Lezione V Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali

Lezione V
Teorie metriche della
gravitazione e confronti
sperimentali
Contenuto della Lezione V
1) Diverse Teorie Metriche
2) Tests della Relatività Generale
3) Il principio di Equivalenza Forte
Criteri di Attendibilità di una Teoria
Gravitazionale
LOGICA
Completa: Dai principi primi devono essere derivate tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
(Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti)
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando il campo gravitazionale è trascurabile le leggi della teoria si
devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è trascurabile e le particelle
si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.(*)
SPERIMENTALE
Criteri di Attendibilità di una Teoria
Gravitazionale
LOGICA
Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
(Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti)
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono
ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si
muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.
SPERIMENTALE
Milne (1948) : Nessuna predizione sul Red-Shift Gravitazionale
Criteri di Attendibilità di una Teoria
Gravitazionale
LOGICA
Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
(Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti)
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono
ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si
muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.
SPERIMENTALE
Varie teorie (Anni ‘60) : Violano l’esempio indicato
Criteri di Attendibilità di una Teoria
Gravitazionale
LOGICA
Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
(Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti)
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono
ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si
muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.
SPERIMENTALE
Newton: Non relativistica
Criteri di Attendibilità di una Teoria
Gravitazionale
LOGICA
Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
(Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti)
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono
ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si
muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.
SPERIMENTALE
Birkoff (1943): Teorie che viola il limite Newtoniano
Teorie della Gravitazione
Teorie della Gravitazione
Attendibili
Metriche
Non Attendibili
Non Metriche
Abbiamo classificato non attendibili un dato numero di teorie
in quanto violano la validità della Fisica Newtoniana
e della Relatività Speciale. Il loro grado di validità è
stato discusso nelle lezioni precedenti.
Teorie della Gravitazione
Teorie della Gravitazione
Attendibili
Metriche
Non Attendibili
Non Metriche
Validità del principio di Equivalenza di Einstein
(WEP + LLI + LPI)
Teorie della Gravitazione
L’unico campo che regola le equazioni del moto è la metrica g. Il ruolo degli altri
campi che la teoria può contenere è solo quello di contribuire a generare la metrica.
La materia crea questi campi che, insieme alla materia generano la metrica, ma la
materia risponde solo alla metrica.(*)
Limite Newtoniano
All’interno del sistema solare la luce segue traiettorie rettilinee
i corpi di test si muovono seguendo le leggi della fisica Newtoniana
con approssimazioni di una parte su 105
dove
In una teoria Metrica l’accelerazione di un corpo in un campo gravitazionale statico
si deduce a partire dall’equazione delle geodetiche
Limite Newtoniano
Per rendere le due espressioni identiche
Limite Newtoniano
A grandi distanze dalla sorgente vale la metrica di Minkowski
Limite Newtoniano
In questa approssimazione valgono le equazioni di Eulero della Fluidodinamica
valide nella fisica Newtoniana e (con buona approssimazione) nel sistema solare
LIMITE NEWTONIANO DI UNA TEORIA METRICA
E’ LO SVILUPPO AL PRIMO ORDINE NELLE QUANTITA’ MENZIONATE
Limite Newtoniano
U < 10-5
In tutto il sistema solare
Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del
viriale, sono piccole
La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola
della densità di energia gravitazionale ρU
(p/ρ circa 10-5 nel sole e 10-10 sulla terra)
Il limite Newtoniano è valido per descrivere la fisica nel sistema solare con una
precisione dell’ordine di una parte su 105. Già l’avanzamento del perielio di Mercurio è
un effetto su scala inferiore (5 x 10-7 rad su ogni orbita)….
Limite Newtoniano
U < 10-5
In tutto il sistema solare
Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del
viriale, sono piccole
La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola
della densità di energia gravitazionale ρU
(p/ρ circa 10-5 nel sole e 10-10 sulla terra)
In altre parole, negli anni ’70 il limite Newtoniano (cioè lo sviluppo al primo ordine
era sufficiente a descrivere le osservazioni),
Attualmente per lo studio di fenomeni ove è più forte la gravità non basta fermarsi al
primo ordine ed in casi particolari addirittura va abbandonata la tecnica perturbativa
Lo Sviluppo Post-Newtoniano
Il primo ordine dello sviluppo è associato a termini lineari nella velocità v ~ O(1) = ε
Sviluppo della metrica nei parametri menzionati: U, v2, p/ρ e Π
v ∼ ε, U2 ∼ ε4 , Uv ∼ ε3
#
#
#t
" v &% $
"!
#
#t
#x
ε2
L’azione ING per una singola massa neutra si può scrivere così
Il limite Newtoniano corrisponde a
A cui corrisponde una langragiana L
Newtoniano ε2
Lo Sviluppo Post-Newtoniano
Post-Newtoniano (ε4)
Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla
conservazione dell’energia (Gravitation Par.39.6)
Ciascuna teoria deve fornire gli sviluppi a questi ordini della metrica
Ciascuna teoria potrebbe presentare la sua “personale versione”
Lo Sviluppo Post-Newtoniano
Post-Newtoniano (ε4)
Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla
conservazione dell’energia (Gravitation Par.39.6)
La teoria è però obbligata a rispettare delle regole:
ordine dello sviluppo, assenza di dimensioni, termini che vanno a zero almeno per 1/r,
le correzioni siano date da prodotti delle grandezze di cui sopra, etc, etc, etc..
(Gravitation Par.39.8)
Lo Sviluppo Post-Newtoniano
……
I parametri Post-Newtoniani
(*)
Le teorie si distinguono una dall’altra dai valori
assunti dai parametri Post-Newtoniani
I parametri Post-Newtoniani
Termini che regolano la dipendenza dalla metrica
dalla velocità del sistema di riferimento rispetto
ad un sistema di riferimento Universale
Misurano se la teoria predice violazioni del momento
PPN in General Relativity
Per i dettagli del calcolo vedereC.Will Par.5.2
PPN in Brans-Dicke
PPN in Brans-Dicke
Per i dettagli del calcolo vedere C.Will ,Par.5.3
Equazioni del moto per i fotoni
Equazioni del moto per i fotoni
Deflessione della Luce
Deflessione della Luce
Deflessione della Luce
1
' 4M ( $
*+ = (1 + ) )%
"[(1 + cos ! ) / 2]
2
& d #
Traiettorie dei Fotoni nello sviluppo Post-Newtoniano
Φ d "d
d
GRAZING PHOTONS
!
d " d! " ! 0
1
"# $ (1 + ! )1"75
2
Deflessione della Luce
Eddington (1919)
Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante.
30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti.
Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10%
Very-Long-BaseLine Radio Interferometry
Ogni anno il Sole raggiunge la minima distanza dalla linea visiva che
congiunge la terra a gruppi di quasar.
(Accuratezza di 100 µarcsec)
(1 + ! )
= 0.99997 ± 0.00016
2
Deflessione della Luce
Eddington (1919)
Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante.
30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti.
Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10%
Very-Long-BaseLine Radio Interferometry
Deflessione della Luce da parte di Giove:
300 microarcsec verificate con accuratezze del 50%
Ritardo dell’eco radar
Ritardo dell’eco radar
&
, d 2 )#
1
0t . (1 + / ) $240 - 20 ln** ''!
2
+ r ("
%
Ritardo Radar
3 Differenti tipi di misure
(1+γ)/2 misurato con accuratezze dello 0.1%
Il parametro γ
! > 3500
1+ !
"#
2+!
! > 3500
Ruolo ridotto del campo scalare
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Avanzamento del Perielio di Mercurio
che rappresenta un moto armonico per u=r-1 con una piccola perturbazione
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Precessione del Perielio di Mercurio
e parametri PPN
Precessione del Perielio di Mercurio
e parametri PPN
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Sintesi
Terra: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su mille
Sole: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su 105
Sottraibile con ottima accuratezza
Effetto dovuto alla Relatività Generale o teorie alternative
Perturbazione dal moto dei pianeti: 500” per secolo
Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole
Perturbazione dovuto al rapporto delle masse dei corpi
(nullo
in teorie puramente
conservative)
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Sintesi
, R 2 )#
, 63m ) & 1
1
µ
''!
'' $ (2 + 22 - 1 ) + (201 - 0 2 + 0 3 + 2/ 2 ) + J 2 **
4. = **
6
m
+ p (% 3
+ 2mp ("
Total Mass = m1 + m2
Reduced Mass
Avanzamento per ciascuna orbita
C!A
J2 =
m1 R 2
p = amaggiore (1 ! e 2 )
Mean Radius
of Sun
C ed A sono i momenti di inerzia rispetto
all’asse di rotazione e all’asse equatoriale
µ mmerc
#
# 2 "10 !7
m msun
Trascurabile comunque
J 2 # 1 "10 !7
Avanzamento del Perielio di Mercurio
Sintesi
&1
. 4 , J 2 )#
1& = 42".98$ (2 + 20 . / ) + 3 -10 * .7 '!
+ 10 ("
%3
Avanzamento per secolo
Sotto l’errore sperimentale
L’errore sperimentale dell’osservazione Radar di
Mercurio (dal 1966) è circa una parte su mille
1
!3
(2 + 2$ ! # ) " 1 ± 10
3
2$ ! # ! 1 < 3 "10 !3
Misure di quadrupolo del campo solare
Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento
di quadrupolo del sole…
Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla
superficie  J = Q/2MR3 = 2 x 10-5 (errore al 10%)
Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio
pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni
compatibili con la teoria di Brans-Dicke.
Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura
J = Q/2MR3 = 1 x 10-6 (errore al 400%)
Misure di quadrupolo del campo solare
Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento
di quadrupolo del sole…
Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla
superficie  J = Q/2MR3 = 2 x 10-5 (errore al 10%)
Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio
pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni
compatibili con la teoria di Brans-Dicke.
Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari
J = Q/2MR3 = 2 x 10-7 (errore al 10%)
Il principio di Equivalenza Forte
L’Effetto Nordvedt
Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale
può violare il principio di Unicità del Free-Fall
Eg $
'
""!U
a = %%1 ( )
m#
&
& = 4% ' $ ' 3 '
10
2
2
1
# ' "1 + " 2 ' ! 1 ' ! 2
3
3
3
3
L’Effetto Nordvedt
Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale
può violare il principio di Unicità del Free-Fall
Eg
m
Eg
m
" 10
" 10 ! 27
Eg
!5
Sun
m
# 4.6 "10
Laboraty-size objects
Eg
!10
Earth
m
# 0.2 "10 !10
Moon
Moon Sun
Polarizzazione dell’orbita lunare
#r % 13.1" cos(!0 $ ! S )t
29.8 gg
L’Effetto Nordvedt
Moon Sun
Polarizzazione dell’orbita lunare
#r % 13.1" cos(!0 $ ! S )t
Lunar Laser Ranging Experiments
Apollo 11 ha piazzato nel 1969 dei retro-riflettori sulla superficie lunare. Un laser manda
impulsi di 1018 fotoni della durata di 200 ps. 1 fotone ogni qualche secondo viene rivelato.
Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps) sull’orbita lunare.
Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-Newtonian Gravitational Effects,….etc..
! = 0.00 ± 0.03
! = 0.001 ± 0.015
(Williams et al., 1976)
(Shapiro et al., 1976)
L’Effetto Nordvedt
Moon Sun
Polarizzazione dell’orbita lunare
#r % 13.1" cos(!0 $ ! S )t
Lunar Laser Ranging Experiments
Apollo 11: piazzati nel 1969 retroriflettori sulla superficie lunare
Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps)
Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-Newtonian Gravitational Effects,….etc..
Limite recenti su η ad una parte su 103
Limite sulla WEP accurata a 5 parti su 1013
Materiale Didattico
TESTI FONDAMENTALI
Cap.4 dello Will per capire la logica complessiva dello sviluppo Post-Newtoniano e delle diverse
teorie metriche.
C.Will: “The Confrontation Between General Relativity and Experiment”, sul sito web.
Capitolo 39 del Gravitation.
TESINE POSSIBILI
I 3 test standard della Relatività Generale (problematiche sperimentali)
Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani