PROGRAMMA DI ISTITUZIONI DI FISICA
MATEMATICA
prof. Ettore LASERRA
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Anno Accademico 2005/2006
Premessa I testi consigliati sono [1] e [2] 1 . Gli argomenti contrassegnati con (+) sono facoltativi.
1
Introduzione al Calcolo Tensoriale
Notazione indiciale [2, Parte I, §1.1, pp.1–28] Sistemi. Sistemi simmetrici e antisimmetrici.
Convenzione di somma. Addizione, prodotto e contrazione. Delta di Kronecker. Indicatore di Levi–
Civita (simbolo di permutazione e). Identitá fondamentale dell’algebra tensoriale (identitá e–δ). Delta
di Kronecker generalizzata. Applicazioni. Equazioni di trasformazione. Calcolo delle derivate. Identitá
vettoriali in coordinate cartesiane(+). Altre Operazioni(+). Forma indiciale dei teoremi integrali(+).
Determinanti. Cofattori.
Primi concetti di calcolo tensoriale e trasformazioni [2, Parte I, §1.2, pp.35–54, pp.84–99, pp.108–
115, pp.117–121] Basi e basi reciproche. Trasformazioni di coordinate. Scalari, vettori e tensori. Gruppi
di trasformazioni. Coordinate cartesiane, cilindriche, sferiche. Fuzioni scalari e invarianza - tensori di
rango zero. Trasformazioni di vettori: Componenti cotrovarianti e covarianti - tensori di ordine (o rango)
1. Tensori di rango 2 (doppi). Definizione generale: tensori di ordine (o rango) qualsiasi. Diadi e poliadi.
Operazioni sui tensori. Criterio di tensorialitá (legge quoziente: dimostrazione facoltativa). Tensori
Cartesiani. Componenti fisiche (intrinseche). Componenti fisiche in sistemi di coordinate ortogonali.
Tensori e forme multilineari. Simboli di Christoffel. Derivazione covariante. Proprietá della derivazione
covariante. Interpretazione fisica della derivata covariante. Derivazione assoluta.
2
Geometria Differenziale
([2, p.129–136]
Curve e curvature. Superfici e curvature. Curvatura normale.
3
Meccanica dei continui
3.1
Introduzione alla Meccanica del continuo
([2, p.129–136]
Notazioni tensoriali per quantitá scalari e vettoriali Gradiente. Divergenza. Rotore. Laplaciano.
Legge di Faraday. Legge di Ampere. Legge di Gauss per l’elettrostatica. Legge di Gauss per il
magnetismo.
Equazioni base della meccanica del continuo Introduzione all’elasticitá. Legge di Hooke. Tensore
di stress. Legge di Cauchy. Strain in due dimensioni. Trasformazione di un elemento arbitrario. Strain
in tre dimensioni.
∗ Corso
1
di Laurea In Matematica, Facoltà di Scienze MFN, Università di Salerno
Il testo [2] é liberamente scaricabile da Internet, per gentile concessione dell’autore.
1
Meccanica dei continui solidi Legge di Hooke generalizzata. Equazioni costitutive. Restrizioni
sulle costanti elastiche dovute alla simmetria. Materiali isotropi. Approccio alternativo all’equazioni
costitutive. Equazioni base dell’elasticitá. Equazioni di Navier.
3.2
Elementi di meccanica dei sistemi continui [1]
Cinematica Cinematica di un sistema continuo.
Punti di vista lagrangiano ed euleriano.
Configurazione di riferimento. Linee di corrente, linee di flusso. Moti permanenti e stazionari. Equazione
di conservazione della massa o equazione di continuitá.
Analisi della deformazione nell’intorno di un punto Coefficiente di dilatazione lineare.
Coefficiente di dilatazione superficiale. Coefficiente di dilatazione cubica. Calcolo degli scorrimenti.
Omografia linearizzata di deformazione. Formula di Volterra Omografia linearizzata di
deformazione. Formula di Volterra. Condizioni di congruenza di Saint-Venant.
Equazioni fondamentali della meccanica di un sistema continuo Adattamento delle equazioni
cardinali al moto di un sistema continuo.L’equazione fondamentale. L’equazione al contorno.
Termodinamica di un sistema continuo Primo principio della termodinamica. Secondo picipio
della termodinamica: disuguaglianza di Clausius-Plank, diseguaglianza di Clausius-Duehm.
4
Bibliografia
References
[1] G.CARICATO ”Elementi di meccanica dei continui”, Cisu.
[2] J.H.Heinbockel ”Introduction to tensor calculus and continuum mechanics”, Trafford Publishing.
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