo a cedola nulla a un anno y, con valore 300 euro;
Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli:
Si consideri il caso di un investitore con un capitale di
1000 euro. Si determini anzitutto quale è la durata media
a) un titolo a cedola nulla con scadenza 10 anni;
b) un titolo a cedola fissa annuale del 3% e durata 5 anni. finanziaria minima Dmin e quale quella massima Dmax dei
portafogli di questo mercato che l’investitore può acquistare
La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore
senza operare vendite allo scoperto. Infine, nel caso voglia
su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%.
investire tutto il suo capitale in un portafoglio con durata
Si calcolino le duration Da e Db , rispettivamente, dei due media finanziaria di 4 anni, si determini quante quote αx
titoli, esprimendole in anni
e αy , dei titoli x e y rispettivamente, deve acquistare.
Il sig. Rossi vuole investire 100 000 euro in questo mercato,
in modo tale che la duration del suo portafoglio sia esat- Esercizio 36
tamente di 7 anni. Si determini quanto deve investire nel Un’istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazioprimo titolo (Va ) e quanto nel secondo (Vb ).
nari: il primo x vale 1.5 milioni di euro e ha una duration
Esercizio 32
di 2 anni. Il secondo y vale un milione di euro ed è interamente composto da BOT a un anno. Si calcoli il valore e
la duration del portafoglio complessivo z = x + y.
Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale
annuo del 4% e maturità di 5 anni. Si calcoli la duration Si supponga poi che l’istituzione aggiunga al portafoglio
del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al un acquisto nominale di 0.5 milioni di euro interamente
tasso annuo i = 3%.
in BOT a sei mesi. Ipotizzando che la struttura dei tassi
Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore sia piatta al tasso annuo i = 3%, si calcoli il valore e la
totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e duration del portafoglio u, ottenuto dalla somma fra il
per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli portafoglio z e il nuovo acquisto in BOT semestrali.
la duration D0 di tale portafoglio.
Esercizio 37
Si consideri un’azienda che deve investire la sua liquidità di
100 000 euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi
Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli:
e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria
a) un titolo a cedola nulla con scadenza sei mesi;
del portafoglio sia di 4 mesi. Determinare l’importo V3m
b) una rendita perpetua con rata semestrale.
da investire in BOT a 3 mesi e l’importo V1a da investire
La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore in BOT a 1 anno.
su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%.
L’azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di
Si calcolino le duration Da e Db , rispettivamente, dei due Stato, con valore 1 100 000 euro e durata media finanziaria
3 anni e mezzo. Determinare il valore Vtot e la durata media
titoli, esprimendole in anni
finanziaria Dtot (in anni) della posizione complessiva in
Il sig. Rossi ha un portafoglio con valore 1 000 000 euro e
titoli di Stato dell’azienda.
duration 5 anni e vuole investire altri 100 000 euro in questo
mercato, in modo tale che la duration del suo portafoglio
non cambi. Si determini come deve ripartire i 100 000 euro Esercizio 38
fra i due titoli, indicando con Va l’investimento nel primo Si consideri un’istituzione finanziaria che detiene un portitolo e con Vb l’investimento nel secondo.
tafoglio di titoli di Stato con valore V0 = 100 000 euro e
Esercizio 33
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
durata media finanziaria di D0 = 2 anni. A questo portafoglio aggiunge una rendita perpetua, con rata mensile
posticipata di R = 100 euro. Sapendo che la struttura per
scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta
al tasso annuo i = 5%, si calcoli il valore V1 e la durata
media finanziaria D1 (in anni) del nuovo portafoglio.
x: TCN a pronti con valore facciale 4 000 euro, maturity
sei mesi;
Esercizio 39
Esercizio 43
y: TCN a pronti con valore facciale 1 000 euro, scadenza
tra un anno e mezzo.
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello
del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei
L’isituzione ritiene che il nuovo portafoglio abbia una du- due titoli:
rata media finanziaria troppo elevata. Decide di riportarla
al livello iniziale D0 mediante l’acquisto di BOT a tre Supponendo di voler investire 60 000 euro in un portafoglio
mesi. Determinare l’importo VBOT che deve investire in composto da α quote del primo titolo e da β quote del
BOT a tre mesi per raggiungere lo scopo e il valore V2 del secondo; si calcoli per quali valori di α e β il portafoglio
cosı̀ ottenuto ha duration pari ad 1 anno:
portafoglio risultante.
Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al
tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza
x: TCN a pronti con valore facciale 11 500 euro, maturity
dei fattori di sconto:
sei mesi;
Siano dati i titoli:
y: TCF con cedola semestrale, tassso nominale annuo 6%,
valore facciale 10 000 euro, scadenza tra un anno e mezzo.
v(0, s) = 1 − ks
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello con k = 0.03 e le scadenze s espresse in anni. In questo
del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei mercato, si calcolino:
• il prezzo P1 e la duration D1 espressa in anni di un
due titoli:
TCF
biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%,
Supponendo di voler investire 40 000 euro in un portafoglio
capitale
facciale C = 100 euro.
composto da α quote del primo titolo e da β quote del
secondo; si calcoli per quali valori di α e β il portafoglio • il prezzo P2 , pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e
3 mesi, per avere il pagamento di 50 euro in s = 2 anni e 4
cosı̀ ottenuto ha duration pari ad 1 anno:
mesi.
Esercizio 40
• l’intensità istantenea di interesse a 4 anni.
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0 di
una rendita perpetua immediata posticipata r con rata Esercizio 44
bimestrale pari a 35 euro secondo la legge esponenziale con
Siano dati i titoli:
intensità istantanea di interesse δ = 0.042−1 .
x: rendita perpetua con rata semestrale costante di 200
Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a sei
euro;
mesi con valore facciale pari a 5 000. Si calcolino le stesse
grandezze per il nuovo portafoglio p, nell’ipotesi che la y: TCN a pronti con valore facciale 1 000 euro, scadenza
tra un anno e mezzo.
legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa
Esercizio 41
Siano dati i titoli:
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello
del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei
due titoli.
x: TCN a pronti con valore facciale 54 000 euro, maturity Si calcolino inoltre il prezzo e la duration del portafoglio z
composto da α = 0.4 quote di x e β = 0.6 quote di y.
sei mesi;
y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 10
Esercizio 45
euro.
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello Un portafoglio del valore complessivo di V = 2 milioni
del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei di euro è costituito, per un quarto del valore, da BOT a
3 mesi, e per il valore restante da un titolo con duration
due titoli:
pari a D2 = 7 anni. Si calcoli la duration complessiva del
Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola
portafoglio.
nulla z, che rimborsa 5 000 euro a un anno, e di avere a
disposizione ulteriori 30 000 euro, da investire nei titoli Si supponga di voler sostituire il secondo titolo con titoli a
x e y con l’obiettivo di non modificare la durata media cedola fissa con duration pari a D3 = 10 anni. Si calcoli
0
finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante il valore complessivo V del portafoglio cosı̀ ottenuto in
maniera
che
la
duration
non cambi rispetto al portafoglio
unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna
precedente.
comprare.
Esercizio 42
Esercizio 46
Siano dati i titoli:
Siano dati i titoli seguenti:
Pagina 6 di 12
Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trime- rata annuale R = 300 000 euro. Assumendo una struttura
strale costante R = 500 euro;
per scadenza piatta, si calcolino le duration di entrambi i
x: TCN a pronti con valore facciale 10 000, scadenza tra portafogli.
un anno e 8 mesi
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello Esercizio 51
del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei Si consideri in t = 0 un titolo a cedola nulla, che promette
100 euro dopo 6 mesi e ha prezzo P = 95, e una rendita
due titoli.
Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + posticipata a rata costante semestrale, di 10 anni e rata
βx, che abbia valore 100 000 euro e duration 10 anni: si R = 10 euro. Assumendo che la struttura dei tassi sia
piatta al tasso interno di rendimento del TCN, si valuti il
determinino le quote α e β che realizzano la richiesta.
valore V e la duration D della rendita.
Avendo a disposizione un capitale di 5000 euro e volendolo
investire tutto in un portafoglio dei due titoli, si calcoli
Siano dati i titoli seguenti:
quante quote α della rendita e quante quote β del TCN
r: rendita posticipata perpetua immediata a rata seme- occorre acquistare per avere una duration complessiva di 4
anni.
strale costante con valore attuale pari a 1 000 euro;
Esercizio 47
x: TCN a pronti con valore facciale 2 000, scadenza tra un
anno e 9 mesi
Esercizio 52
Nell’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al
del 5% annuo, si calcolino la rata R della rendita, il prezzo tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza
dei fattori di sconto:
del TCN e le duration in anni dei due titoli:
Si calcoli inoltre il prezzo e la duration del portafoglio
s = 0.8r + 0.2x.
Esercizio 48
v(0, s) = e−s/10
con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si
calcolino:
Si consideri, in t = 0, un portafoglio del valore complessivo
di V = 2 milioni di euro, composto per un terzo del valore
da BOT con scadenza T = 6 mesi, e per due terzi del
valore da rendite perpetue immediate posticipate annuali.
Sotto l’ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello
del 4% annuo, si calcoli la duration D del portafoglio:
• il prezzo P1 e la duration D1 espressa in anni di un
TCF triennale con cedola annuale, tasso nominale del 4%,
capitale facciale pari a C = 100 euro.
Si supponga poi di aggiungere al portafoglio BOT con
scadenza ad una maturità incognita x e del valore, in t = 0,
di due milioni di euro. Si calcoli il valore di x tale per cui
la duration del nuovo portafoglio risulti pari a D0 = 10
anni.
Esercizio 53
Esercizio 49
• il prezzo P2 , pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e
4 mesi, per avere il pagamento di 100 euro in s = 3 anni.
Un’istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario, del valore di 1 milione di euro, che prevede il
pagamento di due poste: dopo un anno, di 400 mila euro,
e dopo due anni di 700 mila euro. Assumendo che la struttura per i tassi di interesse sia piatta, si calcoli la duration
D di tale attivo finanziario.
Un’istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario composto da 500 ZCB a tre mesi, da 200 ZCB a sei
mesi e da 200 ZCB ad un anno. Tutti gli ZCB presentano
valore nominale C = 100 e. Sotto l’ipotesi che la struttura
dei tassi sia piatta al livello del 3% annuo, si calcoli la
duration D del portafoglio.
Si supponga poi che l’istituzione aggiunga al portafoglio 500
mila euro di obbligazioni, ripartiti in BOT a 3 mesi e TCF
di duration pari a 5.1 anni. Si calcolino le quantità VBOT e
VT CF di acquisto di BOT e TCF rispettivamente, affinché
la duration complessiva del portafoglio risulti invariata.
L’istituzione decide di incrementare la duration del portafoglio di 3 anni acquistando un numero n di rendite perpetue
con rata annuale posticipata R = 100 e. si indichi il valore
n che permette di ottenere l’incremento desiderato.
Esercizio 54
Un’università pubblica ha, in t = 0, un debito di C =
200 milioni di euro, da restituire in unica soluzione in
T = 3 anni. A questo debito si somma un’uscita mensile
posticipata perpetua pari a 55 000 euro. Assumendo una
Esercizio 50
struttura piatta al tasso i = 3.15678% in base annua, si
Un’istituzione detiene al tempo t = 0 due portafogli, il calcoli il valore complessivo V del debito al tempo zero e
primo indicato con x e dal valore complessivo di 3 milioni la sua duration D espressa in anni.
di euro, formato per il 20% del valore da ZCB a un anno In caso di struttura piatta, si calcoli il valore i0 del tasso
e per il restante 80% del valore da ZCB a due anni; il in base annua che renderebbe la duration complessiva del
secondo, indicato con y, dal valore complessivo di 5 milioni debito pari a 3 anni, e lo si esprima in forma percentuale e
di euro e costituito da una rendita posticipta perpetua con su base annua.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 55
Esercizio 60
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0 di un
TCF X con cedola semestrale e tasso nominale annuo pari
al 6%, vita a scadenza 1 anno, valore facciale pari a 5 000
euro secondo la legge esponenziale con intensità istantanea
di interesse δ = 0.04anni−1 .
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0
di un portafoglio P composto da 3 titoli a cedola nulla
con scadenze s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3 semestri e valore
facciale C1 = 1 000, C2 = 4 000, C2 = 6 000 euro, secondo
la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse
δ = 0.04anni−1 .
Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a tre
mesi con valore facciale pari a 10 000. Si calcolino le stesse Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT ad un
grandezze per il nuovo portafoglio, nell’ipotesi che la legge anno con valore facciale pari a 10 000. Si calcolino le stesse
grandezze per il nuovo portafoglio, nell’ipotesi che la legge
di equivalenza finanziaria rimanga la stessa.
di equivalenza finanziaria rimanga la stessa.
Esercizio 56
Esercizio 61
Un istituzione detiene due portafogli, il primo indicato con
x e del valore complessivo di 10 milioni di euro, formato
per il 25% del valore da BOT a 3 mesi e per il restante
75% del valore da BOT a 6 mesi ed il secondo indicato con
y, del valore complessivo di 5 milioni di euro, composto da
un TCF di durata decennale, tasso nominale annuo del 5%
che quota alla pari, con cedola semestrale. Assumendo la
struttura dei tassi piatta al tasso i = 4%, si calcolino le duration di entrambi i portafogli e la duration del portafoglio
z = 2x + y.
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0 di
una rendita r immediata con 3 rate trimestrali posticipate
di importo R = 1 000 euro secondo la legge esponenziale
con tasso annuo di interesse i = 4%.
Esercizio 57
Esercizio 62
Si calcolino le stesse grandezze al tempo t1 = 2 mesi,
nell’ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga
la stessa.
Si calcoli infine al tempo t0 la duration in semestri del
portafoglio P composto dalla rendita e da un TCN a due
anni con valore nominale 50 000 euro.
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0 di Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al
una rendita perpetua immediata posticipata r con rata tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza
bimestrale pari a 200 euro secondo la legge esponenziale delle intensità istantanee di interesse:
con intensità istantanea di interesse δ = 0.082−1 .
0.073
s ≤ 1.5 ,
δ(0,
s)
=
Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a sei
0.06
s > 1.5 ,
mesi con valore facciale pari a 10 000. Si calcolino le stesse
grandezze per il nuovo portafoglio, nell’ipotesi che la legge con il tempo espresso in anni. In questo mercato, si
di equivalenza finanziaria rimanga la stessa
calcolino:
• il prezzo P1 e la duration D1 espressa in anni di un
rendita immediata, posticipata, temporanea composta da
Esercizio 58
quattro rate costanti annue ognuna di importo R = 200
Un investitore viene risarcito con una rendita perpetua di euro;
1000 euro al mese in un mercato in cui la struttura per
• il prezzo P2 , pattuito in t = 0, pagabile in T = 2 anni,
scadenza è piatta al tasso annuo i = 4%. Si calcoli la
per avere il pagamento di 500 euro in s = 4 anni.
duration D della rendita.
L’investitore decide di investire una somma S in BOT a 3 Esercizio 63
mesi allo scopo di ottenere una duration complessiva del
portafoglio cosı̀ ottenuto pari alla metà di D. Si calcoli la Una banca detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, dal
valore complessivo di 10 milioni di euro e formato per il
somma S da investire.
10% del valore da ZCB a 3 anni e per il restante da ZCB a
10 anni. Si calcoli la duration del portafoglio x.
Esercizio 59
Si calcoli il valore V da investire in ZCB a 6 mesi tale
Si calcolino valore attuale e duration al tempo t0 = 0 per cui la duration del portafoglio complessivo, formato
di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla dal titolo x e dagli ZCB, sia di 2 anni, assumendo una
con scadenze s1 = 1, s2 = 2 trimestri e valore facciale struttura per scadenza piatta al tasso i = 2% annuo.
C1 = 1 500, C2 = 4 500 euro, secondo la legge esponenziale
con intensità istantanea di interesse δ = 0.035anni−1 .
Esercizio 64
Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre
anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il
nuovo portafoglio, nell’ipotesi che la legge di equivalenza
finanziaria rimanga la stessa.
Nel mercato TXSWAP sono in vigore ad un certo istante i
seguenti tassi swap del tipo fisso a un anno contro varaibile
a un anno: isw (0; 1) = 3.6%, isw (0; 2) = 3.4%, isw (0; 3) =
3.2%. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a
pronti e delle intensità di rendimento a scadenza implicati
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
da questi tassi swap (grandezze in base annua, tassi in
forma percentuale).
In questo mercato, si determini il tasso nominale annuo
inom di un titolo a cedola fissa annuale di durata residua
triennale, in modo che quoti alla pari e lo spread contrattuale σ di un CCT, in modo che la duration (calcolata “un
attimo dopo l’emissione”) sia di sei mesi.
Fino al 27/09/2014 l’azienda non ha né entrate né uscite
e, a quella data, smobilizza parte dell’investimento per
pagare gli stipendi dei sui dipendenti, per un esborso totale
i 13 000 euro. Si determini il valore V 0 e la duration D0 (in
anni) dell’investimento residuo, nell’ipotesi che la struttura
per scadenza dei tassi di interesse sia rimasta invariata.
Esercizio 69
Esercizio 65
Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0,
paga, in t2 = 3, l’importo 100 · I2,3 , dove I2,3 è una cedola
indicizzata con periodo di indicizzazione tra t2 = 2 e t3 = 3.
Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente
arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 anni
quotano, rispettivamente, a 97 e 95.5 (riferiti ad un facciale
C = 100).
Si consideri un CCT con scadenza 9 marzo 2017, quotato
oggi sul mercato secondario al prezzo P = 102, riferito a un
facciale C = 100. Il CCT è privo di spread e la struttura
per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 1.91%. Si calcoli
la duration e l’importo della prima cedola del CCT.
Il Dipartimento del Tesoro decide di premiare i detentori del
CCT aggiungendo, a ciascuna cedola residua, uno spread
di 15 punti base. Si calcoli il nuovo prezzo P 0 e la nuova
Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza duratoin D0 del CCT.
di 1 anno quota a 98.5. Si calcoli il tasso swap in t = 0
corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 anni e con periodicità delle cedole annuale, Esercizio 70
esprimendolo in forma percentuale e su base annua.
Nella data odierna un investitore acquista un CCT privo
di spread (con cedole semestrali) con maturità 8 agosto
Esercizio 66
2015 al prezzo P = 102 (riferito ad un facciale C = 100).
Si consideri al tempo t = 0 un portafoglio del valore di V = Sapendo che la struttura per scadenza è data dalla formula:
12 mln di euro, investito unicamente in CCT con cedola
semestrale priva di spread, quotati sul mercato secondario
al prezzo P = 102.5 (riferiti a un facciale C = 100) e con
maturità di 1 anno e 4 mesi. Ipotizzando una struttura
per scadenza dei tassi di interesse piatta al tasso annuo
i = 6%, si calcolino la duration D del portafoglio e il flusso
di cassa x1 di tale portafoglio in t1 = 4 mesi.
i(0, t) = 4% + 1%t
si calcoli la duration del CCT e il valore della prima cedola
I1 .
Con le stesse ipotesi precedenti, si calcoli il tasso swap di
un contratto plain vanilla con scambi semestrali e maturità
0
Quanto sarebbe il valore V del portafoglio se, nelle mede- di due anni, esprimendolo in forma percentuale e su base
sime condizioni di mercato, la struttura per scadenza dei annua.
tassi fosse del 6.5% in base annua? (per questa domanda è
accettabile una soluzione approssimata, se ben motivata) Esercizio 71
Un CCT privo di spread scade fra un anno e 5 mesi in
un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al
Alla data del 1/10/2012, il sig. Viola investe la somma di tasso i = 5%. Sapendo che il prezzo, riferito a un facciale
25 000 euro in CCT privi di spread la cui prima cedola di 100 euro, è P = 103.2 euro, si calcoli l’importo della
verrà pagata in data 1/1/2013, e il capitale nominale verrà prima cedola (la prossima ad essere pagata) e la duration
rimborsato in data 1/1/2014. Sapendo che l’ammontare del CCT espressa in anni.
complessivo della cedola sarà pari a 1 200 euro, e assumendo
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui il CCT
di ragionare in un mercato perfetto, si calcoli la duration D
abbia uno spread di 80 punti base su ogni cedola.
dei CCT e il valore nominale C che il sig. Viola riscuoterà
alla scadenza. Si assuma che la struttura sia piatta al tasso
annuo i = 4% e nel considerare le scadenze si ragioni in Esercizio 72
mesi interi.
Un CCT privo di spread ha nominale 100 euro, duration
Esercizio 67
Si risponda alla medesima domanda se i CCT fossero invece D = 2 mesi e prossima cedola I1 = 2 euro. Sapendo che
dotati di uno spread di 80 punti base.
la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore
sul mercato è piatta al tasso annuo i = 6%, si determini
il prezzo di mercato P del CCT e fra quanti anni t1 verrà
Esercizio 68
Alla data odierna (8/09/2014) un’azienda investe tutta la pagata la prossima cedola.
sua liqidità in un CCT privo di spread, per un nominale
complessivo di 80 000 euro, che scade il giorno 1/11/2015.
Sapendo che il tasso cedolare della prossima cedola è lo
0.51% e che la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso annuo 1.5%, si calcoli la liquidità V
dell’azienda e la duration D (in anni) dell’investimento.
Si consideri ora un altro CCT, di nominale 100 euro e
prossima cedola sempre di importo I1 in t1 , che preveda
altre 9 cedole indicizzate dopo quella in t1 . Si calcoli la
vita a scadenza tm (in anni) del titolo e se ne calcoli il
prezzo P 0 e la duration D0 in anni, sempre in riferimento
alla stessa struttura per scadenza dei tassi di interesse.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 73
Esercizio 77
Il Tesoro decide di emettere un CCT special, con maturità
di 1.5 anni, cedola semestrale e spread 4.50% su ciascuna
cedola. Se la struttura dei tassi di interesse è piatta al
tasso annuo del 5.50%, e immaginando di acquistarlo sul
mercato secondario in un istante immediatamente successivo all’emissione, si calcoli prezzo P (relativo ad un facciale
pari a 100) e la duration D del CCT.
Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi swap sia
Una banca investe 150 mln di euro in questo CCT, ma
decide di rivenderli tre giorni dopo. Si determini, anche
approssimativamente, il ricavo dell’operazione (di acquisto
e successiva vendita) dei CCT se la struttura per scadenza
è cresciuta, nei tre giorni in questione, di 18 punti base per
tutte le maturità, giustificando adeguatamente la risposta.
isw (0, t) = (4 + t)%
con t = 1, 2, . . . anni. Si calcoli innanzitutto la struttura
per scadenza dei tassi di interesse a pronti, esprimendola in
forma percentuale e su base annua, relativa alle scadenze
1, 2 e 3 anni.
Si calcoli poi il prezzo P di un CCT con scadenza in T = 1
anno, cedola semestrale e spread 80 p.b., riferendolo ad un
valore nominale C = 100.
Esercizio 78
Si consideri un CCT appena emesso, con nominale 400
euro, durata un anno e privo di spread. Si assuma che
i(0, 0.5) = 2% e i(0, 1) = 2.6%. Si calcoli il prezzo P e la
Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un porduration D (in anni) del CCT
tafoglio di CCT con maturità 8/3/2015 e privo di spread.
Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la dura- Si ripeta l’esercizio nel caso che il CCT abbia uno spread
0
tion D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, di 80 punti base su ogni cedola, calcolando il prezzo P e
0
riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola la duration D .
che verrà pagata è pari a I1 = 4, e che la struttura per
scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%.
Esercizio 79
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT Si consideri un CCT quotato, sul mercato secondario, al
possiedano uno spread di 250 punti base.
prezzo P = 102.5 (riferito a un facciale C = 100) con
maturità di 1 anno e 8 mesi. Assumendo che il CCT sia
privo di spread e che la struttura per scadenza sia piatta
Esercizio 75
al tasso i = 4.5%, si calcoli la duration D del CCT e la
Nell’istante t = 0, un CCT privo di spread con durata
prima cedola I1 da esso pagata.
residua T = 1 anno e 2 mesi è quotato al prezzo P = 100.4
(riferito ad un facciale C = 100). La struttura per scadenza Si risponda alla medesima domanda ipotizzando stavolta
dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta, al che le cedole del CCT abbiano uno spread di 60 punti base
tasso annuo i = 5%. Si calcoli l’istante t1 nel quale verrà (1 punto base = 0.01%).
corrisposta la prossima cedola, l’importo I di tale cedola e
la duration D del titolo
Esercizio 80
Si consideri adesso lo stesso CCT, ma con in aggiunta Si consideri un mercato in cui, al tempo zero:
uno spread di 0.80% su ogni cedola (compresa la prima).
• il tasso di interest rate swap a 2 anni è il 5.5%;
Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi segua
• il tasso di interest rate swap a 3 anni è il 6%;
la formula:
• il titolo a cedola nulla che paga 100 euro a un anno quota
i(0, s) = 4% + 1% · s,
95 euro.
Esercizio 74
si calcolino prezzo P 0 e duration D0 di tale CCT provvisto Si calcoli anzitutto la struttura per scadenza dei tassi a
di spread.
pronti in base annua.
Si calcoli quindi il prezzo P al tempo zero della cedola
indicizzata che, al tempo in 3, paga l’importo 1 000j(2, 3)
Sul mercato flbond sono quotati i seguenti titoli a tasso euro, dove j(2, 3) è il tasso periodale di interesse di mercato,
rilevato in al tempo 2 per la scadenza 3.
variabile perfettamente indicizzati e senza spread:
Esercizio 76
a) titolo x con cedola annuale e scadenza 5 anni e mezzo,
nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo
101.5 euro.
b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 7 anni e tre
mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo
100.2 euro.
Esercizio 81
Si consideri un portafoglio formato da due CCT. Il primo
è privo di spread e ha una maturità di 5 anni. Il secondo
ha la stessa maturità ma uno spread di 20 punti base.
Assumendo una struttura per scadenza piatta al tasso
Si determinino le duration Dx e Dy (in anni) dei due annuo i = 3.45%, si calcoli la differenza di valore ∆V tra i
titoli, nonché il prezzo P e la duration V di un titolo a due CCT esprimendola rispetto ad un nominale C = 1000
tasso variabile perfettamente indicizzato appena emesso, euro.
con nominale 4 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e Si calcoli ora la differenza di duration ∆D tra i due CCT,
spread di 110 punti base ( = 1.10%) su ogni cedola.
esprimendola in anni.
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
Esercizio 82
Si consideri un mercato in cui, al tempo zero, è in vigore
la seguente struttura per scadenza dei tassi di interesse a
pronti in base annua:
i(0, 1) = 2.0% ,
i(0, 2) = 2.5% ,
i(0, 3) = 3.0% .
Si calcoli la struttura per scadenza dei tassi di interest rate
swap in vigore in questo mercato.
Si calcoli la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza (in base annua) e dei tassi di interest
rate swap in vigore in questo mercato.
Esercizio 87
Nel mercato telebnk sono quotati alla data t = 0:
• il tasso a pronti a un anno è il 2.1%;
• un contratto a termine, che rimborsa 102.6 euro a due
Si calcoli il valore P , esigibile in t = 0, di un titolo a
anni a fronte del pagamento del prezzo di 100 euro fra
cedola nulla indicizzato che paga, in t3 = 3, la somma
un anno;
Xt2 ,t3 = 1 000(1 + j(t2 , t3 )), dove j(t2 , t3 ) è il tasso di • un titolo cedola fissa annuale, con nominale 100, durata
struttura rilevato in t2 = 2.
3 anni, cedola di 2.5 euro e quotato alla pari.
Esercizio 83
Sul mercato secondario sono quotati due titoli a tasso
variabile perfettamente indicizzati e privi di spread:
a) titolo x con cedola annuale e scadenza 3 anni e mezzo,
nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo
101.5 euro.
b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 5 anni e tre
mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo
100.2 euro.
Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e tassi swap in vigore su questo mercato al tempo t,
esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua.
Esercizio 88
Si consideri un CCT privo di spread sul mercato secondario
in t = 0 e con maturità di 1 anno e 2 mesi. Conoscendo
l’importo della prima cedola I1 = 6, se ne calcolino prezzo
P e duration D nell’ipotesi di una struttura per scadenza
piatta al tasso i = 4%, riferita ad un facciale C = 100.
Si determinino le duration Dx e Dy (in anni) dei due titoli,
nonché il prezzo P e la duration D di un titolo a tasso Si risponda alla medesima domanda nel caso che le cedole
variabile perfettamente indicizzato appena emesso, con (esclusa la prima) abbiano uno spread di 80 punti base.
nominale 400 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e
Esercizio 89
spread di 50 punti base ( = 0.50%) su ogni cedola.
Esercizio 84
Sul mercato secondario sono quotati due titoli a tasso
variabile perfettamente indicizzati e privi di spread:
Nel mercato eurorates sono quotati i seguenti tassi di a) titolo x con cedola annuale e scadenza 3 anni e mezzo,
interest rate swap, del tipo fisso a 1 anno contro variabile a
nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo
sei mesi: isw (0; 1) = 3.15%, isw (0; 2) = 3.60%, isw (0; 3) =
101.5 euro.
3.25%.
b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 5 anni e tre
mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo
Si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse
100.2 euro.
a pronti implicata da queste quotazioni e il prezzo P di un
titolo a cedola fissa annuale del 1.5%, durata tre anni e Si determinino le duration Dx e Dy (in anni) dei due titoli,
nominale 100 euro.
nonché il prezzo P e la duration D di un titolo a tasso
variabile perfettamente indicizzato appena emesso, con
Esercizio 85
nominale 400 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e
Nel mercato FLOB sono quotati i seguenti titoli, tutti con spread di 50 punti base ( = 0.50%) su ogni cedola.
nominale 100 euro: a) un CCT “special” x, con durata
residua 4 anni e mezzo e cedole prive di spread; b) un CCT Esercizio 90
y, con durata residua 4 anni e mezzo e spread di 50 punti
Nel mercato eurorates sono quotati i seguenti tassi, tutti
base; c) un CCT z, con durata residua 9 mesi, prossima
espressi in base annua:
cedola di 3 euro e spread di 100 punti base. Si determini il
prezzo e la duration (in anni) dei tre titoli, sapendo che • il tasso a pronti a 2 anni, al 3%;
la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore • il tasso a termine i(0, 1, 2) = 3.4%;
sul mercato è piatta, con tasso annuo i = 3% (nel caso la • il tasso swap a tre anni, al 3.3%.
data di valutazione sia data di stacco cedola di un titolo, Si determini anzitutto la struttura per scadenza dei fattori
si assuma di essere “un attimo dopo” la data di stacco di sconto in vigore in questo mercato.
cedola).
Si calcoli poi la cedola I che deve avere di un titolo a cedola
fissa a 3 anni con cedola annuale e nominale C = 100 000
Esercizio 86
euro, in modo che quoti alla pari in questo mercato.
Si consideri un mercato in cui, al tempo zero, è in vigore
la seguente struttura per scadenza dei tassi di interesse a
Esercizio 91
pronti in base annua:
Si consideri un mercato in cui è in vigore la struttura per
i(0, 1) = 2.0% , i(0, 2) = 2.5% , i(0, 3) = 3.0% .
scadenza dei tassi di interesse in base annua (tempo in
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Esercizi di Matematica Finanziaria: rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati
1. titolo x con cedola annuale e scadenza 5 anni e mezzo,
nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo
i(0, 0.5) = 1.6% i(0, 1) = 2% i(0, 1.5) = 2.3% .
101.5 euro.
2. titolo y con cedola semestrale e scadenza 7 anni e tre
Si calcoli il prezzo P e la duration D di un CCT privo di
mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo
spread con vita a scadenza un anno e mezzo e nominale
100.2 euro.
100.
Si determinino le duration Dx e Dy (in anni) dei due
Si ripeta l’esercizio nell’ipotesi che il CCT abbia uno spread titoli, nonché il prezzo P e la duration V di un titolo a
di 51 punti base su ogni cedola.
tasso variabile perfettamente indicizzato appena emesso,
con nominale 4 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e
spread di 110 punti base ( = 1.10%) su ogni cedola.
Esercizio 92
anni):
In CCT con maturità di T = 7 anni viene emesso al tempo
t = 0 avendo una cedola semestrale indicizzata in maniera
puntuale e sincrona e uno spread di 0.5% su ciascuna
cedola. Assumendo una struttura per scadenza piatta al
tasso i = 3.75%, si calcoli la duration D e il prezzo P
del CCT se riferito a un facciale C = 100, in un istante
immediatamente antecedente l’emissione.
Nello stesso mercato, si calcoli il tasso swap in t = 0
corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità
di T = 2 anni e con periodicità delle cedole semestrale,
esprimendolo in forma percentuale e su base annua.
Esercizio 93
Alla data odierna, nel mercato è in vigore la seguente
struttura per scadenza dei tassi swap:
isw (0; 1) = 1% ,
isw (0; 2) = 2% ,
isw (0; 3) = 3% .
Si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse
a pronti e in base annua.
Esercizio 94
Sul mercato EURATES sono quotati i seguenti tassi di
interest rate swap, del tipo fisso a un anno contro variabile
a un anno: isw (0; 1) = 3.40%, isw (0; 2) = 4.10%, isw (0; 3) =
4.60%. Si calcoli anzitutto la struttura per scadenza dei
tassi di interesse a pronti e in base annua implicata dalla
struttura dei tassi swap.
Si determini quindi il prezzo V e la duration D in anni
di un titolo a tasso variabile appena emesso, con durata 3
anni, nominale 2 000 euro e cedola annuale con spread di
100 punti base ( = 1%).
Esercizio 95
Un CCT privo di spread è quotato sul mercato secondario
a 101.7. Sapendo che la maturità del CCT è di 10 mesi
si calcoli la duration D del CCT e il valore della prima
cedola I1 che verrà staccata, nell’ipotesi che la struttura
per scadenza dei tassi sia piatta al livello i = 4.5%.
Si risponda alla stessa domanda precedente se il CCT fosse
dotato di uno spread di 40 punti base.
• Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile in forma preliminare, a supporto della preparazione dell’esame di Matematica
Finanziaria.
• Sono consentite la riproduzione e la circolazione
in formato cartaceo o elettronico ad esclusivo uso
scientifico, didattico o documentario, purché il documento non venga alterato in alcun modo sostanziale,
ed in particolare mantenga le corrette indicazioni di
data, paternità e fonte originale.
• Non è consentito l’impiego di detto materiale a scopi
commerciali se non previo accordo.
Esercizio 96
• È gradita la segnalazione di errori o refusi.
Sul mercato flbond sono quotati i seguenti titoli a tasso
variabile perfettamente indicizzati e senza spread:
c Claudio Pacati e Roberto Renò.
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