I sistemi di numerazione

I sistemi di numerazione
Struttura
Un sistema di numerazione è formato
• da un insieme di simboli, utilizzati per
rappresentare i numeri,
• da un insieme di regole
– per la scrittura
– per la lettura dei numeri stessi
Sistemi additivi
• I sistemi arcaici erano solitamente di tipo
additivo.
• Nei sistemi additivi il numero rappresentato era
dato dalla somma dei valori costante dei simboli.
• Erano di questo tipo il sistema di numerazione
egiziano, quello greco e quello romano.
• I sistemi additivi presentano lo svantaggio di
richiedere sempre nuovi simboli, mano a mano
che i numeri diventano più grandi.
Comportavano, inoltre, difficoltà nel calcolo.
Sistema Romano
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I simboli utilizzati dal sistema di numerazione romano sono:
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I simboli I - X - C si possono ripetere fino a tre volte e il numero rappresentato è
dato dalla somma dei valori dei simboli impiegati:
CLVIII = 100+50+5+1+1+1 = 158
Per non introdurre una quarta ripetizione, si deve sottrarre un simbolo:
XL=40 (significa che tolgo 10 da 50)
I primi tre multipli dei simboli base I, X, C e M, si ottengono ripetendo i simboli al
massimo per sole tre volte.
I simboli V, L e D, non si possono mai ripetere.
Il numero più alto che si può scrivere, seguendo queste regole è 3999.
Per moltiplicare per 1.000 il valore di un numero si pone sopra il simbolo una linea
Per moltiplicare un numero per 1.000.000, oltre alla linea superiore si aggiungono
due linee verticali |¯| così da incorniciarlo (un milione di volte più grande).
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Esempi Sistema Romano
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VIII = 3+1+1+1 = 8
XII = 10+1+1 = 12
LV = 50+5 = 55
CLVIII = 100+50+5+1+1+1 = 158
IX = 10 – 1 = 9
CD = 500-100 = 400
CMLIX = (1000-100)+50+(10-1) = 959
Mettiti alla prova
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12
31
27
29
54
71
123
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92
89
345
459
998
1.469
10.200
Sistema egiziano
• Il sistema di numerazione egiziano è nato circa
quattromila anni or sono. Oggi è obsoleto ma
è tra i più elaborati tra quelli antichi. Erano
disponibili sia la versione con i geroglifici sia la
versione in ieratico (la grafia usata dagli
scribi).
• Il sistema comprendeva solo sette simboli,
ognuno di questi era un multiplo di dieci, e la
logica era di tipo additivo.
Esempi sistema egiziano
• Simboli usati:
• Esempio:
Mettiti alla prova
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12
31
27
29
54
71
123
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111
3.410
2.721
1.009
10.010
71.040
123.000
Sistemi posizionali
• I sistemi di tipo posizionale, attribuiscono ai
simboli, utilizzati per rappresentare un
numero, un significato diverso in base alla loro
posizione.
• Si passa da una posizione all’altra formando
gruppi successivi di unità, dette ordini. Le
unità che servono a formare un’unità di ordine
superiore costituiscono la base di un sistema
di numerazione posizionale.
Sistema di numerazione decimale
• Il sistema di numerazione da noi usato è detto
decimale ed è di tipo posizionale.
• I simboli del nostro sistema di numerazione
sono detti cifre.
• Il sistema è detto decimale perché ha dieci
simboli.
• È in base dieci perché servono dieci unità di
un ordine per formare un’unità dell’ordine
successivo.
Cifre e loro valore
• Le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 sono
utilizzate per scrivere i numeri nel sistema di
numerazione decimale. Usando questi simboli
è possibile comporre qualsiasi numero.
• In un numero, ogni cifra ha un suo valore
caratteristico
– valore assoluto, legato al simbolo
– valore relativo, dipende dalla posizione occupata
dalla cifra nel numero
Scrittura polinomiale
• La scrittura polinomiale di un numero è
l’espressione data dalla somma dei valori
assoluti delle cifre per il loro peso.
Mettiti alla prova
• Scrivi un numero e usa l’abaco correttamente.
miliardi
milioni
migliaia
unità
Classi e ordini
• In un numero, ogni cifra occupa un ordine
diverso. Gli ordini si numerano da destra verso
sinistra.
• Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini
sono stati raggruppati di tre in tre (unità, decine e
centinaia), a formare le classi.
• Le classi assumono nomi particolari (unità,
migliaia, milioni e miliardi).
Cardinali e ordinali
• I numeri cardinali, indicati in cifre e in lettere
sono usati per indicare la quantità di un
gruppo di elementi.
• I numeri ordinali, indicati in lettere o numeri
romani, indicano l’ordine o la posizione
assunta da un elemento in una sequenza.
• L’aritmetica si occupa solamente dei numeri
cardinali.
Ancora numeri
• moltiplicativi
(doppio, triplo, …)
• distributivi
(uno a uno, due a due, …)
• frazionari
(uno su uno, due su due, ...)
• collettivi
(ambedue, terno, quartetto, ottetto …).
Numeri decimali
• Le unità intere possono essere ulteriormente suddivise in
parti tra loro uguali. Nel sistema di numerazione decimale
ogni unità può essere suddivisa in dieci parti.
• Suddividendo un’unità intera in dieci parti uguali ognuna di
queste rappresenterà un decimo, un’unità decimale di
primo ordine. Se questa è ulteriormente suddivisa in altre
dieci parti uguali, ognuna di queste rappresenterà dell’unità
di partenza un centesimo, unità decimale di secondo
ordine.
• Operando in questo modo si ottengono le unità decimali
dei vari ordini.
• Un numero decimale è costituito da una parte intera e da
una parte decimale propriamente detta.
Decimali
• Il separatore decimale usato in matematica è la
virgola. Nei paesi anglosassoni e nei sistemi di
calcolo e di programmazione la virgola è
sostituita dal punto decimale.
• Gli zeri che seguono l’ultima cifra decimale e
quelli che eventualmente anteposti alla parte
intera sono ininfluenti e detti anche zeri non
significativi, questi possono essere tralasciati
nella scrittura del numero.
Mettiti alla prova
• Scrivi un numero e usa l’abaco correttamente.
parte intera
milioni
migliaia
parte decimale
unità
Altri sistemi di numerazione
• Binario
– base 2
– 0,1
• Ottale
– base 8
– 0,1,2,3,4,5,6,7
• Esadecimale
– base 16
– 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f
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