Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 24 – 12.1.2016
Circuiti elettrici
Equazioni per la soluzione dei circuiti
Anno Accademico 2015/2016
Forza elettromotrice
• Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice
• Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si
muovono contro il campo elettrico
• La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente
• Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un
campo che chiamiamo campo elettromotore CE
• Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore
• Indichiamo i poli positivo e negativo
• Il campo elettrico è diretto come in figura
• Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo
• La forza che agisce sulla carica è
• Nel circuito esterno al generatore F = qE
• Dentro il generatore F = qE + qCE
• La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria
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Circuiti elettrici
• Nell'elettronica si utilizzano conduttori che
hanno una resistenza ben determinata
• Le resistenze o resistori
• Chiamiamo circuito elettrico un sistema
in cui più resistori e generatori di forza
elettromotrice sono collegati insieme
• In futuro utilizzeremo anche altri elementi
di circuito come condensatori e induttori
• Le resistenze e i generatori di forza elettromotrice
sono rappresentati mediante i seguenti simboli
• Sottolineiamo che si tratta di elementi con due terminali
• La corrente che entra da un terminale esce dall'altro
• La figura mostra un esempio di circuito
• In un circuito si definiscono due strutture importanti
• Il nodo: un punto nel quale sono collegati più
elementi del circuito
• La maglia: una successione di elementi del
circuito connessi fra di loro e che realizzano
un cammino chiuso
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Circuiti elettrici
• Introduciamo le relazioni Volt-Ampere
• Un elemento di circuito impone una relazione fra la differenza di potenziale
fra i suoi terminali e la corrente che passa attraverso l'elemento stesso
• Per il resistore è la legge di Ohm
• Occorre fissare delle convenzioni
• Si indica, arbitrariamente, con + il terminale che ha
un potenziale più elevato
• La tensione V del resistore è V = V2 – V1
• Si considera positiva la corrente che entra nel
terminale definito +
• Con queste convenzioni si ha
• Nel caso del generatore la relazione è
estremamente semplice
• Si indica con + il terminale positivo del generatore
• La tensione V del generatore è V = V2 – V1
• Un generatore di tensione ideale mantiene la
tensione data fra i suoi terminali quale che
sia la corrente che lo attraversa
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Circuiti elettrici
• Veniamo adesso a due importanti leggi che governano
il comportamento dei circuiti
• Le leggi di Kirchhoff per le maglie e per i nodi
• La legge per le maglie
• Fissiamo un senso di percorrenza della maglia
• Misuriamo le tensioni Vk sugli elementi di circuito
della maglia considerando positive le tensioni sui
terminali in cui "si entra"
• La legge di Kirchhoff per le maglie afferma:
la somma delle tensioni di una maglia è nulla
• È conseguenza della natura conservativa del campo elettrico
• La somma delle differenze di potenziale è uguale all'integrale su una
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linea chiusa del campo E ( vedi diapositiva 667
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Circuiti elettrici
• La legge di Kirchhoff per i nodi
• Definiti i sensi positivi delle correnti del nodo
• La legge di Kirchhoff per i nodi afferma:
La somma algebrica delle correnti
ENTRANTI (o USCENTI) nel nodo
è nulla
• Alternativamente: la somma delle correnti entranti
è uguale alla somma delle correnti uscenti
• È una conseguenza dell'equazione di continuità
• In condizione stazionaria dQ/dt = 0
• Consideriamo in dettaglio il nodo
• La densità di corrente J è nulla escluso nelle basi dei
cilindri (evidenziate in azzurro chiaro)
• Il flusso attraverso la sfera è uguale alla somma
dei flussi di J attraverso le superfici evidenziate
è la somma delle correnti che escono dal nodo
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Circuiti elettrici
• Il problema dei circuiti di resistenze e generatori è
• Noti i valori delle resistenze e delle tensioni dei generatori calcolare
• Le correnti che attraversano tutti gli elementi del circuito
• Le tensioni ai capi dei terminali degli elementi del circuito
• Risolviamo il circuito precedente
• Utilizzeremo la legge di Kirchhoff per le maglie
• Le incognite sono le correnti
• La prima cosa da fare è determinare il numero
di maglie indipendenti
• Una maglia è indipendente dalle altre se
contiene un ramo che non è parte di un'altra
maglia
• Ad esempio sono indipendenti le due maglie
• R1 − R3 − E1
• R3 − R2 − E2
• È invece dipendente dalle due maglie indicate la maglia E1 − R1 − R2 − E2
• Non contiene rami che non siano già compresi nelle altre due maglie
• Il numero delle correnti incognite è uguale al numero delle maglie indipendenti
• Si definiscono le correnti specificando il senso positivo (arbitrario)
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Circuiti elettrici
• Le correnti i1 e i2 permettono di definire la
corrente che attraversa ogni elemento
• Nella maglia 1
• La corrente i1 attraversa R1
e il generatore E1
• La corrente i1−i2 attraversa R3
(secondo il verso positivo della maglia)
• Nella maglia 2
• La corrente i2 attraversa R2 e il generatore E2
• La corrente i2−i1 attraversa R3 (secondo il verso positivo della maglia)
• Il senso delle correnti è importante perché serve a definire il segno della
differenza di potenziale ai capi dell'elemento del circuito
• Le tre differenze di potenziale sono
• Per la legge di Kirchhoff per le maglie la loro somma è nulla
• Analogamente per la seconda maglia
• Le tre differenze di potenziale sono
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Circuiti elettrici
• Riepilogando, abbiamo trovato le due equazioni
• Vale la pena sottolineare la struttura delle
equazioni trovati
• Per ogni maglia
• La corrente della maglia è moltiplicata per
la somma di tutte le resistenze della maglia
• Compaiono le correnti delle maglie accoppiate (una sola in questo caso)
• La corrente della maglia accoppiata è moltiplicata per la somma delle
resistenze in comune (solo R3, in questo caso) con il segno negativo
• Il termine noto è uguale alla somma delle forze elettromotrici nella maglia
(una sola in questo caso), con il segno opposto a quello della convenzione
del senso della corrente
• Queste osservazioni sono utili per
• Verificare formalmente la correttezza delle equazioni scritte
• Scrivere programmi automatici per la soluzione dei circuiti
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Circuiti elettrici
• Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale
• La soluzione con la regola di Cramer è immediata
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Partitore di tensione
• Un circuito molto semplice ma molto importante
è il partitore di tensione
• Vogliamo calcolare la tensione ai capi della
resistenza R2 (fra i punti a e b)
• Chiamiamo i la corrente che circola nella maglia
• Ovviamente
Lo stesso circuito
• Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensione
inferiore a quella della forza elettromotrice
• Il fattore di riduzione f (o di partizione) è
Ad esempio se R1 = R2
• Notiamo che
• La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi
• Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e generatore di
forza elettromotrice ideale di valore E/2
• Diversa resistenza interna. Approfondiamo questo punto
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Generatore di tensione ideale
• Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale
• Un dispositivo capace di mantenere fra i sui due
terminali una differenza di potenziale costante,
indipendentemente dalla corrente erogata
• Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale
• Colleghiamo una resistenza di carico RL ai terminali
• Misuriamo la differenza di potenziale V fra a e b
• Misuriamo la corrente che attraversa RL: i = E/RL
• Ripetiamo per tanti valori differenti di RL
• Avremo tante correnti differenti
• Riportiamo i risultati in un grafico
• La differenza di potenziale è costante
• Non dipende dalla corrente erogata
• Pensiamo ad esempio al generatore di Van de Graff
• La tensione fornita è Q/C
• La corrente erogata fa diminuire Q: dQ = i dt
• Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dQ'
• Se dQ > dQ' la tensione si abbassa
• In queste condizioni non è un generatore ideale
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Generatore di tensione reale
• In un generatore reale la tensione diminuisce se
la corrente erogata aumenta
• Un comportamento analogo al partitore di tensione
• Avevamo trovato la tensione fra a e b
e la corrente in RL
• Elaboriamo la relazione per V
resistenza interna ri
• La relazione trovata è una retta nel piano V−i
• La pendenza dipende da ri
• L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice ideale E
• Un generatore reale è schematizzabile come un generatore
ideale con in serie una resistenza ri: la resistenza interna
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Generatori di corrente
• Un altro elemento di circuito importante è il generatore di corrente
• Meno utilizzato nei circuiti elementari
I
• Meno diffuso come strumento di laboratorio
• Molto importante per modellare componenti elettronici
• Ad esempio transitors, rivelatori di particelle …
• Un generatore di corrente ideale mantiene la
corrente data fra i suoi terminali quale che sia
la tensione che si stabilisce fra i suoi terminali
• Sul piano V−i la sua relazione Volt-Ampere è
una retta parallela all'asse delle ordinate
• Analogamente al generatore di tensione …
• In un generatore di corrente reale si sviluppa una
tensione ai suoi terminali che è funzione della
corrente che circola
• Ricordiamo che anche per un generatore di tensione
reale si aveva una retta
• Vediamo pertanto che la distinzione fra un generatore
reale di corrente o di tensione è in qualche modo arbitraria
• Dipende dal valore della resistenza interna paragonata
alle resistenze del circuito
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Partitore di corrente
• Un circuito molto semplice, analogo al partitore di
tensione è il partitore di corrente
• La legge di Kirchhoff per i nodi dice che
• Inoltre le tensioni ai capi di R1 e R2 devono essere uguali
da cui ovviamente
• Introducendo nella prima equazione
• E per finire
• Osserviamo che
• La corrente preferenzialmente sceglie i rami con resistenza più bassa
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Generatore di corrente reale
• Analizziamo ancora il risultato appena trovato
• Chiamiamo RL la resistenza R2 e ri la resistenza R1
• La corrente che circola in RL
• La corrente erogata è inferiore
• Parte della corrente finisce nella resistenza interna
• Pertanto
• Un generatore di corrente reale fornisce una corrente inferiore
• Il valore esatto dipende dai valori relativi di RL e ri
• Per quanto riguarda la relazione Volt-Ampere
• Ai terminali di un generatore reale si sviluppa una tensione V
che determina quanta corrente fluisce nel circuito esterno
• Il valore di V non dipende solo dalla resistenza di
carico RL ma anche da ri
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Generatori reali: riepilogo
• Un generatore di tensione reale è caratterizzato da una
forza elettromotrice E e da una resistenza interna ri
• Il generatore ideale ha ri = 0
• Generatori da laboratorio hanno ri ≈ 0.01 Ω
• E si può determinare misurando la tensione fra
i morsetti a e b senza carico (i = 0): V = E
• La resistenza interna ri si può determinate stimando
la corrente di corto circuito (RL = 0 ): iCC = ri
• Un generatore di corrente reale è caratterizzato da una
sorgente di corrente ideale I e da una resistenza interna ri
• Il generatore ideale ha ri = ∞
• Generatori da laboratorio hanno ri ≈ 1010 Ω
• I si può determinare stimando la corrente di corto
circuito iCC fra i morsetti a e b (RL = 0): iCC = I
• La resistenza interna ri si può determinate misurando
la tensione in assenza di carico (iL = 0): V= ri I
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