Cenni di calcolo delle probabilità

Probabilità
Lancio un dado
Qual è la probabilità di ottenere il numero 5?
• Ho una prova ossia un esperimento = lancio dado
• Ho il risultato di tale prova = faccia contrassegnata
dal numero 5
• Il risultato della prova non è certo ma incerto
grado di incertezza = probabilità
Allora devo aggiungere ai termini precedenti di
esperimento e risultato dell’esperimento il termine
casuale
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L’esperimento
La prova è un esperimento
che ha due o più possibili
risultati
L’evento (A)
Per evento si intende uno
dei possibili risultati della
prova
Lancio del dado
Faccia
contrassegnata
dal numero 5
La probabilità
P(A) Numero
Lo spazio degli
Eventi o spazio
campionario (S)
La probabilità è un numero
compreso tra 0 ed 1 che
misura il grado di incertezza
sul verificarsi di un evento
L’insieme dei possibili
risultati dell’esperimento
casuale
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tutte le facce del dado
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In una data prova, l’evento A
si verifica con probabilità P(A)
Esempio 1 : Se vi chiedo qual è la probabilità
che lanciando un dado (ben bilanciato) esca
la faccia contrassegnata dal numero 5 (A=5)
Tutti rispondete 1/6
P(A) = 1/6
Perché?
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State applicando la
Definizione classica di probabilità
La probabilità è data dal rapporto tra il
numero dei casi favorevoli all’evento e il
numero dei casi possibili purché essi siano
tutti ugualmente possibili.
P(A)=
n.casi favorevoli
n.casi possibili
P(A=5) = 1/6
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Esempio 2: spazio campionario
ed eventi
Consideriamo l’esperimento che consiste nell’estrarre una
carta da un mazzo di 53 carte.
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Esempio 3: spazio campionario
ed eventi
Esperimento del lancio di due dadi.
 Evento “somma uguale 7”
A = { (1,6),(2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
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Come si legano questi concetti alla statistica?
Quando facciamo un’indagine campionaria
• la formazione del campione è un
esperimento casuale
in cui ogni individuo ha la stessa probabilità di
essere estratto ossia di rientrare nel
campione.
• Il campione che si forma è uno dei possibili
eventi casuali
Ad ogni individuo sottoponiamo un questionario
dove
• ogni domanda può essere considerata come
un esperimento casuale e le risposte sono gli
eventi casuali
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Ci sono anche tante altre problematiche
affrontate con la metodologia statistica in cui
intervengono i concetti di esperimento casuale
ed evento casuale e dunque alla base di queste
metodologie c’è il concetto di
probabilità
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Il concetto di probabilità è un concetto primitivo e
utilizza le operazioni fondamentali sugli insiemi
Esempio 4 Lanciamo un dado
Sia A l’evento “il risultato è un numero pari” ed E l’evento “il
risultato è un numero maggiore o uguale a 4”. Allora:
A = {2, 4, 6}; E = {4, 5, 6}
• Insiemi COMPLEMENTARI: Ā = {1, 3, 5}; Ē = {1, 2, 3}
• Insiemi UNIONE: A  E = {2, 4, 5, 6}; Ā  E = {1, 3, 4, 5, 6}
• Insiemi INTERSEZIONE: A  E = {4, 6}; Ā  E = {5}
• Insiemi DISGIUNTI: A  Ā =  ; E  Ē = 
Illustrazione grafica dell’evento A  E
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Proprietà assiomatiche della probabilità
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Probabilità: ulteriori proprietà
si deducono dagli assiomi precedenti
•
P() = 0, essendo  l’insieme vuoto, detto
anche evento impossibile;
•
P(A) ≤ 1, per ogni A;
•
P(Ā ) = 1 - P(A), per ogni A (regola dell’evento
complementare);
•
P(A1  A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1  A2), dove
A1 e A2 sono due eventi qualsiasi (regola
della somma).
Cap. 12-12
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Se [A  B = ø] 
P(A  B) = P(A) + P(B)
Se [A  B ≠ ø] 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P (A  B)
Teorema della probabilità dell’unione di eventi
Per definire P (A  B) dobbiamo prima definire
la probabilità condizionata
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La pubblicità influenza l’acquisto?p(A/B)
Ha acquistato il
prodotto
Non ha acquistato
il prodotto
Totale
Ha visto la
pubblicità
Non ha
visto la
pubblicità
175
45
220
100
180
280
275
225
500
Totale
Evento A acquisto di un prodotto p(A)=220/500=44%
Evento B la pubblicità
Per rispondere alla domanda devo trovare la probabilità che un
individuo abbia acquistato un prodotto dato che ha visto la
pubblicità
Lo spazio campionario di riferimento (eventi possibili) non è
composto da tutti i 500
soggetti ma solo dai 275 che hanno
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visto la pubblicità p(A/B)=175/275=63,6%
Probabilità condizionate e indipendenza
P(AB)=
n. dei casi favorevoli ad (A  B)
n. dei casi favorevoli a B
ossia
P(AB)=
P(A  B)
P(B)
Si definisce probabilità condizionata di
A dato B il rapporto tra la probabilità
dell’evento (A  B) e la probabilità
dell’evento B
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Principio delle probabilità composte
Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 :
P (A  B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B)
Due eventi si dicono indipendenti se il
verificarsi di B non muta (influenza) la
probabilità di A e il verificarsi di A non muta
la probabilità di B
P (A|B) =P(A)
P(B|A) = P(B)
da cui si ricava
P (A  B) = P(A) P(B)
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Principio della probabilita dell’intersezione di
due o più eventi
Il concetto di indipendenza interviene sulla
probabilità degli eventi ossia modifica la
probabilità del verificarsi di A/B
P(A/B)=P(A) se A e B sono indipendenti
Principio della probabilità dell’unione di due o
più eventi
Il concetto di eventi disgiunti non interviene
sulla probabilità degli eventi ossia
P(A  B) = P(A) + P(B) - P (A  B) sempre
se A  B = ø l’ultimo addendo è nullo
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Concezioni della probabilità
Frequentista
Basata sul Postulato empirico del caso:
In un gruppo di prove, ripetute più volte nelle stesse condizioni,
ciascuno degli eventi possibili compare con una frequenza quasi
eguale alla sua probabilità; generalmente l’approssimazione
migliora quando il numero delle prove cresce.
n
f(A) = A
n
Soggettivista
La probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un
individuo (il soggetto) coerente attribuisce al verificarsi
dell’evento, in base alle informazioni in suo possesso
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Esempio 5: calcolo delle probabilità
Riprendiamo l’Esempio 4 e calcoliamo le probabilità
degli eventi: A “il risultato è un numero pari”, E “il risultato è un
numero maggiore o uguale a 4”, AB: “il risultato è un numero
pari o un numero maggiore o uguale a 4”.
È facile stabilire che:
• P(A) = 3/6 = 0,5
• P(E) = 3/6 = 0,5
• P(AB) = P(A) + P(E) - P(AE) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6
N.B.: Per il calcolo della probabilità di AB, abbiamo applicato la
regola della somma.
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Esempio 6: calcolo delle probabilità
Riprendiamo l’Esempio 2 e calcoliamo le
probabilità degli eventi: A: “estrarre un 10”;
B: “estrarre un asso o una regina o un re”.
È facile stabilire che:
• P(A) = 4/52 = 0,077
• P(B) = 4/52 + 4/52 + 4/52 = 12/52 = 0,231.
N.B.: Per il calcolo della probabilità di B, Abbiamo applicato il
terzo assioma del calcolo delle probabilità.
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Esempio 7: calcolo delle probabilità
Riprendiamo l’Esempio 3 e calcoliamo le
probabilità degli eventi:
A: “la somma dei numeri è 6;
B: “la differenza dei numeri, in valore
assoluto, è minore o uguale a 3”;
C: A  B.
È facile stabilire che:
• P(A) = 5/36 = 0,139;
• P(B) = 30/36 = 0,833;
• P(C) = 3/36 = 0,083.
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Come leggere una tabella doppia di frequenze in ottica probabilistica
Anno di
iscrizione
sesso
maschi femmine
totale
matricola
10
11
21
2° anno
7
10
17
3° anno
15
14
29
4° anno
20
13
33
totale
52
48
100
qual è la probabilità che
estratto a caso uno
studente sia
femmina?
48/100=0,48
Iscritto al III anno
29/100=0,29
iscritto al II anno e maschio
7/100=0,07
matricola o femmina
21/100+48/100-11/100=0,58
iscritto al II anno sapendo che è maschio 7/52=0,13
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Risposta 0,48 è una frequenza relativa?
Allora Cosa c’è di diverso tra Calcolo delle
probabilità e Statistica descrittiva?
E’ la prova, l’esperimento che è legato
all’incertezza, al caso, che trasforma una
distribuzione di frequenze relative in una
distribuzione di probabilità su eventi discreti
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La Statistica descrittiva esamina i risultati di
esperimenti reali, già avvenuti e definitivi, di
cui studia a posteriori la distribuzione del
carattere X tra le singole modalità
Il Calcolo delle probabilità elenca i risultati di
esperimenti ipotetici, che non necessariamente
si realizzano, di cui esamina a priori le
differenti probabilità dei singoli eventi
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Genere
Rispetto a 5 anni fa i reati sono….
Rimasti
Aumentati invariati Diminuiti Non so Totale
Maschio
125
135
26
14
300
Femmina
159
104
13
25
301
Totale
284
239
39
39
601
1) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso abbia affermato
che i reati sono aumentati?
2) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso sia donna e abbia
risposto che i reati sono diminuiti?
3) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso abbia risposto
che i reati sono rimasti invariati o che sono diminuiti
4) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso sia uomo o che
abbia risposto che i Paola
reati
sono aumentati?
Giacomello
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