Sui gra hamiltoniani
Sandro Rajola e Maria Scafati Tallini
Sommario
Si fornisce un'espressione per il numero dei circuiti hamiltoniani
di un grafo mediante la quale si caratterizzano i gra hamiltoniani
speciali.
1
Introduzione
Dato un grafo semplice G , ossia privo di cappi e multispigoli, si denisce
circuito C di G di lunghezza l, un sottografo di G che consta di l spigoli, che
è connesso e tale che ogni suo vertice ha grado 2, ossia tale che non è unione
di due gra disgiunti e che ogni vertice è contenuto in 2 lati (ossia deg V = 2,
per ogni V vertice di G ). Il circuito C si dirà hamiltoniano, se esso contiene
tutti i vertici di G .
Indicato con NH il nunero dei circuiti hamiltoniani di G , si forniscono
delle espressioni per la determinazione di NH .
Deniamo circuito dominante di G un circuito tale che ogni spigolo di
G ha un vertice in esso. Diremo che G è un grafo speciale, se contiene un
circuito dominante di lunghezza δ , dove δ è il grado minimo dei vertici di G .
Si caratterizzano i gra speciali hamiltoniani.
1
2
Gra hamiltoniani
Sia G un grafo semplice, ossia privo di cappi e di multispigoli.
Un circuito di G è un cammino chiuso, cioè un sottografo (V, E) di G con
V = {x1 , x2 , . . . , xl } ed E = {x1 x2 , x2 , x3 , . . . , xl−1 , xl , xl , x1 }.
Diremo circuito hamiltoniano di G un circuito di G che contiene ogni
vertice di G . Sia ora m un intero non negativo. Diremo che uno spigolo ` di
G è un m-spigolo se esso appartiene ad m circuiti hamiltoniani. L'intero m
sarà detto indice hamiltoniano di `. Denotiamo con NH il numero dei circuiti
hamiltoniani di G . Proviamo il seguente
Teorema 1. In un grafo semplice G la somma s degli indici hamiltoniani
degli spigoli di G uscenti da un vertice V di G è una costante che non dipende
da V e risulta s = 2NH , onde s è pari.
Dimostrazione. Sia V un vertice di G e sia n il grado di V . Siano `1 , `2 , . . . , `n
gli spigoli di G uscenti da V e sia mi , i = 1, . . . , n, l'indice hamiltoniano di `i .
Sia poi mi,j , con i 6= j ed i, j = 1, . . . , n, il numero dei circuiti hamiltoniani
contenenti `i ed `j . Evidentemente si ha mi,j = mj,i , per ogni i, j = 1, . . . , n,
i 6= j, ed inoltre ogni circuito hamiltoniano di G contiene due spigoli uscenti
da V . È immediato vericare che
NH =
n
X
(1)
mi,j .
i,j=1, i<j
D'altra parte risulta anche
mi =
n
X
mi,j ,
∀i = 1, . . . , n.
j=1, i6=j
2
(2)
Dalla (2) si ha
s =
n
X
mi =
i=1
n
X
=
n
n
X
X
i=1 j=1, i6=j
n
X
mi,j +
i,j=1, i<j
n
X
= 2
n
X
mi,j =
i,j=1, i<j
n
X
mi,j =
i,j=1, i6=j
n
X
mj,i =
i,j=1, i<j
n
X
mi,j +
i,j=1, i<j
n
X
mi,j +
i,j=1, i>j
mi,j =
i,j=1, i<j
mi,j .
i,j=1, i<j
Da quanto precede e dalla (1) segue la tesi. Il teorema è cosí provato.
3
mi,j =
3
Esempi in applicazione del Teorema 1
Esempio 1. Si consideri il seguente grafo G1 :
V4
V3
m
m
V1
m
V2
Figura 1: G1
Gli spigoli di G1 hanno lo stesso indice hamiltoniano m, in quanto, ssati comunque due spigoli, esiste un isomorsmo di G1 in sé che muta uno nell'altro.
Dal Teorema 1 segue, considerando il vertice V2 :
(3)
m = 2NH .
Sempre dal Teorema 1 segue, considerando il vertice V1 :
(4)
3m = 2NH .
Dalle (3) e (4) segue NH = 0. Dunque G1 non contiene circuiti hamiltoniani.
Ne segue che G1 non è hamiltoniano (come si può vericare direttamente).
Esempio 2. Si consideri il seguente grafo G2 :
4
V4
m
m
V7
n
V5
z
n
n
n
m
V8
m
m
V9
z
n
V1
V6
z
n
V2
Figura 2: G2
5
m
V3
Gli spigoli {V1 , V2 }, {V2 , V3 }, {V3 , V6 }, {V6 , V4 }, {V4 , V5 }, {V1 , V5 } hanno
ovviamente lo stesso indice hamiltoniano m. Gli spigoli {V5 , V8 }, {V8 , V2 },
{V2 , V9 }, {V9 , V6 }, {V6 , V7 }, {V7 , V5 } hanno lo stesso indice hamiltoniano n.
Gli spigoli {V7 , V8 } {V8 , V9 } {V9 , V7 } hanno lo stesso indice hamiltoniano z .
Applicando il Teorema 1 al vertice V4 , si ha:
(5)
2m = 2NH .
Analogamente per il vertice V5 , si ha:
(6)
2m + 2n = 2NH .
Dalle (5) e (6) segue
(7)
n = 0.
Supponiamo ora per assurdo che sia NH 6= 0 e sia C un circuito hamiltoniano
di G2 . Dalla (7) e dal fatto che C deve passare per i vertici V7 , V8 e V9 , segue
che C coincide con il circuito
({V7 , V8 , V9 } , {{V7 , V8 } , {V8 , V9 } , {V9 , V7 }}) :
un assurdo perché C deve passare per tutti i vertici di G2 . L'assurdo prova
che non può essere NH 6= 0. Dunque si ha NH = 0 e G2 non è hamiltoniano.
6
Esempio 3. Si consideri il seguente grafo G3 riportato in Figura 3.
V1
V2
m
m
V3
a
b
V6
d
V11
a
z
m
z
c
V18
d
V20
b
m
b
a
V22
a
V19
c
b
V15
d
d
m
V21
V14
z
b
a
d
z
V17
V16
b
V13
d
V10
d
V12
c
V9
V8
d
m
b
c
b
V5
m
a
V7
a
V4
m
a
V23
V24
V25
Figura 3: G3
Accanto a ciascuno spigolo è segnato il corrispondente indice hamiltoniano.
Si hanno le seguenti relazioni, applicando il Teorema 1 ai vertici di seguito
indicati:
V1 :
2m = 2NH
(8)
V2 :
m + a + b = 2NH
(9)
7
V3 :
2a + c = 2NH
(10)
V7 :
2b + 2d = 2NH
(11)
V8 :
2d + c + z = 2NH
(12)
V13 :
(13)
4z = 2NH
Dalle (8) e (9) si ha
(14)
m = a + b.
Dalle (8) e (10) si ha
(15)
2m = 2a + c.
Dalle (8) e (11) segue
(16)
m = b + d.
Dalle (14) e (16) segue
(17)
a = d.
Dalle (8) e (12) si ha
(18)
2m = 2d + c + z.
Dalle (15), (17) e (18) si ha
(19)
z = 0.
Dalle (13) e (19) segue
NH = 0.
Dunque, G3 non è hamiltoniano.
8
V1
V5
V9
V13
V2
V3
V6
V7
V10
V11
V14
V15
V4
V8
V12
V16
Figura 4: G4
Esempio 4. Si consideri il grafo G4 in Figura 4. Si osservi che esiste un
circuito hamiltoniano di G4 , dato da
({V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 , V7 , V8 , V9 , V10 , V11 , V12 , V13 , V14 , V15 , V16 },
{{V1 , V2 } , {V2 , V3 } , {V3 , V4 } , {V4 , V8 } , {V8 , V12 } , {V12 , V16 } ,
{V16 , V15 } , {V15 , V11 } , {V11 , V7 } , {V7 , V6 } , {V6 , V10 } ,
{V10 , V14 } , {V14 , V13 } , {V13 , V9 } , {V9 , V5 } , {V5 , V1 }}) .
Dunque G4 è hamiltoniano.
9
Esempio 5. Si consideri il seguente grafo G5 :
A
C
m
m
m
m
n
B
n
n
n
m
m
m
m
Figura 5: G5
Si ha:
A:
2m = 2NH ,
(20)
B:
4n = 2NH ,
(21)
C:
2m + n = 2NH .
(22)
Dalle (20) e (22) segue
(23)
n = 0.
Dalle (21) e (23) segue
NH = 0.
10
Dunque G5 non è hamiltoniano.
Dato un grafo semplice G , indichiamo con δ il grado minimo dei vertici di
G . Denotiamo poi con V l'insieme dei vertici di G che hanno grado maggiore
di δ .
Un grafo stella è un grafo semplice in cui tutti gli spigoli contengono uno
stesso vertice. Dato un vertice V di un grafo semplice G , chiamiamo stella di
G di centro V il sottografo stella di G individuato dagli spigoli di G uscenti
da V . Dato un grafo semplice G , chiameremo circuito dominante di G un
circuito C di G tale che ogni spigolo di G non di C incide C (cioè esce da un
vertice di C).
Proviamo ora il seguente
Teorema 2. La somma s degli indici hamiltoniani degli spigoli di un grafo
semplice G , con v = |G|, è data da
s
s = N H · v ⇔ NH = .
v
Dimostrazione. In forza del Teorema 1, la somma
P
degli indici hamiltoP
niani degli spigoli di ciascuna stella S di G è data da 2NH . La somma
di
P
tutte le somme S delle stelle di G è dunque data da:
X
La
= 2NH + 2NH + · · · + 2NH = 2NH · v.
|
{z
}
S
(24)
v volte
P
può essere determinata anche tenendo presente che, ai ni del calcolo
P
di , l'indice hamiltoniano di ciascuno spigolo di G viene contato due volte.
Si ha allora:
X
(25)
= 2s.
11
Dalle (24) e (25) segue
s = NH · v,
cioè la tesi. Il teorema è cosí provato.
12
4
Gra speciali
Proviamo il seguente
Teorema 3. Sia G un grafo semplice. Allora ogni circuito dominante di G
ha lunghezza maggiore od uguale a δ .
Dimostrazione. Osserviamo che, se G è un circuito, la tesi è vera. Infatti
in tale caso vi è un solo circuito dominante di G , dato da G stesso. Tale
circuito ha lunghezza l ≥ 3, mentre risulta δ = 2 < 3 ≤ l. Ne segue δ < l.
L'osservazione è cosí provata.
Sia allora G distinto da un circuito, sia C un circuito dominante di G e sia l
la lunghezza di C. Poiché G non è un circuito, esiste un vertice V di G non
di C. Dal fatto che C è dominante, segue che ciascuno spigolo di G uscente
da V incide C. Da ciò e dal fatto che il numero dei vertici di C è uguale ad
l, segue che
(26)
l ≥ deg V.
Inoltre si ha evidentemente
(27)
deg V ≥ δ.
Dalle (26) e (27) si ha
l ≥ δ,
cioè la tesi.
Il teorema è cosí provato.
13
Il Teorema 3 suggerisce la seguente denizione.
Diremo che un grafo semplice G è speciale, se esiste un circuito dominante
di G di lunghezza δ . Un tale circuito sarà chiamato circuito dominante min-
imo di G .
Osserviamo che un grafo speciale contiene almeno tre vertici. Infatti un
circuito dominante contiene almeno tre vertici.
Sia ora G un grafo speciale e sia C un circuito dominante minimo di G .
È immediato vericare che ogni vertice di V è un vertice di C. Ne segue che
|V| ≤ δ . Abbiamo allora cosí provato il seguente
Teorema 4. Condizione necessaria anché un grafo G sia speciale è che sia
|V| ≤ δ.
Se G è speciale e risulta
|V| = δ,
ogni vertice di C è un vertice di V e diremo che G è iperspeciale. Dunque, se
G è iperspeciale, l'insieme dei vertici di C coincide con V, ossia tutti i circuiti
dominanti minimi hanno gli stessi vertici.
Riportiamo ora due esempi di gra iperspeciali.
14
Esempio 6. Si consideri il seguente grafo G6 . Un circuito dominante minimo
è evidenziato in Figura 6.
5
7
7
8
5
5
7
7
5
Figura 6:
Si ha, indicando con |C| il numero dei vertici di C:
δ = 5; |C| = 5 = |V| ; |G| = 9.
15
Esempio 7. Si consideri il seguente grafo G7 . Accanto a ciascun vertice è
indicato il relativo grado.
5
8
8
5
8
5
5
5
8
8
5
Figura 7:
Un circuito dominante minimo C è evidenziato nella gura. Si ha:
δ = 5; |C| = 5 = |V| ; |G| = 11.
16
Proviamo ora il seguente
Teorema 5. Un grafo completo Kn , con n ≥ 4, è un grafo speciale, ma non
iperspeciale.
Dimostrazione. Sia V un vertice di Kn . Evidentemente esiste un circuito C
di Kn i cui vertici sono i vertici di Kn distinti da V . Ovviamente C è un
circuito dominante di Kn . Inoltre C è minimo, in quanto la lunghezza di C è
data da n − 1 = δ . Dunque G è speciale. Inoltre poiché |V| = 0 < δ , si ha
che G non è iperspeciale.
Ricordiamo il seguente teorema di Dirac sui gra hamiltoniani [2].
Teorema 6. Se G è un grafo semplice con v ≥ 3 vertici e δ ≥ v/2, allora
G è hamiltoniano.
Non è nora noto nessun teorema che dia una condizione necessaria e
suciente per l'hamiltonianità di un grafo. Pertanto ha particolare interesse
dimostrare il seguente
Teorema 7. Un grafo speciale G con v vertici è hamiltoniano se, e soltanto
se, δ ≥ v/2.
Dimostrazione. Se δ ≥ v/2, il grafo è hamiltoniano, in quanto esso contiene
almeno tre vertici (G è speciale) e vale il Teorema di Dirac. Viceversa, sia
G hamiltoniano e sia C un circuito dominante minimo di G . In forza del
Teorema 2, la somma s degli indici hamiltoniani degli spigoli di G è data da
(28)
s = NH · v.
Indichiamo con s1 la somma degli indici hamiltoniani degli spigoli di C e
con s2 la somma degli indici hamiltoniani degli spigoli non di C che hanno
17
entrambi i vertici su C. Poiché C è dominante, gli spigoli di G sono tutti e
soli quelli che incidono C, compresi gli spigoli di C. Ne segue, considerando
gli spigoli di G distribuiti sulle stelle di G aventi centro su C e tenendo conto
del Teorema 2, che
s = 2NH + 2NH + · · · + 2NH − s1 − s2 ,
|
{z
}
δ volte
da cui
(29)
s = 2NH δ − s1 − s2 .
Dalle (28) e (29) si ha
(30)
s1 + s2 = NH (2δ − v).
Poiché G è hamiltoniano, si ha NH > 0. Inoltre risulta evidentemente s1 ≥ 0,
s2 ≥ 0. Dalla (30) segue allora
2δ − v ≥ 0,
cioè
v
δ≥ .
2
Il teorema è cosí provato.
Dal Teorema 7 segue in particolare che il grafo dell'Esempio 7 non è
hamiltoniano, in quanto esso è speciale e risulta δ = 5 < v/2 = 5, 5.
18
Bibliograa
1. R. Balakrishnan and K. Ranganathan. A textbook of Graph Theory,
Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1999.
2. G. A. Dirac. Some theorems on abstract graphs. Proc. London Math.
Soc., 2 (1952), 69-81.
3. R. J. Wilson. Introduction to graph theory. Second edition, Longman
Groups Ltd, London, 1979.
Sandro Rajola
Maria Scafati Tallini
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Roma La Sapienza
Piazzale Aldo Moro, 2
00185 Roma
[email protected]
19
