Principio di Relatività Generale - Digilander

RELATIVITA’ GENERALE (1915)
Principio di Relatività Generale
Uno dei motivi che spinsero Einstein ad indagare verso la relatività generale fu una questione di
simmetria: la relatività ristretta aveva stabilito l'uguaglianza di tutti i sistemi inerziali, lasciando fuori
i sistemi accelerati, che possono collegarsi solo tenendo conto di forze ben individuabili con vari
esperimenti. Questo poneva i sistemi inerziali su una posizione privilegiata, diversa rispetto ai non
inerziali, fatto che turbava Einstein dal punto di vista della completezza e dell'eleganza della
struttura
teorica.
In più, la relatività ristretta aveva mostrato che lo spazio ed il tempo devono essere trattati insieme se
si vogliono ottenere risultati coerenti; il tempo era diventato una coordinata come le altre 3 e ad
impedire certi movimenti in questo spazio a 4 dimensioni c'è solo il principio di causalità.
Un celeberrimo esperimento ideale, noto come ascensore di Einstein, fu l'intuizione da cui prese le
mosse tutto il successivo sviluppo della teoria: su un ascensore in caduta libera dovuta a un campo
gravitazionale, senza possibilità di vedere all'esterno, un osservatore supporrebbe di essere in
assenza di gravità; per provarlo, egli lascia cadere una moneta ed osserva che la moneta resta alla
stessa altezza nella cabina ovvero non cade rispetto ad essa, che per l'osservatore è l'unico punto di
riferimento. Questo porterebbe allora a dire che un sistema in caduta libera in un campo
gravitazionale, è indistinguibile (almeno per un certo periodo) da un altro non sottoposto ad alcuna
forza.
D'altra parte, quando l'ascensore posto in un campo gravitazionale sta fermo, l'osservatore sente la
forza di gravità (e una moneta lasciata libera cade ai suoi piedi); non appena l'ascensore inizia a
cadere, la moneta resta a mezz'aria: in questo caso l'osservatore può pensare che sia comparso
all'improvviso un campo gravitazionale dalla direzione del soffitto, che bilancia esattamente quello
di partenza; di nuovo non può decidere quale delle due situazioni si sta verificando.
Si può allora affermare che il campo gravitazionale apparente, prodotto da un semplicissimo moto
accelerato, non è distinguibile da un vero campo dovuto all’attrazione di una massa.
In questa conclusione risiede il principio d’equivalenza tra gravità e accelerazione:
Un campo gravitazionale omogeneo è del tutto equivalente ad un sistema di riferimento
uniformemente accelerato.
Quindi, i sistemi accelerati non dovevano essere così eccezionali.
Da questi presupposti, Einstein cercò di costruire una visione della realtà parallela a quella della
legge d'inerzia: mentre per la legge d'inerzia un corpo non sottoposto a forze si muove di moto
uniforme (velocità costante in modulo e direzione e quindi lungo una retta), un corpo sottoposto alla
sola gravità si muove nello spazio-tempo, deformato dal campo gravitazionale, lungo una traiettoria
che costituisce il percorso più breve tra due punti chiamata geodetica (in uno spazio euclideo, quindi
non deformato, tale traiettoria coincide proprio con il segmento rettilineo che unisce due punti).
Curvatura dello Spazio-Tempo
La teoria afferma che lo spazio-tempo viene più o meno curvato dalla presenza di una massa;
un'altra massa più piccola si muove allora come effetto di tale curvatura.
Spesso, si raffigura la situazione come una palla che deforma un telo elastico teso con il suo peso,
mentre un'altra pallina viene accelerata da questa deformazione del piano ed in pratica attratta dalla
prima.
Questa è solo una semplificazione alle dimensioni raffigurabili, in quanto ad essere deformato è lo
spazio-tempo e non solo le dimensioni spaziali, cosa impossibile da raffigurare e difficile da
concepire.
L'unica situazione che riusciamo a raffigurare correttamente è quella di un universo ad una
dimensione spaziale ed una temporale. Un qualunque punto materiale è rappresentato da una linea
(linea di universo), non da un punto, che fornisce la sua posizione per ogni istante: il fatto che sia
fermo o in moto farà solo cambiare l'inclinazione di questa retta. Ora pensiamo di curvare tale
universo usando la terza dimensione: quello che prima era la retta che descriveva un punto, ora è
diventata una superficie.
Su una superficie curva non vale la geometria euclidea, in particolare è possibile tracciare un
triangolo i cui angoli sommati non forniscono 180° ed è anche possibile procedere sempre nella
stessa direzione, ritornando dopo un certo tempo al punto di partenza.
Le verifiche della Relatività Generale
La precessione del perielio dell’orbita di Mercurio
Tra tutti i pianeti del sistema solare, Mercurio è quello
che presenta la precessione del perielio più accentuata,
essendo
il
più
vicino
al
Sole.
Il fenomeno è previsto dalla teoria della gravitazione
universale di Isaac Newton, ma Urbain Le Verrier, per
primo, scoprì che questo pianeta avanza più
velocemente di quello che prevede la teoria stessa:
dalle osservazioni infatti è risultato che la longitudine
del perielio, cioè la somma della longitudine del nodo
ascendente e l'argomento del perielio, aumenta di 574"
(secondi d'arco) ogni secolo. Il dato previsto
teoricamente tenendo conto dell'interazione con gli
altri pianeti è invece di 531"/secolo, con uno scarto di 43".
Nel 1919 Albert Einstein annunciò che la sua teoria della relatività generale prevedeva una
precessione del perielio dei pianeti anche in assenza di interazione tra di essi (mentre la meccanica
classica prevede in tal caso che l'orbita sia un'ellisse fissa e immutabile), e che l'entità di questa
precessione per Mercurio corrispondeva allo scarto osservato.
Il valore dell'avanzamento previsto da Einstein è:
ΔπR = valore dell'avanzamento del perielio dato dalla relatività generale, da sommare a quello
previsto dalle perturbazioni newtoniane
n = moto medio del pianeta
a = semiasse della sua orbita
e = eccentricità
t = tempo
c = velocità della luce nel vuoto.
Dunque il termine correttivo viene introdotto per un corpo celeste in movimento; la correzione
riguarda il cubo del rapporto fra velocità del corpo e la velocità della luce, quindi i valori saranno
apprezzabili solo quando la velocità del corpo sarà elevata; ora fra tutti i pianeti Mercurio è quello
che ha la velocità maggiore e quindi risulta quello dove è stata riscontrata l'anomalia.
La precessione del perielio di Mercurio viene perciò considerata la prima conferma sperimentale
della teoria della relatività generale.
La deflessione dei raggi luminosi
Un raggio di luce proveniente dalla stella A viene curvato
passando nelle vicinanze del campo gravitazionale del Sole.
La stella viene osservata nella posizione apparente B data
dalla proiezione del raggio di luce che arriva a Terra. I raggi
di luce vengono curvati passando nelle vicinanze di un
campo gravitazionale causato dalla presenza di una massa.
Lo stesso Einstein propose la verifica durante un’eclisse
totale di Sole.
L’occasione per verificare se la luce effettivamente veniva
deflessa da un campo gravitazionale ed in quale entità, o
einsteiniana o newtoniana, si ebbe esattamente il 29 maggio
1919. In quell’occasione l’Osservatorio astronomico di
Greenwich (Gran Bretagna) organizzò due spedizioni per effettuare le misure. Una spedizione,
guidata da Eddington (1882-1944), andò nell’isola di Prìncipe (odierno stato di São Tomé e
Prìncipe nel golfo di Guinea in Africa); l’altra spedizione si recò nella città brasiliana di Sobral
(America meridionale).
Dopo l’analisi delle lastre fotografiche Lorentz inviò un telegramma ad Einstein per informarlo
della conferma sperimentale della sua teoria.
Nel 1920 Eddington calcolò che i raggi luminosi potevano raggiungere l’osservatore secondo
diverse traiettorie per cui ipotizzò l’ipotesi che la deflessione della luce ad opera del campo
gravitazionale potesse produrre più di un’immagine della sorgente. Nel 1924 si ipotizzò anche che
alcune stelle doppie potessero essere, in realtà, il risultato di un effetto lente tra stelle.
Il Redshift Gravitazionale
Il Redshift, che letteralmente significa “spostamento verso il rosso”, è la variazione di colore dello
spettro prodotto dalla radiazione luminosa. Questo fenomeno, concorde con la relatività generale, si
verifica quando un fotone si allontana da un campo gravitazionale, questi perde energia ed il suo
spettro si arrossa. Più intenso è il campo gravitazionale, più rosso risulterà il suo spettro.
Nel caso particolare di un campo gravitazionale prodotto da un buco nero si presuppone che il
Redshift sia infinito, ovvero lo spostamento della luce è cosi elevato da “cadere” all’interno del
buco nero, per non riuscirne mai più.
Il Redshift, come le lenti gravitazionali sono dimostrazioni dell’esattezza delle Teorie di Einstein.
Il satellite Gravity Probe
Nel 1976 una missione chiamata Gravity Probe A aveva inviato un orologio atomico a 10.000
chilometri di distanza nello spazio, confermando la previsione teorica che la gravità rallenta lo
scorrere del tempo.
Gravity Probe B intende misurare invece un effetto più debole, la curvatura dello spazio-tempo
dovuta alla gravità e al momento angolare di un corpo che ruota.
Il satellite Gravity Probe B ha messo in opera i suoi quattro giroscopi sferici allo scopo di misurare
con estrema precisione due peculiari effetti predetti dalla teoria di Einstein: uno di questi si chiama
effetto geodetico, che e' la deformazione che la massa terrestre provoca nello spazio-tempo in cui
risiede. L'altro viene chiamato frame-dragging ed è invece il trascinamento dello spazio-tempo
provocato dalla rotazione della Terra attorno al suo asse.
Secondo Einstein, i due effetti sarebbero misurabili osservando, nel corso del tempo, lo spostamento
dell'asse di rotazione di un giroscopio.