Effetto Faraday

Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco – Gruppo Me7 1
Effetto Faraday
Effetto Faraday
Relazione sperimentale
Lo scopo di questo esperimento è quello di determinare sperimentalmente
l’angolo di rotazione del piano di polarizzazione di una luce monocromatica
durante l’attraversamento di diverse sostanze trasparenti immerse in un
campo magnetico, procedendo successivamente alla stima della costante di
Verdet.
Apparato Sperimentale
Al fine3 della realizzazione dell’esperienza, sono necessari i seguenti strumenti di lavoro:
una lampada di luce al sodio, scelta pressoché monocromatica al fine di minimizzare
eventuali evitare effetti dispersivi;
un solenoide;
un tubo di vetro;
un tubo vuoto con pareti in plexiglas da riempire con acqua distillata;
un generatore di corrente elettrica;
un amperometro;
un polarimetro composto come in figura:
o una lamina polaroid;
o una lamina a mezz’onda;
o una lamina analizzatrice;
o un cannocchiale.
Lunghezza del solenoide:
LS=0,215 ± 0,002
Lunghezza del tubo di vetro:
LV=0,160±0,002
Lunghezza del tubo di plexiglas:
LA=0,2153 ± 0,002 m
Presupposti teorici
L’effetto Faraday consiste nella rotazione del vettore di polarizzazione di un fascio di luce quando
questo attraversa un corpo isotropo e trasparente permeato da un campo magnetico; la suddetta
rotazione è proporzionale all’intensità della componente del campo magnetico nella direzione del
raggio luminoso secondo la formula:
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α = kHLIcosθ
dove α rappresenta l’angolo di rotazione del piano di polarizzazione, H l’intensità del campo
magnetico, L lo spessore della sostanza attraversata dalla luce, θ l’angolo esistente tra la direzione
del fascio luminoso e il quella del campo magnetico (poiché i due vettori in questione sono
paralleli a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, è ragionevole approssimare cosθ con
1) e k la costante di Verdet, funzione quest’ultima della lunghezza d’onda, della temperatura e di
eventuali caratteristiche fisiche quali concentrazione, indice di rifrazione, etc. La rotazione del
piano di polarizzazione avviene nel verso di circuitazione della corrente elettrica, la quale viene
fatta scorrere in un solenoide. Ricorrendo alle formule per il calcolo del campo magnetico
generato da un solenoide percorso da corrente, si ha che l’intensità H del campo magnetico è:
H=
dove N è il numero di spire del solenoide, L la sua lunghezza e I è l’intensità di corrente elettrica.
La spiegazione del fenomeno fonda le sue basi nella teoria classica dell’elettromagnetismo:
un’onda, in quanto prodotto vettoriale dell’interazione tra campo elettrico e campo magnetico,
risente di qualsiasi interazione di queste due tipologie. La sorgente emette il fascio di luce non
polarizzata, il quale, passando attraverso la prima lamina polaroid, viene costretto ad oscillare
secondo una direzione preferenziale; il raggio uscente verrà poi ruotato di un angolo A rispetto
alla direzione iniziale dall’azione del campo magnetico generato dal solenoide, arrivando ad
incidere sull’analizzatore (anch’esso polaroid). Se in assenza di solenoide l’angolo a cui i due
polaroid dovevano essere posizionati per ottenere una condizione di buio era ∏/2, in presenza di
campo magnetico quest’ultimo dovrà essere modificato della quantità A. La lamina-mezz’onda
interviene in questo esperimento per finalità di miglioramento dell’acquisizione dati: il suo
compito è infatti quello di ricevere il fascio polarizzato dal primo polaroid prima che sia entrato nel
solenoide e di sfasarne metà di ∏. Questo fatto avviene in quanto la lamina è composta da due
indici di rifrazione differenti distribuiti rispettivamente su metà dell’area ciascuno: la differenza di
materiale implica una differente velocità di attraversamento della lamina stessa da parte del
fascio, che viene così diviso in un raggio ordinario e in uno straordinario, il primo inclinato rispetto
alla direzione di partenza della quantità θ, il secondo della stessa quantità cambiata di segno. Una
volta ricevuti entrambi i fasci dall’analizzatore, l’effetto sarà che il campo ottico del cannocchiale è
ora diviso in due emisferi di differente luminosità: la condizione di minimo di intensità corrisponde
quindi ora ad una condizione di equipenombra dei due emisferi. Il campo magnetico del solenoide
provocherà a questo punto una rotazione dello stesso angolo A di entrambi i raggi, così da
modificare il rapporto di equipenombra instaurato a favore dell’uno o dell’altro. La rotazione
dell’analizzatore necessaria al ritorno della condizione di equipenombra esprime l’angolo richiesto.
L’introduzione della suddetta lamina non modifica quindi giustamente l’effetto desiderato,
consentendo bensì una maggior precisione nella determinazione di A: l’occhio umano è infatti in
grado di apprezzare con molta più precisione differenze di intensità, piuttosto che intensità
assolute.
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Figura 1: Immagine osservata attraverso l'oculare
Procedimento sperimentale
Misura dell’angolo “zero”
Per prima cosa si acquisiscono con l’ausilio del nonio le caratteristiche geometriche del solenoide:
lunghezza e raggio interno; il numero di spire e la sua incertezza vengono forniti. Si inserisce quindi
il tubo di vetro( dopo aver preso nota dell’ indice di rifrazione e aver misurato la sua lunghezza) nel
solenoide non percorso da corrente e si cerca con il cannocchiale la situazione di equipenombra:
l’angolo così misurato sarà assunto come zero della scala.
In Tabella è presentata la serie di misure relative allo zero della nostra scala:
Angolo nonio
9° 20’
9° 09’
9° 22’
9° 28’
9° 20’
9° 03’
9° 10’
9° 32’
9° 35’
9° 20’
Tabella 1: Misure angolari dello zero. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3’
Angolo medio :
α0 = 9° 20’ ± 0° 01’
Misura dell’angolo di rotazione del piano di polarizzazione e della costante
di Verdet per un cannello in vetro
Si accende il generatore di corrente e si rincorre con il cannocchiale la posizione di equipenombra,
ripetendo la procedura per differenti intensità; da ciò sarà possibile calcolare, tramite il metodo
dei minimi quadrati, la costante k di Verdet.
Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure dello spostamento relative alle diverse
intensità.
I = 1±0,001 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
7° 57’
8° 08’
7° 52’
8° 15’
8° 15’
Spostamento
angolare effettivo
1° 23’
1° 12’
1° 28’
1° 05’
1° 05’
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7° 55’
8° 15’
8° 06’
1° 25’
1° 05’
1° 14’
Tabella 2: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3’
Angolo medio :
α1= 1° 15’ ± 0° 01’
I = 2±0,001 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
6°
6°
6°
6°
49’
51’
45’
42’
Spostamento
angolare effettivo
2°
2°
2°
2°
31’
29’
35’
38’
Tabella 3: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3’
Angolo medio :
α2=2° 33’ 15’’± 0° 1’
I = 2,997±0,001 Ampere
Angolo misurato sul
nonio
5°
5°
5°
5°
5°
09’
37’
15’
23’
30’
Spostamento
angolare effettivo
4°
3°
4°
3°
3°
11’
43’
05’
57’
50’
Tabella 4: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3'
Angolo medio :
α3=3° 57’ ± 0° 2’
I = 4,01±0,01 Ampere
Angolo misurato sul
nonio
Spostamento
angolare effettivo
3° 50’
4° 02’
4° 04’
5° 30’
5° 18’
5° 16’
Tabella 5: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3'
Angolo medio :
α4=5° 21’ ± 0° 2’
I = 5,50±0,01 Ampere
Angolo misurato sul
nonio
Spostamento
angolare effettivo
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2°
2°
2°
2°
2°
2°
1°
22’
30’
20’
12’
40’
10’
42’
6° 58’
6° 50’
7° 00’
7° 08’
7° 16’
7° 10’
7° 38’
Tabella 6: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3'
Angolo medio :
α5=7° 09’ ± 0° 2’
I = 7,30±0,01 Ampere
Angolo misurato sul
nonio
359°
359°
359°
359°
18’
52’
20’
33’
Spostamento
angolare effettivo
10° 02’
9° 28’
10° 00’
9° 47’
Tabella 7: Misure angolari dell’angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3'
Angolo medio :
α6=9° 49’ ± 0° 3’
Costante di Verdet
Nella seguente Tabella sono riassunti tutti i risultati ottenuti:
I (A)
σI (A)
Δθ (°)
σ Δθ (°)
∫(H) (Oe m)
σ∫ (Oe m)
1,000
2,000
2,997
4,01
5,50
7,30
0,001
0,001
0,001
0,01
0,01
0,01
1,24
2,55
3,95
5,35
7,14
9,82
0,056
0,058
0,057
0,060
0,056
0,058
12,76
25,53
38,26
51,2
70,2
93,2
0,018
0,028
0,039
0,14
0,14
0,16
Tabella 8: Spostamento angolare effettivo e integrale del campo magnetico eseguito nell’approssimazione di
solenoide finito
Per ricavare la costante k di Verdet eseguiamo una correlazione ai minimi quadrati fra l’angolo di
spostamento angolare effettivo e l’integrale di campo magnetico riportati in tabella. La
valutazione dell’errore è svolta trasponendo tutto l’errore sulla variabile y.
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12
Costante di Verdet - Vetro
Spostamento angolare effettivo (°)
10
8
y = 0,1058x - 0,1249
R² = 0,9992
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Integrale del campo magnetico (Oe*m)
80
90
100
Grafico 1: Correlazione lineare fra integrale di campo magnetico e spostamento angolare effettivo - caso del vetro
k = 0,106 ± 0,0015 °/Oe m
Il valore teorico della costante k per il vetro è compreso fra 0,025 °/Oe m e 0,150 °/Oe m; la
misura è accurata e cade nel range teorico.
Misura dell’angolo di rotazione del piano di polarizzazione e della costante
di Verdet dell’acqua distillata
Per la misura della costante k dell’acqua si procederà in modo pressoché analogo a prima,con una
differenza: si vorrà infatti anche verificare che il plexiglas, in cui verrà messa l’acqua, non influisca
sulla polarizzazione della luce.
Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure relative alle intensità:
I=0.0 A (misure in assenza di corrente)
Angolo
188°
189°
189°
189°
189°
189°
55’
00’
15’
20’
18’
05’
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Tabella 9: Misure angolari dell’angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di
3'
Angolo medio :
α00=189° 09’ ± 0° 1’
I=1±0,01 Ampere:
Angolo
189° 22’
189° 56’
189° 16’
Tabella 10: Misure angolari dell’angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di
3'
Angolo medio :
α01 =189° 31’ ± 0° 1’
I=8±0,01 Ampere:
Angolo
189° 40’
189° 00’
189° 25’
Tabella 11: Misure angolari dell’angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di
3'
Angolo medio :
α08 = 189° 22’ ± 0° 1’
E’ stato così verificato che il plexiglas in cui verrà messa l’acqua non modifica il percorso dei raggi
luminosi. Si decide di assumere quindi come “zero” della scala l’angolo misurato senza circolazione
di corrente, ovvero:
α0=189° 09’ ± 0° 1’
Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure dello spostamento relative alle diverse
intensità.
I = 1,003±0,001 Ampere
Angolo misurato
Spostamento
sul nonio
angolare effettivo
188°
188°
188°
189°
189°
39’
30’
50’
02’
01’
00° 30’
00° 39’
00° 19’
00° 07’
00° 08’
Tabella 12: Misure angolari dell’angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un
incertezza di 3'
Angolo medio :
α1=00° 20’ ± 0° 1’
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I = 2,498±0,001 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
188°
188°
188°
188°
32’
12’
30’
14’
Spostamento
angolare effettivo
00°
00°
00°
00°
37’
57’
39’
55’
Tabella 13: Misure angolari dell’angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un
incertezza di 3'
Angolo medio :
α2=00° 47’ ± 0° 1’
I = 3,533±0,001 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
188°
188°
187°
187°
10’
05’
42’
44’
Spostamento
angolare effettivo
00° 59’
1° 04’
1° 27’
1° 25’
Tabella 14: Misure angolari dell’angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un
incertezza di 3'
Angolo medio :
α3=1° 14’ ± 0° 2’
I = 5,90±0,01 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
187° 20’
187° 00
187° 15’
186° 59’
Spostamento
angolare effettivo
1°
2°
1°
2°
49’
09’
54’
10’
Tabella 15: Misure angolari dell’angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un
incertezza di 3'
Angolo medio :
α4=2° 00’ ± 0° 2’
I = 7,25±0,01 Ampere
Angolo misurato
sul nonio
186°
186°
186°
186°
43’
17’
30’
55’
Spostamento
angolare effettivo
2°
2°
2°
2°
26’
52’
39’
14’
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Tabella 16: Misure angolari dell’angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un
incertezza di 3'
Angolo medio :
α5=2° 33’ ± 0° 2’
Costante di Verdet
Nella seguente Tabella sono riassunti tutti i risultati ottenuti:
I (A)
1,003
2,498
3,533
5,9
7,25
σI (A)
0,001
0,001
0,001
0,01
0,01
Δθ (°)
0,34
0,78
1,23
2,01
2,54
σ Δθ (°)
0,030
0,032
0,032
0,032
0,032
∫(H) (Oe m)
16,31
40,6
57,4
95,9
117,9
σ∫ (Oe m)
0,085
0,22
0,29
0,53
0,62
Tabella 17: Spostamento angolare effettivo e integrale del campo magnetico eseguito nell’approssimazione di
solenoide finito
Per ricavare la costante k di Verdet eseguiamo una correlazione ai minimi quadrati fra l’angolo di
spostamento angolare effettivo e l’integrale di campo magnetico riportati in tabella. La
valutazione dell’errore è svolta trasponendo tutto l’errore sulla variabile y.
3
Costante di Verdet - Acqua
Spostamento angolare effettivo (°)
2,5
2
y = 0,0200x - 0,0476
R² = 0,9979
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
Integrale del campo magnetico (Oe*m)
120
140
Grafico 2: Correlazione lineare fra integrale di campo magnetico e spostamento angolare effettivo - caso dell’acqua
K = 0,0217 ± 0,0006 °/Oe m
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Effetto Faraday
Il valore teorico della costante k per l’acqua è 0,02182°/Oe m, pertanto la misura ottenuta risulta
estremamente accurata e coerente con il valore teorico.
Conclusioni e discussione sugli errori di misura
Durante tutta l’esperienza abbiamo assunto un errore di lettura degli angoli di 3’, stimando per
quale intervallo non fossimo in grado di apprezzare differenze nella penombra.
Attivando il generatore e misurando l’intensità di corrente con l’amperometro notiamo che per
intensità inferiori ai 4 A la sensibilità dello strumento è di 0,001 A; mentre per intensità maggiori la
sensibilità scende a 0,01. Questi saranno i rispettivi errori sulle misure d’intensità di corrente.
Per le misure di lunghezze abbiamo a disposizione sia un calibro centesimale che un normale
righello: per le misure effettuate col calibro consideriamo un errore di 0,05 mm mentre per quelle
col righello l’errore è pari a 1,0 mm.
Solenoide ideale e solenoide reale.
Il solenoide a nostra disposizione è ben lontano da essere ideale, infatti ha una lunghezza L=0,215
m, raggio interno=0,019 m e raggio esterno=0,05 m. Verifichiamo che errore sistematico
commetteremmo sostituendo al solenoide finito con spessore nullo (e raggio medio) quello ideale,
ipotizzando che sia attraversato da una corrente elettrica di 1 Ampere:
∫H solenoide ideale:
∫H solenoide finito con spessore nullo:
13,0 Oersted
12,8 Oersted
L’errore che commetteremmo nel considerare il solenoide ideale ha l’ordine del circa 1,56%.
Tuttavia, la differenza fra l’approssimazione di solenoide finito a spessore nullo e di solenoide
reale è molto inferiore all’1%, per cui si è scelto di effettuare tutti i conti nell’approssimazione di
solenoide finito con spessore nullo.
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