ESERCIZIO 1

1
ESERCIZIO 1
Sia dato un motore asincrono trifase con i seguenti parametri:
Rs = 2Ω resistenza di statore
Rrs = 2.5Ω resistenza di statore
Lt = 24mH induttanza di transizione
Lφ = 600mH induttanza in derivazione
R0 = 2000Ω resistenza in derivazione
p = 2 coppie polari
Us = 400V tensione di fase efficace
f = 50Hz frequenza
Calcolare:
• la caratteristica elettromeccanica a tensione nominale (trascurare la R0 e la
Rs se serve);
• la coppia massima Mpk ;
• lo scorrimento con M =
Mpk
;
2
• la velocità a vuoto e alla coppia M ;
• perdite, cos φ, rendimento, considerando che il rotore a vuoto, in assenza di
coppia di carico, ruoti ad una velocità pari a 1495rpm (considerare la coppia necessaria a vincere le perdite meccaniche costante, indipendentemente
dalla velocità);
2
SVOLGIMENTO (Ipotesi: Rs = 0, R0 = ∞)
caratteristica elettromeccanica a tensione nominale
La pulsazione delle grandezze di statore è:
Ωs = 2πf = 2π · 50 = 314.16rad/s
La caratteristica elettromeccanica a tensione nominale si può ricavare dalla seguente espressione (con Rs = 0, R0 = ∞):
M (Ωr ) = 3pRrs
Us
Ωs
2
Ωr
2 + Ω 2 L2
Rrs
r t
In alternativa è possibile esprimere la caratteristica elettromeccanica evidenziando lo scorrimento o la velocità di rotazione del rotore, ottenendo espressioni
analoghe (M (s), M (Ωm ), M (nr )). Le seguenti figure mostrano la caratteristica meccanica; in rosso è riportata la caratteristica con la semplificazione Rs = 0.
Caratteristica meccanica a tensione nominale
300
200
Coppia (Nm)
100
0
−100
−200
−300
−200
0
200
400
600
800
1000
Velocità angolare (rad/s)
1200
1400
1600
Figura 1: Caratteristica meccanica in funzione della velocità angolare
3
Caratteristica meccanica a tensione nominale
300
200
Coppia (Nm)
100
0
−100
−200
−300
−2000
0
2000
4000
6000
8000
Velocità (rpm)
10000
12000
14000
16000
Figura 2: Caratteristica meccanica in funzione del numero di giri
Caratteristica meccanica a tensione nominale
300
200
Coppia (Nm)
100
0
−100
−200
−300
−10
−8
−6
−4
Scorrimento
−2
0
2
Figura 3: Caratteristica meccanica in funzione dello scorrimento
coppia massima Mpk
L’espressione della coppia, come già detto, è:
M = 3pRrs
Us
Ωs
2
2
Rrs
Ωr
+ Ω2r L2t
4
La coppia assume il valore massimo se:
Ωr =
Rrs
Lt
Sostituendo questo valore nell’espressione della coppia si ottiene:
2
2
Us
1
400
1
Mpk = 3p
= 3·2
= 202.6N m
Ωs
2Lt
314.16 2 · 24 · 10−3
Lo scorrimento a tale coppia vale:
spk =
Rrs
2.5
Ωr
=
=
= 0.3316
Ωs
Lt Ωs
24 · 10−3 314.16
Caratteristica meccanica a tensione nominale
250
X: 0.3315
Y: 202.6
200
Coppia (Nm)
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Scorrimento
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 4: Caratteristica meccanica in funzione dello scorrimento - particolare
scorrimento con M =
Mpk
2
La nuova coppia M è:
M=
Mpk
202.6
=
= 101.3N m
2
2
Dall’equazione della coppia, riscritta come segue:
2
Us
s · Ωs
M = 3pRrs
2
Ωs
Rrs + s2 Ω2s L2t
5
si ricava una equazione di secondo grado con incognita lo scorrimento s:
2
Us
2 2 2
2
=0
M Ωs Lt s − 3pRrs
Ωs s + M Rrs
Ωs
Inserendo i valori numerici:
5758.8s2 − 7639.4s + 633.1 = 0
Se risolta, fornisce:
s1 = 1.238
e
s2 = 0.0888
Dei 2 valori, solo il secondo è accettabile, perchè con tale scorrimento il motore
funziona in regime stabile.
velocità a vuoto e alla coppia M
La velocità a vuoto, in assenza di perdite meccaniche, è pari a:
Ωm =
2πf
2π50
=
= 157.08rad/s
p
2
Per calcolare la velocità alla coppia M = 101.3N m si utilizza il valore di scorrimento ricavato precedentemente:
Ωm = (1 − s)Ω0 = (1 − s)
314.16
Ωs
= (1 − 0.0888)
= 143.1rad/s (1367rpm)
p
2
perdite, cos φ, rendimento
Con n0 = 1495 rpm:
2πn0
= 156.56rad/s
60
n − n0
1500 − 1495
s=
=
= 0.00333
n
1500
A velocità prossime alla velocità del campo magnetico rotante (quindi a bassi
scorrimenti), la caratteristica meccanica si può approssimare con una retta:
2
Ωr
Us2
Us
M ≈ 3pRrs
=
3p
s
2
Ωs
Rrs
Ωs Rrs
Ω0 =
Il funzionamento in assenza di carico è caratterizzato da un basso scorrimento e
quindi da una velocità prossima alla velocità del campo magnetico rotante, quindi
possiamo calcolare la coppia dovuta alle sole perdite meccaniche come:
M0 ≈ 3p
Us2
4002
s = 3·2
0.00333 = 4.1N m
Ωs Rrs
314.16 · 2.5
6
Statore
Rotore
PU
P
PT
PC
PCu1 + PADD
PM
PCu2
PFe
Figura 3.20: flusso di potenza in un MAT.
Figura 5: Bilancio di potenze
Essa viene tutta dissipata a valle del trasformatore ideale, cioè nell’unico elemento
Calcolo delle
potenze e Rdei
rendimenti con il circuito semplificato
dissipativo
di resistenza
2/s
2
PT = I3 R=2 I√
Us
2.
=√
rs s
(
( Rrs )2 +(Ωs Lt )2
s
400
2.5
)2 +(314.16
0.0888
· 24 · 10−3 )2
= 13.72A
2
Us
4002
Questa P
potenza,
Figura 3.20, può essere scomposta in due parti
=in
240W
= 3come
F e ' 3 Rvista
2000
0
2
PCus = 3Rs Irs
= 3 · 2 · 13.722 = 1129W
PT = 3 R2 I 22 = 3 R22 I 22 + 3 R2 1 - s 2I 22 ,
PCur
s = 3Rrs Irs = 3 · 2.5 · 13.72
s = 1412W
PM ' M0 Ωm = 4.1 · 143.16 = 587W
dove il primoR termine
rappresenta
la potenza persa per effetto Joule negli
2.5
2
rs 2
P
t ' 3 s Irs = 3 0.0888 13.72 = 15900W
avvolgimenti rotorici e nelle eventuali resistenze esterne collegate al rotore
PU = Pt − PM − PCur = 15900 − 587 − 1412 = 13901W
PCu2 P
= 3=RP2t I+22 .PCus + PF e = 15900 + 1129 + 240 = 16682W
PU
P
13901
= 0.833
16682
Per il principio diP conservazione
dell’energia, la
16682
cos φ = 3Us Irs = 3 · 400
= 1.013
· 13.72per
rotore e che non viene dissipata
effetto Joule,
η=
=
parte di potenza PT, trasferita al
rappresenta la potenza convertita
metodo approssimato
ad degli
un risultato
accettabile.
Questo
è dovutodel
inIlmeccanica
utilizzabile, porta
a meno
attriti enon
della
ventilazione,
sull’albero
alle
approssimazioni
adottate.
E’
possibile
ottenere
risultati
migliori
solo
consimotore
derando il circuito equivalente del motore asincrono e risolvendolo. L’impedenza
equivalente risulta:
2
PC = 3 R2 1 - s I 2 .
s
Zeq = 34.22 +  13.22 = 36.69∠21.12◦
Per
abbiamo
separatoquesta
l’ultima
resistenza
destra
nel tracciare i vari
Laquesto
coppiamotivo
di picco,
considerando
volta
anche laa R
s , e quindi utilizzando
circuiti
equivalenti:
tale resistenza equivale al carico meccanico e la potenza
per la coppia
l’espressione:
elettrica (attiva) in essa dissipata coincide
2 con la potenza convertita in meccanica.
Ωs
Rrs Us
Dal confronto tra le precedenti
che
M = 3p relazioni risulta immediatamente
Rrs
2
s
Ωs
(Rs +
s
diventa:
Mpk = 155.9N m
)2 + Ω2r Lt
7
alla velocità:
Ωm = 106.7rad/s
e allo scorrimento:
spk = 0.3207
Un ingrandimento della prima figura mostra la caratteristica elettromeccanica
con e senza Rs e R0 :
Caratteristica meccanica a tensione nominale
250
200
Coppia (Nm)
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
Velocità angolare (rad/s)
120
140
160
Figura 6: Caratteristica meccanica in funzione della velocità angolare - particolare
La coppia M diventa:
M=
Mpk
155.9
=
= 77.95N m
2
2
e si ottiene per una velocità:
Ωm = 145.4rad/s
⇒
nn = 1389rpm
e uno scorrimento:
s = 0.074
La corrente assorbita è:
Irs = q
(Rs +
Us
=q
Rrs 2
2
(2 +
)
+
(Ω
L
)
s t
s
400
2
)2
0.074
+ (314.16 · 24 · 10−3 )2
oppure, anche:
Irs =
Us
400
=
= 10.9A
|Zeq |
36.69
= 10.9A
8
Il cos φ diventa:
cos φ = cos(21.12) = 0.93
e le potenze:
P = 3 · Us Irs cos φ = 3 · 400 · 10.9 · 0.93 = 12164W
2
= 3 · 2 · 10.92 = 713W
PCus = 3Rs Irs
2
2
400
PF e ' 3 URs0 = 3 2000
= 240W
2.5
2
Pt ' 3 Rsrs Irs
= 3 0.074
10.92 = 12042W
PM ' M0 Ωm = 4.1 · 145.4 = 596W
2
= 3 · 2.5 · 10.92 = 891W
PCur = 3Rrs Irs
PU = Pt − PM − PCur = 12042 − 596 − 891 = 10555W
η=
PU
P
=
10555
12164
= 0.868
ESERCIZIO 2
Un motore asincrono trifase ha i seguenti dati di targa: p = 2 coppie polari
Us = 400V tensione di fase efficace
f = 50Hz frequenza
I = 20A corrente
P = 10kW potenza
s = 3% scorrimento a carico
η = 0.85 rendimento
Calcolare:
• la velocità di rotazione alla potenza nominale;
• la coppia nominale;
• il fattore di potenza cos φ alla potenza nominale;
Il motore viene alimentato da un convertitore continua-alternata (inverter) a
PWM per controllarne la velocità. Stimare:
• la frequenza delle tensioni fondamentali prodotte dall’invertitore per avere
una velocità a vuoto di 1000rpm;
• il corrispondente valore efficace della tensione concatenata fondamentale in uscita all’invertitore nell’ipotesi di funzionamento a flusso costante
(funzionamento V/f costante);
9
• la coppia prodotta dal motore quando esso è caricato fino ad assorbire la
corrente nominale mentre frequenza e tensioni sono mantenuti sui valori
definiti nei due punti precedenti;
• la velocità in quelle condizioni di lavoro a carico.
SVOLGIMENTO
velocità di rotazione alla potenza nominale
scarico = 0.03 =
Ωs − Ωme
Ωs
Ωs = 2πf = 314.16rad/s
Ωme = Ωs − 0.03Ωs = 304.74rad/s
Ωm =
Ωme
= 152.37rad/s ⇒ 1455rpm
p
coppia nominale
Mn =
Pn
10000
=
= 65.63N m
Ωm
152.37
fattore di potenza cos φ alla potenza nominale
P =
Pn
10000
=
= 11765W = 3Us In cos φ
η
0.85
cos φ =
P
11765
=
= 0.49
3Us In
3 · 400 · 20
frequenza delle tensioni fondamentali
f=
np
1000 · 2
=
= 33.3Hz
60
60
10
valore efficace tensione concatenata
V1
f1
=
V2
f2
V2 = V1
33.3
f2
= 400
= 266.4V
f1
50
La tensione concatenata sarà (collegamento a stella):
√
V2c = 3V2 = 461.4V
coppia prodotta dal motore
La coppia del motore è la stessa, perchè nel funzionamento a flusso costante la
caratteristica meccanica subisce una traslazione lungo l’asse delle velocità.
Figura 7: Variazione della caratteristica elettromeccanica in funzione della
frequenza
velocità
La nuova velocità si ricava da una similitudine tra i funzionamenti alle 2 frequenze,
ricordando che con f = 50Hz la velocità era 1455 rpm. La figura seguente mostra
il procedimento La nuova velocità di funzionamento è quindi 955 rpm
11
Figura 8: Nuova velocità alla coppia nominale
ESERCIZIO 3
Si consideri il motore dell’esercizio 1.
Il carico meccanico è un sistema estrusore il cui comportamento meccanico è assimilabile a quello di un carico viscoso con coppia all’estrusore Me = 300N m
quando l’estrusore ruota a 100rpm. Non ci sono altri attriti statici o viscosi.
L’estrusore è connesso al motore attraverso un riduttore di velocità ideale (senza
perdite) con rapporto k pari a 20:1.
Si calcoli la tensione efficace concatenata, la corrente efficace e la frequenza
ai morsetti del motore quando ruota alla velocità di 1000rpm e il controllo
dell’invertitore è a Vn /fn costante .
SVOLGIMENTO
Me = Be Ωe
Be =
300
Me
=
= 28.65N ms
Ωe
100 2π
60
Mm Ωm = Me Ωe ⇒ Mm = Me
Ωe
Me
300
=
=
= 15N m
Ωm
k
20
Quando il motore ruota a 1000rpm l’estrusore ruota a n0e =
Quindi:
50 · 2π
Ω0e =
= 5.24rad/s
60
La nuova coppia vista a valle del riduttore è:
Me0 = Be Ω0e = 28.65 · 5.24 = 150N m
La coppia vista dal motore è:
0
Mm
=
Me0
Ω0e
Me0
150
=
=
= 7.5N m
0
Ωm
k
20
1000
k
=
1000
20
= 50rpm.
12
Calcoliamo il rapporto
Us
:
Ωs
Us
400
400
=
=
= 1.273V s
Ωs
2πf
2π50
Il motore, erogando la coppia di 7.5N m, deve ruotare a 1000rpm; è imposta
pertanto la Ω0m
1000 · 2π
Ω0m =
= 104.72rad/s
60
L’espressione della coppia è (trascurando Rs e il ramo in parallelo, R0 e Lφ ):
2
Us
Ωr
Mm = 3pRrs
2
Ωs
Rrs + Ω2r L2t
Possiamo usare questa espressione per ricavare la nuova frequenza di alimentazione con rapporto V/f costante;
Ω0r = Ω0s − pΩ0m = Ω0s − p · 104.72
L’espressione della coppia diventa:
2
Ω0s − p · 104.72
Us
0
Mm = 3pRrs
2 + (Ω0 − p · 104.72)2 L2
Ωs
Rrs
t
s
dove l’unica incognita è Ω0s , essendo fissato il rapporto Us /Ωs . Ne risulta la
seguente equazione di secondo grado:
2
1.7765 · 10−4 Ω0s − 1.0744Ω0s + 219.1599 = 0
che risolta fornisce:
Ω0s1 = 5836.47rad/s
Ω0s2 = 211.37rad/s
Solo la seconda soluzione è accettabile (funzionamento da motore a scorrimento
accettabile) e fornisce:
Ω0
f 0 = s = 33.6402Hz
2π
e
Us 0
Us0 =
Ω = 1.273 · 211.37 = 269V
Ωs s
La tensione concatenata risulta quindi:
√
√
0
Usc
= 3Us0 = 3269 = 465.9V
Lo scorrimento in queste condizioni è:
s0 =
Ω0s − Ω0me
211.37 − 209.44
=
= 9.13 · 10−3 ' 0.01
0
Ωs
211.37
La corrente rotorica è:
Us0
Irs = q
=q
Rrs 2
0 L )2
+
(Ω
s t
s0
269
2.5
9.13 · 10−3
2
+ (211.37 · 24 · 10−3 )2
= 0.982A