lezione 6

Il teorema fondamentale della PL
I
rappresentazione di poliedri
I
teorema fondamentale della PL
I
caso limitato: ottimalità dei punti estremi
rif. Fi 3.1 (solo caso di poliedri limitati); BT 2.5
Coni
Definizione
Un insieme non vuoto C ⊆ Rn è un cono se
x ∈ C =⇒ λx ∈ C,
λ≥0
geometricamente, C è un cono se per ogni suo punto x la semiretta
uscente dall’origine e passante per x appartiene interamente a C.
I
escludendo il caso speciale C = {0}, un cono è un insieme
illimitato
I
un cono può essere convesso o non convesso
I
un poliedro della forma {x ∈ Rn : Ax ≥ 0} è un cono (detto
cono poliedrale)
Cono di recessione
Definizione
Un vettore d ∈ Rn si dice direzione di un poliedro P se per ogni
x ∈ P la semiretta x + λd, λ ≥ 0 è contenuta in P .
Teorema
Un vettore d ∈ Rn è una direzione di un poliedro
P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} se e solo se è soluzione del sistema
omogeneo Ax ≥ 0
Definizione
L’insieme di tutte le direzioni di un poliedro P si dice cono di
recessione di P ; lo indichiamo con rec(P )
Esempio
P = {x ∈ R2 : x1 − x2 ≥ −1, x1 , x2 ≥ 0}
x2
1
rec(P)
d
x1
rec(P ) = {x ∈ R2 : x1 − x2 ≥ 0, x1 , x2 ≥ 0}
Esempio
x2
x2
P
2
P′
−1
1
x1
x1
−1
x2
rec( P ) = rec( P ′)
x1
Rappresentazione di poliedri
Teorema
Sia un poliedro P per cui Ext(P ) 6= ∅. Allora P può essere scritto
nella forma
P = conv(Ext(P )) + rec(P )
x2
1
rec(P)
conv(Ext(P))
x1
Teorema fondamentale della PL
Dato il problema min{cT x : x ∈ P }, con P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}
non vuoto e Ext(P ) 6= ∅ si ha:
(i) se cT y < 0 per qualche vettore y ∈ rec(P ) il problema è
illimitato
(ii) se cT y ≥ 0 per ogni vettore y ∈ rec(P ) il problema ammette
una soluzione ottima nell’insieme Ext(P )
Esempio
min −x1 − x2 , P = {x ∈ R2 : x1 − x2 ≥ −1, x1 , x2 ≥ 0}
x2
1
rec(P)
y=(1,1/3)
c=(-1,-1)
x1
Dimostrazione (i)
Dimostrazione (i) Supponiamo che esista y ∈ rec(P ) tale che
cT y < 0.
I
per definizione di cono di recessione, per ogni x ∈ P ed ogni
λ ≥ 0, x + λy ∈ P
I
essendo cT y < 0, si ha che cT (x + λy) → −∞ per λ → ∞,
quindi il problema è illimitato
Dimostrazione (ii)
(ii) cT y ≥ 0 per ogni y ∈ rec(P ) e Ext(P ) = {v1 , . . . , vq } non vuoto;
poniamo z ∗ = cT v∗ = min{cT vi |i = 1, . . . , q}.
Per il teorema di rappresentazione ogni punto x ∈ P può essere espresso
nella forma
x=w+y
con w ∈ conv(Ext(P )) e y ∈ rec(P ).
quindiPesistono moltiplicatori λ1 , . . . , λq ≥ 0,
q
w = i=1 λi vi
Pq
i=1
λi = 1 tali che
Dimostrazione (ii)
considerando il valore della soluzione x si ha:
q
X
cT x = cT (w + y) = cT (
λ i v i ) + cT y
i=1
essendo cT y ≥ 0 si ha:
q
q
q
X
X
X
i
T i
c x≥c (
λi v ) =
λi (c v ) ≥
λ i cT v ∗ = cT v ∗
T
T
i=1
i=1
i=1
Essendo x un generico punto di P , il punto estremo v ∗ è soluzione
ottima del problema
Ottimalità dei punti estremi: caso limitato
Un politopo P non può contenere una semiretta, quindi
rec(P ) = ∅ e P = conv(Ext(P )). Ciò implica il seguente
Corollario
Sia P è un politopo non vuoto. Esiste almeno una soluzione ottima
del problema min{cT x : x ∈ P } corrispondente ad un vertice di P
Primi algoritmi?
I
I
Se il problema di PL definito su un politopo, allora esiste una
soluzione ottima su un vertice, quindi ”basta” enumerare tutti
i vertici.
Algoritmo di ”ricerca locale”:
1. Scegli un vertice xi e valuta la f.o.
2. Se esiste un vertice vicino migliore, spostati sul nuovo vertice.
3. Continua finché esistono vertici che migliorano la f.o.
L’algoritmo si arresta (Ext(P ) è finito) in un punto di minimo
locale, che è anche di minimo globale (PL è programmazione
convessa!)