Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Corrente di
spostamento ed
equazioni di Maxwell
n  Corrente
di spostamento
n  Modifica della legge di Ampere
n  Equazioni di Maxwell
n  Onde elettromagnetiche
Corrente di spostamento
n 
La legge di Ampere e` inconsistente con la
legge di conservazione della carica elettrica
! !
! !
!
$!
! " B = µ0 J
!"J =#
$t
! ! !
! " ! # B = 0 sempre
! !
! " J = 0 solo per correnti stazionarie
(
)
Corrente di spostamento
n 
Maxwell: l equazione di continuita` della
carica elettrica deve valere sempre
!
!
(a rigore vale
! !
$!
solo caso
! = " 0 ! " E nel
!"J =#
elettrostatico)
$t
!
! !
! $E
! " J = #! 0 ! "
!
$t ! % !
$E (
! " # ' J + !0
*=0
$t )
&
Corrente di spostamento
n 
La corrente totale da considerare e`
!
!
!E
J + !0
!t
n 
!
!
"E
J S ! !0
"t
Maxwell predisse che le variazioni nel
tempo di un campo elettrico, anche in
assenza di correnti di conduzione,
avrebbero generato un campo magnetico
Corrente di spostamento
Se in un punto dello spazio la corrente di
!
!E
conduzione e` zero, ma
n 
!t
"0 #
esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato
da
!
! !
#E
! " B = µ 0! 0
#t
Legge di Ampere-Maxwell
n 
La legge di Ampere e` modificata in
!
$!
! !
#E '
! " B = µ0 & J + ! 0
)
#t (
%
non associata a
moto di cariche
Legge di Ampere-Maxwell
n 
La legge di Ampere e` modificata in
!
$!
! !
#E '
! " B = µ0 & J + ! 0
)
#t (
%
n 
1887: Hertz compie esperimenti che dimostrano
l esistenza di onde elettromagnetiche, previste dalle
nuove equazioni
Forma integrale
!
$!
! !
#E ' !
" B ! dl = µ0 " & J + !0 #t ) ! ndA = µ0 i + is
%
(
(
µ0 iS = µ0! 0 #
)
!
!
!"( E)
!E !
" n dA = µ 0! 0
!t
!t
"
"17 #$( E) V / m
µ0 iS ! 1.1! 10
#t
s
e` necessaria una variazione molto
rapida nel tempo del campo elettrico
Corrente di spostamento
n  Durante
il processo di carica si accumula la
cairca dq su una armatura e viene prelevata la
carica –dq dall altra
n  Le
correnti corrispondenti sono i=dq/dt
entrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente
n  Si
puo` usare la legge di Ohm, ma tra le
armature non c e` corrente di conduzione
n  Il
flusso della densita` di corrente attraverso
una superficie che racchiude entrambe le
armature e` nullo (se le derivate rispetto al
tempo non sono troppo grosse) come se ci
fosse continuita`
Corrente di spostamento
! = !1 + ! 2
! !
dq
# B ! dl = i = dt
"
C ( "1 )
! !
! !
"# B ! dl = "# B ! dl
i
C ( "2 )
Σ1 Σ 2
!
= !" (J ) = 0
2
C ( "1 )
poggia sullo stesso
contorno
!
J
non e` solenoidale
Corrente di spostamento
! = !1 + ! 2
n  Il
termine di corrente di spostamento
risolve la contraddizione
i
n  Oltre
alla corrente di conduzione i
esiste un campo elettrico E che varia
nel tempo tra le armature (supponiamo
solo li )
Σ1 Σ 2
! ! !
!
J1 = J + J S = J
!
! ! !
!E
J1 = J + J S = !0
!t
! !
J + J S e` solenoidale
i due flussi devono essere
uguali
Equazioni di Maxwell
n 
Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti di
conduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioni
che descrivono i campi elettrico e magnetico per
fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:
! ! !
!"E =
"0
! !
!"B=0
!
! !
%B
!#E =$
%t
!
! !
!
%E
! # B = µ 0 J + µ 0! 0
%t
Equazioni di Maxwell
n 
Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti
di conduzione si ha:
! !
!"E =0
! !
!"B=0
!
! !
%B
!#E =$
%t
!
! !
%E
! # B = µ 0! 0
%t
Equazioni di Maxwell
n 
n 
n 
Realizzano la sistemazione e unificazione dei
fenomeni elettrici e magnetici
In generale campi elettrici e magnetici non possono
essere zero simultaneamente, sono descrivibili
come aspetti di un unica interazione fondamentale
legata all esistenza della carica elettrica
Le equazioni di Maxwell sono invarianti per
trasformazioni di Lorentz: non e` possibile stabilire
il proprio stato di moto inerziale attraverso
esperimenti di elettromagnetismo
Equazione delle onde
(d Alembert)
2
2
! f 1 ! f
"
=
0
2
2
2
!x
v !t
f (t, x) = A! 1 ( x " v t) + B! 2 ( x + v t)
quantita` che si propaga lungo
l asse x positivo con velocita` v
quantita` che si propaga lungo
l asse x negativo con velocita` v
supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)
Equazione delle onde
(d Alembert)
x
!(t " )
v
fissato t-x/v la funzione ha un valore
costante
x ˆ
t ! " t # x = v(t ! tˆ )
v
perturbazione che si muove con
velocita` v=dx/dt
analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che si
muove con velocita` -v
Onde elettromagnetiche
n 
Si possono derivare le equazioni delle onde
per i campi elettrico e magnetico direttamente
dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione
delle onde per i potenziali
!
!
#2 E
!E " µ 0! 0 2 = 0
#t
!
!
#2 B
!B " µ 0! 0 2 = 0
#t
Onde elettromagnetiche
n 
Si possono derivare le equazioni delle onde
per i campi elettrico e magnetico direttamente
dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione
delle onde per i potenziali
!
! 1 #2 B
!B " 2 2 = 0
c #t
!
! 1 #2 E
!E " 2 2 = 0
c #t
c=
1
µ0! 0