Modello di regressione lineare

“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Modello di regressione lineare
a cura di Giordano dott. Enrico
[email protected]
Nel presente lavoro viene descritto in modo dettagliato (attraverso anche un impatto
visivo), l’analisi di due titoli azionari utilizzando un programma statistico denominato
“E-Views”. Ricordiamo che il lavoro svolto è una integrazione del corso di Tecnica
di Borsa (anno accademico 2001) svolto dal prof. Franco Caparrelli, docente
dell’Università di Siena
Rendimento di due titoli
1) Verificare se ha senso cercare una relazione funzionale tra le variabili
esaminate;
2) Se esiste una relazione funzionale tra le variabili esaminate, controlliamo che
tale relazione sia di tipo lineare. Tale verifica avviene attraverso l’osservazione
della matrice di correlazione. Successivamente si procede con i seguenti passi:
a) Individuazione della relazione causale tra le variabili;
b) Stima dei parametri;
c) Verifica della significatività dei parametri.
Per relazione funzionale consideriamo direttamente una relazione di tipo lineare la
cui forma è:
Y = α+βX
Dove:
Y
α
β
X
=
=
=
=
variabile dipendente
intercetta della retta di regressione
coefficiente angolare della retta di regressione
regressore (variabile indipendente )
1
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
L’equazione che abbiamo appena visto è denominata “equazione della retta di
regressione”.
La rette di regressione approssima la “ nuvola di punti “ data dalle osservazioni
campionarie.
Possiamo iniziare partendo da una serie di dati riferiti al titolo Telecom e all’indice
mib30, presenti in EXCEL.
Come si può vedere dalla schermata in bassa, abbiamo selezionato il RIF (prezzo di
riferimento) del titolo Telecom, allo stesso modi in seguito si procederà per i valori
del mib30.
2
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Dopo aver copiato la colonna evidenziata attraverso il comando
MODIFICA / COPIA,
questa andrà copiata in una nuova cartella (per crearne nuova è sufficiente
selezionare FILE, quindi NUOVO ) attraverso il comando:
MODIFICA / INCOLLA SPECIALE.
Apparirà una schermata, in cui andrà selezionato VALORI.
3
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà cosi la colonna con il prezzo di riferimento (RIF) del titolo telecom.
Ugualmente andrà fatto per le chiusure dell’indice mib30 otterremo cosi:
4
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Ricordiamo che la formula la del rendimento è
Rt =
p
p
t
−1
t −1
Per calcolar i rendimenti con Excel è necessario inserire sul foglio la formula
=((A3/A2)-1)*100 e dare INVIO.
5
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Calcolato il rendimento con riferimento ai primi due giorni, sarà molto semplice
calcolare i rendimenti relativi ai giorni successivi.
Basterà spostarsi con la freccetta sul bordo in basso a destra della cella in cui è stata
inserita la prima formula (appare un quadratino in neretto), tenere ciccato sullo
‘spigolo’ tirare giù lungo tutte le celle in cui si vuole copiare la formula stessa.
6
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Ugualmente andrà fatto con il mib30 otterremo cosi otterremo:
7
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Per avere la serie dei logaritmi dei rendimenti occorrerà selezionare sul foglio:
=log(A3/A2) e dare INVIO.
Ricordando che A3 indica Pt , mentre A2 indica Pt −1 .
8
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Cosi fatto in precedenza, bisognerà andare sull’angolo in basso a destra della cella, e
trascinare verso il basso tenendo ciccato sullo stesso.
Ugualmente verrà fatto per il mib30, otteniamo cosi le due serie da portare
successivamente in EVIEWS per il nostro lavoro.
9
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Per incominciare il nostro lavoro occorre fare un passaggio preliminare.
E-VIEWS al contrario di EXCEL, quando ci sono numeri decimali legge il punto ( .)
e non la virgola ( , ). Occorre quindi effettuare questa sostituzione ( . ).
I passaggi da fare sono i seguenti.
EVIDENZIARE logrendtelecom / COPIA / aprire un documento in WORD /
copiare la serie. Occorrerà poi SELEZIONARE TUTTO / digitare SOSTITUISCI.
10
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà una schermata in cui andrà scritta la nostra sostituzione cioè il punto ( . )
con la virgola ( , ), poi selezionare: SOSTITUISCI TUTTO.
Ugualmente andrà fatto per il mib30.
Fatto ciò possiamo iniziare il nostro lavoro.
Evidenziare logrendtelecom e copiarlo, perché lo dobbiamo portare in EVIEWS.
Aprire EVIEWS è Selezionare: FILE / NEW / WORKFILE
11
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà una schermata in cui andrà selezionato:
UNDATED OR IRREGULAR / 1-59 ( rappresentano le nostre osservazioni ), dare
OK.
A questo punto occorrerà selezionare:
QUICK / EMPTY GROUP
12
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà una schermata dove andremo a selezionare PASTE (incolla) che si ottiene
cliccando il tasto destro del MOUSE.
13
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà cosi la nostra serie di dati.
Per rinominare la serie è necessario cliccare con il tasto destro del mouse sulla serie
da rinominare e selezionare RENAME.
14
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
15
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
A questo punto selezionando per esempio logrendmib30 apparirà la nostra serie di
dati.
16
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Con i nostri dati in E-Views occorre verificare la presenza di una eventuale
correlazione tra le variabili. Possiamo verificare ciò con la matrice di correlazione.
Evidenziare, logrendbim30 e logrendtelecom digitare OPEN GRUP
17
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Apparirà la seguente schermata.
Come osservato in precedenza la prima verifica da fare è quella relativa alla presenza
di correlazione tra le variabili.
Selezionare: VIEW / CORRELATIONS.
18
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Ci comparirà la matrice di correlazione, dove è evidenziata un’alta correlazione. Ha
senso quindi ipotizzare una relazione tra le due variabili.
19
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
20
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Se si vuole osservare lo scatter dei punti.
Selezionare: VIEW / GRAPH / SCATTER WHITH REGRESSION.
21
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Otteniamo:
22
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Possiamo ora vedere il legame causale delle variabili
Selezionare: VIEW / GRANGER CAUSALITY.
23
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Otteniamo.
Si può notare dal test che non ha senso spiegare il logrendtelecom in funzione del
logrendmib30.
E’ buona regola rifiutare l’ipotesi nulla con la “probability” più elevata: in questo
caso, pertanto, il mib30 non può essere utilizzato come regressore di
logrendtelecom.
Da rilevare che questo caso specifico sconsiglierebbe anche l’ipotesi di una
relazione causale logrendtelecom => logrendmib30, tuttavia, se, come in questo
caso, le ipotesi plausibili sono solo due, si procede con il rifiuto dell’ipotesi nulla
con la “probability” più elevata.
In definitiva il logrendmib30 sarà la nostra variabile dipendente mentre il
logrendtelecom sarà il nostro regressore.
24
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Stima dei parametri
La stima viene fatta con il metodo dei minimi quadrati, cioè la retta migliore è quella
che minimizza la somma dei quadrati degli scarti.
Selezionare: QUICK / ESTIMATE EQUATION…
Comparirà una schermata in cui andrà scritta la formula:
logrendmib30 (variabile dipendente ) logrendtelecom (regressore ) c (costante)
Dare quindi l’OK
25
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Ottengo cosi l’OUTPUT.
R-squared rappresenta il coefficiente di determinazione lineare, più si avvicina ad
uno, più il modello è corretto, cioè la retta approssima bene la “ nuvola “ di punti.
Adjusted R-squared viene utilizzato perché se aumentano i regressori, R-squared
aumenta, mentre l’Adjusted R-squared non dipende dal numero di regressori ed è
sempre compreso tra zero ed uno.
26
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Occorre ora verificare se i residui hanno una distribuzione normale e se sono
omoschedastici cioè con varianza costante e media zero.
Selezionare: PROCS / MAKE RESIDUAL SERIES.
27
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Otteniamo cosi
28
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Per visualizzarlo graficamente selezionare:
VIEW / LINE GRAPH.
29
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
otteniamo,
30
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Per verificare la normalità selezionare STATS otteniamo cosi:
31
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Controllare in fine l’ipotesi di indipendenza.
Selezionare: VIEW / CORRELOGRAM.
32
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Otteniamo cosi:
33
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Per visualizzarlo graficamente, ritornare all’output.
Selezionare: VIEW / ACTUAL / RESIDUAL GRAPH
34
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
Otteniamo cosi
ACTUAL è quello effettivo
FITTED è quello stimato
35
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
APPENDICE
2
R corretto:
n −1
n−k
Akaike Info Criterion:
2l
k
AIC = − + 2
n
n
(Sono preferiti valori piccoli dell’AIC poiché ad essi corrisponderanno valori elevati di l)
- l è la funzione di logverosimiglianza sotto ipotesi che :
n
l = − (1 + log 2π ) + log(ε ' ε / n)
2
Schwarz Criterion:
2l
log n
SC = − + k
n
n
2
R = 1 − (1 − R 2 ) *
iid ≈ N (0, σ µ2 )
AUTOCORRELAZIONE
-In presenza di autocorrelazione gli stimatori sono ancora lineari corretti, ma non sono più efficienti
(non hanno cioè la varianza minima) se confrontati con quelli ottenuti dalle procedure che tengono
conto dell’autocorrelazione;
- La varianza degli stimatori dei coefficienti di regressione è distorta. In sintesi, il dato risulta
sottostimato, sicchè si possono erroneamente accettare come diversi da zero coefficienti che in
realtà non lo sono. Il test t non sarà più attendibile, il coefficiente di determinazione lineare stimato
non sarà una misura attendibile del vero coefficiente di determinazione lineare.
DURBIN WATSON:
µ t = ρµ t −1 + ε t
Ho = ρ = 0
n −1
DW =
∑ (e
t
− et −1 ) 2
t :2
n
∑e
2
t
t :1
Valido se il modello ha intercetta, se il modello non è autoregressivo, i regressori sono non
stocastici.
DW<2 => autocorrelazione seriale di ordine uno positiva
2<DW<4 => autocorrelazione seriale di ordine uno negativa non significativa
DW>4 sufficientemente: autocorrelazione seriale di ordine uno negativa
Regola usata: per più di cinquanta osservazioni e pochi regressori, un DW<1,5 rappresenta un
segnale di autocorrelazione seriale positiva di ordine uno.
36
“Economia del mercato mobiliare” – Franco Caparrelli
Copyright © 2004 – The McGraw-Hill Companies srl
TEST F
R2
k −1 ≈ F
F=
k −1, n − k
2
(1 − R )
n−k
Sempre sotto ipotesi nulla di
iid ≈ N (0, σ µ2 )
TEST DI NORMALITA’
JARQUE-BERA
n−k
(( SKW ) 2 + 1 (( KURT ) − 3) 2 )
JB =
6
4
Sotto ipotesi nulla di εiid ≈ N (0, σ µ2 ) si ha:
JB ≈ χ 22
STABILITA’ DEI COEFFICIENTI
Se vale l’ipotesi nulla εiid ≈ N (0, σ µ2 ) , al 95% il vero coefficiente di regressione giace tra:
βˆ − 2 Stdev ≤ β ≤ βˆ + 2stdev .
37