Domande teoriche
Laura Aschei
(aggiungo anche piccole dimostrazioni che potrebbero chiedervi soprattutto
all’orale)
CAPITOLO 3
1_quali sono le proprietà del prodotto tra matrici?
(distributiva (A+B)C= AC+BC e A(B+C)=AB+AC; omogeneità k(AB)=(kA)B=A(kB); matrice
nulla AO=OA=O ; associativa (AB)C=A(BC))
2_dare la definizione di matrice invertibile
(data una matrice A appartenente a MR(n) si dice invertibile se esiste una matrice B
appartenente a MR(n) tale che AB=BA=In)
3_si dimostri che : data una matrice A appartenente a MR(n) A=(A1|A2|…|An) e il sistema
omogeneo AX=On esiste una soluzione non banale del sistema AX=O se e solo se le
colonne di A sono vettori linearmente dipendenti di Rn
(per ipotesi esiste una soluzione non banale del sistema X appartenente a Rn cove X≠O
a1
X=
…
per assurdo ipotizzo che le colonne di A siano linearmente indipendenti.
an
essendo X una soluzione del sistema allora so che AX=O cioè: a1A1 + a2A2+ … + anAn =O, ma se
A1,A2, … , An sono lin. Indipendenti allora ammettono unica scrittura del vettore nullo, cioè la
scrittura banale, cioè a1, a2, … an devono essere tutti pari a zero, ma questo va contro la nostra
ipotesi che X≠O, allora abbiamo sbagliato a ipotizzare che le colonne di A siano linearmente
indipendenti.)
4_date la seguenti matrici calcolarne il determinante:
A=
C=
1
0
5
0
6
5
6
0
1
0
7
1
5
7
9
7
21
9
5
0
1
1
4
5
1
0
6
6
-5
1
9
7
5
5
11
9
B=
D=
(|A|=203; da notare che la colonna A1 e A2 sono state scambiate e che la seconda colonna non è
altro che la somma di tutte le colonne cioè B=[ A2 | A1+A2+A3 | A3 ] quindi il |B|=|[ A2 | A1 | A3] |= |A|= -203; da notare che C=[ A3 | A2 | A1 ] |C|= -|A|= -203; da notare che D = [ A1 | A3 – A1 + A2 |
A3 ] quindi il |D|=|A|= 203 )
4_Dati questi vettori dire qual è il rango di A così ottenuta
1
v1=
5
1
v2=
0
2
9
v3=
7
5
0
2
v4=
7
A=[ v1 | v2| v3| v3 ]
7
(qua c’è da ricordare che il rango di una matrice non è altro che la dimensione del sottospazio
generato dalle sue colonne , cioè la dimensione del sottospazio generato da v1, v2, v3, v4. Quindi
le strade possibili sono due: 1) vado a vedere tra i vettori dati quanti ce ne sono linearmente
indipendenti, oppure 2) vado a calcolarmi il rango della matrice A. Possiamo notare che v4 = v1 +
v2, quindi non possono essere tutte e 4 vettori linearmente indipendenti, la stessa conclusione
potevamo raggiungerla osservando che siamo in R3 mentre i vettori sono 4. Ora sapendo che v4 è
combinazione lineare di v1 e v2 possiamo vedere direttamente se v3 è linearmente dipendente o
no da v1 e v2 , se risultasse dipendente allora la dimensione di span(v1, v2, v3, v4)=2=rang(A),
mentre se risultasse linearmente indipendente allora span(v1, v2, v3, v4)=3=rang(A). Per vedere se
v1, v2, v3 sono lin. Indipendenti al posto di utilizzare il metodo già imparato nel capitolo 2, usiamo
il calcolo del rango della matrice così ottenuta B=[v1 | v2 | v3]
B=
1
1
9
5
2
5
0
7
0
|B|= -7(5-45)= 280
5_enunciare il teorema degli orlati
(data una matrice A appartenente a MR(k,n) e considerato il minoredella matrice quadrata A’
≠0 , dove A’ appartiene a MR(m) dove m ≤ min(n, k), se tutti i minori di ordine m+1 che si
ottengono orlando A’ sono nulli allora rang(A)=m)
1
