Capacità di un Conduttore.
Si definisce capacità di un conduttore con carica Q e a potenziale V, il rapporto tra Q e V.
Q
C = . La capacità si misura in farad (F). Spesso si usano i sottomultipli
V
( µ F = 10−6 F , nF = 10−9 F , pF = 10−12 F ,)
Essendo il potenziale proporzionale alla carica Q, la capacità dipende dalla geometria del
conduttore e non dalla carica.
Q
Q
La capacità di una sfera è pari a C = =
= 4πε 0 R .
Q
V
4πε 0 R
Condensatori
Se poniamo di fronte ad un conduttore carico, uno scarico ,quest’ultimo si carica per induzione, e
diminuendo il potenziale la capacità aumenta.
Si chiamano condensatori, un conduttore composto da due conduttori posti uno di fronte all’altro in
modo che l’induzione sia completa.
I condensatori sono piani, cilindrici e sferici.
Se consideriamo un condensatore piano abbiamo che il campo è E =
Q
e il potenziale è
Sε 0
Sε
Q
Q
Q
= 0 . Quindi la capacità di un condensatore è
d da cui C = =
Q
V
d
Sε 0
d
Sε 0
proporzionale alla Superficie, e inversamente proporzionale alla distanza tra le due piastre.
V = Ed =
Isolanti
Si definiscono isolanti elettrici tutte quelle sostanze la cui conducibilità elettrica è estramemente
bassa (in alcuni casi si può tranquillamente supporre nulla). Si differenziano quindi dai conduttori
(per esempio i metalli), i quali hanno hanno una bassissima resistenza elettrica (inverso della
conducibilità)..
"Isolanti" sono quelle sostanze che si oppongono al passaggio della corrente, "dielettriche" sono
invece quelle che hanno molecole che possono essere polarizzate e se vengono inserite in un
condensatore diminuiscono la tensione fra le due armature del condensatore stesso.
La struttura atomica dei dielettrici rende la loro energia di ionizzazione relativamente elevata e
quindi è interessante il loro utilizzo in condensatori. Infatti sotto l'azione di un campo elettrico ogni
sostanza si ionizza diventando un conduttore. Dato che l'energia dovuta al campo elettrico in un
condensatore è E = qV, dove q è la carica considerata e V è la tensione fra le due armature, i
condensatori con dielettrici, potendo sopportare energie maggiori, possono conseguentemente
sopportare tensioni maggiori rispetto all'aria od al vuoto migliorando le prestazioni del
condensatore stesso.
Mettendo del dielettrico in un condensatore, la capacità C di quest'ultimo viene aumentata di un
fattore εr, chiamata costante dielettrica relativa, tipica del dielettrico considerato:
dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto, A l'area delle armature e d la distanza fra le
armature stesse.
Questo succede perché il campo elettrico polarizza le molecole del dielettrico, producendo frazioni
di cariche sulle armature che creano un campo elettrico opposto (antiparallelo) a quello già presente
nel condensatore.
Le cariche negative del dielettrico vengono spostate verso la piastra carica positivamente a sinistra.
Così facendo si crea un campo elettrico orientato verso sinistra che annulla parzialmente quello
creato dalle armature.
Condensatori in Parallelo
Quando si montano n condensatori in parallelo su ognuno di essi si misurerà la medesima caduta di
potenziale. La capacità equivalente totale
sarà, quindi, data dalla formula:
Condensatori in parallelo (schema)
Dimostriamo questo proprietà per due condensatori in parallelo di Capacità C1 e C2 , di carica
Q1 e Q2 e stesso potenziale V.
Q
Q + Q2 Q1 Q2
La capacità totale sarà CTot = Tot = 1
= +
= C1 + C2
V
V
V V
Condensatori in Serie
Quando si montano n condensatori in serie, attraverso ognuno di essi passerà la stessa carica
istantanea (in regime dinamico, la stessa corrente), mentre la caduta di potenziale sarà differente da
condensatore a condensatore; in particolare, essendo
, a parità di Q la tensione
maggiore sarà localizzata ai morsetti della capacità minore. La capacità equivalente totale
pertanto definita dalla seguente relazione:
Condensatori in serie (schema)
Dimostriamo questo proprietà per due condensatori in serie di Capacità C1 e C2 , con stessa
carica Q e V1 e V2
V
V +V V V
1
1
1
La capacità totale sarà
= Tot = 1 2 = 1 + 2 = +
CTot
Q
Q
Q Q C1 C2
Energia di un condensatore
L'energia immagazzinata in un condensatore è pari al lavoro fatto per caricarlo. Si
consideri, ora, un condensatore con capacità C, con carica +q su una piastra e -q
sull'altra. Per muovere un piccolo elemento di carica dq da una piastra all'altra sotto
l'azione della differenza di potenziale V=q/C, il lavoro necessario è dW:
(Usiamo dq e dW analogamente a Δq ΔW , intendendo variazioni infinitesime)
sarà
Il lavoro totale sarà dato dalla somma di lavori parziali in un Grafico V-q. Il lavoro sarà l’area
sottesa del grafico.
2
E quindi il lavoro sarà L =
1Q
1
1
= CV 2 = QV
2C
2
2
Considerando il campo del condensatore E =
σ
Q
e ricavando Q
=
ε 0 Sε 0
Q = ESε 0 e considerando
il potenziale di un condensatore V = Ed e sostituendo abbiamo che
1
1
1
1
L = QV = ESε 0 ⋅ Ed = E 2 S ⋅ d ⋅ ε 0 = E 2 ⋅Vvolume ⋅ ε 0 da cui
2
2
2
2
Densità _ Energia =
del campo Elettrico.
L ε0 2
= E Si crea un’energia di natura elettrica proporzionale a quadrato
Vol 2
