PROGRAMMA del corso di
ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE
Laurea Magistrale in Matematica
Anno Accademico 2008/09
docente : Dario Portelli
1.- ANELLI
Elementi invertibili, regolari, divisori dello zero e nilpotenti di un anello. Domini
di integrità. Anelli di polinomi.
Somma e prodotto di ideali. Potenze di un ideale. Ideali comassimali. Il prodotto
di ideali comassimali è uguale alla loro intersezione. Prodotto diretto di anelli.
Teorema del resto cinese.
Radicale di un ideale e sue proprietà. Nilradicale di un anello.
Ideali primi ed ideali massimali. La controimmagine di un ideale primo in un
omomorfismo d’ anelli è ancora un ideale primo. Insiemi moltiplicativamente chiusi.
Teorema di Krull sull’ esistenza di ideali primi, e sue conseguenze. L’ insieme dei
divisori dello zero di un anello è unione di ideali primi. Ideali primi minimali.
Lemma di evitamento dei primi.
Elementi primi ed irriducibili in un dominio di integrità. Ogni elemento primo
è irriducibile, ma non viceversa. Unicità della scomposizione in fattori primi in
un dominio di integrità. Domini a fattorizzazione unica ( UFD ). Un dominio di
integrità è un UFD se e solo se ogni elemento irriducibile in esso è primo. Un
dominio di integrità è un UFD se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene
un elemento primo. Un numero primo p ∈ Z è elemento primo di Z [ i ] se e solo se
p ≡ 3 ( mod. 4 ) .
2.- MODULI
Definizioni di modulo e di applicazione R-lineare.. Annullatore di un elemento
di un modulo, e del modulo stesso.
Elementi interi di un anello su un suo sottoanello. Loro caratterizzazione mediante concetti di algebra lineare. Estensioni intere ed estensioni finite. Loro proprietà. Algebre di tipo finito. Chiusura integrale. Ogni UFD è normale.
Somme dirette e prodotti diretti di moduli e relative proprietà universali. La
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somma diretta commuta con la localizzazione.
Moduli liberi. Proprietà universale dei moduli liberi. Ogni R-modulo è immagine
omomorfa di un R-modulo libero.
Prodotto tensoriale di moduli, sua proprietà universale. Principali isomorfismi.
Esattezza a destra del prodotto tensoriale. Estensione degli scalari.
Esempio di estensione degli scalari: il passaggio all’ anello quoziente. Lemma di
Nakayama. Sue principali conseguenze.
3.- LOCALIZZAZIONE.
Localizzazione di un anello rispetto ad un sistema moltiplicativamente chiuso,
e relativa proprietà universale. Localizzazione di un moduli. Interpretazione come
estensione degli scalari. La localizzazione conserva l’esattezza.
Ideali in un anello di frazioni, in particolare: ideali primi. Teorema di Gauss: se
A è un UFD, allora anche A[X] è un UFD.
Anelli locali. Studio dell’ anello locale dei germi in P ∈ Rn delle funzioni reali,
di classe C∞ . Sistemi minimali di generatori per un modulo finitamente generato su
un anello locale. Principio “ locale-globale”. Supporto di un modulo. Supp(M) =
∅ ⇐⇒ M = {0}. Relazione tra il supporto di un modulo ed il suo annullatore.
Lo spettro primo di un anello. Sua topologia di Zariski. Comportamento funtoriale. Corrispondenza tra sottoinsieme di R e chiusi di Spec(R) , sue principali
proprietà. Aperti di Zariski; aperti speciali affini. Ricoprimenti aperti di Spec(R) .
Tale spazio topologico è compatto.
4.- CONDIZIONI DI FINITEZZA
Condizioni sulle catene di ideali e sottomoduli. Anelli e moduli noetheriani ed
artiniani. Loro principali proprietà.
Anelli artiniani. Ogni ideale primo di un anello artiniano è massimale. Un anello
artiniano ha solo un numero finito di ideali primi. Un anello è artiniano se e solo se
è noetheriano, ed ogni suo ideale primo è massimale.
5.- DECOMPOSIZIONE PRIMARIA
Ideali irriducibili. In un anello noetheriano ogni ideale è intersezione di un numero finito di ideali irriducibili. Ogni ideale irriducibile di un anello noetheriano è
primario.
Definizione
di ideale primario, varie caratterizzazioni. Se I è ideale primario,
√
allora I è primo. La controimmagine di un ideale primario in un omomorfismo
d’ anelli è ancora un ideale primario. Comportamento degli ideali primari rispetto
alla localizzazione. Ogni ideale il cui radicale è massimale è primario. Potenze
simboliche.
Decomposizione primaria di un ideale. Decomposizione primaria ridotta. Com2
ponenti isolate ed immerse di una decomposizione primaria. Gli ideali primi di una
decomposizione primaria ridotta sono univocamente determinati. Gli ideali primi
isolati di una decomposizione primaria ridotta sono tutti e soli gli ideali primi minimali su I . Le componenti primarie isolate di una decomposizione primaria ridotta
sono univocamente determinate, quelle immerse no.
6.- DIMENSIONE DI KRULL
Altezza di un ideale primo e di un ideale qualsiasi. Dimensione di Krull di un
anello.
Teorema dell’ ideale principale di Krull. Se R è noetheriano ed I = (x1 , . . . , xn ) è
un ideale proprio di R , allora ht(I) ≤ n . Un anello locale noetheriano ha dimensione
di Krull finita; bound ottimale per tale dimensione. Caratterizzazione della dimensione di Krull di un anello locale noetheriano mediante ideali di parametri. Se P è
un ideale primo in un anello noetheriano e x ∈ P , allora ht( P/(x) ) ≥ ht(P) − 1 .
Teoremi del “ Lying Over ”, “ Going Up ” e “ Incomparable ” per un’ estensione
intera di anelli R ⊂ A , e relativi lemmi. Se R ⊂ A è un’ estensione intera, allora
dim(R) = dim(A) .
Dimensione dell’ anello di polinomi R [x1 , . . . , xn ] , ove R è un anello noetheriano. Lemma di normalizzazione di E. Noether. Cenni sul grado di trascendenza di
un’ estensione di campi. Se A è un dominio di integrità ed è una K-algebra finitamente generata, con K campo, allora la dimensione di Krull di A è uguale al grado
di trascendenza su K del campo delle frazioni di A . Caratterizzazione degli ideali
massimali di K [x1 , . . . , xn ] , ove K è un campo algebricamente chiuso. Teorema
degli zeri di Hilbert.
Anelli locali regolari. Catene saturate di ideali primi in un anello locale regolare.
Ogni anello locale regolare è un dominio di integrità. Conservazione della proprietà
di regolarità per passaggio al quoziente rispetto ad opportuni ideali principali, e
viceversa. Criterio jacobiano ( nel caso di punti razionali sul campo base K ).
7.- ELEMENTI DI ALGEBRA OMOLOGICA. APPLICAZIONI
Complessi. Moduli di omologia di un complesso. Risoluzioni libere di un modulo
e loro costruzione. Risoluzioni libere minimali di un modulo su un anello locale.
“ Five Lemma ”. Morfismi tra complessi, omomorfismi da essi indotti tra i moduli
di omologia. Se F è un modulo libero e se f : M → M ′′ è suriettiva, allora
l’ applicazione canonica f∗ : HomR (F, M) → HomR (F, M ′′ ) è suriettiva. Lift di
un’applicazione lineare ad un morfismo tra le rispettive risoluzioni libere. Omotopie
tra mappe di complessi e loro effetto in omologia.
Funtori additivi. Esattezza a destra e a sinistra. Esempi : HomR ( , N) e ⊗R
N . I moduli di omologia H n ( HomR (F• , N) ) e Hn ( F• ⊗R N ) non dipendono
dalla risoluzione libera F• di M . Funtori Ext e Tor, loro varianza. Sequenze esatte
corte di complessi, relativa sequenza esatta lunga di omologia. “ Snake’ s Lemma ”
e “ Horseshoe’ s Lemma ”. Sequenze esatte lunge degli Ext e quella dei Tor.
Moduli proiettivi, varie loro caratterizzazioni. Esempi di moduli proiettivi che
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non sono liberi. Moduli di presentazione finita. Un modulo M è proiettivo se e solo
se è di presentazione finita e MP è un RP -modulo proiettivo per ogni ideale primo
P di R .
Complesso di Koszul. Moduli di omologia dello stesso. Condizione sufficiente
affinchè il complesso di Koszul di R rispetto agli elementi x1 , . . . , xn sia una risoluzione
libera di R/( x1 , . . . , xn ) .
Ogni modulo proiettivo finitamente generato su un anello locale è libero. Risoluzioni minimali. Ogni modulo su un anello locale regolare ha una risoluzione libera
finita. Se R è un anello locale regolare e P è un suo ideale primo, allora RP è
ancora un anello locale regolare. Se R è un anello locale regolare, allora R è un
UFD.
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