elettromagnetismo 1 - 24 bw
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 24 – 12.1.2016 Circuiti elettrici Equazioni per la soluzione dei circuiti Anno Accademico 2015/2016 Forza elettromotrice • Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice • Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si muovono contro il campo elettrico • La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente • Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo che chiamiamo campo elettromotore CE • Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore • Indichiamo i poli positivo e negativo • Il campo elettrico è diretto come in figura • Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo • La forza che agisce sulla carica è • Nel circuito esterno al generatore F = qE • Dentro il generatore F = qE + qCE • La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 348 Circuiti elettrici • Nell'elettronica si utilizzano conduttori che hanno una resistenza ben determinata • Le resistenze o resistori • Chiamiamo circuito elettrico un sistema in cui più resistori e generatori di forza elettromotrice sono collegati insieme • In futuro utilizzeremo anche altri elementi di circuito come condensatori e induttori • Le resistenze e i generatori di forza elettromotrice sono rappresentati mediante i seguenti simboli • Sottolineiamo che si tratta di elementi con due terminali • La corrente che entra da un terminale esce dall'altro • La figura mostra un esempio di circuito • In un circuito si definiscono due strutture importanti • Il nodo: un punto nel quale sono collegati più elementi del circuito • La maglia: una successione di elementi del circuito connessi fra di loro e che realizzano un cammino chiuso Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 349 Circuiti elettrici • Introduciamo le relazioni Volt-Ampere • Un elemento di circuito impone una relazione fra la differenza di potenziale fra i suoi terminali e la corrente che passa attraverso l'elemento stesso • Per il resistore è la legge di Ohm • Occorre fissare delle convenzioni • Si indica, arbitrariamente, con + il terminale che ha un potenziale più elevato • La tensione V del resistore è V = V2 – V1 • Si considera positiva la corrente che entra nel terminale definito + • Con queste convenzioni si ha • Nel caso del generatore la relazione è estremamente semplice • Si indica con + il terminale positivo del generatore • La tensione V del generatore è V = V2 – V1 • Un generatore di tensione ideale mantiene la tensione data fra i suoi terminali quale che sia la corrente che lo attraversa Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 350 Circuiti elettrici • Veniamo adesso a due importanti leggi che governano il comportamento dei circuiti • Le leggi di Kirchhoff per le maglie e per i nodi • La legge per le maglie • Fissiamo un senso di percorrenza della maglia • Misuriamo le tensioni Vk sugli elementi di circuito della maglia considerando positive le tensioni sui terminali in cui "si entra" • La legge di Kirchhoff per le maglie afferma: la somma delle tensioni di una maglia è nulla • È conseguenza della natura conservativa del campo elettrico • La somma delle differenze di potenziale è uguale all'integrale su una 348 ) linea chiusa del campo E ( vedi diapositiva 667 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 351 Circuiti elettrici • La legge di Kirchhoff per i nodi • Definiti i sensi positivi delle correnti del nodo • La legge di Kirchhoff per i nodi afferma: La somma algebrica delle correnti ENTRANTI (o USCENTI) nel nodo è nulla • Alternativamente: la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti • È una conseguenza dell'equazione di continuità • In condizione stazionaria dQ/dt = 0 • Consideriamo in dettaglio il nodo • La densità di corrente J è nulla escluso nelle basi dei cilindri (evidenziate in azzurro chiaro) • Il flusso attraverso la sfera è uguale alla somma dei flussi di J attraverso le superfici evidenziate è la somma delle correnti che escono dal nodo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 352 Circuiti elettrici • Il problema dei circuiti di resistenze e generatori è • Noti i valori delle resistenze e delle tensioni dei generatori calcolare • Le correnti che attraversano tutti gli elementi del circuito • Le tensioni ai capi dei terminali degli elementi del circuito • Risolviamo il circuito precedente • Utilizzeremo la legge di Kirchhoff per le maglie • Le incognite sono le correnti • La prima cosa da fare è determinare il numero di maglie indipendenti • Una maglia è indipendente dalle altre se contiene un ramo che non è parte di un'altra maglia • Ad esempio sono indipendenti le due maglie • R1 − R3 − E1 • R3 − R2 − E2 • È invece dipendente dalle due maglie indicate la maglia E1 − R1 − R2 − E2 • Non contiene rami che non siano già compresi nelle altre due maglie • Il numero delle correnti incognite è uguale al numero delle maglie indipendenti • Si definiscono le correnti specificando il senso positivo (arbitrario) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 353 Circuiti elettrici • Le correnti i1 e i2 permettono di definire la corrente che attraversa ogni elemento • Nella maglia 1 • La corrente i1 attraversa R1 e il generatore E1 • La corrente i1−i2 attraversa R3 (secondo il verso positivo della maglia) • Nella maglia 2 • La corrente i2 attraversa R2 e il generatore E2 • La corrente i2−i1 attraversa R3 (secondo il verso positivo della maglia) • Il senso delle correnti è importante perché serve a definire il segno della differenza di potenziale ai capi dell'elemento del circuito • Le tre differenze di potenziale sono • Per la legge di Kirchhoff per le maglie la loro somma è nulla • Analogamente per la seconda maglia • Le tre differenze di potenziale sono Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 354 Circuiti elettrici • Riepilogando, abbiamo trovato le due equazioni • Vale la pena sottolineare la struttura delle equazioni trovati • Per ogni maglia • La corrente della maglia è moltiplicata per la somma di tutte le resistenze della maglia • Compaiono le correnti delle maglie accoppiate (una sola in questo caso) • La corrente della maglia accoppiata è moltiplicata per la somma delle resistenze in comune (solo R3, in questo caso) con il segno negativo • Il termine noto è uguale alla somma delle forze elettromotrici nella maglia (una sola in questo caso), con il segno opposto a quello della convenzione del senso della corrente • Queste osservazioni sono utili per • Verificare formalmente la correttezza delle equazioni scritte • Scrivere programmi automatici per la soluzione dei circuiti Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 355 Circuiti elettrici • Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale • La soluzione con la regola di Cramer è immediata Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 356 Partitore di tensione • Un circuito molto semplice ma molto importante è il partitore di tensione • Vogliamo calcolare la tensione ai capi della resistenza R2 (fra i punti a e b) • Chiamiamo i la corrente che circola nella maglia • Ovviamente Lo stesso circuito • Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensione inferiore a quella della forza elettromotrice • Il fattore di riduzione f (o di partizione) è Ad esempio se R1 = R2 • Notiamo che • La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi • Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e generatore di forza elettromotrice ideale di valore E/2 • Diversa resistenza interna. Approfondiamo questo punto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 357 Generatore di tensione ideale • Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale • Un dispositivo capace di mantenere fra i sui due terminali una differenza di potenziale costante, indipendentemente dalla corrente erogata • Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale • Colleghiamo una resistenza di carico RL ai terminali • Misuriamo la differenza di potenziale V fra a e b • Misuriamo la corrente che attraversa RL: i = E/RL • Ripetiamo per tanti valori differenti di RL • Avremo tante correnti differenti • Riportiamo i risultati in un grafico • La differenza di potenziale è costante • Non dipende dalla corrente erogata • Pensiamo ad esempio al generatore di Van de Graff • La tensione fornita è Q/C • La corrente erogata fa diminuire Q: dQ = i dt • Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dQ' • Se dQ > dQ' la tensione si abbassa • In queste condizioni non è un generatore ideale Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 358 Generatore di tensione reale • In un generatore reale la tensione diminuisce se la corrente erogata aumenta • Un comportamento analogo al partitore di tensione • Avevamo trovato la tensione fra a e b e la corrente in RL • Elaboriamo la relazione per V resistenza interna ri • La relazione trovata è una retta nel piano V−i • La pendenza dipende da ri • L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice ideale E • Un generatore reale è schematizzabile come un generatore ideale con in serie una resistenza ri: la resistenza interna Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 359 Generatori di corrente • Un altro elemento di circuito importante è il generatore di corrente • Meno utilizzato nei circuiti elementari I • Meno diffuso come strumento di laboratorio • Molto importante per modellare componenti elettronici • Ad esempio transitors, rivelatori di particelle … • Un generatore di corrente ideale mantiene la corrente data fra i suoi terminali quale che sia la tensione che si stabilisce fra i suoi terminali • Sul piano V−i la sua relazione Volt-Ampere è una retta parallela all'asse delle ordinate • Analogamente al generatore di tensione … • In un generatore di corrente reale si sviluppa una tensione ai suoi terminali che è funzione della corrente che circola • Ricordiamo che anche per un generatore di tensione reale si aveva una retta • Vediamo pertanto che la distinzione fra un generatore reale di corrente o di tensione è in qualche modo arbitraria • Dipende dal valore della resistenza interna paragonata alle resistenze del circuito Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 360 Partitore di corrente • Un circuito molto semplice, analogo al partitore di tensione è il partitore di corrente • La legge di Kirchhoff per i nodi dice che • Inoltre le tensioni ai capi di R1 e R2 devono essere uguali da cui ovviamente • Introducendo nella prima equazione • E per finire • Osserviamo che • La corrente preferenzialmente sceglie i rami con resistenza più bassa Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 361 Generatore di corrente reale • Analizziamo ancora il risultato appena trovato • Chiamiamo RL la resistenza R2 e ri la resistenza R1 • La corrente che circola in RL • La corrente erogata è inferiore • Parte della corrente finisce nella resistenza interna • Pertanto • Un generatore di corrente reale fornisce una corrente inferiore • Il valore esatto dipende dai valori relativi di RL e ri • Per quanto riguarda la relazione Volt-Ampere • Ai terminali di un generatore reale si sviluppa una tensione V che determina quanta corrente fluisce nel circuito esterno • Il valore di V non dipende solo dalla resistenza di carico RL ma anche da ri Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 362 Generatori reali: riepilogo • Un generatore di tensione reale è caratterizzato da una forza elettromotrice E e da una resistenza interna ri • Il generatore ideale ha ri = 0 • Generatori da laboratorio hanno ri ≈ 0.01 Ω • E si può determinare misurando la tensione fra i morsetti a e b senza carico (i = 0): V = E • La resistenza interna ri si può determinate stimando la corrente di corto circuito (RL = 0 ): iCC = ri • Un generatore di corrente reale è caratterizzato da una sorgente di corrente ideale I e da una resistenza interna ri • Il generatore ideale ha ri = ∞ • Generatori da laboratorio hanno ri ≈ 1010 Ω • I si può determinare stimando la corrente di corto circuito iCC fra i morsetti a e b (RL = 0): iCC = I • La resistenza interna ri si può determinate misurando la tensione in assenza di carico (iL = 0): V= ri I Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 363
